第05講 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（教師版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第05講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)【基礎(chǔ)知識】一、不等式基本性質(zhì)二、常用的結(jié)論1.a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；2.b<0<a?eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；3.a>b>0，c>d>0?eq\f(a,d)>eq\f(b,c)；4.若a>b>0，m>0，則eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)；eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．三、作差比較法的四個步驟四、利用不等式的性質(zhì)證明不等式的實質(zhì)與技巧1.實質(zhì)：就是根據(jù)不等式的性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形，要注意不等式的性質(zhì)成立的條件．2.技巧：若不能直接由不等式的性質(zhì)得到，可先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)．然后利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行逆推，尋找使其成立的充分條件．五、利用不等式求范圍應(yīng)注意的問題求指定代數(shù)式的取值范圍，必須依據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解，同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，解題時必須利用性質(zhì)，步步有據(jù)，避免改變代數(shù)式的取值范圍．其次在有些題目中，還要注意整體代換的思想，即弄清要求的與已知的“范圍”間的聯(lián)系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范圍，不能分別求出x，y的范圍，再求2x＋3y的范圍，應(yīng)把已知的“x＋y”“x－y”視為整體，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分別求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范圍，兩范圍相加可得2x＋3y的范圍．“范圍”必須對應(yīng)某個字母變量或代數(shù)式，一旦變化出其他的范圍問題，則不能再間接得出，必須“直來直去”，即直接找到要求的量與已知的量間的數(shù)量關(guān)系，然后去求．【考點剖析】考點一：利用不等式性質(zhì)判斷不等關(guān)系的真假例1．(2020-2021學(xué)年四川省成都市天府新區(qū)高一下學(xué)期期末)若a，b為實數(shù)，下列命題正確的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】對于A，當(dāng)時，滿足，不滿足，故A不正確；對于B，當(dāng)時，滿足，不滿足，故B不正確；對于C，當(dāng)時，滿足，不滿足，故C不正確；對于D，若，則，故D正確.故選D.考點二：利用不等式性質(zhì)比較大小例2．已知互不相等的正數(shù)a、b、c滿足，則下列不等式中可能成立的是(

)．A． B． C． D．【答案】B【解析】由，則，得，排除A、D．若，則，得，即，排除C．B是可能的，如：，，.故選B考點三：作差法比較大小例3．比較與的大?。敬鸢浮?lt;【解析】,<.考點四：利用不等式性質(zhì)求變量范圍例4．(2020-2021學(xué)年廣東省江門市新會陳經(jīng)綸中學(xué)高一上學(xué)期期中)已知，，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，，所以，所以的取值范圍是，故選D.考點五：利用不等式性質(zhì)證明不等式例5．求證：(1)若，且，則；(2)若，且，同號，，則；(3)若，且，則．【解析】(1)證明：因為，所以，又，故，即；(2)證明：因為，，所以，因為，同號，所以，，故，即，所以；(3)證明：因為，所以，又，所以，故.【真題演練】1．(2022學(xué)年】內(nèi)蒙古赤峰二中高一下學(xué)期第二次月考)下列命題正確的是(

)A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【解析】對于A，若，由可得：，A錯誤；對于B，若，則，此時未必成立，B錯誤；對于C，當(dāng)時，，C錯誤；對于D，當(dāng)時，由不等式性質(zhì)知：，D正確.故選D.2.(2022學(xué)年四川省遂寧市射洪中學(xué)校高一下學(xué)期第二次月考)如果，那么下面不等式一定成立的是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】若，則，故A錯誤；若，，則，故B錯誤；若，則，故C正確；若，則，故D錯誤.故選C.3.(2022學(xué)年安徽省皖西地區(qū)高一下學(xué)期期中大聯(lián)考)已知，，，則的大小關(guān)系為(

)A． B． C． D．無法確定【答案】B【解析】，因為，所以，又，所以，即.故選B4．(多選)(2022學(xué)年廣東省華附高一上學(xué)期10月月考)對于任意實數(shù)a，b，c，d，下列命題中的假命題是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對于A：若，則，所以，故A正確；對于B：若，，則，化為，可得，故B正確；對于C：若，所以，，則，故，故C錯誤；對于D：若，，則，所以，所以，，故D正確；故選C5.(多選)(2022學(xué)年重慶市璧山中學(xué)校高一上學(xué)期12月月考)已知，，，均為實數(shù)，下列不等關(guān)系推導(dǎo)正確的是(

