特訓(xùn)01期中解答壓軸題(第16-18章)(原卷版+解析)

特訓(xùn)01期中解答壓軸題（第16-18章）一、解答題1．閱讀下列材料，解答后面的問題：；；(1)寫出下一個(gè)等式；(2)計(jì)算的值；(3)請(qǐng)求出的運(yùn)算結(jié)果．2．如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程稱為“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判斷下列方程是不是“差1方程”，并說明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“差1方程”，求m的值；(3)若關(guān)于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差1方程”，設(shè)t＝10a﹣b2，求t的最大值．3．材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何將雙重二次根式化簡(jiǎn)？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡(jiǎn)．材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y）和Q（x，y'）給出如下定義：若，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)（3，2）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（3，2），點(diǎn)（﹣2，5）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（﹣2，﹣5）．請(qǐng)選擇合適的材料解決下面的問題：(1)點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為______，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為______；(2)化簡(jiǎn)：；(3)已知a為常數(shù)（1≤a≤2），點(diǎn)M（，m）且，點(diǎn)是點(diǎn)M的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，求點(diǎn)'的坐標(biāo)．4．閱讀下列材料：在解一元二次方程時(shí)，無論是用直接開平方法、配方法還是用因式分解法，我們都是將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．再如，解無理方程（根號(hào)下含有未知數(shù)的方程），可以通過方程兩邊平方把它轉(zhuǎn)化為，解得．（1）解下列方程：①②（2）根據(jù)材料給你的啟示，求函數(shù)的最小值．5．如果方程滿足兩個(gè)實(shí)數(shù)解都為正整數(shù)解，我們就稱所有這樣的一元二次方程為同族方程，并規(guī)定：滿足．例如有正整數(shù)解3和4，所以屬于同族方程，所以(1)如果同族方程中有兩個(gè)相同的解，我們稱這個(gè)方程為同族方程中的完美方程，求證：對(duì)任意一個(gè)完美方程，總有(2)如果同族方程中的實(shí)數(shù)q滿足如下條件：①為一個(gè)兩位正整數(shù)，y為自然數(shù)②交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得差為54，那么我們稱這樣為同族方程中和諧方程，求所有和諧方程中的G的最小值．6．閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛應(yīng)用．例如：①我們可以將代數(shù)式a2+6a+10進(jìn)行變形，其過程如下a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1∵(a+3)2≥0∴(a+3)+1≥1，因此，該式有最小值1②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0將其變形，a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0a2+2a(b+c)+(b+c)2=可得(a+b+c)2=0(1)按照上述方法，將代數(shù)式x2+8x+20變形為a(x+h)2+k的形式；(2)若p=-x2+2x+5，求p的最大值；(3)已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，試判斷此三角形的形狀并說明理由；(4)已知：a=2020x+2019，b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接寫出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．7．對(duì)于代數(shù)式ax2+bx+c，若存在實(shí)數(shù)n，當(dāng)x＝n時(shí)，代數(shù)式的值也等于n，則稱n為這個(gè)代數(shù)式的不變值．例如：對(duì)于代數(shù)式x2，當(dāng)x＝0時(shí)，代數(shù)式等于0；當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式等于1，我們就稱0和1都是這個(gè)代數(shù)式的不變值．在代數(shù)式存在不變值時(shí)，該代數(shù)式的最大不變值與最小不變值的差記作A．特別地，當(dāng)代數(shù)式只有一個(gè)不變值時(shí)，則A＝0．（1）代數(shù)式x2﹣2的不變值是，A＝．（2）說明代數(shù)式3x2+1沒有不變值；（3）已知代數(shù)式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．8．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用．例：已知可取任何實(shí)數(shù)，試求二次三項(xiàng)式最小值．解：無論取何實(shí)數(shù)，總有．，即的最小值是．即無論取何實(shí)數(shù)，的值總是不小于的實(shí)數(shù)．問題：（1）已知，求證是正數(shù)．知識(shí)遷移：（2）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，從點(diǎn)向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)在邊上以的速度從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)．若點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)的面積為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，求的最大值．9．閱讀下列三份材料：材料1：我們定義：在分式中對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)我們稱之為“假分式”：當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)我們稱之為“真分式”如，這樣的分式就是假分式；再如，這樣的分式就是真分式；類似的，假分式也可以化為帶分式．如：；材料2：在學(xué)了乘法公式“”的應(yīng)用后，王老師提出問題：求代數(shù)式的最小值．要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答．同學(xué)們經(jīng)過探索、交流和討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：，∵，∴．當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是1．∴的最小值是1．材料3：由得，；如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)．例如：已知，求式子的最小值．解：令a=x，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=2時(shí)，式子有最小值，最小值為4．請(qǐng)你根據(jù)上述材料，解答下列各題：(1)已知，填空：①把假分式化為帶分式的形式是________；②式子的最小值為________；③式子的最小值為________；(2)用籬笆圍一個(gè)面積為32平方米的長方形花園，使這個(gè)長方形花園的一邊靠墻（墻長20米），問這個(gè)長方形的長、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？(3)已知，分別求出分式和的最值．（若有最大值，則求最大值，若有最小值，則求最小值）．10．如果記，并且表示當(dāng)時(shí)的值，即；表示當(dāng)時(shí)的值，即；表示當(dāng)時(shí)的值，即；…（1）計(jì)算下列各式的值：__________.__________.