八年級數(shù)學(xué)寒假-頻數(shù)與頻率湘教版

初二數(shù)學(xué)寒假專題—頻數(shù)與頻率湘教版

【本講教育信息】

教學(xué)內(nèi)容：

寒假專題一一頻數(shù)與頻率

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解頻數(shù)和頻率的意義。

2.會列頻數(shù)分布表和會畫頻數(shù)分布直方圖。

3.會根據(jù)頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖獲取有關(guān)信息，并根據(jù)這些信息發(fā)現(xiàn)問題，解決

問題，作出決策。

4.通過介紹形形色色的統(tǒng)計(jì)圖和獨(dú)具特色的統(tǒng)計(jì)題，使同學(xué)們更全面靈活地掌握統(tǒng)計(jì)知

識。

—.重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：

1.會求一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率。

2.會畫頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖。

難點(diǎn)：

會根據(jù)所給數(shù)據(jù)獲取有關(guān)信息，并作出決策。

教學(xué)知識要點(diǎn)歸納：

1.頻數(shù)的概念：

“某一情況的現(xiàn)象”在統(tǒng)計(jì)時的總的次數(shù)中出現(xiàn)的次數(shù)，叫這組數(shù)據(jù)的頻數(shù)。

2.頻數(shù)占總次數(shù)中的比率稱為頻率。

3.整理數(shù)據(jù)的步驟：

(1)決定組數(shù)：

一般數(shù)據(jù)越多，分的組也越多，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個以內(nèi)時，按照數(shù)據(jù)的多少，常分為5-

12組。

(2)決定組距:

最大值-最小值

組距=

組數(shù)

(3)確定分點(diǎn)：

可使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)，最后一組的終點(diǎn)稍微

增大一點(diǎn)。

(4)畫記:

依照選舉過程中的唱票和記票，然后畫記。

(5)編制頻數(shù)分布表：

通常有兩欄組成，第一欄為分組，第二欄為頻數(shù)。

(6)畫頻數(shù)分布直方圖：

a)橫軸表示數(shù)據(jù)，有單位。

b)縱軸表示頻率/組距。

頻率

C)小長方形面積=組距頻率

組距

e）小長方形的面積之比是頻率之比，也是各小組的頻數(shù)之比。

f）頻率分布直方圖是用小長方形面積反映數(shù)據(jù)在各個小組內(nèi)的頻率的大小。

【典型例題】

在前面的講座中我們講了七種特殊思維，創(chuàng)新思維，巧妙思維方式，今天這節(jié)課我們來

講講形形色色的統(tǒng)計(jì)圖和獨(dú)具特色的統(tǒng)計(jì)題。

（-）形形色色的統(tǒng)計(jì)圖

表格、圖象、圖形是直觀、形象的數(shù)學(xué)語言，其中包含著豐富的信息資源，這在統(tǒng)計(jì)初

步中得到充分體現(xiàn)。下面我們就欣賞一下形形色色的統(tǒng)計(jì)圖。

1.表格：

例1.甲、乙兩城市分別在我國東部和西部，3—5月份晴天，雨天的統(tǒng)計(jì)如下表：

計(jì)算這兩城市3個月中雨天的頻數(shù)。

分析：這是一道用表格形式體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)信息的題目，它的特點(diǎn)是每一種情況或現(xiàn)象所反映

