考點(diǎn)17 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）

考點(diǎn)17點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(核心考點(diǎn)講與練)

一、空間中的平行關(guān)系

1.平行直線

(1)平行公理

過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行.

(2)基本性質(zhì)4(空間平行線的傳遞性)

平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

(3)定理

如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等.

2.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒有公共點(diǎn)，則稱直線/與平面。平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

平面外一條直線與此

a______

平面內(nèi)的一條直線平閡Q,Zxza,

判定定理

行，則該直線平行于此a//b=^a//a

平面

一條直線和一個(gè)平面

平行，則過(guò)這條直線的a//a,auB,

性質(zhì)定理

任一平面與此平面的aAB=b

交線與該直線平行

3.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

一個(gè)平面內(nèi)的兩條粗

aua,Zxza,adb=P,

判定定理交直線與另一個(gè)平面

all萬(wàn)，6〃￡=。〃尸

平行，則這兩個(gè)平面z^7

平行

兩個(gè)平面平行，則其/X7

中一個(gè)平面內(nèi)的直線4〃￡,au￡

平行于另一個(gè)平面//

性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同

時(shí)和第三個(gè)平面相?！ā?czny=a,

交，那么它們的交線￡Ay=b=^a//b

平行

二、空間中的垂直關(guān)系

1.直線與平面垂直

(1)直線與平面垂直的定義

如果一條直線和一個(gè)平面相交于點(diǎn)0,并且和這個(gè)平面內(nèi)過(guò)交點(diǎn)(。)的任何直線都垂直，就

說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直.

(2)直線與平面垂直的判定定理及其推論

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

auQ、

Zxza

如果一條直線與平面內(nèi)的兩條1

“Gb=O>

判定定理相交直線垂直,則這條直線與

ILa

這個(gè)平面垂直7

ILb>

=/_La

如果在兩條平行直線中，有一b

a//b\

推論1條垂直于平面，那么另一條直

-J,0)=b_La

線也垂直于這個(gè)平面

如果兩條直線垂直于同一個(gè)平a-La卜己〃b

推論2

面，那么這兩條直線平行6_La

2.直線和平面所成的角

(1)定義：一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角叫做斜線和平面所成的角，一條直線垂直

于平面，則它們所成的角是直角;一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°

的角.

(2)范圍：.

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角;

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂

直于棱的兩條射線,這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范圍：[0,n].

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得兩條交線

互相垂直,就稱這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的

八一

判定定理一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂

直Ah

如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在

>

性質(zhì)定理一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的Jan8=a

直線垂直于另一個(gè)平面A

=>7±a

1.異面直線的判定方法

定義法

過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不

定理法經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線為異面直線(此結(jié)論可作為定

理使用)

湊被強(qiáng)兩弟直所示是鼻面直緩,即兩面及單行

反證法或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的推理,

:導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面

2.求異面直線所成的角的三步曲

GE）。!即依據(jù)定義作平行線'作出異面直線所成的角i

［即證明至出的角是異面直線所成的角?-?'：

,一~^x序三索弦:翥值很值而募五星茶融而加具薪始

（［三求或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍：

［角，則它的補(bǔ)角才是要求的角!

3.線面平行的證明方法

（1）定義法：一般用反證法；

（2）判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)

語(yǔ)言敘述證明過(guò)程；

（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面.

4.構(gòu)造平行直線的常用方法

（I）構(gòu)建三角形或梯形的中位線：可直接利用線段的中點(diǎn)、等腰三角形三線合一或利用平

行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)找中點(diǎn)，從而構(gòu)建中位線；

（2）構(gòu)建平行四邊形:可以利用已知的平行關(guān)系（如梯形的上下底邊平行）或構(gòu)建平行關(guān)系（如

構(gòu)造兩條直線同時(shí)平行于已知直線），從而構(gòu)建平行四邊形.

應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，關(guān)鍵是過(guò)已知直線作輔助平面與已知平面相交，所得交線與已

知直線平行，還可以利用交線判斷已知平面內(nèi)的直線與已知直線的位置關(guān)系，即在已知平面

內(nèi)所有和交線平行的直線都與已知直線平行，所有和交線相交的直線都與己知直線異面.