（2）當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，猜想的結(jié)果并說明理由；（3）求的值.11．我國南宋時(shí)期有個(gè)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了一個(gè)利用三角形的三邊求三角形的面積的公式，若三角形三邊為，則此三角形的面積為：同樣古希臘有個(gè)幾何學(xué)家海倫也提出了一個(gè)三角形面積公式：其中（1）在中，若，，，用其中一個(gè)公式求的面積．（2）請(qǐng)證明：12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（其中），射線與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在函數(shù)的圖像上，且軸，軸．（1）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6時(shí)，求直線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）聯(lián)結(jié)、，求的值．13．已知在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)（如圖），求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，且在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)（如圖2），用含字母的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，求的值．14．已知正反比例函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)，過第二象限的點(diǎn)作軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，點(diǎn)在第四象限（1）求這兩個(gè)函數(shù)解析式；（2）求這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，聯(lián)結(jié)、，寫出當(dāng)時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)15．如圖，直線與雙曲線交于A點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是4．雙曲線上有一動(dòng)點(diǎn)C（m，n）,.過點(diǎn)A作軸垂線，垂足為B，過點(diǎn)C作軸垂線，垂足為D，聯(lián)結(jié)OC．（1）求的值；（2）設(shè)的重合部分的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系；（3）聯(lián)結(jié)AC，當(dāng)?shù)冢?）問中S的值為1時(shí)，求的面積．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，軸于點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求面積；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使得以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，簡(jiǎn)述你的理由．17．如圖已知正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)A(2，3）、B（m，6）.（1）求正比例函數(shù)的解析式.（2）求m的值及A、B兩點(diǎn)之間的距離。（3）分別過點(diǎn)A與點(diǎn)B作y軸的平行線，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的分支分別交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C、D均在點(diǎn)A、B下方），若BD=5AC.求反比例函數(shù)的解析式，并求出四邊形ACDB的面積。18．已知反比例函數(shù)的圖像與的圖像交于點(diǎn)A、B，A點(diǎn)的坐標(biāo)是（，-2）（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）在y軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC的面積是6，若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。19．如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)，且為雙曲線上的一點(diǎn)，為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，垂直于軸，垂直于軸，垂足分別是、.（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式.（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得與的面積相等？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.20．如圖，是反比例函數(shù)在第一象限圖象上一點(diǎn)，連接OA，過A作軸，截取在A右側(cè)，連接OB，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)P．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及OB所在直線解析式；（3）求的面積．21．周末，小麗騎自行車從家出發(fā)到野外郊游，從家出發(fā)0.5小時(shí)到達(dá)甲地，游玩一段時(shí)間后按原速前往乙地，小麗離家1小時(shí)20分鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往乙地，行駛10分鐘時(shí)，恰好經(jīng)過甲地，如圖是她們距乙地的路程y(km)與小麗離家時(shí)間x(h)的函數(shù)圖象．（1）小麗騎車的速度為_______km/h，在甲地游玩了_______小時(shí)；（2）求小麗游玩一段時(shí)間后前往乙地的過程中y與x的函數(shù)關(guān)系；（3）小麗從家出發(fā)多少小時(shí)后被媽媽追上?此時(shí)距家的路程多遠(yuǎn)．22．如圖①，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．（1）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿路線A→B→C→D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為a，△AMD的面積為S，S關(guān)于a的函數(shù)圖象如圖②所示，求AD、CD的長．（2）如圖③，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿路線A→D→C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度沿路線C→D→A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AD邊上時(shí)，連接CP、CQ、PQ，當(dāng)△CPQ的面積為8時(shí)，求t的值．23．點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，且．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交的圖象于點(diǎn)．①請(qǐng)求出、的值；②試求的面積．（2）若軸，，與間的距離為6，試說明的值是否為某一固定值？如果是定值，試求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．24．（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：_________，_________，_________（2）由（1）中各式猜想：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，a＋b_________（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”），并說明理由；（3）結(jié)論應(yīng)用：若a＞0，則當(dāng)a＝_________時(shí)，有最小值；若b＞0，有最小值，最小值為_________；（4）問題解決：如圖，已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，且AB∥x軸，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C．