第09講 函數(shù)的基本性質(zhì)（學(xué)生版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第09講函數(shù)的基本性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標】1.借助函數(shù)圖象，會有符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義．2.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義【基礎(chǔ)知識】一、函數(shù)的單調(diào)性及其符號表達1.函數(shù)單調(diào)性的概念函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性．2.函數(shù)單調(diào)性的符號表達一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果?x1，x2∈D，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增．如果?x1，x2∈D，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減．二、增函數(shù)、減函數(shù)1.當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)(increasingfunction)．2.當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)(decreasingfunction)．3.如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．【解讀】1.單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，但在其單調(diào)區(qū)間上是整體性質(zhì)，因此對x1，x2有下列要求：(1)屬于同一個區(qū)間D；(2)任意性，即x1，x2是定義域中某一區(qū)間D上的任意兩個值，不能用特殊值代替；(3)有大小，即確定的任意兩值x1，x2必須區(qū)分大小，一般令x1<x2.2.并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性．如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x是偶數(shù)，,0，x是奇數(shù)，))它的定義域為N，但不具有單調(diào)性．3.這個區(qū)間可以是整個定義域．如y＝x在整個定義域(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝－x在整個定義域(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；這個區(qū)間也可以是定義域的真子集．如y＝x2在定義域(－∞，＋∞)上不具有單調(diào)性，但在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．4.函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，但是在整個定義域上不一定都是單調(diào)遞增(減)．如函數(shù)y＝eq\f(1,x)(x≠0)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上都單調(diào)遞減，但是在整個定義域上不具有單調(diào)性．5.一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”連接，而應(yīng)該用“和”或“，”連接．如函數(shù)y＝eq\f(1,x)(x≠0)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上都單調(diào)遞減，不能認為y＝eq\f(1,x)(x≠0)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)∪(0，＋∞)．三、定義法證明單調(diào)性的步驟判斷函數(shù)的單調(diào)性常用定義法和圖象法，而證明函數(shù)的單調(diào)性則應(yīng)嚴格按照單調(diào)性的定義操作．利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟為：注意：對單調(diào)遞增的判斷，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一個不等式來替代：四、函數(shù)的最大值1.定義：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①?x∈I，都有f(x)≤M；②?x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值．2.幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最大值是圖象eq\o(□,\s\up4(03))最高點的縱坐標．五、函數(shù)的最小值1.定義：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①?x∈I，都有f(x)≥M；②?x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值．幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最小值是圖象eq\o(□,\s\up4(03))最低點的縱坐標．六、偶函數(shù)、奇函數(shù)1.偶函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(evenfunction)．2.奇函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(oddfunction)．3.偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象特征(1)如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．(2)如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．【解讀】1.奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)(對照單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，以加深理解)．2.定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．3.對于奇函數(shù)f(x)，若f(0)有意義，則f(0)＝0；對于偶函數(shù)f(x)，必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．【考點剖析】考點一：證明或判斷函數(shù)單調(diào)性例1．(2022學(xué)年廣東省江門市廣雅中學(xué)高一上學(xué)期期中)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(

)A． B． C． D．考點二：求單調(diào)區(qū)間例2．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(

)A． B． C．和 D．考點三：利用單調(diào)性比較大小例3．(2020-2021學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高一上學(xué)期期中)若偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則(

)A． B．C． D．考點四：求函數(shù)的最值例4．函數(shù)在上的最小值為(

)A．2

B．1 C．

D．考點五：判斷函數(shù)的奇偶性例5．(多選)(2022學(xué)年廣東省化州市第三中學(xué)高一上學(xué)期期中)設(shè)函數(shù)、的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

)A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)考點六：抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性例6．(2022學(xué)年新疆沙灣縣高一上學(xué)期期中)已知函數(shù)f(x)對?x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當x＜0時，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)證明函數(shù)f(x)在R上的奇偶性；(2)證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；(3)當x∈[1，2]時，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.考點七：單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用例7．(2022學(xué)年浙江省杭州市高一下學(xué)期期末)設(shè)函數(shù)，對于任意正數(shù)，都．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，若，則的解集為(

)A． B．C． D．【真題演練】1.(2022學(xué)年安徽省皖西地區(qū)高一下學(xué)期期中大聯(lián)考)下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是(

)A． B． C． D．2.(2022學(xué)年廣東省普寧市華僑中學(xué)高一下學(xué)期期中)設(shè)為奇函數(shù)，且當時，，則當時，(

)A． B．C． D．3.(2020-2021學(xué)年四川省巴中市恩陽區(qū)高一上學(xué)期期中)已知在為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍為(

)A． B． C． D．4.(2021年高考全國乙卷)設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 ()A． B． C． D．5.(多選)(2022學(xué)年貴州省黔東南州高一上學(xué)期期末)已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)，f(x)的結(jié)論正確的是(

)A．f(x)的最大值為3 B．f(0)＝2C．若f(x)＝－1，則x＝2 D．f(x)在定義域上是減函數(shù)6.(多選)(2020-2021學(xué)年廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一段考)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，下列說法中正確的是(

)A．B．若在上有最小值－1，則在上有最大值1C．若在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)D．，使7.(2022學(xué)年新疆沙灣縣第一中學(xué)高一上學(xué)期期中)已知函數(shù)f(x)＝，對任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，則實數(shù)m的取值范圍是___________.8.(2022學(xué)年云南省昆明市高一月考)已知，函數(shù)．(1)指出在上的單調(diào)性(不需說明理由)；(2)若在上的值域是，求的值．【過關(guān)檢測】1.(2022學(xué)年廣東省揭陽華僑高級中學(xué)高一下學(xué)期考試)定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的有則(

)A． B．C． D．2.(2022學(xué)年甘肅省張掖市第二中學(xué)高一下學(xué)期3月月考)已知奇函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．3.(2020-2021學(xué)年安徽省滁州市定遠中學(xué)高一上學(xué)期考試)函數(shù)的圖象為(

)A． B．C． D．4.(2022學(xué)年廣東省廣州市華南師大附中高一下學(xué)期期中)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為(

)A． B．C． D．5.(2022學(xué)年湖北省十堰市城區(qū)普高協(xié)作體高一上學(xué)期期中)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的為(

)A． B． C． D．6.(2022學(xué)年新疆沙灣縣第一中學(xué)高一上學(xué)期期中)若函數(shù)f(x)滿足：?x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且則(

)A．f(0)＞f(3) B．?x∈R，f(x)≤f(2)C． D．若f(m)＞f(3)，則1＜m＜37.(2020-2021學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第一二二中學(xué)校高一上學(xué)期期中)已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______.8.(2022學(xué)年新疆沙灣縣第一中學(xué)高一上學(xué)期期中)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