教學(xué)設(shè)計(jì)平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

【教學(xué)設(shè)計(jì)】遂寧中學(xué)羅輝內(nèi)容平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入輔助工具多媒體課件第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算基礎(chǔ)盤(pán)查一向量的有關(guān)概念(一)循綱憶知1．了解向量的實(shí)際背景；2．理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；3．理解向量的幾何表示．(二)小題查驗(yàn)1．判斷正誤(1)向量與向量是相等向量()(2)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小()(3)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來(lái)表示向量()(4)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無(wú)關(guān)()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2.(人教A版教材例題改編)如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫(xiě)出圖中與，，相等的向量．解：＝＝；＝＝；＝＝＝.基礎(chǔ)盤(pán)查二向量的線性運(yùn)算(一)循綱憶知1．掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；2．掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義；3．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．(二)小題查驗(yàn)1．判斷正誤(1)兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量()(2)＝－()(3)向量a－b與b－a是相反向量()(4)兩個(gè)向量相加就是兩個(gè)向量的模相加()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材習(xí)題改編)化簡(jiǎn)：(1)(＋)＋＋＝________.(2)＋＋－＝________.答案：(1)(2)0基礎(chǔ)盤(pán)查三共線向量定理(一)循綱憶知理解兩個(gè)向量共線的含義，掌握向量的共線定理及應(yīng)用．(二)小題查驗(yàn)1．判斷正誤(1)若向量a，b共線，則向量a，b的方向相同()(2)若a∥b，b∥c，則a∥c()(3)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝答案：－eq\f(1,3) eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念)|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[必備知識(shí)](1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．[題組練透]1．給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，則a∥c.其中正確命題的序號(hào)是()A．②③ B．①②C．③④ D．④⑤解析：選A①不正確．兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且||＝||，因此，＝.③正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c.④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，既使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．⑤不正確．考慮b＝0這種特殊情況．綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.故選A.2．設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.[類題通法]平面向量有關(guān)概念的核心(1)向量定義的核心是方向和長(zhǎng)度．(2)非零共線向量的核心是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制．(3)相等向量的核心是方向相同且長(zhǎng)度相等．(4)單位向量的核心是方向沒(méi)有限制，但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度．(5)零向量的核心是方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算)|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[必備知識(shí)]1．向量的加法定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算．運(yùn)算法則(幾何意義)：如圖運(yùn)算律：(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．向量的減法定義：向量a加上向量b的相反向量，叫做a與b的差，即a＋(－b)＝a－b.求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法．運(yùn)算法則(幾何意義)：如圖3．向量的數(shù)乘定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積運(yùn)算，即λa.運(yùn)算法則(幾何意義)：如圖，λa的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ|·|a|.(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.運(yùn)算律：λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.[提醒](1)實(shí)數(shù)和向量可以求積，但不能求和或求差；(2)λ＝0或a＝0?λa＝0.[典題例析]1．(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則＋＝()A． B.eq\f(1,2)C． D.eq\f(1,2)解析：選A＋＝eq\f(1,2)(＋)＋eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(＋)＝，故選A.2．(2013·江蘇高考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_______．解析：＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)(＋)＝－eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)[類題通法]1．向量線性運(yùn)算的解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．2．兩個(gè)結(jié)論(1)P為線段AB的中點(diǎn)?＝eq\f(1,2)(＋)；(2)G為△ABC的重心?＋＋＝0.[演練沖關(guān)]1．(2015·聊城二模)在△ABC中，＝c，＝b.若點(diǎn)D滿足＝2，則＝()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c解析：選A如圖，可知＝＋＝＋eq\f(2,3)(－)＝c＋eq\f(2,3)(b－c)＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.故選A.2．若典例2條件變?yōu)椋喝簦?，＝eq\f(1,3)＋λ，則λ＝________.解析：∵＝＋，＝＋，∴2＝＋＋＋.又∵＝2，∴2＝＋＋eq\f(1,3)＝＋＋eq\f(1,3)(－)＝eq\f(2,3)＋eq\f(4,3).∴＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)，即λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用)|(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——全面發(fā)掘)[必備知識(shí)]共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.[提醒]限定a≠0的目的是保證實(shí)數(shù)λ的存在性和唯一性．