5.判定平面與平面平行的4種方法

（1）面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)（不常用）；

（2）面面平行的判定定理（主要方法）；

（3）利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行（客觀題可用）；

（4）利用I平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（客觀

題可用）.

利用線面平行或面面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常

用來(lái)確定交線的位置.對(duì)于線段長(zhǎng)或線段比例問題，常用平行線對(duì)應(yīng)線段成比例或相似三角

形來(lái)解決.

6.證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性a_La=%，a）；

③面面平行的性質(zhì)（a-La,a〃夕naJ_份；④面面垂直的性質(zhì).

7.利用判定定理證明平面與平面垂直的一般方法

先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在,則可通過(guò)線面垂直來(lái)證明面面垂直；

若這樣的垂線不存在，則需通過(guò)作輔助線來(lái)證明

〈芝曳育〉空間兩直線位置關(guān)系的判定

1.（2021重慶市縉云教育聯(lián)盟高三上學(xué)期9月月度質(zhì)量檢測(cè)）已知直線/,m，平面a,

加ua,那么“U/a”是"〃/"'（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

求異面直線所成的角

1.（2021山東臨沂模擬）如圖，四邊形A8C。和四邊形AOPQ均為正方形，它們所在的平面

互相垂直，則異面直線AP與8。所成的角為.

2.（2022河南省十所名校高三）如圖，圓錐的底面直徑AB=2,其側(cè)面展開圖為半圓，底

面圓的弦AO=6,則異面直線AO與8C所成的角的余弦值為（）

A.0B.立C.立D.—

342

直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)

1.（2021海南省三亞華僑學(xué)校高三10月月考）正方體ABC。-AIBIGOI中，E、尸分別是

BBi,CG的中點(diǎn)，

（1）證明：直線AE//平面QCG9

（2）求異面直線4E和8廠所成角的余弦值.

2.（2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)）如圖，ABCD與4OEF為平行四邊形，M,N,G分

別是A8,AD,EF的中點(diǎn).

AMB

求證：（1）BE〃平面OMF；

（2）平面BDE〃平面MNG.

多向臉直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

1.（2022河南省聯(lián)考高三核心模擬卷）在四棱錐產(chǎn)一A3CD中，平面Q43_L平面ABC。，

AB//CD,ZADC=9Q0,8=2AB=2,PA=AD=五,PB=5以為PC的中

點(diǎn).

（1）求證：PCJ_平面BMD；

（2）求三棱錐的體積

2.（2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題）如圖所示，在四邊形48CD中，

AD//BC,AD=AB,ZBCD=45°,ABAD=90°,將△A8D沿8D折起，使得平面

ABOJ_平面BCD,構(gòu)成四面體ABC。，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.平面平面ABCB.平面ACDL平面BCD

C.平面ABC_L平面BCDD.平面AC￡>J_平面ABC

3.（2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)）如圖所示，四邊形ABCD中，AD//BC,AD=AB,

ZBCD=45°,ZJ3AD=90°.將”8。沿對(duì)角線8。折起，記折起后A的位置為點(diǎn)尸，且使平

面P8O_L平面BCD.

求證：（1）CC_L平面尸8￡）.

（2）平面PBC_L平面PDC.

百月寶>平行與垂直的綜合問題

1.如圖，直三棱柱ABC-A18cl中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)￡>,E分別是BC,

A&的中點(diǎn).

G

(1)證明：OE〃平面ACG4；

(2)若=證明：GC平面ADE.

1.(2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(新課標(biāo)II))

設(shè)口，夕為兩個(gè)平面，則&//月的充要條件是

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與月平行

B.1內(nèi)有兩條相交直線與￡平行

C.a,夕平行于同一條直線

D.a,夕垂直于同一平面

2.(2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo)IID)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中

心，AECD為正三角形,平面￡CD_L平面A8CRM是線段EO的中點(diǎn)，則

A.BM=EN,且直線是相交直線

B.BM手EN,且直線是相交直線

C.BM=EN,且直線是異面直線

D.BM豐EN,且直線是異面直線

3.（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，四棱錐P—A5CD的底面是矩形，PDX.

