第17講 三角恒等變換（學(xué)生版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第17講三角恒等變換【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過(guò)程，知道兩角差余弦公式的意義2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系3.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶)【基礎(chǔ)知識(shí)】一、兩角和與差的三角函數(shù)公式1.兩角和與差的余弦公式2.兩角和與差的正弦公式3.兩角和與差的正切公式4.兩角和與差的正切公式的變形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；二、二倍角的三角函數(shù)1.二倍角的正弦、余弦、正切公式2.二倍角公式的變形形式(1)(sinα±cosα)2＝1±sin2α；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；(3)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).3．用正切來(lái)表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“萬(wàn)能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).4.半角公式三、積化和差與和差化積公式1.積化和差公式sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]．2.和差化積公式sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2).sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2).cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).四、輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a))).其中角φ所在象限由a，b的符號(hào)確定，角φ的值由tanφ＝eq\f(b,a)確定或由sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))和cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))共同確定．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：給角求值例1．(2022學(xué)年四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟學(xué)高一下學(xué)期期中)(

)A． B． C． D．考點(diǎn)二：給值求值例2．(2022學(xué)年山東省名校(歷城二中、章丘四中等校)高一下學(xué)期5月聯(lián)考)若，則(

)A． B． C． D．考點(diǎn)三：給值求角例3．(2022學(xué)年江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高一下學(xué)期期中)設(shè)，且，則(

)A． B． C． D．考點(diǎn)四：輔助角公式的應(yīng)用例4．(2022學(xué)年陜西省安康中學(xué)高一上學(xué)期期末)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則_______________．考點(diǎn)五：兩角和與差正切公式變形的應(yīng)用例5.(2022學(xué)年江蘇省南通市如皋市高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)已知，，則(

)A． B． C． D．考點(diǎn)六：平方相加求值例6．(2022學(xué)年浙江省“新高考名校聯(lián)盟”高一下學(xué)期5月)已知，，則(

)A． B． C． D．考點(diǎn)七：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)例7．(2022學(xué)年江西省名校高一下學(xué)期期中調(diào)研)化簡(jiǎn)______考點(diǎn)八：三角函數(shù)式的證明例8．(2022學(xué)年江西省名校高一下學(xué)期期中調(diào)研)(1)證明：(2)求值：【真題演練】1．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷)若α為第四象限角，則 ()A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<02．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷)已知，且，則 ()A． B． C． D．3．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ= ()A．–2 B．–1 C．1 D．24.(2021年高考全國(guó)甲卷)若，則 ()A． B． C． D．5.(多選)(2020-2021學(xué)年遼寧省大連市第二十四中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知，，則恒等于(

)A． B．C． D．6.(多選)(2022學(xué)年江西省臨川一中高一下學(xué)期月考)下列選項(xiàng)化簡(jiǎn)值為1的有(

)A． B．C． D．7.(2022學(xué)年山東省煙臺(tái)市高一下學(xué)期期中)若，則______．8.(2020-2021學(xué)年遼寧省大連市第二十四中學(xué)高一下學(xué)期期中)化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.(2022學(xué)年湖北省荊州市沙市中學(xué)高一下學(xué)期期中)化簡(jiǎn)：(

)A． B． C． D．2.(2022學(xué)年甘肅省天水市第一中學(xué)高一下學(xué)期段考)已知，，則(

)A． B． C． D．3.(2022學(xué)年貴州省黔東南州高一下學(xué)期期中)設(shè)，，，則(

)A． B． C． D．4.(2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學(xué)期期中)若，，且，，則的值是(

)A． B． C．或 D．或5.(多選)(2022學(xué)年江蘇省徐州市睢寧縣高一下學(xué)期期中)已知，以下選項(xiàng)正確的是(

)A． B．C． D．6.(多選)(2021—2022學(xué)年江西省南昌市第二中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考)下列等式中，正確的是(

)A．B．C．D．7.(2022學(xué)年云南省臨滄市云縣高一下學(xué)期期中)已知，均為銳角，且，，則cos＝___．8.(2022學(xué)年四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一下學(xué)期期中)在△ABC中，，則的取值范圍是______．9.(2022學(xué)年四川省廣安市廣安第三中學(xué)