[一題多變][典型母題]設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線．如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值．[解]∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2，∴＝＋＝3e1－2e2.∵A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴∥，從而存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ.∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，又e1，e2是不共線的非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝3λ，,－2＝－λk，))因此k＝2.∴實(shí)數(shù)k的值為2.[題點(diǎn)發(fā)散1]在本例條件下，試確定實(shí)數(shù)k，使ke1＋e2與e1＋ke2共線．解：∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即ke1＋e2＝λe1＋λke2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝λk，))解得k＝±1.[題點(diǎn)發(fā)散2]在本例條件下，如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A，C，D三點(diǎn)共線．證明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2，∴＝－2，∴與共線．又∵與有公共點(diǎn)C，∴A，C，D三點(diǎn)共線．[類題通法]1．共線向量定理及其應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值．(2)若a，b不共線，則λa＋μb＝0的充要條件是λ＝μ＝0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛．2．證明三點(diǎn)共線的方法若＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線．一、選擇題1．給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量．②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。郐薬＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零．④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)．②正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮。钟蟹较?，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大?。坼e(cuò)誤，當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為何值，λa＝0.④錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb＝0，此時(shí)，a與b可以是任意向量．故選C.2．已知向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線，但a＋b與c共線，且b＋c與a共線，則向量a＋b＋c＝()A．a(chǎn) B．bC．c D．0解析：選D依題意，設(shè)a＋b＝mc，b＋c＝na，則有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a與c不共線，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，選D.3．(2015·福建四地六校聯(lián)考)已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且2＝2＋，則()A．點(diǎn)P在線段AB上B．點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上C．點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上D．點(diǎn)P不在直線AB上解析：選B因?yàn)?＝2＋，所以2＝，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上，故選B.4．設(shè)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且＝2，＝2，＝2，則＋＋與()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：選A由題意得＝＋＝＋eq\f(1,3)，＝＋＝＋eq\f(1,3)，＝＋＝＋eq\f(1,3)，因此＋＋＝＋eq\f(1,3)(＋－)＝＋eq\f(2,3)＝－eq\f(1,3)，故＋＋與反向平行．5．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若＝m＋n(m，n∈R)，則eq\f(m,n)的值為()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,2)解析：選A設(shè)＝a，＝b，則＝ma＋nb，＝－＝eq\f(1,2)b－a，由向量與共線可知存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，即ma＋nb＝eq\f(1,2)λb－λa，又a與b不共線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－λ，,n＝\f(1,2)λ))，所以eq\f(m,n)＝－2.6．設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且＋＋2＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選B∵D為AB的中點(diǎn)，則＝eq\f(1,2)(＋)，又＋＋2＝0，∴＝－，∴O為CD的中點(diǎn)，又∵D為AB中點(diǎn)，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，則eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.二、填空題7．設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，2＝16，|＋|＝|－|，則||＝________.解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線，因此，||＝eq\f(1,2)||＝2.答案：28．(2015·江門(mén)模擬)已知D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＋＋＝0，＝λ，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______．解析：如圖所示，由＝λ且＋＋＝0，則P為以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，因此＝－2，則λ＝－2.答案：－29．已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量，，，滿足等式＋＝＋，則四邊形ABCD的形狀為_(kāi)_______．解析：∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝，BA綊CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．答案：平行四邊形10．已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且＝a，＝b，給出下列命題：①＝eq\f(1,2)a－b；②＝a＋eq\f(1,2)b；③＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④＋＋＝0.其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：＝a，＝b，＝eq\f(1,2)＋＝－eq\f(1,2)a－b，故①錯(cuò)；＝＋eq\f(1,2)＝a＋eq\f(1,2)b，故②正確；＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正確；∴＋＋＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0.∴正確命題為②③④.