四邊形ABCD的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并寫出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，說明理由25．背景：點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)B，軸于點(diǎn)C，分別在射線上取點(diǎn)D，E，使得四邊形為正方形．如圖1，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，小李測(cè)得．探究：通過改變點(diǎn)A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D，A的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)有助小李解決下列問題．(1)求k的值．(2)設(shè)點(diǎn)A，D的橫坐標(biāo)分別為x，z，將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”．如圖2，小李畫出了時(shí)“Z函數(shù)”的圖象．①求這個(gè)“Z函數(shù)”的表達(dá)式．②補(bǔ)畫時(shí)“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）．26．“卓越數(shù)學(xué)興趣小組”準(zhǔn)備對(duì)函數(shù)圖像和性質(zhì)進(jìn)行探究，他們制定了以下探究步驟：(1)該小組認(rèn)為此函數(shù)與反比例函數(shù)有關(guān)，于是他們首先畫出了反比例函數(shù)y＝的圖像（如圖1），然后畫出了的圖像，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出此圖像（草圖）．(2)他們發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像可以由y＝的圖像平移得到，請(qǐng)寫出平移過程．(3)他們發(fā)現(xiàn)可以根據(jù)函數(shù)圖像畫出函數(shù)的圖像，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出此圖像（草圖），并寫出其中的兩條函數(shù)性質(zhì)．(4)他們研究后發(fā)現(xiàn)，方程中，隨著a的變化，方程的解的個(gè)數(shù)也會(huì)有所變化，請(qǐng)結(jié)合圖像，就a的取值范圍討論方程解的情況．特訓(xùn)01期中解答壓軸題（第16-18章）一、解答題1．閱讀下列材料，解答后面的問題：；；(1)寫出下一個(gè)等式；(2)計(jì)算的值；(3)請(qǐng)求出的運(yùn)算結(jié)果．答案:(1)(2)(3)分析：（1）直接根據(jù)前面的等式，仿寫出下一個(gè)等式即可；（2）先分母有理化，然后合并同類二次根式即可；（3）先分母有理化，然后合并同類二次根式，再利用平方差公式計(jì)算即可．（1）解：（2）解：．（3）解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化、平方差公式等知識(shí)點(diǎn)，在處理二次根式混合運(yùn)算時(shí)，先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．2．如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程稱為“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判斷下列方程是不是“差1方程”，并說明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“差1方程”，求m的值；(3)若關(guān)于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差1方程”，設(shè)t＝10a﹣b2，求t的最大值．答案:(1)①不是“差1方程”，理由見解析；②是“差1方程”，理由見解析(2)或(3)時(shí)，的最大值為9分析：（1）根據(jù)解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比較兩根的差是否為1，從而確定方程是否為“差1方程”；（2）先解方程求得其根，再根據(jù)新定義列出的方程，注意有兩種情況；（3）根據(jù)新定義得方程的大根與小根的差為1，列出與的關(guān)系式，再由，得與的關(guān)系，從而得出最后結(jié)果．（1）解：①解方程得：，或，，不是“差1方程”；②，∴，，是“差1方程”；（2）解：方程得：，或，方程是常數(shù)）是“差1方程”，或，或；（3）解：由題可得：∴解方程得，關(guān)于的方程、是常數(shù)，是“差1方程”，，，，，，時(shí)，的最大值為9．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法以及正確理解“差1方程”的定義，本題屬于中等題型．3．材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何將雙重二次根式化簡(jiǎn)？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡(jiǎn)．材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y）和Q（x，y'）給出如下定義：若，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)（3，2）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（3，2），點(diǎn)（﹣2，5）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（﹣2，﹣5）．請(qǐng)選擇合適的材料解決下面的問題：(1)點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為______，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為______；(2)化簡(jiǎn)：；(3)已知a為常數(shù)（1≤a≤2），點(diǎn)M（，m）且，點(diǎn)是點(diǎn)M的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，求點(diǎn)'的坐標(biāo)．答案:(1)（，）；（，）(2)+(3)（﹣，﹣）分析：（1）根據(jù)“橫負(fù)縱變點(diǎn)”的定義，，即可；（2）根據(jù)材料一，雙重二次根式的化簡(jiǎn)，將化為，再根據(jù)，即可化簡(jiǎn)；（3）根據(jù)，得；將化簡(jiǎn)得；根據(jù)，得，求出的值，求出的坐標(biāo)，根據(jù)橫負(fù)縱變點(diǎn)”的定義，，即可求出的坐標(biāo)．（1）∵∴點(diǎn)（，）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（，）∵∴點(diǎn)（，）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（，）故答案為：（，）；（，）．（2）∴化簡(jiǎn)得：．（3）∵∴∴∴∴∵∴∴∴點(diǎn)（，）∵∴（，）故的坐標(biāo)為：（，）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減，新定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解新定義公式，化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式．4．閱讀下列材料：在解一元二次方程時(shí)，無論是用直接開平方法、配方法還是用因式分解法，我們都是將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．再如，解無理方程（根號(hào)下含有未知數(shù)的方程），可以通過方程兩邊平方把它轉(zhuǎn)化為，解得．（1）解下列方程：①②（2）根據(jù)材料給你的啟示，求函數(shù)的最小值．答案:（1）①，，；②；（2）分析：（1）①結(jié)合題意，首先提取公因式，再結(jié)合因式分解法求解，即可得到答案②方程兩邊平方把它轉(zhuǎn)化為，再通過因式分解法求解一元二次方程，結(jié)合二次根式的取值范圍分析，即可得到答案；（2）首先將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，分和兩種情況，當(dāng)時(shí)，根據(jù)一元二次方程判別式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到y(tǒng)的取值范圍；當(dāng)時(shí)，結(jié)合一元一次方程的性質(zhì)分析，即可得到答案．解析：（1）①∵∴∴，，②∵∴，即∴∴，∵∴∵∴∴（舍去）∴的解為：（2）將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，得，當(dāng)時(shí)，∵x為實(shí)數(shù)

