人教版高中數(shù)學(xué)全冊(cè)教案-07點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系；過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程，

判斷直線與圓相交、相切、相離的代數(shù)方法與幾何方法；兩圓位置關(guān)系的幾何特征和代數(shù)特

征.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓位置關(guān)系的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用圓有關(guān)方面知

識(shí)的能力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系在初中平面幾何已進(jìn)行了分析，現(xiàn)在是用代

數(shù)方法來(lái)分析幾何問(wèn)題，是平面幾何問(wèn)題的深化.

二、教材分析

1.重點(diǎn)：（1）直線和圓的相切（圓的切線方程）、相交（弦長(zhǎng)問(wèn)題）；（2）圓系

方程應(yīng)用.

（解決辦法：（1）使學(xué)生掌握相切的幾何特征和代數(shù)特征，過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的

代線方程，弦長(zhǎng)計(jì)算問(wèn)題；（2）給學(xué)生介紹圓與圓相交的圓系方程以及直線與圓

相交的圓系方程.）

2.難點(diǎn):圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點(diǎn)（xO,yO）的切線方程的證明.

（解決辦法：仿照課本上圓x2+y2=r2上一點(diǎn)（xo,yo）切線方程的證明.）

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

歸納講授、學(xué)生演板、重點(diǎn)講解、鞏固練習(xí).

四、教學(xué)過(guò)程

（一）知識(shí)準(zhǔn)備

我們今天研究的課題是“點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系”，為了更好地講

解這個(gè)課題，我們先復(fù)習(xí)歸納一下點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系中的一些知識(shí).

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2,點(diǎn)M(xO,yO)到圓心的距離為d,則有：

(l)d>r=>點(diǎn)乂在圓外；

(2)d=r=點(diǎn)乂在圓上；

(3)d<r一點(diǎn)M在圓內(nèi).

2.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C：(x-a)2+(y-b)=r2,直線設(shè)的方程為Ax+By+C=O,圓心(a,

b)到直線1的距離為d,二,"r編去逐曲一元

判別式為4,則有：

(l)d<r0直線與圓相交；

⑵d=r一直線與圓相切；

(3)d<r=直線與圓相離，即兒何特征；

或0直線與圓相交；

⑵△=()一直線與圓相切；

⑶4<00直線與圓相離，即代數(shù)特征，

3.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓Cl：(x-a)2+(y-b)2=r2和圓C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k2r),且設(shè)兩圓圓

心距為d,則有:

(l)d=k+r兩圓外切；

(2)d=k-r0兩圓內(nèi)切；

(3)d>k+r兩圓外離；

(4)d<k+r0兩圓內(nèi)含；

⑸k-r<d<k+r兩圓相交.

4.其他

⑴過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：

①圓x2+y2=r2,圓上一點(diǎn)為(xO,yo),則此點(diǎn)的切線方程為x0x+y0y=r2(課本

命題).

②圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點(diǎn)為(xO,y0),則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為

(xO-a)(x-a)+(yO-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣).

⑵相交兩圓的公共弦所在直線方程：

設(shè)圓C1:x2+y2+Dlx+Ely+Fl=0和圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若兩圓相交，

則過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程為(DLD2)x+(El-E2)y+(Fl-F2)=0.

⑶圓系方程：

①設(shè)圓C1:x2+y2+Dlx+Ely+Fl=0和圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若兩圓相交，

則過(guò)交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dlx+Ely+Fl+X(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(人為參數(shù)，

圓系中不包括圓C2,X=-1為兩圓的公共弦所在直線方程).

②設(shè)圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0與直線/：Ax+By+C=O,若直線與圓相交,則過(guò)

交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+入(Ax+By+C)=0(人為參數(shù)).

(二)應(yīng)用舉例

陽(yáng)已如圈/+/=16與斜率為的直線相初，松田I線的方程

和切點(diǎn)坐標(biāo).

分析：求已知圓的切線問(wèn)題，基本思路一般有兩個(gè)方面：(1)從代數(shù)特征分析；(2)

從兒何特征分析.一般來(lái)說(shuō)，從兒何特征分析計(jì)算量要小些.該例題由學(xué)生演板

完成.

解,ifttt=方程為y=-；*+!>?

?.?圓心0(0,0)到切線的距離為4,

nS=4,即>=+2&

45

，所求的切線方程為y=W±24S.

把這兩個(gè)切線方程寫(xiě)成

4g48

亨+亨=16費(fèi)-17y=16.