答案：3三、解答題11．已知a，b不共線，＝a，＝b，＝c，＝d，OE→＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：由題設(shè)知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因?yàn)閍，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,t－2k＝0，))解之得t＝eq\f(6,5).故存在實(shí)數(shù)t＝eq\f(6,5)使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上．12.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，＝eq\f(2,3)，＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，，，，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．解：(1)延長(zhǎng)AD到G，使＝eq\f(1,2)，連接BG，CG，得到平行四邊形ABGC，所以＝a＋b，＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(a＋b)，＝eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)(a＋b)，＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)b，＝－＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，＝－＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)證明：由(1)可知＝eq\f(2,3)，又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示基礎(chǔ)盤(pán)查一平面向量基本定理(一)循綱憶知了解平面向量的基本定理及其意義．(二)小題查驗(yàn)1．判斷正誤(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)在△ABC中，向量，的夾角為∠ABC()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(人教A版教材復(fù)習(xí)題改編)設(shè)M是?ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，O為任意一點(diǎn)，則＋＋＋＝________.答案：4基礎(chǔ)盤(pán)查二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(一)循綱憶知1．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；2．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．(二)小題查驗(yàn)1．判斷正誤(1)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同()(2)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)()(3)已知點(diǎn)A(2,1)，B(－1,3)，則＝(－3,2)()答案：(1)×(2)√(3)√2．(人教A版教材例題改編)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，則3a＋4b＝答案：(－6,19)基礎(chǔ)盤(pán)查三平面向量共線的坐標(biāo)表示(一)循綱憶知理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．(二)小題查驗(yàn)1．判斷正誤(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)()(2)已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，則x的值為－4()答案：(1)×(2)√2．O是坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，當(dāng)k＝________時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線？答案：－2或11eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用)|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[必備知識(shí)]平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．[題組練透]1．如果e1，e2是平面α內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2 D．e1＋3e2與6e2＋2e1解析：選D選項(xiàng)A中，設(shè)e1＋e2＝λe1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝0，))無(wú)解；選項(xiàng)B中，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,－2＝2λ，))無(wú)解；選項(xiàng)C中，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝－λ，))無(wú)解；選項(xiàng)D中，e1＋3e2＝eq\f(1,2)(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量．2．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)．設(shè)＝a，＝b，試用a，b為基底表示向量，，.解：＝＋＋＝－eq\f(1,6)b－a＋eq\f(1,2)b＝eq\f(1,3)b－a，＝＋＝－eq\f(1,6)b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－a))＝eq\f(1,6)b－a，＝＋＝－eq\f(1,2)b－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)b－a))＝a－eq\f(2,3)b.[類題通法](1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算)|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[必備知識(shí)](1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2);(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)；(3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)；|a|＝eq\r(x2＋y2).[題組練透]1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)解析：選Deq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))，故eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝(－1,2)．2．(2015·昆明一中摸底)已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A．(2,0) B．(－3,6)C．(6,2) D．(－2,0)解析：選A＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，設(shè)N(x，y)，則＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))選A.3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，(1)求3a＋b－3(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．[類題通法]平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示)|(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——全面發(fā)掘)[必備知識(shí)]設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.則a∥b?x1y2－x2y1＝0.[一題多變][典型母題]平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k.