∴

∴且；當(dāng)時(shí)，得：，方程有解（x的值存在）；∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程、一元一次方程、二次根式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的知識(shí)，從而完成求解．5．如果方程滿足兩個(gè)實(shí)數(shù)解都為正整數(shù)解，我們就稱所有這樣的一元二次方程為同族方程，并規(guī)定：滿足．例如有正整數(shù)解3和4，所以屬于同族方程，所以(1)如果同族方程中有兩個(gè)相同的解，我們稱這個(gè)方程為同族方程中的完美方程，求證：對(duì)任意一個(gè)完美方程，總有(2)如果同族方程中的實(shí)數(shù)q滿足如下條件：①為一個(gè)兩位正整數(shù)，y為自然數(shù)②交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得差為54，那么我們稱這樣為同族方程中和諧方程，求所有和諧方程中的G的最小值．答案:(1)見解析(2)分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式求得，再代入即可得證；（2）先根據(jù)題意列出關(guān)于x，y的二元一次方程，從而得到，結(jié)合已知求得q的值，從而得到三個(gè)方程，再結(jié)合和諧方程及同族方程的定義得到p的值，最后再求得各方程中G的值，即可求得答案．(1)證明：同族方程中有兩個(gè)相同的解，，，，，；(2)據(jù)題得，，，，，，，或28或17，可得三個(gè)方程，，，由和諧方程定義可得的解為或39；或13，此時(shí)或；方程的解為或；或；或，此時(shí)或或；方程的解為或17，此時(shí)；則和諧方程中G的最小值為

方程中G的最小值為

中G的值為

，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法，一元二次方程根的判別式的運(yùn)用，二元一次方程應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用．6．閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛應(yīng)用．例如：①我們可以將代數(shù)式a2+6a+10進(jìn)行變形，其過程如下a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1∵(a+3)2≥0∴(a+3)+1≥1，因此，該式有最小值1②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0將其變形，a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0a2+2a(b+c)+(b+c)2=可得(a+b+c)2=0(1)按照上述方法，將代數(shù)式x2+8x+20變形為a(x+h)2+k的形式；(2)若p=-x2+2x+5，求p的最大值；(3)已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，試判斷此三角形的形狀并說明理由；(4)已知：a=2020x+2019，b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接寫出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．答案:(1)；(2)6；（3）等邊三角形；（4）3分析：（1）根據(jù)材料步驟配方即可；（2）配方后即可求最大值；（3）先配方成幾個(gè)平方的和為0的形式即可解題；（4）擴(kuò)大兩倍后平方即可.解析：(1)x2+8x+2=(x2+8x)+20=(x2+8x+16)+20-16=(2)p=-x2+2x+5=∵(x-1)2≥0∴因此，該式有最大值6(3)∴∴∴三角形是等邊三角形(4)原式∵a=2020x+2019，b=2020x+2020，c=2020x+2021∴a-b=-1,a-c=-2,b-c=-1∴原式=3【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的運(yùn)用，熟讀閱讀材料并理解運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.7．對(duì)于代數(shù)式ax2+bx+c，若存在實(shí)數(shù)n，當(dāng)x＝n時(shí)，代數(shù)式的值也等于n，則稱n為這個(gè)代數(shù)式的不變值．例如：對(duì)于代數(shù)式x2，當(dāng)x＝0時(shí)，代數(shù)式等于0；當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式等于1，我們就稱0和1都是這個(gè)代數(shù)式的不變值．在代數(shù)式存在不變值時(shí)，該代數(shù)式的最大不變值與最小不變值的差記作A．特別地，當(dāng)代數(shù)式只有一個(gè)不變值時(shí)，則A＝0．（1）代數(shù)式x2﹣2的不變值是，A＝．（2）說明代數(shù)式3x2+1沒有不變值；（3）已知代數(shù)式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．答案:（1）﹣1和2；3；（2）見解析；（3）﹣3或1分析：（1）根據(jù)不變值的定義可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；（2）由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出方程3x2﹣x+1＝0沒有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出代數(shù)式3x2+1沒有不變值；（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出△＝0，解之即可得出結(jié)論．解析：解：（1）依題意，得：x2﹣2＝x，即x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴A＝2﹣（﹣1）＝3．故答案為﹣1和2；3．（2）依題意，得：3x2+1＝x，∴3x2﹣x+1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，∴該方程無解，即代數(shù)式3x2+1沒有不變值．（3）依題意，得：方程x2﹣bx+1=x即x2﹣（b+1）x+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，∴b1＝﹣3，b2＝1．答：b的值為﹣3或1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，根據(jù)不變值的定義，求出一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．8．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用．例：已知可取任何實(shí)數(shù)，試求二次三項(xiàng)式最小值．解：無論取何實(shí)數(shù)，總有．，即的最小值是．即無論取何實(shí)數(shù)，的值總是不小于的實(shí)數(shù)．問題：（1）已知，求證是正數(shù)．知識(shí)遷移：（2）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，從點(diǎn)向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)在邊上以的速度從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)．若點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)的面積為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，求的最大值．答案:（1）見解析;（2）當(dāng)時(shí)，有最大值分析：（1）根據(jù)題意對(duì)進(jìn)行配方，即可求出最值；（2）先求，再根據(jù)題意進(jìn)行配方即可求得最值．解析：（1）證明：．．．．是正數(shù)．（2）解：由題意得：，，．．．．又∵當(dāng)時(shí)，有最大值．【點(diǎn)睛】本題考查利用配方法求最值，正確進(jìn)行配方是求解本題的關(guān)鍵．9．閱讀下列三份材料：材料1：我們定義：在分式中對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)我們稱之為“假分式”：當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)我們稱之為“真分式”如，這樣的分式就是假分式；再如，這樣的分式就是真分式；類似的，假分式也可以化為帶分式．如：；材料2：在學(xué)了乘法公式“”的應(yīng)用后，王老師提出問題：求代數(shù)式的最小值．要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答．