底面ABC。，/為8c的中點(diǎn)，且尸

（1）證明：平面BAM_L平面尸80；

（2）若尸求四棱錐尸一ABC。的體積.

經(jīng)典變式練

一、單選題

1.（2022?山東聊城?二模）已知某圓錐的側(cè)面積等于底面的3倍，直線/是底面所在平面內(nèi)

的一條直線，則該直線/與母線所成的角的余弦值的取值范圍為（）

2.（2022?北京豐臺(tái)?二模）已知兩條不同的直線/,加與兩個(gè)不同的平面a,戶，則下列結(jié)論

中正確的是（）

A.若I〃a、m±l,則B.若/J_a,/〃尸，則

C.若IA.m,貝U/〃aD.若a_L￡,I±a,則/〃￡

3.（2022?重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知三個(gè)平面a,夕，，，其中an/3=a,13y=b,y\a=c,

且ab=P,則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.b,c是異面直線B.bc-PC.h//cD.a與c沒有公共點(diǎn)

4.（2022?江西?二模（理））已知平面四邊形ABCQ中，AB=AD=BD=4iBC=辰口=4，

現(xiàn)沿80進(jìn)行翻折，使得A到達(dá)4的位置，連接A'C,此時(shí)二面角A-BO-C為150。，則

四面體ABC。外接球的半徑為（）

A26R4將「2萬(wàn)n4V2T

3333

5.（2022?江西景德鎮(zhèn)?三模（理））已知正方體48CO-ABCQ的棱長(zhǎng)為2,P為正方形ABC。

內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),E、尸分別是棱AA,、棱AQ的中點(diǎn).若D.PH平面BEF,則的最小值為（）

A.逑B.逝C.非D.245

55

6.（2022.河北秦皇島?二模）如圖，在直三棱柱ABC-A耳G中，的=AC=8C=1,A8=血,

D,E分別是A4，CG的中點(diǎn)，則直線8c與平面A8E所成角的正弦值為（）

A-TB-Tc-T口.器

7.（2022.湖南永州三模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》記錄形似“楔體”的“羨除”.所謂“羨

除“，就是三個(gè)側(cè)面都是梯形或平行四邊形（其中最多只有一個(gè)平行四邊形），兩個(gè)不平行對(duì)

面是三角形的五面體.如圖,在羨除ABCDEFrp,四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，EAD,

FBC均為正三角形，￡F//平面ABC。，且E尸=24?,則羨除ABCDEF的體積為（）

8.（2022?浙江嘉興?二模）如圖，已知正方體ABCD-A耳GA的棱長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論中正

確的是（）

①若E是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則QE〃平面4/G

②若E是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐E-ABG的體積為定值!

③平面A/G與平面A8CQ所成的銳二面角的大小為￡

4

④若F是直線3。上的動(dòng)點(diǎn)，則RFJLAC

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

二、多選題

9.（2022?遼寧葫蘆島?一模）如圖所示，點(diǎn)A,B,C,M,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中

點(diǎn)，則下列滿足MN〃平面A8C的是（）

10.（2022?遼寧沈陽(yáng)?二模）在四棱錐P-ABC￡>中，底面488為梯形，AB//CD,則（）

A.平面心。內(nèi)任意一條直線都不與BC平行

B.平面PBC內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與平面玄。平行

C.平面PAB和平面PCD的交線不與底面A8C。平行

D.平面力力和平面P8C的交線不與底面4BCD平行

11.（2022?廣東惠州?一模）近年來(lái)，納米晶的多項(xiàng)技術(shù)和方法在水軟化領(lǐng)域均有重要應(yīng)用.