[解](1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－eq\f(16,13).[題點(diǎn)發(fā)散1]在本例條件下，若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d.解：設(shè)d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3.))∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．[題點(diǎn)發(fā)散2]在本例條件下，若ma＋nb與a－2b共線，求eq\f(m,n)的值．解：ma＋nb＝(3m－n,2m＋2n)，a－2b＝(5，－2由題意得－2(3m－n)－5(2m＋2n∴eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).[題點(diǎn)發(fā)散3]若本例條件變?yōu)椋阂阎狝(3,2)，B(－1,2)，C(4,1)，判斷A，B，C三點(diǎn)能否共線．解：＝(－4,0)，＝(1，－1)，∵－4×(－1)－0×1≠0，∴，不共線．∴A，B，C三點(diǎn)不共線．[類題通法]1．向量共線的兩種表示形式設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：①a∥b?a＝λb(b≠0)；②a∥b?x1y2－x2y1＝0.至于使用哪種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用②.2．兩向量共線的充要條件的作用判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點(diǎn)共線的問(wèn)題；另外，利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值．一、選擇題1.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且＝a，＝b，則＝()A．b－eq\f(1,2)a B．b＋eq\f(1,2)aC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．a(chǎn)－eq\f(1,2)b解析：選A＝＋＋＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a.2．已知平行四邊形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))解析：選D＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴＝eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)).∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).故選D.3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(0，－2) B．(－4,2)C．(16,14) D．(0,2)解析：選A設(shè)D(x，y)，由題意知＝＋，即(x－6，y－8)＝(－8，－8)＋(2，－2)＝(－6，－10)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－6＝－6，,y－8＝－10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－2.))故選A.4．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：選D設(shè)d＝(x，y)，由題意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d5．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是()A．k＝－2 B．k＝eq\f(1,2)C．k＝1 D．k＝－1解析：選C若點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，則向量，共線，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.6．(2015·山西四校聯(lián)考)在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且＝3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))解析：選D依題意，設(shè)＝λ，其中1<λ<eq\f(4,3)，則有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)，且，不共線，于是有x＝1－λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，即x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).二、填空題7．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析：由題意，設(shè)e1＋e2＝ma＋nb.因?yàn)閍＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))答案：eq\f(2,3)－eq\f(1,3)8．已知兩點(diǎn)A(1,0)，B(1,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且∠AOC＝135°，設(shè)＝－＋λ(λ∈R)，則λ的值為_(kāi)_______．解析：由∠AOC＝135°知，點(diǎn)C在射線y＝－x(x<0)上，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，－a)，a<0，則有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4,3)，＝(1,5)，則＝________.解析：＝－＝(－3,2)，∴＝2＝(－6,4)．＝＋＝(－2,7)，∴＝3＝(－6,21)．答案：(－6,21)10．(2015·九江模擬)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是兩個(gè)向量集合，則P∩Q等于________．解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋m＝1＋2n，,1＋2m＝－2＋3n.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－12，,n＝－7.))此時(shí)a＝b＝(－13，－23)．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－13，－23))三、解答題11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，ka－b與a＋3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？解：(1)因?yàn)閍＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝eq\r(72＋32)＝eq\r(58).(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因?yàn)閗a－b與a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－eq\f(1,3).此時(shí)ka－b＝(k－2，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－1))，a＋3b＝(7,3)，則a＋3b＝－3(ka－b)，即此時(shí)向量a＋3b與ka－b方向相反．12．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t1＝1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)共線．解：(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t2<0，,2t1＋4t2≠0，))故所求的充要條件為t2<0且t1＋2t2≠0.(2)證明：當(dāng)t1＝1時(shí)，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，∴A，B，M三點(diǎn)共線．第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例基礎(chǔ)盤(pán)查一平面向量的數(shù)量積(一)循綱憶知1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．