同學(xué)們經(jīng)過探索、交流和討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：，∵，∴．當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是1．∴的最小值是1．材料3：由得，；如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)．例如：已知，求式子的最小值．解：令a=x，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=2時(shí)，式子有最小值，最小值為4．請(qǐng)你根據(jù)上述材料，解答下列各題：(1)已知，填空：①把假分式化為帶分式的形式是________；②式子的最小值為________；③式子的最小值為________；(2)用籬笆圍一個(gè)面積為32平方米的長方形花園，使這個(gè)長方形花園的一邊靠墻（墻長20米），問這個(gè)長方形的長、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？(3)已知，分別求出分式和的最值．（若有最大值，則求最大值，若有最小值，則求最小值）．答案:(1)①；②；③24(2)當(dāng)長為8，寬為4時(shí)，所用籬笆最短16米；(3)有最小值，有最小值分析：（1）①根據(jù)已知材料1，將分子改寫成x+2-3，進(jìn)一步計(jì)算即可；②根據(jù)材料2，將原式化成完全平方式加常數(shù)的形式，即可可到答案；③根據(jù)材料3，將原式進(jìn)行改寫，即可得到答案；（2）首先設(shè)長方形的長為x，然后根據(jù)材料3進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）根據(jù)材料1和材料3，將原式改寫，然后使用不等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（1）①解：；故答案為；②解：，∵，∴，∴當(dāng)x=-4時(shí)，原式的最小值為-1；故答案為-1；③解：∵，設(shè)，則：，∴，∴，當(dāng)僅當(dāng)時(shí)，即x=3時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)x=3時(shí)，原式的最小值為24；故答案為24；（2）設(shè)長為x，寬為y．則xy=32，欲使x+2y最小，∵x＞0，y＞0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取得等號(hào)，由，解得，x=8，y=4，即長為8，寬為4時(shí)，所用籬笆最短．最短籬琶為16米．（3）解：，∵，∴，當(dāng)僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，∴，故當(dāng)時(shí)，有最小值；===，∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=2時(shí)取等號(hào)，∴∴∴∴故當(dāng)x=2時(shí)，有最小值．【點(diǎn)睛】本題是材料題，考查學(xué)生對(duì)所給材料的理解分析能力，涉及分式的加減、二次根式的乘法、不等式的性質(zhì)、完全平方公式、利用平方根解方程等知識(shí)，熟練運(yùn)用已知材料和所學(xué)知識(shí)，認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算，并注意解題過程中需注意的事項(xiàng)是本題的解題關(guān)鍵．10．如果記，并且表示當(dāng)時(shí)的值，即；表示當(dāng)時(shí)的值，即；表示當(dāng)時(shí)的值，即；…（1）計(jì)算下列各式的值：__________.__________.（2）當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，猜想的結(jié)果并說明理由；（3）求的值.答案:（1）1；1（2）結(jié)果為1，證明過程見詳解（3）分析：（1）根據(jù)題目定義的運(yùn)算方式代數(shù)計(jì)算即可.（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算結(jié)果總結(jié)規(guī)律，并加以證明.（3）運(yùn)用第（2）題的運(yùn)算規(guī)律和加法結(jié)合律進(jìn)行將式子中每一項(xiàng)適當(dāng)分組，再進(jìn)行計(jì)算.解析：解：（1）；.（2）猜想的結(jié)果為1.證明：（3）【點(diǎn)睛】本題以定義新運(yùn)算的形式考查了二次根式的綜合計(jì)算，遵循新運(yùn)算的方式，熟練掌握二次根式的計(jì)算是解答關(guān)鍵.11．我國南宋時(shí)期有個(gè)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了一個(gè)利用三角形的三邊求三角形的面積的公式，若三角形三邊為，則此三角形的面積為：同樣古希臘有個(gè)幾何學(xué)家海倫也提出了一個(gè)三角形面積公式：其中（1）在中，若，，，用其中一個(gè)公式求的面積．（2）請(qǐng)證明：答案:（1）；（2）證明見解析分析：（1）將，，代入中計(jì)算即可；（2）對(duì)和分別平方，再進(jìn)行整理化簡(jiǎn)得出，即可得出．解析：解：（1）將，，代入得：（2）===∵，∴==∴∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題中給出的公式，靈活運(yùn)用二次根式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（其中），射線與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在函數(shù)的圖像上，且軸，軸．（1）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6時(shí)，求直線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）聯(lián)結(jié)、，求的值．答案:（1）；（2）；（3）1分析：（1）根據(jù)自變量的值，可得函數(shù)值，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)值，可得自變量的值，根據(jù)勾股定理，可得OB長，根據(jù)AB=OB，可得點(diǎn)A坐標(biāo)；（3）聯(lián)立函數(shù)解析式，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得點(diǎn)B和點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式，可得答案．解析：（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)直線AO的解析式為，代入得，∴直線AO的解析式為；（2）由軸，得點(diǎn)B橫坐標(biāo)是4，當(dāng)時(shí)，，∴，，∵，∴，得，∴；（3）直線AO的解析式為，聯(lián)立，得，解得，∴，如圖，作，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，，，，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，根據(jù)三角形面積求點(diǎn)坐標(biāo)的方法，以及利用點(diǎn)坐標(biāo)表示三角形面積的方法，需要熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想．13．已知在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)（如圖），求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，且在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)（如圖2），用含字母的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，求的值．答案:（1）（2）（3）分析：（1）過A作AC⊥OB，根據(jù)三角形AOB為等腰直角三角形，得到AC=OC=BC=OB，確定出A坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出反比例解析式；（2）過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE與三角形ABD全等，由確定三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BD=AE=n，AD=OE=m，進(jìn)而表示出ED及OE+BD的長，即可表示出B坐標(biāo)；（3）由A與B都在反比例圖象上，得到A與B橫縱坐標(biāo)乘積相等，列出關(guān)系式，變形后即可求出的值．