納米晶體結(jié)構(gòu)眾多，下圖是一種納米晶的結(jié)構(gòu)示意圖，其是由正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平

行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為〃的幾何體，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體的表面積為7G“2

B.該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體的體積為史亞/

12

C.該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體外接球的表面積為

4

D.二面角A/-A2A3-B3的余弦值為-g

12.（2022?遼寧錦州?一模）如圖，在直四棱柱AB8-ABCD中，BCLCD,AB//CD,

BC=6M=A8=A￡>=2,點(diǎn)P,Q,R分別在棱Bq,CC,,OR上，若A,P,Q,R

四點(diǎn)共面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.任意點(diǎn)P,都有4尸〃QR

B.存在點(diǎn)P,使得四邊形APQR為平行四邊形

C.存在點(diǎn)P,使得8C〃平面APQR

D.存在點(diǎn)P,使得△APR為等腰直角三角形

13.（2022?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱柱A8C￡>—A/8/C/Q的底面邊為1,側(cè)棱長(zhǎng)為a,

M是CC/的中點(diǎn)，則（）

A.任意a>0,AiMA-BD

B.存在“>0,直線4G與直線相交

C.平面與底面A由/G。/交線長(zhǎng)為定值或

2

D.當(dāng)a=2時(shí)，三棱錐外接球表面積為37r

14.（2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè)）在正四棱錐P-A3CD中，點(diǎn)KMS分別是棱PA,PB,PC上

的點(diǎn)，S.PM=xPA，PN=yPB,PS=zPC，其中x,y,zw（0,l],則（）

A.當(dāng)*=y=z時(shí)，平面ABC。//平面MNS

B.當(dāng)x=l,y=；,z=l時(shí)，PD〃平面MNS

21i

C.當(dāng)x=w，y=-,z=-04,點(diǎn)Ow平面MNS

2i

D.當(dāng)x=§，y=3時(shí)，存在zw（o,l],使得平面PAC_L平面MNS

15.（2022.廣東廣州.二模）如圖，圓柱的軸截面A8C。是正方形，E在底面圓周上，

AE=BE,AF_LDE,尸是垂足，G在8。上，DG=2BG,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.AFYBD

B.直線OE與直線AG所成角的余弦值為g

C.直線DE與平面ABCD所成角的余弦值為逅.

6

D.若平面AfGc平面ABE=/,則/〃FG

16.（2022?廣東茂名?二模）棱長(zhǎng)為4的正方體AB8-ABCQ中，E,1分別為棱AR,M

的中點(diǎn)旦G=X4C（O〈/IW1）,則下列說(shuō)法中正確的有（）

A.三棱錐尸-AEG的體積為定值

B.當(dāng)時(shí)，平面EGC截正方體所得截面的周長(zhǎng)為6指+如

一2斤

C.直線FG與平面8CG4所成角的正切值的取值范圍是年,2a

D.當(dāng)23時(shí)，三棱錐A-EFG的外接球的表面積為153號(hào)乃

44

三解答題

17.（2022?青海西寧?一模（文））如圖，四棱錐P-A3CO中AB=AQ=2,8=4,AB//CD,

AD_L平面COP,E為PC中點(diǎn).

⑴證明：3E7/平面以。；

（2）若CP，平面以。，CP=2y/3,求三棱錐的體積.

18.（2022?甘肅蘭州?一模（理））已知四棱錐中，底面A8CD為菱形，點(diǎn)E為校

PC上一點(diǎn)（與P、C不重合），點(diǎn)KN分別在棱PD、PB上，平面EMN〃平面ABCD

（1）求證：比>〃平面AWN；

TT

⑵若E為PC中點(diǎn)，PC=BC=BD=2,^PBC=-,PCVBD,求二面角?MN-A的正

弦值.

19.（2022,海南海口?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的幾何體由一個(gè)半圓錐和一個(gè)三棱錐組合而成，兩

個(gè)錐體的底面在同一平面內(nèi)，8C是半圓錐底面的直徑，力在底面半圓弧上，且2￡>B=OC，

△ABC是等邊三角形.

⑴證明：8。平面SAC；

⑵若BC=2,SB=亞,求直線CD與平面SAB所成角的正弦值.