(二)小題查驗(yàn)1．判斷正誤(1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(3)兩個(gè)向量的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))()答案：(1)√(2)√(3)×2．(人教A版教材例題改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則a·b＝________答案：－10基礎(chǔ)盤(pán)查二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示(一)循綱憶知1．掌握數(shù)量積的性質(zhì)及坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；2．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．(二)小題查驗(yàn)1．判斷正誤(1)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0()(2)兩向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0()(3)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角()答案：(1)×(2)×(3)×2．(人教A版教材復(fù)習(xí)題改編)已知|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，a與b的夾角為30°，則|a－b|＝________.答案：13．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，則實(shí)數(shù)x等于________．答案：9基礎(chǔ)盤(pán)查三平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(一)循綱憶知掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．(二)小題查驗(yàn)1．判斷正誤(1)(a·b)·c＝a·(b·c)()(2)a·b＝a·c(a≠0)，則b＝c()答案：(1)×(2)×2．(人教A版教材習(xí)題改編)已知單位向量e1，e2的夾角為60°，則向量a＝2e1＋e2與b＝2e2－3e1的夾角為_(kāi)_____．答案：150°eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算)|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[必備知識(shí)]1．平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定0·a＝0.2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的模|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．[提醒]投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量，不是向量．[題組練透]1．(2015·云南統(tǒng)一檢測(cè))設(shè)向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b與2a－b平行，那么a與b的數(shù)量積等于A．－eq\f(7,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,2)解析：選Da＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由題意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，則m＝－eq\f(1,2)，所以a·b＝－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋2×1＝eq\f(5,2).2.(2013·湖北高考)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2) D．－eq\f(3\r(15),2)解析：選A＝(2,1)，＝(5,5)，由定義知在方向上的投影為eq\f(AB→·CD→,|CD→|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).3．(2014·重慶高考)已知向量a與b的夾角為60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq\r(10)，則a·b＝________.解析：因?yàn)閍＝(－2，－6)，所以|a|＝eq\r(－22＋－62)＝2eq\r(10)，又|b|＝eq\r(10)，向量a與b的夾角為60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2eq\r(10)×eq\r(10)×eq\f(1,2)＝10.答案：104．(2015·東北三校聯(lián)考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，＝2，＝eq\f(1,2)(＋)，則·＝________.解析：如圖，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．則B(0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))，D(2,2)．由＝eq\f(1,2)(＋)知F為BC的中點(diǎn)，故＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))，＝(－1，－2)，∴·＝－2－eq\f(4,3)＝－eq\f(10,3).答案：－eq\f(10,3)[類題通法]向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cosa，b．(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.[提醒](1)在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，若a·b＝a·c(a≠0)，則不一定得到b＝c.(2)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但平面向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的性質(zhì))|(?？汲Ｐ滦涂键c(diǎn)——多角探明)[必備知識(shí)]已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0[多角探明]平面向量的夾角與模的問(wèn)題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題．歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夾角；(3)平面向量的垂直.角度一：平面向量的模1．已知平面向量a，b的夾角為eq\f(π,6)，且|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D為BC中點(diǎn)，則||等于()A．2 B．4C．6 D．8解析：選A因?yàn)椋絜q\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－2×2×\r(3)×cos\f(π,6)＋4))＝4，則||＝2.2．(2014·北京高考)已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，則|λ|＝________.解析：∵|a|＝1，∴可令a＝(cosθ，sinθ)，∵λa＋b＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λcosθ＋2＝0，,λsinθ＋1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝－\f(2,λ)，,sinθ＝－\f(1,λ).))由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝eq\r(5).答案：eq\r(5)角度二：平面向量的夾角3．向量a，b均為非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a，b的夾角為A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)解析：選B(a－2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－2a·b＝|a|2－2|a|2cos〈a，b〉＝0，可得cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，又因?yàn)?≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝eq\f(π,3).4．(2014·江西高考)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cosβ＝________.解析：因?yàn)閍2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2eq\r(2)，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9eeq\o\al(2,1)－9e1·e2＋2eeq\o\al(2,2)＝9－9×1×1×eq\f(1,3)＋2＝8，所以cosβ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(8,3×2\r(2))＝eq\f(2\r(2),3).答案：eq\f(2\r(2),3)角度三：平面向量的垂直5．(2014·重慶高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實(shí)數(shù)kA．－eq\f(9,2) B．0C．3 D.eq\f(15,2)解析：選C因?yàn)?a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)6．在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，則k的值為_(kāi)_______________．解析：①當(dāng)A＝90°時(shí)，∵⊥，∴·＝0.∴2×1＋3k＝0，解得k＝－eq\f(2,3).②當(dāng)B＝90°時(shí)，∵⊥，又＝－＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，∴·＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0，解得k＝eq\f(11,3).③當(dāng)C＝90°時(shí)，∵⊥，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0，即k2－3k－1＝0.∴k＝eq\f(3±\r(13),2).答案：－eq\f(2,3)或eq\f(11,3)或eq\f(3±\r(13),2).[類題通法]平面向量數(shù)量積求解問(wèn)題的策略(1)求兩向量的夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).②|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).③若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合)|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典題例析](2013·江蘇高考)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．解：(1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝又因?yàn)閍2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b(2)因?yàn)閍＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，,sinα＋sinβ＝1.))由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α>β，所以α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).[類題通法]平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等．[演練沖關(guān)]已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)，sin\f(3x,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)，sin\f(x,2)))，c＝(eq\r(3)，－1)，其中x∈R，(1)當(dāng)a·b＝eq\f(1,2)時(shí)，求x的取值集合；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝(a－c)2，求f(x)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間．解：(1)∵a·b＝coseq\f(3x,2)coseq\f(x,2)＋sineq\f(3x,2)sineq\f(x,2)＝cosx＝eq\f(1,2)，∴x＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)．∴所求x的取值集合為xx＝2kπ±eq\f(π,3)，k∈Z.(2)∵a－c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)－\r(3)，sin\f(3x,2)＋1))，∴f(x)＝(a－c)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)－\r(3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3x,2)＋1))2＝5－2eq\r(3)coseq\f(3x,2)＋2sineq\f(3x,2)＝5＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\f(3x,2)－\f(\r(3),2)cos\f(3x,2)))＝5＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(π,3))).∴最小正周期為T(mén)＝eq\f(2π,\f(3,2))＝eq\f(4π,3).由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(3x,2)－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得eq\f(4kπ,3)－eq\f(π,9)≤x≤eq\f(4kπ,3)＋eq\f(5π,9)(k∈Z)．∴單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4kπ,3)－\f(π,9)，\f(4kπ,3)＋\f(5π,9)))(k∈Z)．一、選擇題1．(2015·惠州調(diào)研)已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，則|p＋q|的值為()A.eq\r(5) B.eq\r(13)C．5 D．13解析：選B由題意得2×6＋3x＝0?x＝－4?|p＋q|＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝eq\r(13).2．(2015·長(zhǎng)春調(diào)研)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ為實(shí)數(shù)，(b＋λa)⊥c，則λ的值為()A．－eq\f(3,11) B．－eq\f(11,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)解析：選Ab＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c＝(3,4)，又(b＋λa)⊥c，∴(b＋λa)·c＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－eq\f(3,11)，故選A.3．已知向量a，b滿足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，則a與b的夾角θ為A.eq\f(3π,4) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)解析：選C因?yàn)?a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝eq\f(1,2).又a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，所以cosθ＝eq\f(1,2)，因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).4．在△ABC中，(＋)·＝||2，則△ABC的形狀一定是()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：選C由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0,2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.