注意到過(guò)圓x2+y2=r2上的,,點(diǎn)P(xO,yo)的切線的方程為x0x+y0y=r2,

可以看出.切點(diǎn)坐標(biāo)為。.3及(-亳命.

例2已知實(shí)數(shù)A、B、C滿足A2+B2=2C2W0,求證直線Ax+By+C=O與圓x2+y2=l

交于不同的兩點(diǎn)P、Q,并求弦PQ的長(zhǎng).

分析：證明直線與圓相交既可以用代數(shù)方法列方程組、消元、證明△>(),又可以用

兒何方法證明圓心到直線的距離小于圓半徑，由教師完成.

證：設(shè)圓心0(0,0)到直線Ax+By+C=O的距離為d,則d=

直線Ax+By+C=O與圓x2+yl=l相交于兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q.

.".|PQ|=21Mpi=2-J。叫=K

故|PQ|=^.

圖2-12

例3求以圓Cl：x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共

弦為直徑的圓的方程.

解法一:

+ya-12K-2y-13=0

+ya+l2?+l6y-25=0

相減得公共弦所在直線方程為4x+3y-2=0.

(4<+3^-2=0

融9+八0赤13=。但網(wǎng)"點(diǎn)的-L以B?,6)

??,所求圓以AB為直徑，

是AB的中心點(diǎn)卬，-2),*的半徑為r=%AB|=5.

于是圓的方程為(X-2)2+(y+2)2=25.

解法二：

設(shè)所求圓的方程為：

x2+y2-12x-2y-13+X(x2+y2+12x+16y-25)=0(X為參數(shù))

?12*-1216X-2.

.?<內(nèi)一2(1+%),券+工)>

???圓心C應(yīng)在公共弦AB所在直線上，

1

-

2

所求圓的萬(wàn)程為x2+y2-4x+4yT7=0.

小結(jié)：

解法一體現(xiàn)了求圓的相交弦所在直線方程的方法；解法二采取了圓系方程求待定系數(shù),

解法比較簡(jiǎn)練.

(三)鞏固練習(xí)

1.已知圓的方程是x2+y2=l,求:

⑴斜率為1的切線方程;

碇諫壯段距是廊切線方程.

社口新(m=x±是；0y=±x+^.

2.(1)圓(xT)2+(y+2)2=4上的點(diǎn)到直線2x-y+l=0的最短距離是

⑵兩圓Cl：x2+y2-4x+2y+4=0與C2:x2+y2+2x-6y-26=0的位置關(guān)系是

(內(nèi)切)

由學(xué)生口答.

3.未經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且過(guò)圓x2+y2+8x-6y+21=0和直線x-y+5=0的兩個(gè)交點(diǎn)的圓

的方程.

分析：若要先求出直線和圓的交點(diǎn)，根據(jù)圓的一般方程，由三點(diǎn)可求得圓的方程；若

沒(méi)過(guò)交點(diǎn)的圓系方程，由此圓系過(guò)原點(diǎn)可確定參數(shù)X,從而求得圓的方程.由兩個(gè)同學(xué)演

板給出兩種解法：

解法一:

3P+/4-8K-6,+21=0-—

由-+5=0相交點(diǎn)J祁(4D

設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.

V(0,0),(-2,3),(-4,1)三點(diǎn)在圓上,

F-0

F=0

4+9-2D+3E-F=O=><EV

164-t-4D4-E-F=019

D=T

,所相的方程為?？+/+熱擊=0

解法二：

設(shè)過(guò)交點(diǎn)的圓系方程為：

x2+y2+8x-6y+21+入(x-y+5)=0.

21

路原點(diǎn)8,0術(shù)人上述方也

則所求方程為，？+/+9Mly=0.

五、布置作業(yè)

I.過(guò)點(diǎn)M0,洞向國(guó)？+/=5引兩條劃線，求它們的方貍.

2.求證:兩圓x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6yT9=0相外切.

3.求經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線

x-y-4=0上的圓的方程.

4.由圓外一點(diǎn)Q(a,b)向圓x2+y2=r2作割線交圓于A、B兩點(diǎn)，向圓x2+y2=r2

作切線QC、QD,求：

⑴切線長(zhǎng)；

(2)AB中點(diǎn)P的軌跡方程.

作業(yè)答案：

1.y=*<+Vio

2.證明兩圓連心線的長(zhǎng)等于兩圓半徑之和

3.x2+y2-x+7y-32=0

4.(l)|Qq=|QP|=^aa+b4-ra