20.（2022?山東濰坊?二模）如圖，線段AC是圓。的直徑，點(diǎn)B是圓。上異于A,C的點(diǎn),

AC=2,BC=\,以，底面ABC,M是PB上的動(dòng)點(diǎn)，且PM=4尸8（0<4<1）,N是尸C的

并加以證明；

⑵若平面PBC與平面ABC所成的角町，點(diǎn)M到平面碗的距離是爭(zhēng)求2的值.

21.（2022?山東聊城?二模）如圖，在四棱錐E-ABCD中，EC,平面ABC。，AS1BC,

△48是等邊三角形，AC=2.

B

⑴若AB=1,求證：BC,平面COE；

(2)若二面角E-AB-￡)為30。，EC=\,求直線DE與平面ABE所成的角的正弦值.

22.（2022?江西?二模（理））如圖所示，在多面體ABCCFE中，A8AB=2ACCOAB=2AC

EF,平面A8C￡>JL平面ABEF,AB=AD=AF=2EF=2CD,/CCA=NAFE=90°,M,N分別

為線段BE,CE的中點(diǎn).

FE

(1)求證：FAIMN；

(2)求平面BO尸與平面8EF所成銳二面角的余弦值.

考點(diǎn)17點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(核心考點(diǎn)講與練)

二、空間中的平行關(guān)系

1.平行直線

(D平行公理

過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行.

(2)基本性質(zhì)4(空間平行線的傳遞性)

平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

(3)定理

如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等.

2.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面。沒有公共點(diǎn)，則稱直線/與平面"平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

平面外一條直線與此

平面內(nèi)的一條直線平a_聞Q,Zxza,

判定定理

行，則該直線平行于此a//b=>a//a

平面

一條直線和一個(gè)平面

平行，則過(guò)這條直線的a//a,auB,

性質(zhì)定理

任一平面與此平面的*aCl0=b=>a//b

交線與該直線平行

3.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示

一個(gè)平面內(nèi)的兩條粗

交直線與另一個(gè)平面auQ,Zxza,aAb=P,

判定定理

平行，則這兩個(gè)平面a〃￡,6〃￡=a〃￡

平行

兩個(gè)平面平行，則其

中一個(gè)平面內(nèi)的直線aHB、aua=a〃￡

平行于另一個(gè)平面//

性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同

時(shí)和第三個(gè)平面相Q〃￡,CZAy=a,

交，那么它們的交線￡Ay=b=^a//b

平行

三、空間中的垂直關(guān)系

1.直線與平面垂直

(1)直線與平面垂直的定義

如果一條直線和一個(gè)平面相交于點(diǎn)0,并且和這個(gè)平面內(nèi)過(guò)交點(diǎn)(0)的任何直線都垂直，就

說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直.

(2)直線與平面垂直的判定定理及其推論

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

aua、

9a

如果一條直線與平面內(nèi)的兩條1

-Gb=O>

判定定理相交直線垂直,則這條直線與

ILa

這個(gè)平面垂直7

l±b>

=/_La

如果在兩條平行直線中，有一b皿、

推論1條垂直于平面，那么另一條直二=/?_La

線也垂直于這個(gè)平面

如果兩條直線垂直于同一個(gè)平--La

推論2^a//b

面，那么這兩條直線平行--La

2.直線和平面所成的角

(1)定義：一條斜線和它在平面內(nèi)的見影所成的角叫做斜線和平面所成的角，一條直線垂直

于平面，則它們所成的角是直角;一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°

的角.

JI"

(2)范圍：0^_=.

3.二面角

(1)定義：從?條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角:

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂

直于棱的兩條射線,這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范圍：[0,n].

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得兩條交線

互相垂直,就稱這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的

/(37±o]

判定定理一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂C=4夕

直￡

如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在luB

>

性質(zhì)定理一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的aGB=a

直線垂直于另一個(gè)平面4l±a,

=>7±a

1.異面直線的判定方法

定義法

過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不

定理法經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線為異面直線（此結(jié)論可作為定

理使用）

湊便便兩渠直線示臭鼻而直緩,即兩重雙并行

反證法或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的推理,

1導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面

2.求異面直線所成的角的三步曲

即依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角:

［即證明出出的角是異面直線所成的角"'：

i解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角:

;或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍:

!角，則它的補(bǔ)角才是要求的角

3.線面平行的證明方法

（1）定義法：一般用反證法；

（2）判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)

語(yǔ)言敘述證明過(guò)程；

（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面.

