強(qiáng)化關(guān)鍵概念理解體驗(yàn)關(guān)系模型構(gòu)建

【摘

要】“速度、時(shí)間和路程”是常見數(shù)量關(guān)系中的要素。速度是路程和時(shí)間的比，對(duì)學(xué)生而言，它是一個(gè)比較抽象的概念。教師在教學(xué)中往往忽視速度概念的建立，導(dǎo)致學(xué)生缺乏模型意識(shí)，對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解不夠深刻。因此，教師可通過創(chuàng)設(shè)生活情境，激活學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，深化學(xué)生對(duì)速度內(nèi)涵的理解，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，使學(xué)生在運(yùn)用幾何直觀的方法解決實(shí)際問題的過程中，體驗(yàn)關(guān)系模型的構(gòu)建與價(jià)值，從而培養(yǎng)其模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)量關(guān)系；模型意識(shí)；幾何直觀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，“數(shù)量關(guān)系”主要是用符號(hào)（包括數(shù)）或含有符號(hào)的式子表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律。學(xué)生應(yīng)在具體情境中，通過運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問題，感悟加法模型和乘法模型的實(shí)際意義，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，深化對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解。“速度、時(shí)間和路程”是常見數(shù)量關(guān)系中的要素。在日常教學(xué)中，教師一般會(huì)通過創(chuàng)設(shè)具體情境，給出不同物體的速度和時(shí)間，讓學(xué)生求出相應(yīng)的路程。接著，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比和分析不同的數(shù)量關(guān)系，以便學(xué)生從具體實(shí)例中抽象出數(shù)量關(guān)系的共性，理解“速度、時(shí)間和路程”三者之間的內(nèi)在關(guān)系。這樣的教學(xué)過程體現(xiàn)了從具體到抽象逐步建構(gòu)數(shù)量關(guān)系的過程。然而，在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)速度的概念及其作為度量單位的含義的理解并不透徹。那么，如何精心選擇教學(xué)素材設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)？如何對(duì)生活常識(shí)中的速度概念進(jìn)行改造和澄清，從而更好地凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助學(xué)生厘清數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)他們的模型意識(shí)呢？本文以人教版教材四年級(jí)上冊(cè)“速度、時(shí)間和路程”這一內(nèi)容的教學(xué)為例，探討數(shù)量關(guān)系的發(fā)現(xiàn)和理解，并運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題。一、創(chuàng)境：激活知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，感知速度概念在生活中，學(xué)生對(duì)路程、時(shí)間和速度等概念已有一定的接觸和認(rèn)識(shí)。其中，路程和時(shí)間是相對(duì)直觀和容易理解的，而速度則較為抽象。因此，在教學(xué)過程中，應(yīng)著重對(duì)速度的含義進(jìn)行解讀，以幫助學(xué)生更好地掌握其本質(zhì)。課始，教師為學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)實(shí)際情境：有三名同學(xué)從家里出發(fā)去學(xué)校，小明用了6分鐘，小剛用了4分鐘，小紅也用了4分鐘。接著，教師提問：“你們能比較這三名同學(xué)的行走速度嗎？”然后，進(jìn)一步追問：“為什么現(xiàn)在還不能比出他們的快慢呢？”學(xué)生可能會(huì)回答：“因?yàn)槲覀儾恢浪麄兗业綄W(xué)校的距離。”教師繼續(xù)引導(dǎo)：“確實(shí)，只知道時(shí)間而不知道距離是無法準(zhǔn)確比較他們的快慢的?！蓖ㄟ^分析這一情境中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，教師提問：“如何確定誰走得快呢？”有的學(xué)生可能會(huì)認(rèn)為：“如果他們的路程是一樣的，那么時(shí)間用得少的就走得快?！币灿袑W(xué)生可能會(huì)提出：“我們還需要知道他們各自從家到學(xué)校的距離。”教師根據(jù)學(xué)生的回答，引出“路程”這一概念，并給出三人從家到學(xué)校的具體距離（如圖1）。通過這種方式，學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，逐步深入理解速度的含義，并認(rèn)識(shí)到速度是由時(shí)間和路程兩個(gè)因素共同決定的。二、探索：深化速度內(nèi)涵理解，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系在自主學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)初步理解了速度、時(shí)間和路程的基本概念，這使得他們更易于理解三者之間的數(shù)量關(guān)系。