又根據(jù)已知條件不能得到||＝||，故△ABC一定是直角三角形．5．(2015·東北三校聯(lián)考)已知△ABC中，||＝10，·＝－16，D為邊的中點(diǎn)，則||等于()A．6 B．5C．4 D．3解析：選D由題知＝eq\f(1,2)(＋)，·＝－16，∴||·||cos∠BAC＝－16.在△ABC中由余弦定理得，||2＝||2＋||2－2||||cos∠BAC，∴102＝||2＋||2＋32，||2＋||2＝68，∴||2＝eq\f(1,4)(2＋2＋2·)＝eq\f(1,4)(68－32)＝9，∴||＝3，故選D.6．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則·的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))解析：選C將正方形放入如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)E(x,0)，0≤x≤1.又Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，C(1,1)，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))，＝(1－x,1)，所以·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))·(1－x,1)＝(1－x)2＋eq\f(1,2).因?yàn)?≤x≤1，所以eq\f(1,2)≤(1－x)2＋eq\f(1,2)≤eq\f(3,2)，即·的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))).二、填空題7．(2015·北京東城質(zhì)量檢測(cè))已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，則|c|＝________.解析：由題意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝eq\r(82＋－82)＝8eq\r(2).答案：8eq\r(2)8．(2015·山西四校聯(lián)考)圓O為△ABC的外接圓，半徑為2，若＋＝2，且||＝||，則向量在向量方向上的投影為_(kāi)_______．解析：∵＋＝2，∴O是BC的中點(diǎn)，故△ABC為直角三角形．在△AOC中，有||＝||，∴∠B＝30°.由定義，向量在向量方向上的投影為||cos∠B＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.答案：39．單位圓上三點(diǎn)A，B，C滿足＋＋＝0，則向量，的夾角為_(kāi)_______．解析：∵A，B，C為單位圓上三點(diǎn)，∴||＝||＝||＝1，又＋＋＝0，∴－＝＋，∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·，可得cos〈，〉＝－eq\f(1,2)，∴向量，的夾角為120°.答案：120°10．(2014·江蘇高考)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，則·的值是________．解析：因?yàn)椋剑剑玡q\f(1,4)，＝＋＝－eq\f(3,4)，所以·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AD→＋\f(1,4)AB→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AD→－\f(3,4)AB→))＝||2－eq\f(3,16)||2－eq\f(1,2)·＝2，將AB＝8，AD＝5代入解得·＝22.答案：22三、解答題11．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°.(1)計(jì)算：①|(zhì)a＋b|，②|4a－2b|(2)當(dāng)k為何值時(shí)，(a＋2b)⊥(ka－b)．解：由已知得，a·b＝4×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－16.(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4eq\r(3).②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)∴|4a－2b|＝16eq\r(3).(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7時(shí)，a＋2b與ka－b垂直．12．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a＝(－1,2)，又點(diǎn)A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,2))).(1)若⊥a，且||＝eq\r(5)||，求向量；(2)若向量與向量a共線，當(dāng)k＞4，且tsinθ取最大值4時(shí)，求·.解：(1)由題設(shè)知＝(n－8，t)，∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.又∵eq\r(5)||＝||，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.當(dāng)t＝8時(shí)，n＝24；t＝－8時(shí)，n＝－8，∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．(2)由題設(shè)知＝(ksinθ－8，t)，∵與a共線，∴t＝－2ksinθ＋16，tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(4,k)))2＋eq\f(32,k).∵k＞4，∴0＜eq\f(4,k)＜1，∴當(dāng)sinθ＝eq\f(4,k)時(shí)，tsinθ取得最大值eq\f(32,k).由eq\f(32,k)＝4，得k＝8，此時(shí)θ＝eq\f(π,6)，＝(4,8)．∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入基礎(chǔ)盤(pán)查一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(一)循綱憶知1．理解復(fù)數(shù)的基本概念；2．理解復(fù)數(shù)相等的充要條件．(二)小題查驗(yàn)1．判斷正誤(1)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時(shí)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)()(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小()答案：(1)×(2)×(3)×2．(人教A版教材例題改編)如果(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，則x＝________，y＝________.答案：4－2基礎(chǔ)盤(pán)查二復(fù)數(shù)的幾何意義(一)循綱憶知了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．(二)小題查驗(yàn)1．判斷正誤(1)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)()(2)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模()答案：(1)√(2)√2．(人教A版教材習(xí)題改編)ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋3i，－i,2＋i，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為_(kāi)_______．答案：3＋5i基礎(chǔ)盤(pán)查三復(fù)數(shù)的運(yùn)算(一)循綱憶知1．會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算；2．了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義．(二)小題查驗(yàn)1．判斷正誤(1)若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1－z2＞0，則z1＞z2()(2)復(fù)數(shù)的減法不滿足結(jié)合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立()(3)兩個(gè)復(fù)數(shù)的積與商一定是虛數(shù)()(4)復(fù)數(shù)加減乘除的混合運(yùn)算法則是先乘除，后加減()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(人教A版教材習(xí)題改編)計(jì)算：(1)eq\f(2i,2－i)＝________，(2)eq\f(54＋i2,i2＋i)＝________.