解析：解：（1）如圖1，過A作AC⊥OB，交x軸于點(diǎn)C，∵OA=AB，∠OAB=90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AC=OC=BC=OB=3，∴A（3，3），將x=3，y=3代入反比例解析式得：3=，即k=9，則反比例解析式為y=；（2）如圖2，過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAD=90°，∵∠AOE+∠OAE=90°，∴∠BAD=∠AOE，在△AOE和△BAD中，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AE=BD=n，OE=AD=m，∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n，則B（m+n，n-m）；（3）由A與B都在反比例圖象上，得到mn=（m+n）（n-m），整理得：n2-m2=mn，即（）2+-1=0，這里a=1，b=1，c=-1，∵△=1+4=5，∴=，∵A（m，n）在第一象限，∴m＞0，n＞0，則=．【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及一元二次方程的解法，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．14．已知正反比例函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)，過第二象限的點(diǎn)作軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，點(diǎn)在第四象限（1）求這兩個(gè)函數(shù)解析式；（2）求這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，聯(lián)結(jié)、，寫出當(dāng)時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)答案:（1）y=-，y=（2）A（-2，3），B（2，-3）（3）（2，0）或（-2，0）或（0，3）或（0，-3）分析：（1）先根據(jù)題意得出，再結(jié)合知，再利用待定系數(shù)法求解可得；（2）聯(lián)立正反比例函數(shù)解析式得到方程組，解之即可得交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由“點(diǎn)在坐標(biāo)軸上”分點(diǎn)在軸上和軸上兩種情況，根據(jù)利用割補(bǔ)法求解可得．解析：解：（1）如圖，∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，且軸，∴，∵，∴，則點(diǎn)，將代入得：，則正比例函數(shù)的解析式為；將代入得：，則反比例函數(shù)的解析式為；（2）∵∴得：或，∵點(diǎn)在第四象限，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為.（3）若在軸上，設(shè)，∵∴，解得：或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；若在軸上，設(shè)，∵∴，解得：或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及割補(bǔ)法求三角形的面積、分類討論思想的運(yùn)用等.15．如圖，直線與雙曲線交于A點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是4．雙曲線上有一動(dòng)點(diǎn)C（m，n）,.過點(diǎn)A作軸垂線，垂足為B，過點(diǎn)C作軸垂線，垂足為D，聯(lián)結(jié)OC．（1）求的值；（2）設(shè)的重合部分的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系；（3）聯(lián)結(jié)AC，當(dāng)?shù)冢?）問中S的值為1時(shí)，求的面積．答案:（1）；（2）；（3）.分析：（1）由題意列出關(guān)于k的方程，求出k的值，即可解決問題．（2）借助函數(shù)解析式，運(yùn)用字母m表示DE、OD的長度，即可解決問題．（3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面積；求出梯形ABDC的面積，即可解決問題．解析：（1）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，）；由題意得：，解得：k=8，即k的值為8．（2）如圖，設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為C（m，n）．則n=m，即DE=m；而OD=m，∴S=OD?DE=m×m=m2，即S關(guān)于m的函數(shù)解析式是S=m2．（3）當(dāng)S=1時(shí)，m2=1，解得m=2或-2（舍去），∵點(diǎn)C在函數(shù)y=的圖象上，∴CD==4；由（1）知：OB=4，AB=2；BD=4-2=2；∴S梯形ABDC＝(4+2)×2=6，S△AOB＝×4×2＝4，S△COD＝×2×4=4；∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD-S△AOB=6+4-4=6．【點(diǎn)睛】該題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，靈活運(yùn)用方程、函數(shù)等知識(shí)來分析、判斷、求解或證明．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，軸于點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求面積；（3）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使得以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，簡(jiǎn)述你的理由．答案:（1）（2）（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，?6）或（0，?2）．分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）由點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出OC，AC的長，利用勾股定理可得出OA＝2＝2AC，進(jìn)而可得出∠AOC＝30°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得出∠B＝∠AOC＝30°，利用30°角所對(duì)的直角邊為斜邊的一半可求出AB的長，再利用三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；（3）根據(jù)勾股定理可求出OB的長，分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此題得解．解析：（1）把代入反比例函數(shù)，得：，所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2），軸于，，，，，∴∠OAC＝60°，，，，，；（3）存在，在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝4，∠AOB＝90°，∴OB＝，分三種情況考慮：①當(dāng)OP＝OB時(shí)，如圖2所示，∵OB＝，∴OP＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）；②當(dāng)BP＝BO時(shí)，如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，過點(diǎn)B做BD⊥y軸于點(diǎn)D，則OD＝BC＝AB?AC＝3，∵BP＝BO，∴OP＝2OD＝6，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，?6）；當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，∵BP＝BO，∴OP＝2OC＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；③當(dāng)PO＝PB時(shí)，如圖4所示．若點(diǎn)P在x軸上，∵PO＝PB，∠BOP＝60°，∴△BOP為等邊三角形，∴OP＝OB＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；若點(diǎn)P在y軸上，設(shè)OP＝a，則PD＝3?a，∵PO＝PB，∴PB2＝PD2＋BD2，即a2＝（3?a）2＋3，解得：a＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，?2），綜上所述：在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)P，使得以O(shè)、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，?6）或（0，?2）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、勾股定理、三角形的面積公式以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）利用直角三角形的性質(zhì)，求出AB的長；（3）分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．