)A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則【答案】ACD【解析】選項A：由不等式的基本性質(zhì)可以判斷A正確；B選項：當(dāng)時，，故B錯誤；C選項：因為，不等式兩邊同乘，得：，不等式兩邊同乘，得：，所以，C正確；6.(2020-2021學(xué)年湖北省襄陽市第二十四中學(xué)高一上學(xué)期9月月考)已知1，2則4的取值范圍為__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，。即的取值范圍為.7.(2022學(xué)年湖南省衡陽市田家炳實驗中學(xué)高一上學(xué)期9月月考)已知真分?jǐn)?shù)(b>a>0)滿足>>>，….根據(jù)上述性質(zhì)，寫出一個全稱量詞命題或存在量詞命題(真命題)________【答案】，(答案不唯一)【解析】∵真分?jǐn)?shù)(b>a>0)滿足>>>，…∴，.故答案為：，.8.(2022學(xué)年廣西十八校高一10月聯(lián)考)(1)比較與的大小；(2)已知，求證：．【解析】(1)由，可得．(2)，∵，∴，，，∴，∴．【過關(guān)檢測】1.(2020-2021學(xué)年陜西省榆林市第十中學(xué)高一下學(xué)期期末)若a，b，c為實數(shù)，且，則下列不等關(guān)系一定成立的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】A：當(dāng)時，顯然不成立；B：當(dāng)時，顯然沒有意義；C：當(dāng)時，顯然不成立；D：根據(jù)不等式的性質(zhì)，由能推出，故選D2.(2022學(xué)年江蘇省徐州市第三十六中學(xué)高一上學(xué)期10月月考)設(shè)，則“”是“”的(

)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，當(dāng)“”時，，所以，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)時，有可能，不一定有，所以“”是“”的非必要條件.所以“”是“”的充分非必要條件.故選A3.(2022學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市元寶山區(qū)第一中學(xué)高一下學(xué)期期中)若，則下列不等式不能成立的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，，，又，所以，所以成立，，所以，，所以，取可得，，，所以不成立，故選D.4.(2022學(xué)年湖北省黃石市有色第一中學(xué)高一上學(xué)期期中)同學(xué)們在生活中都有過陪同爸爸媽媽去加油站加油的經(jīng)歷，小明發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：爸爸和媽媽加油習(xí)慣有所不同.爸爸每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而媽媽則說“師傅幫我把油箱加滿”這個時候小明若有所思，如果爸爸?媽媽加油兩次，第一次加油汽油單價為x元/升，第二次加油汽油單價是y元/升，媽媽每次加滿油箱，需加油a升，我們規(guī)定誰的平均單價低誰就合算，請問爸爸?媽媽誰更合算呢？(

)A．爸爸 B．媽媽 C．一樣 D．不確定【答案】A【解析】由題意，媽媽兩次加油共需付款元，爸爸兩次能加升油設(shè)爸爸兩次加油的平均單價為元/升，媽媽兩次加油的平均單價為元/升則，且，所以爸爸的加油方式更合算，故選A5.(多選)(2022學(xué)年浙江省舟山市定海一中高一下學(xué)期開學(xué)考試)若，則下列命題正確的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．【答案】ABD【解析】選項A中，，，，又，，故A正確；選項B中，，，又，，故B正確；選項C中，取，則，，顯然C不正確；選項D中，，所以D正確.故選ABD6.(多選)(2022學(xué)年廣東省惠州市高一上學(xué)期期末)已知a，b，c，d均為實數(shù)，則下列命題正確的是(

)A．若a>b，c>d，則a-d>b-c B．若a>b，c>d則ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，則 D．若a>b，c>d>0，則【答案】AC【解析】由不等式性質(zhì)逐項分析：A選項：由，故，根據(jù)不等式同向相加的原則，故A正確B選項：若，則，故B錯誤；C選項：，，則，化簡得，故C正確；D選項：，，，則，故D錯誤.故選AC7.(2020-2021學(xué)年浙江省衢州五校高一上學(xué)期11月期中聯(lián)考)已知，，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】因為