的信息比較詳細(xì)、具體。

解：3—5月份這兩個城市出現(xiàn)雨天的頻數(shù)分別是：

甲城市：10+8+6=24天

乙城市：4+3+1=8天

從頻數(shù)來看甲城市雨天比乙城市雨天多，所以甲城市氣候比較濕潤，乙城市氣候比較干

2.餅圖

例2.某縣有80萬人,其中各民族所占比例如下圖所示，則該縣少數(shù)民族人口共有

萬人。

,滿族4%

漢族85%

回族3%

分析：這是一道用餅圖形式體現(xiàn)人口統(tǒng)計(jì)信息的題目，它的特點(diǎn)是能夠一目了然地看出

各民族人口數(shù)所占比例的大小情況。

解：少數(shù)民族所占比例總和為：8%+4%+3%=15%

，該縣少數(shù)民族人口共有：80X15%=12（萬人）

3.簇狀條形圖

例3.某報紙公布的我國“九五”期間國內(nèi)生產(chǎn)總值的統(tǒng)計(jì)圖（見下圖），那么“九五”期

間我國國內(nèi)生產(chǎn)總值平均每年比上一年增長。

A.0.425萬億元B.0.46萬億元

C.9.725萬億元D.7.78萬億元

國內(nèi)生產(chǎn)總值

8.32000

8.21999

7.91998

7.31997

6.61996

分析：此題的統(tǒng)計(jì)信息是以簇狀條形圖的形式體現(xiàn)，它的特點(diǎn)是能夠明顯地比較出每一

年的增長情況。

解：因?yàn)閺?996到2000年后一年比上一年依次增加：0.7,0.6,0.3,0.1

平均每年比上一年增長：

0.7+0.6+0.3+0.1

0.425萬億元

4

4.簇狀柱形圖

例4.隨著人民生活水平的提高，購房者對居住面積的要求有了新有變化，現(xiàn)從我區(qū)近期

賣出的不同戶型的商品房中隨機(jī)抽取1000套進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪出如圖所示的統(tǒng)

計(jì)圖，請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答：

(1)賣出面積為60?80m2的商品房有多少套？并補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖。

(2)請寫出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)所在的范圍。

(3)求面積在什么范圍內(nèi)的住房賣出的最多？約占全部賣出住房的百分之幾？

(4)假如你是房地產(chǎn)開發(fā)商，根據(jù)以上提供的信息，你會多建筑住房面積在什么范圍

內(nèi)的住房？

購房套數(shù)(套)

分析：此題是通過柱形圖的形式體現(xiàn)房屋購房信息的，購房者可根據(jù)此信息選擇房屋類

型，房屋開發(fā)商也可以根據(jù)這個信息決定建筑不同類型房屋的計(jì)劃，不致于脫銷或滯銷。

解：(1)賣出面積60—80H?的商品房有350套。

(2)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)所在的范圍是80?100。

(3)面積在80?lOOn?范圍內(nèi)的住房賣出的最多，占全部賣出住房的480+(45+350

+95+30+480)=480+1000=48%

(4)由(3)問可知，一般會多建筑住房面積在80?lOOn?范圍內(nèi)的住房。

5.數(shù)據(jù)點(diǎn)折線圖

例5.如下圖表示長沙市2003年6月份某一天的氣溫隨時間變化的情況,請觀察此圖回答

下列問題：

(1)這天的最高氣溫是度。

(2)這天共有個小時的氣溫在31度以上。

(3)這天在___________(時間)范圍內(nèi)溫度在上升。

(4)請你預(yù)測一下，次日凌晨1點(diǎn)的氣溫大約是多少度。

3691215182124時間/時

分析：這是一個用折線圖反映氣溫變化的統(tǒng)計(jì)圖，它的特點(diǎn)是能夠看出相應(yīng)時間段的氣

溫變化情況，并能夠很明顯地看出氣溫變化的趨勢。

解：(1)這天的最高氣溫是37℃。

(2)這天共有9個小時的氣溫在31度以上。

(3)這天在3點(diǎn)一15點(diǎn)的范圍內(nèi)溫度在上升。

(4)可以預(yù)測次日凌晨1點(diǎn)的氣溫大約在23—26℃,也可以回答因特殊原因在其它溫

度也可以。

6.xy散點(diǎn)圖

例6.張三、李四兩位同學(xué)初二學(xué)年10次數(shù)學(xué)單元自我檢測的成績(成績均為整數(shù)，且個

位數(shù)字為0分)，分別如下圖所示：

自測成績(分)

111111tliI,

012345678910自測序號

張三同學(xué)

李四同學(xué)

(1)完成下表：

姓名平均成績中位數(shù)眾數(shù)方差I(lǐng)S?)

張三8080

李四260

(2)如果將90分以上(含90分)的成績視為優(yōu)秀，則優(yōu)秀率高的同學(xué)是。

(3)根據(jù)圖表信息，請你對這兩位同學(xué)各提一條不超過20個字的學(xué)習(xí)建議。

分析：此題是xy散點(diǎn)統(tǒng)計(jì)圖，它與前面的折線圖有所不同，因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖的特點(diǎn)是它們

所反應(yīng)的信息在圖上是不連續(xù)的點(diǎn)，它也可以反映這兩個同學(xué)在10次測試中的成績變化趨

勢的。

解：⑴

姓名平均成績中位數(shù)眾數(shù)方差I(lǐng)S?)