17．如圖已知正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)A(2，3）、B（m，6）.（1）求正比例函數(shù)的解析式.（2）求m的值及A、B兩點(diǎn)之間的距離。（3）分別過點(diǎn)A與點(diǎn)B作y軸的平行線，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的分支分別交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C、D均在點(diǎn)A、B下方），若BD=5AC.求反比例函數(shù)的解析式，并求出四邊形ACDB的面積。答案:（1）y=x；（2）m=4；；（3）；四邊形ACDB的面積為6.分析：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx（k≠0），然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求出正比例函數(shù)的解析式；（2）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式中即可求出m，然后根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求出AB；（3）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：（a≠0），根據(jù)AC∥BD∥y軸，即可求出C、D的橫坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式即可用a表示出C、D的縱坐標(biāo)，從而求出BD和AC，然后列出方程即可求出a的值，從而求出反比例函數(shù)的解析式，然后根據(jù)梯形面積公式計(jì)算面積即可.解析：解：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx（k≠0）將點(diǎn)A(2，3）代入，得：3=2k解得：故正比例函數(shù)的解析式為：y=x；（2）將B點(diǎn)（m，6）代入y=x中，得：6=m解得：m=4根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式：AB=；（3）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：（a≠0）∵AC∥BD∥y軸∴A、C的橫坐標(biāo)相同，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為:2,B、D的橫坐標(biāo)相同，即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為:4,∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為∴AC=3－，BD=6－∵BD=5AC∴6－=5（3－）解得：a=4∴反比例函數(shù)的解析式為：.過點(diǎn)C作CE⊥BD于E∴AC=1，BD=5，CE=4－2=2∴S梯形ACDB==6.【點(diǎn)睛】此題考查的是正、反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式和方程思想求參數(shù)值是解決此題的關(guān)鍵.18．已知反比例函數(shù)的圖像與的圖像交于點(diǎn)A、B，A點(diǎn)的坐標(biāo)是（，-2）（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）在y軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC的面積是6，若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。答案:（1）；（2）（-1，2）；（3）（0,6）或（0，-6）分析：（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入中，求a的值，然后用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，y），數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三角形面積公式列方程求解.解析：解：（1）把A點(diǎn)的坐標(biāo)（，-2）代入中解得：a=1∴A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，-2）設(shè)反比例函數(shù)解析式為：將A點(diǎn)的坐標(biāo)（1，-2）代入中∴反比例函數(shù)的解析式為：（2）∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且它們的圖像交于點(diǎn)A、B∴點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，2）（3）存在，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，y），連接AC，BC∴∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,6）或（0，-6）【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的解題關(guān)鍵.19．如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)，且為雙曲線上的一點(diǎn)，為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，垂直于軸，垂直于軸，垂足分別是、.（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式.（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得與的面積相等？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.答案:（1）正比例函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；（2）在直線上存在這樣的點(diǎn)或，使得與面積相等.分析：（1）用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，即可得到正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)在直線MO上存在這樣的點(diǎn)Q（x，x），使得△OBQ與△OAP面積相等，則B（0，x）．根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程，解方程即可．解析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，正比例函數(shù)的解析式為.∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)，∴，.∴，.∴正比例函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為.（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)在直線上存在這一的點(diǎn)，使得與面積相等，則.∵，∴，解得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.故在直線上存在這樣的點(diǎn)或，使得與面積相等.【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解.20．如圖，是反比例函數(shù)在第一象限圖象上一點(diǎn)，連接OA，過A作軸，截取在A右側(cè)，連接OB，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)P．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及OB所在直線解析式；（3）求的面積．答案:（1）

（2）（9，3）；