4.構(gòu)造平行直線的常用方法

（1）構(gòu)建三角形或梯形的中位線：可直接利用線段的中點(diǎn)、等腰三角形三線合一或利用平

行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)找中點(diǎn)，從而構(gòu)建中位線；

（2）構(gòu)建平行四邊形:可以利用己知的平行關(guān)系（如梯形的上下底邊平行）或構(gòu)建平行關(guān)系（如

構(gòu)造兩條直線同時(shí)平行于己知直線），從而構(gòu)建平行四邊形.

應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，關(guān)鍵是過(guò)己知直線作輔助平面與己知平面相交，所得交線與已

知直線平行，還可以利用交線判斷已知平面內(nèi)的直線與已知直線的位置關(guān)系，即在已知平面

內(nèi)所有和交線平行的直線都與已知直線平行，所有和交線相交的直線都與已知直線異面.

5.判定平面與平面平行的4種方法

（1）面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)（不常用）；

（2）面面平行的判定定理（主要方法）；

（3）利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行（客觀題可用）；

（4）利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（客觀

題可用）.

利用線面平行或面面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常

用來(lái)確定交線的位置.對(duì)于線段長(zhǎng)或線段比例問題，常用平行線對(duì)應(yīng)線段成比例或相似三角

形來(lái)解決.

6.證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性〃兒”_La=b_La）；

③面面平行的性質(zhì)（a-La,a.〃歸。邛）;④面面垂直的性質(zhì).

7.利用判定定理證明平面與平面垂直的一般方法

先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過(guò)線面垂直來(lái)證明面面垂直；

若這樣的垂線不存在，則需通過(guò)作輔助線來(lái)證明

1.（2021重慶市縉云教育聯(lián)盟高三上學(xué)期9月月度質(zhì)量檢測(cè)）已知直線/,m，平面a,

機(jī)ua,那么“ma”是“l(fā)//m"（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系可直接判斷出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)橛伞?a可得〃/機(jī)或/4m異面，

由l//m可得H/a或/ua，

所以“〃/a”是“〃/6”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

求異面直線所成的角

1.（2021山東臨沂模擬）如圖，四邊形ABC。和四邊形4OPQ均為正方形，它們所在的平面

互相垂直，則異面直線AP與8。所成的角為.

【答案】*

【解析】如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCC-QGHP,連接GP,則GP〃BD,

所以NAPG為異面直線4P與8。所成的角，在AAGP中，AG=GP=”，

所以NAPG=*

答案：*

2.（2022河南省十所名校高三）如圖，圓錐的底面直徑AB=2,其側(cè)面展開圖為半圓，底

面圓的弦AO=百，則異面直線AO與8C所成的角的余弦值為（）

A.°B.qC.手?與

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合異面直線的成角的范圍即

可求出結(jié)果.

【詳解】

在劣弧AO上取AB的中點(diǎn)M,以。為原點(diǎn)，OM為x軸，OB為＞軸，Q4為z軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)閳A錐的底面直徑AB=2,其側(cè)面展開圖為半圓，底面圓的弦AZ）=百，

所以??3C=2xlx;r,所以BC=2，則CO=g，

所以4（0,-1,0）,8（0,1,0）,。倒,0,@,0日,;，01

所以AO=

則

ADBC_^x0+|x(-l)+0xV33

cos(A￡),BC)d=Jl

阿可檸:唱而一4

故異面直線AO48C所成的角的余弦值為且.

，因?yàn)楫惷嬷本€的成角范圍為0，'

4

故選：C.

直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)

1.（2021海南省三亞華僑學(xué)校高三10月月考）正方體ABC。-中，E、尸分別是

BBi,CG的中點(diǎn)，

（2）求異面直線4E和8尸所成角的余弦值.