張三80808060

李四808590260

(2)張三的優(yōu)秀率為：

3

—X100%=30%

10

李四的優(yōu)秀率為：

4

—X100%=40%

10

二優(yōu)秀率高的同學(xué)是李四。

(3)觀察李四同學(xué)的成績不穩(wěn)定，最高達(dá)100分，而最低卻只有50分，所以希望李四

同學(xué)持之以恒，保持穩(wěn)定。

而張三同學(xué)的優(yōu)秀率比李四低，所以建議張三同學(xué)的學(xué)習(xí)還須加一把勁，提高優(yōu)秀率。

小結(jié)：

以上列舉了6種形式的統(tǒng)計(jì)圖，還有更多的形形色色的統(tǒng)計(jì)圖，在這里老師不再舉例，

希望同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中慢慢去體會。

統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)既有利于提高學(xué)生搜索、整理和運(yùn)用信息的技能，又能提高學(xué)生分析問題、

解決實(shí)際問題的能力。

(-)獨(dú)具特色的統(tǒng)計(jì)題

統(tǒng)計(jì)知識在工作和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，同時在近幾年的考試中，這部分內(nèi)容逐漸增

多，并出現(xiàn)了把統(tǒng)計(jì)初步知識與方程(組)、不等式等融合在一起的綜合性試題。從而考察

學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，下面通過一些典型例題展現(xiàn)統(tǒng)計(jì)初步內(nèi)容試題的多樣性、開放

性和搜索性的特色。

例7.某校要從新入學(xué)的兩名體育特長生李勇、張浩中挑選一個參加一項(xiàng)暑假校際跳遠(yuǎn)比

賽，在跳遠(yuǎn)專項(xiàng)測試以及之后的6次跳遠(yuǎn)選拔賽中，他們的成績?nèi)缦卤恚▎挝唬篶m）

專項(xiàng)測試和6次選拔賽成績中位數(shù)平均數(shù)方差

李勇60358960259660461260860349

張浩597580597630590631596603

（1）請你填補(bǔ)表中所空缺的各項(xiàng)數(shù)據(jù)。

（2）你發(fā)現(xiàn)李勇、張浩的跳遠(yuǎn)成績分別有什么特點(diǎn)？

（3）經(jīng)查閱歷屆比賽資料，成績?nèi)暨_(dá)到6.00m,就很可能奪冠，你認(rèn)為應(yīng)選誰參賽更

有把握？

（4）以往的該項(xiàng)最好成績紀(jì)錄為6.15m,為打破紀(jì)錄，你認(rèn)為應(yīng)選誰去參賽？

分析：此題是統(tǒng)計(jì)的實(shí)際問題，主要考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和方差等知識及處理數(shù)

據(jù)的能力。

要解決以上問題，則需根據(jù)統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識，將（1）問所要求的表填補(bǔ)準(zhǔn)確、完整。

這是解答其他問題的基本點(diǎn)。

解：（1）由表中數(shù)據(jù)可以求出：

張浩數(shù)據(jù)的中位數(shù)為597,方差為333。

李勇數(shù)據(jù)的平均數(shù)為602o

（2）根據(jù)（1）問表中兩人的數(shù)據(jù)分別看出他們的特點(diǎn)是：

①從成績的中位數(shù)看，李勇較高成績多于張浩.

②從成績的平均數(shù)看，張浩平均水平高于李勇。

③從成績的方差看，李勇成績比較穩(wěn)定。

（3）李勇成績超過5.00m的有5次，多于張浩2次。

由以上信息和特點(diǎn)我們分析選李勇參賽奪冠較有把握。

（4）但從該項(xiàng)成績最高記錄6/5m來看，李勇沒達(dá)到這個成績，而張浩有過兩次成績

超過6.15m,所以選張浩參賽破記錄有希望。

例8.參加2002年世界杯決賽的32支球隊(duì)在第一輪比賽中，平均分成8個小組分別進(jìn)行

單循環(huán)賽（每兩個隊(duì)之間打一場比賽），每小組的前兩名進(jìn)入16強(qiáng)，己知各小組的得分情況

如下表：（勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分）

\且別

ABCDEFGH

一79977577

二54445546

三44434433

四00030131

試求在第一輪比賽中打出勝負(fù)和打平的場次各是多少？

分析：這是一個關(guān)于體育比賽的應(yīng)用問題，其中涉及有關(guān)的體育知識，數(shù)據(jù)較多，分析

較復(fù)雜，需要從題設(shè)的統(tǒng)計(jì)表中，提取有關(guān)信息、數(shù)據(jù)，再結(jié)合方程的知識進(jìn)行求解。