（3）5分析：（1）直接代入A點(diǎn)坐標(biāo)課的k的值，進(jìn)而可得函數(shù)解析式；（2）過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，利用勾股定理計(jì)算出AO的長，進(jìn)而可得AB長，然后可得B點(diǎn)坐標(biāo)．設(shè)OB所在直線解析式為y=mx（m≠0）利用待定系數(shù)法可求出BO的解析式；（3）首先聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，延長DP交AB于點(diǎn)E，連接AP，再確定E點(diǎn)坐標(biāo)，最后求面積即可．解析：解：將點(diǎn)代入，得：，則反比例函數(shù)解析式為：；如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，則、，，軸，且，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；設(shè)OB所在直線解析式為，將點(diǎn)代入得，所在直線解析式為；聯(lián)立解析式：，解得：可得點(diǎn)P坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作軸，延長DP交AB于點(diǎn)E，連接AP，則點(diǎn)E坐標(biāo)為，，，，則的面積．【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和正比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)，必能滿足解析式．21．周末，小麗騎自行車從家出發(fā)到野外郊游，從家出發(fā)0.5小時(shí)到達(dá)甲地，游玩一段時(shí)間后按原速前往乙地，小麗離家1小時(shí)20分鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往乙地，行駛10分鐘時(shí)，恰好經(jīng)過甲地，如圖是她們距乙地的路程y(km)與小麗離家時(shí)間x(h)的函數(shù)圖象．（1）小麗騎車的速度為_______km/h，在甲地游玩了_______小時(shí)；（2）求小麗游玩一段時(shí)間后前往乙地的過程中y與x的函數(shù)關(guān)系；（3）小麗從家出發(fā)多少小時(shí)后被媽媽追上?此時(shí)距家的路程多遠(yuǎn)．答案:（1）20；0.5；（2）y＝－20x＋40；（3）小麗從家出發(fā)1.75小時(shí)后被媽媽追上，此時(shí)距家25km．分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖中的數(shù)據(jù)，由小麗從家到甲地的路程和時(shí)間可以求出小麗騎車的速度；再根據(jù)圖像BC段求出甲地游玩時(shí)間；（2）先求出直線AB的解析式，再根據(jù)直線AB∥CD，求出直線CD的解析式；（3）求出直線EF的解析式，聯(lián)立直線CD和直線EF的解析式，求出交點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．解析：解：（1）由函數(shù)圖可以得出，小麗家距離甲地的路程為10km，花費(fèi)時(shí)間為0.5h，故小麗騎車的速度為：10÷0.5＝20（km/h），由BC段可得甲地游玩時(shí)間1-0.5=0.5h．（2）設(shè)直線AB的解析式為：，將點(diǎn)A（0，30），B（0.5，20）代入得：，∵AB∥CD，∴設(shè)直線CD的解析式為：，將點(diǎn)C（1，20）代入得：＝40，故＝?20x＋40；（3）設(shè)直線EF的解析式為：＝x＋，，將點(diǎn)E，H代入得：＝?60，＝110，∴＝?60x＋110，解方程組，解得．∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（1.75，5），30?5＝25（km），所以小麗出發(fā)1.75小時(shí)后被媽媽追上，此時(shí)距家25km．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于讀懂題意，根據(jù)函數(shù)圖所給的信息求出合適的函數(shù)解析式并求解．22．如圖①，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．（1）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿路線A→B→C→D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為a，△AMD的面積為S，S關(guān)于a的函數(shù)圖象如圖②所示，求AD、CD的長．（2）如圖③，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿路線A→D→C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度沿路線C→D→A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AD邊上時(shí)，連接CP、CQ、PQ，當(dāng)△CPQ的面積為8時(shí)，求t的值．答案:（1）AD＝12，CD＝16；（2）t＝或分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象得到CD=16，根據(jù)S＝CD?AD＝16×AD＝96，即可求出CD；（2）根據(jù)題意得到，只有點(diǎn)P、Q都在AD邊上，才有以PQ為底邊，CD為高的三角形CPQ，確定t的取值范圍為≤t＜，分點(diǎn)P在Q上方和點(diǎn)P在點(diǎn)Q下方兩種情況分類討論并判斷是否滿足取值范圍即可求解．解析：解：（1）由函數(shù)圖象可知，點(diǎn)M從A出發(fā)，從點(diǎn)C到D耗時(shí)16秒，即CD＝16，此時(shí)S＝CD?AD＝16×AD＝96，解得：AD＝12，∴AD＝12，CD＝16；（2）由題意得，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到A停止的時(shí)間為，而點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到D的時(shí)間為＝6，故只能有點(diǎn)P、Q都在AD邊上，此時(shí)有以PQ為底邊，CD為高的三角形CPQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則AP＝2t，DQ＝5t﹣16，而≤t＜，當(dāng)點(diǎn)P在Q上方時(shí)，則PQ＝AD﹣AP﹣QD＝12﹣2t﹣5t+16＝28﹣7t，△CPQ的面積＝PQ×CD＝(28﹣7t)×16＝8，解得：t＝(滿足條件)；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q下方時(shí)，PQ＝DQ﹣(AD﹣AP)＝5t﹣16﹣(12﹣2t)＝7t﹣28，△CPQ的面積＝PQ×CD＝(7t﹣28)×16＝8，解得：t＝(滿足條件)；綜上，t＝或．【點(diǎn)睛】本題為動(dòng)點(diǎn)問題與函數(shù)圖象綜合題，綜合性較強(qiáng)．第（1）題讀懂題意和函數(shù)圖像是解題關(guān)鍵，第（2）題根據(jù)題意確定PQ位置后分類討論是解題關(guān)鍵．23．點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，且．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交的圖象于點(diǎn)．①請(qǐng)求出、的值；②試求的面積．（2）若軸，，與間的距離為6，試說明的值是否為某一固定值？如果是定值，試求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．答案:（1）①a=24，b=6②；（2）是定值為．分析：（1）①把代入反比例函數(shù)即可求出a，根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可求出b；②根據(jù)k的幾何意義求出△AOP的面積，再連接BP，根據(jù)中線的性質(zhì)即可求解；（2）先分析分別位于的兩個(gè)分支,分別位于的兩個(gè)分支；再利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，表示S△AOB和S△COD，再根據(jù)三角形的面積公式，AB與CD之間的距離為6，即求出答案．解析：（1）①把代入反比例函數(shù)，得a=6×4=24∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴B（3，2）把B（3，2）代入反比例函數(shù)，得b=3×2=6②∵S△AOP=S△AON-S△NOP==9∵B點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴BP是△AOP的中線∴的面積=×9=；（2）如圖，當(dāng)在的第一象限的圖像上時(shí)，在的第一象限的圖像上時(shí)軸，，，，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合即與間的距離為0，分別位于的兩個(gè)分支,分別位于的兩個(gè)分支；如圖，延長AB、CD交y軸于點(diǎn)E、F，∵點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，a＞b＞0，