【答案】（1）證明過(guò)程見詳解（2）!

5

【分析】（1）連接DFEF,證明AE//DF,然后利用線面平行的判定定理即可證明AE//

平面。CCQ

（2）連接AC-則NAEG或其補(bǔ)角為異面直線AE和8廠所成角，利川余弦定理求

出異面直線所成角的余弦值即可

【詳解】（I）證明：連接。/，EF,

在正方形8CG片中，E、F分別是8以，CG的中點(diǎn)，所以EF//BC,且上尸=BC,

在正方形ABC。中，AD//BC,&AD=BC,所以AO//E/L且4。=所，所以四邊

形AEFD為平行四邊形，

則有AE//0E，因?yàn)樾平面。CGA，AEZ平面。CC2，

所以AE//平面。CCQ.

（2）連接EC-AC-

則在正方形BCC#中，因?yàn)镋、F分別是8所，CG的中點(diǎn)，

所以有BE=FJ

所以四邊形為平行四邊形，則有Eg//BF,

所以NAEG或其補(bǔ)角為異面直線AE和8尸所成角

設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,則AE=百，EC,=75,AG=26,

所以cos=5+5-12」,由于異面直線所成角為銳角或者直角

2x55

所以異面直線AE和BF所成角的余弦值為：

2.（2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)）如圖，ABCD與ACEF為平行四邊形，M,N,G分

別是A8,AD,E尸的中點(diǎn).

求證：（1）8E〃平面0M尸；

（2）平面BOE〃平面MNG.

【分析】（1）作輔助線，由中位線定理以及線面平行判定定理證明即可；

（2）先證明平面MNG,￡>E〃平面MNG,再由面面平行的判定定理證明即可.

【詳解】證明：（1）如圖，連接AE,則AE必過(guò)。尸與GN的交點(diǎn)0,連接M0,

則M0為母48￡的中位線，所以8E〃M。，

又BEC平面DMF,MOu平面DWF,所以8E〃平面。MF.

（2）因?yàn)镸G分別為平行四邊形AOE尸的邊AD,EF的中點(diǎn)，所以O(shè)E〃GN,

又函:平面MNG,GNu平面MNG,所以DE〃平面MNG.

乂M為AB中點(diǎn),所以MN為△48/）的中位線，

所以又平面MNG,歷Nu平面MNG,

所以30〃平面MNG,

又DE與BD為平面內(nèi)的兩條相交直線，

所以平面8CE〃平面MNG.

岑弓嗡＞直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

1.（2022河南省聯(lián)考高三核心模擬卷）在四棱錐尸-A5CD中，平面平面A8C。，

AB//CD,ZADC=90°,CD=2AB=2,PA=AO=0，PB=6M為尸。的中

（1）求證：PC_L平面BMD：

（2）求三棱錐O-BMP的體積

答案】（1）證明見解析；（2）1.

【分析】（1）由余弦定理求得6C，由面面垂直的性質(zhì)定理得F4與平面ABCQ垂直，從

而得線線垂直，求得PO,等腰三角形性質(zhì)得線線垂直后可證得線面垂直；

（2）通過(guò)轉(zhuǎn)換法求得體積，yD-MpB=vD-MBc=yM-BCD'然后由體積公式計(jì)算.

【詳解】（1）證明：在四邊形ABCD中，AB//CD,ZADC=90°，AD=?，A6=l,

所以BD=JAD2+A^2=J§,

所以cosZ.BDC=cos/.DBA=—j=,

在△BCD中，由余弦定理得BC=6

在中,AB=1,PA=e，PB=5

所以AB2+PA2=PB2，

所以ABLF4.

又平面BAB，平面A3C￡＞，平面RWc平面ABCD=AB，Q4u平面246，

所以P4JL平面A8CD.

又ADu平面ABC。,

所以Q4J_A。.