而為了建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生還需要從實(shí)際情境中提取信息，將數(shù)學(xué)知識(shí)抽象化，并探索相關(guān)的方法和規(guī)律。（一）利用問題驅(qū)動(dòng)，引發(fā)數(shù)學(xué)思考在“速度、時(shí)間和路程”這三個(gè)量中，“速度”是核心，同時(shí)也是學(xué)生最難把握的概念。教師應(yīng)有意識(shí)地將抽象的速度概念與學(xué)生日常生活中的“比快慢”經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，以引發(fā)學(xué)生的深入思考。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)信息整理成表格（如表1），并啟發(fā)學(xué)生思考：現(xiàn)在要從這三個(gè)人中選擇兩人來比較他們的速度，有沒有一種方法可以不通過計(jì)算直接比較出他們的快慢呢？學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，小明和小剛的路程相同，因此可以直接比較他們所用的時(shí)間，時(shí)間短的走得快；小剛和小紅所用的時(shí)間相同，可以直接比較他們的路程，路程遠(yuǎn)的走得快。而對(duì)于小明和小紅，由于他們的路程和時(shí)間都不相同，所以需要比較他們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)所走的路程，即速度。通過這一系列的比較和推理活動(dòng)，學(xué)生對(duì)速度這個(gè)概念有了初步的感知和理解。（二）通過對(duì)比表征，尋找數(shù)量關(guān)系教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用語言、算式或圖畫等多種形式表征自己的思考過程，并闡述理由。具體可組織學(xué)生進(jìn)行小組或全班討論交流，分享不同計(jì)算方法，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化過程，運(yùn)用多種可視方式，對(duì)知識(shí)的理解更直觀和深入?！净顒?dòng)一】教師出示學(xué)習(xí)要求。寫一寫：請(qǐng)把你的理由用語言、算式或圖畫等形式寫下來。說一說：分小組進(jìn)行討論交流，分享不同的方法。教師提問：“小明家到學(xué)校和小紅家到學(xué)校的路程一樣嗎？時(shí)間一樣嗎？能不能直接比？你用什么方法判斷出誰走得快？”教師展示部分學(xué)生的作品（如圖2）。第（1）種方法：180×2=360（米），4×2=8（分），8分鐘＞6分鐘，小明快。第（2）種方法：算出2分鐘能走多少米，360÷3=120（米），180÷2=90（米），120米＞90米，小明快。第（3）種方法：360÷6=60（米/分），180÷4=45（米/分），60米/分＞45米/分，小明快。第（4）種方法：畫線段圖進(jìn)行比較，小明快。可見，學(xué)生思考角度不同。第（1）種方法先統(tǒng)一路程，將小紅的180米通過乘2轉(zhuǎn)化為360米，然后比時(shí)間，小紅需要8分鐘，小明只需要6分鐘，所以小明比小紅快。第（2）種方法先統(tǒng)一時(shí)間，分別算出小明和小紅2分鐘所行的路程，120米比90米遠(yuǎn)，所以小明更快一些。第（3）種方法先算出小紅和小明單位時(shí)間內(nèi)所行的路程，小明60米/分，小紅45米/分，再比較快慢。第（4）種方法先用線段圖表示出小明和小紅每分鐘所行的路程，再比較快慢。通過對(duì)比四種方法，學(xué)生明確了速度單位的含義和表示方法。在比較過程中發(fā)現(xiàn)：時(shí)間相同，可以比路程；路程相同，可以比時(shí)間。隨后，通過比較三人的行走速度，學(xué)生思考：用哪種方法比較快慢更好？通過討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)將三人行走的路程都改成1分鐘所走的路程就能直接比出快慢，而不需要一次次比較路程或時(shí)間，繼而發(fā)現(xiàn)用“路程÷時(shí)間=速度”來計(jì)算更好。（三）感受“速度”，加深概念理解速度表示路程和時(shí)間之比，由路程和時(shí)間這兩個(gè)基本單位復(fù)合而成。盡管學(xué)生已經(jīng)掌握了時(shí)間單位和長度單位的知識(shí)，但在學(xué)習(xí)速度知識(shí)時(shí)，他們還需要理解兩個(gè)要素使用不同單位時(shí)，表達(dá)的含義會(huì)有所不同。因此，學(xué)生需要全面理解速度的概念，以便更好地掌握和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)。【活動(dòng)二】教師出示三種不同交通工具（如圖3），讓學(xué)生根據(jù)三種交通工具給定的路程單位，猜測(cè)對(duì)應(yīng)的時(shí)間單位。教師提問：“能不能用數(shù)學(xué)的方法，讓大家一眼就看出誰快誰慢？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：比快慢時(shí)需要統(tǒng)一單位，即標(biāo)尺，這樣才有比較的價(jià)值。如可以將三種交通工具1秒鐘所行的米數(shù)作為標(biāo)尺（如圖4）。每秒、每分、每小時(shí)行的路程都是比較快慢最公平的尺子。由此，學(xué)生體會(huì)到速度既和路程有關(guān)系，也和時(shí)間有關(guān)系。在這一教學(xué)過程中，速度概念并非直接告知學(xué)生的，而是學(xué)生通過解決具體問題逐步形成的。學(xué)生通過直觀感知來認(rèn)識(shí)速度的含義，得到速度是衡量快慢的尺子，感受速度的價(jià)值，然后進(jìn)一步將速度概念應(yīng)用于生活實(shí)例，如獵豹的奔跑速度達(dá)到1800米/分，卡車的行駛速度為60千米/時(shí)。教師要鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言表達(dá)對(duì)速度的理解，并舉例說明不同物體的速度差異。