解：由于32支球隊(duì)，平均分成8小組分別進(jìn)行單循環(huán)賽，所以每小組4支球隊(duì)，比賽

場次有：3+2+1=6場8個小組共比賽場次為：8X6=48場。

又由于比賽中打出勝和負(fù)的場次是相同的，因此，兩隊(duì)可成勝負(fù)的每一場次共得分：3

+0=3分，打平的每場次共得分為：1+1=2分。

由表中提供的各小組得分的情況可知：

8個小組比賽48場次所得的總分為：

16+17+17+17+16+15+17+17=132分

根據(jù)上述推斷，設(shè)在第一輪比賽中打出勝負(fù)為x場次，打平為y場次，則有：

x+y=48

3x+2y=132

解之，得：

x=36

）=12

答：第一輪比賽中打出勝負(fù)的是36場次，打平的是12場次。

例9.用寫有0,1,2,3的四張小卡片排成一個四位數(shù)，例如國?國口（當(dāng)然第一張卡

片不能為0）,問排成的四位數(shù)恰是5的倍數(shù)的機(jī)會有多大？你能對本題做模擬實(shí)驗(yàn)嗎？

分析：此題需要運(yùn)用實(shí)驗(yàn)的方法來研究頻率與機(jī)會，隨著相同條件下實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，

事件出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定，先采用樹狀圖判斷可能出現(xiàn)的方案，然后再算出機(jī)會。

解：我們將所有可能的四位數(shù)，列表如下：

r1-

123

1II11I

???111111

230301012

r11rLi占“r11rlir11rLi”

割懺針

032032103130212001

從以上表可以得知：

共有四位數(shù)18個，其中恰是5的倍數(shù)的數(shù)有6個，機(jī)會是6/18n33.3%。

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）

1.某班學(xué)生在頒獎大會上得知該班獲得獎勵的情況如下表:

7目

三好學(xué)生優(yōu)秀學(xué)生干部優(yōu)秀團(tuán)員

市級323

校級18612

已知該班有28獲得獎勵，其中獲得兩次獎勵的有13人，那么該班獲得獎勵最多的一位

同學(xué)可能獲得的獎勵為多少項(xiàng)？

2.某個學(xué)生參加軍訓(xùn)，進(jìn)行打靶訓(xùn)練，必須射擊10次，第6,7,8,9次射擊中，分別

得了9.0環(huán)，8.4環(huán)，8.1環(huán)，9.3環(huán)，他的前9次射擊所得的平均數(shù)高于前5次射擊的平均

數(shù)，如果他要使10次射擊的平均數(shù)超過8.8環(huán)，那么，他在第10次射擊中至少要得多少環(huán)？

（每次射擊所得環(huán)數(shù)都精確到0.1環(huán)）

3.有五條線段，長度分別是2,4,6,8,10,從中任取三條，是否構(gòu)成三角形？通過實(shí)

驗(yàn)，估計(jì)能構(gòu)成三角形的機(jī)會有多大？你能事先對能構(gòu)成三角形的機(jī)會進(jìn)行估計(jì)嗎？

4.某班進(jìn)行個人投籃比賽，受污損的下表記錄了在規(guī)定時間內(nèi)投進(jìn)n個球的人數(shù)分布情

況:

進(jìn)球數(shù)n012345

投進(jìn)n個的人數(shù)1272

同時，已知進(jìn)球3個或3個以上的人平均每人投進(jìn)3.5個球；進(jìn)球4個或4個以下的人

平均每人投進(jìn)2.5個球,則投進(jìn)3個球的人數(shù)為人，投進(jìn)4個球的人數(shù)為

座的人數(shù)是聽數(shù)學(xué)講座人數(shù)的6倍，還剩下一個小組在教室里討論問題,這一組是第

組。

【試題答案】

1.根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的信息可知，該班共獲獎人次數(shù)為：

3+2+3+18+6+12=44(人次)

其中13人獲兩項(xiàng)獎勵，13X2=26(人次)

那么剩下(28—13)=15人獲得44-26=18(人次)

假如15人中有14人獲得一次獎勵，那么有1人的獎勵可能為4項(xiàng)。

2.由題設(shè)可知，前5次射擊的平均環(huán)數(shù)