在/\PAD中，可得P￡>=-JpA2+AD2=2，

所以PCD.一PCB是等腰三角形，且PD=DC，PB=BC,

因?yàn)椤镻C的中點(diǎn)，

所以PC_LM￡>,PC上MB

又由BM，。知<=平面瓦加，BMcDM=M.

所以PC,平面MDS

（2）解：由抬_L平面ABC。，可得點(diǎn)P到平面BCD的距離是PA=0，

點(diǎn)M到平面BCD的距離是P到平面BCD的距離的-,即點(diǎn)M到平面BCD的距離為

2

也，

所以VD-BMP=V］）_BCD=KW-BCD~326'萬(wàn)血=§-

2.（2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題）如圖所示，在四邊形AB8中，

AD//BC,AD=AB,NBCD=45°,ZBAD=90°,將△回￡）沿8。折起，使得平面

A3。J_平面BCD,構(gòu)成四面體ABCD，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.平面平面ABCB.平面AC。，平面BCD

C.平面ABC_L平面BCDD.平面AC。_L平面ABC

【答案】D

【分析】在四邊形ABC。中，由已知條件可得3DLCD,而在四面體ABC。中，由平面

48。J_平面BCD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得CQJ_平面43。，從而有8_LAB,

再由線面垂直的判定定理可得A3,平面ACD，再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論

【詳解】???在四邊形ABC。中，AD//BC,4BCD=45。,

ZADC=135°，,/AD=AB,ZBAD=90°.

ZADB=45°,

ZB￡）C=90°,:.BD±CD.

又在四面體ABC。中，平面ABD，平面BCD,且平面ABDc平面BCD=BD,故CO_L

平面AB。，CO_LAB，又AD_LAB,A。CD=D,AB_L平面AC。，

又ABU平面ABC，.?.平面ABC_L平面ACO.

故選：D

3.(2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè))如圖所示，四邊形ABCC中，AD//BC,AD=AB,

ZBCD=45°,ZBAD=90°.將△A8O沿對(duì)角線8力折起，記折起后4的位置為點(diǎn)尸，且使平

面P8￡>_L平面BCD.

求證：(1)?。_1平面燈?。.

(2)平面PBC_L平面PDC.

【分析】(1)利用平面四邊形A8C7)證得8。JLOC,借助面面垂直的性質(zhì)即可得解；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論及已知證得8PJ_平面PDC,利用面面垂直的判定得解.

【詳解】(1)在平面四邊形A8CO中，AD=AB,NBAL>=90。，則/A8A>/4￡)B=45。，

5LAD//BC,即有ND8C=45°,而/￡>C8=45°,于是得NB￡>C=90°,

在折后的幾何體P8CD中，BDYDC,因平面尸8O_L平面BCD,平面P8。1平面BCD^BD,

C￡)u平面BCD,

所以C￡>_L平面尸BD；

(2)由⑴知CO_L平面P8O,P8U平面PBC,于是得CO1.8P,

又BPLPD,PDCD=D,POU平面PDC,C3U平面PDC,則8P_L平面POC,又BPu

平面PBC,

所以平面P8C_L平面PDC.

平行與垂直的綜合問題

1.如圖，直三棱柱A8C-AI8CI中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)O,E分別是BC,

AS的中點(diǎn).

(1)證明：CE〃平面ACGAi；

（2）若=證明：平面力DE.

【分析】（1）由線面平行的判定定理，只要證明QE〃AC,就可證明QE〃平面ACG4.

（2）因?yàn)?8i_L平面ABC,由線面垂直的性質(zhì)定理得，BBi±AD,因?yàn)榈酌鍭BC是等邊三

角形，。為8c的中點(diǎn)，所以BCLA。，所以4O_L平面囪8CG,所以AC_LGO,由勾股定

理得CiDIDBi,結(jié)合線面垂直的判定定理得GD_L平面ADE.

【詳解】（1）連接48,AiC,

在直三棱柱ABC-481G中，側(cè)面ABB4是矩形,

因?yàn)辄c(diǎn)E是45的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E是A山的中點(diǎn)，

又因?yàn)辄c(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，所以O(shè)E〃4C,

因?yàn)镈EC平面