由此，學(xué)生對(duì)更多物體的速度有了感知，又在不同的單位表達(dá)中感受了速度的快慢。（四）提煉數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型教師要求學(xué)生將已學(xué)的數(shù)量關(guān)系和“速度、時(shí)間和路程”的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行比較，構(gòu)建出一般性數(shù)學(xué)模型（如圖5），并將其應(yīng)用于實(shí)際問題中，使學(xué)生體會(huì)簡(jiǎn)單的乘法模型，再指導(dǎo)學(xué)生利用這一數(shù)學(xué)模型解決生活中的一類問題。這是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方法。此外，教師還可輔助使用微課，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)量關(guān)系等式和已經(jīng)學(xué)過的乘法模型的聯(lián)系，深入探究數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)單價(jià)、速度相當(dāng)于每份數(shù)，數(shù)量、時(shí)間相當(dāng)于份數(shù)，總價(jià)、路程就相當(dāng)于總數(shù)，這些關(guān)系都可以歸納為“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這一模型。通過尋找生活中類似的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生構(gòu)建了乘法關(guān)系模型，從而加深了對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解和應(yīng)用。三、遷移：解決實(shí)際問題，感悟關(guān)系模型價(jià)值教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?，為學(xué)生提供應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的資源與機(jī)會(huì)，使學(xué)生通過不斷的練習(xí)，能夠熟練掌握數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，為后續(xù)數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用奠定基礎(chǔ)；通過生活中的實(shí)際情境，使學(xué)生在深入理解速度概念的基礎(chǔ)上，對(duì)知識(shí)進(jìn)行鞏固、強(qiáng)化和應(yīng)用，從而有效提升學(xué)生的實(shí)踐能力和思維能力，使學(xué)生能夠運(yùn)用所積累的經(jīng)驗(yàn)解決實(shí)際問題。教師呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題：一輛汽車上午7時(shí)從A城出發(fā)前往B城（該段路程限速80千米/時(shí)）。在前4小時(shí)，汽車的平均速度為60千米/時(shí)。為了盡快到達(dá)B城，司機(jī)在后2小時(shí)提速，全程420千米。司機(jī)能在13時(shí)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)嗎？你想對(duì)司機(jī)說些什么？讓學(xué)生獨(dú)立嘗試用不同的數(shù)學(xué)方法解決問題。420-60×4=180（千米）。方法一：180÷2=90（千米/時(shí)），90千米/時(shí)＞80千米/時(shí)，因此要在13時(shí)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，司機(jī)一定會(huì)超速。方法二：80×2=160（千米），180千米＞160千米，因此不能在13時(shí)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)。方法三：180÷80=2（時(shí)）……20（千米），不能在13時(shí)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果要讓司機(jī)在不超速的情況下在13時(shí)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)B城，你有什么好方法？學(xué)生可以從速度、時(shí)間和路程的角度進(jìn)行比較，最終找到既能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)又不超速的方法。最后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生概括出“路程=速度×?xí)r間”這一乘法數(shù)量關(guān)系，并將其應(yīng)用于生活中的實(shí)際問題。通過實(shí)踐應(yīng)用，學(xué)生可以更深入地理解數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，并在復(fù)雜的生活情境中靈活做出決策，從而進(jìn)一步提升解題能力。綜上所述，“速度、時(shí)間和路程”的教學(xué)實(shí)踐，不僅融入了乘法關(guān)系的教學(xué)理念，而且對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)模式進(jìn)行了有益的突破。在基于模型意識(shí)的數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中，教師可以從學(xué)生熟悉的生活情境入手，引導(dǎo)他們通過具體情境深入理解速度的概念，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過對(duì)比分析找出數(shù)量關(guān)系的共同特征，并運(yùn)用表格、文字解釋、圖形描繪等手段直觀呈現(xiàn)速度、時(shí)間、路程之