答案：(1)－eq\f(2,5)＋eq\f(4,5)i(2)1－38ieq\a\vs4\al(考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念)|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[必備知識(shí)]1．復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．2．復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．3共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．4．復(fù)數(shù)的模向量的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).[題組練透]1．(2015·湖北八校聯(lián)考)設(shè)x∈R，則“x＝1”是“復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C由純虛數(shù)的定義知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x＋1≠0，))?x＝1，選C.2．(2015·安徽“江南十?！甭?lián)考)若a＋bi＝eq\f(5,1＋2i)(i是虛數(shù)單位，a，b∈R)，則ab＝()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：選Aa＋bi＝eq\f(5,1＋2i)＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2.3．設(shè)i是虛數(shù)單位，eq\x\to(z)表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)．若z＝1＋i，則eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)＝()A．－2 B．－2iC．2 D．2i解析：選C因?yàn)閦＝1＋i，所以eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)＝－i＋1＋i＋1＝2.4．(2015·洛陽(yáng)統(tǒng)考)設(shè)復(fù)數(shù)z＝－1－i(i為虛數(shù)單位)，z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，則|(1－z)·eq\o(z,\s\up6(－))|＝()A.eq\r(10) B．2C.eq\r(2) D．1解析：選A依題意得(1－z)·eq\o(z,\s\up6(－))＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，則|(1－z)·eq\o(z,\s\up6(－))|＝|－3＋i|＝eq\r(－32＋12)＝eq\r(10).[類題通法]解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義)|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[必備知識(shí)](1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.[題組練透]1．(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1＝2＋i，則z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i解析：選A由題意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.2．(2015·山西四校聯(lián)考)復(fù)數(shù)z＝eq\f(i,－2－i2)(i為虛數(shù)單位)，z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選A因?yàn)閦＝eq\f(i,－2－i2)＝eq\f(i,4＋4i－1)＝eq\f(i,3＋4i)＝eq\f(i3－4i,25)＝eq\f(4,25)＋eq\f(3,25)i，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,25)，\f(3,25)))在第一象限，故選A.3．已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________．解析：由條件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，根據(jù)＝λ＋μ得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝3，,2λ－μ＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2.))∴λ＋μ＝1.答案：1[類題通法]對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?.(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算)|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[必備知識(shí)]1．復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(2)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．2．復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[題組練透]1．(2015·洛陽(yáng)統(tǒng)考)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋2i,2－i)，z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，則z·eq\x\to(z)＝()A．1 B．－1C.eq\f(25,9) D．－eq\f(25,9)解析：選A依題意得z＝eq\f(1＋2i2＋i,2－i2＋i)＝i，z·eq\x\to(z)＝i·(－i)＝－i2＝1，選A.2．復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋2i2015,1－i2015)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選Bz＝eq\f(1＋2i2015,1－i2015)＝eq\f(1－2i,1＋i)＝eq\f(1－3i－2,2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(3i,2)，則eq\x\to(z)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(3i,2)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故選B.3．(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)eq\f(1＋i3,1－i2)＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：選D法一：eq\f(1＋i3,1－i2)＝eq\f(1－i＋3i－3,－2i)＝eq\f(－2＋2i,－2i)＝eq\f(1－i,i)＝－1－i.法二：eq\f(1＋i3,1－i2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－1－i.4．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則z·eq\x\to(z)＝______.解析：∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i1－\r(3)i,－21＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(2\r(3)－2i,－8)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i，故eq\x\to(z)＝－eq\f(\r(3),4)－eq\f(1,4)i，∴z·eq\x\to(z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(1,4)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a