2023年上海市靜安區(qū)高三高考二模數(shù)學(xué)試卷含答案

2023屆靜安區(qū)高三二?？荚嚁?shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1~6題每題4分，7~12題每

題5分）

【考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果?！?/p>

1,若集合4=｛2,1。82°｝，5=｛。,力｝,且Ac3=｛0｝,則=0

2.已知｛"■｝是公比為4的等比數(shù)列，且%、％、延成等差數(shù)列，則相=。

2

z=-----

3若復(fù)數(shù)1+i（i為虛數(shù)單位），則|z-i|=。

已知A（1,2）,兩點(diǎn)在對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

___________O

5.已知cw（°/）,且3cos2a—8cosa=5,則cosa=。

6,已知△ABC中，sinA=3sinCcosB,且AB=2,則△ABC面積的最大值為

X

/（x）=--------（a>0）

7.已知函數(shù).2'+1為偶函數(shù)，則函數(shù)/（X）的值域?yàn)閛

”（I㈤卜￡仿+。（2"3b）=4,

8.已知向量、，，且〃的夾角為3,\>V），則力在&方向

上的投影向量等于。

9.某運(yùn)動生理學(xué)家在一項(xiàng)健身活動中選擇了10名男性參與者，以他們的皮下脂肪厚度來估

計(jì)身體的脂肪含量，其中脂肪含量以占體重（單位：kg）的百分比表示。得到脂肪含量和

體重的數(shù)據(jù)如下

個體編號體重x(kg)脂肪含量y（%）

18928

28827

36624

45923

59329

67325

78229

87725

910030

106723

建立男性體重與脂肪含量的回歸方程為：o(結(jié)果中回歸系數(shù)保留三位小數(shù))

10.如圖，正方體ABCD-A14GA中，E為AB的中點(diǎn)，尸為正方形8CGg的中心，則

直線EF與側(cè)面BB'C'C所成角的正切值是。

11.今年是農(nóng)歷癸卯兔年，一種以兔子形象命名的牛奶糖深受顧客歡迎。標(biāo)識質(zhì)量為500g

的這種袋裝奶糖的質(zhì)量指標(biāo)X是服從正態(tài)分布N(500,2.5?)的隨機(jī)變量。若質(zhì)量指標(biāo)

介于495g(含)至505g(含)之間的產(chǎn)品包裝為合格包裝，則隨意買一包這種袋裝奶糖，

是合格包裝的可能性大小為%。(結(jié)果保留一位小數(shù))

(已知0)(1)?0.8413,0(2)?0.9772,0(3)?0.9987.①(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函

數(shù)從-8到x的累計(jì)面積)

12.若lO'TO'=10,其中X,yeR,則2%一丁的最小值為。

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，其中13~14題每題4分，15~16題

每題5分)【每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將

代表答案的小方格涂黑，選對得相應(yīng)分值，否則一律得零分?！?/p>

13.若直線/的方向向量為a,平面a的法向量為“，則能使/〃a的是()

Aa=(1,0,0),ri=(-2,0,0)ga=(1,3,5),力=(1,0,1)

Ca=(1,-1,3),?=(0,3,1)口a=(0,2,1),”=(-1,0,-1)

14.摩天輪常被當(dāng)作一個城市的地標(biāo)性建筑，如靜安大悅城的“SkyRing”摩天輪是上海首

個懸臂式屋頂摩天輪。摩天輪最高點(diǎn)離地面高度106米，轉(zhuǎn)盤直徑56米，輪上設(shè)置30個

極具時尚感的4人轎艙，擁有360度的絕佳視野。游客從離樓頂屋面最近的平臺位置進(jìn)入

轎艙，開啟后按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)/分鐘后，游客距離地面的高度為〃米，

〃=-28cos?+78。若在4,‘2時刻，游客距離地面的高度相等，則4+’2的最小值

為（）

A.6B.12C.18D.24

15.設(shè)直線4：x-2y-2=0與/2關(guān)于直線/:2x—4-4=0對稱，則直線4的方程是

()

.llx+2y-22=0Rllx+y+22=0

c5x+^-ll=0D10x+y-22=0

16.函數(shù)y=Wnx()

A.嚴(yán)格增函數(shù)

fol]fiJ

B.在Ie,上是嚴(yán)格增函數(shù)，在+1上是嚴(yán)格減函數(shù)

C.嚴(yán)格減函數(shù)

D.在Iej上是嚴(yán)格減函數(shù),在J上是嚴(yán)格增函數(shù)

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）

【解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟?！?/p>

17.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分8分，第（2）小題滿分6

分）

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛勺｝滿足4=1'%=2%T+3（正整數(shù)2）

（1）求證：數(shù)列｛6,+3｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S”。

18.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7

分）

如圖，在五面體ABCDE尸中，F(xiàn)A_L平面ABCD,AD//BC//FE,ABJ_A￡>,若

AD=2,AF=AB=BC=FE=1。

（1）求五面體ABCDE尸的體積；

（2）若M為EC的中點(diǎn)，求證：平面CDEJ■平面AMD。

8

19.（本題滿分16分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分8分，第（2）小題滿分8

分）

22

￡._21=1

已知雙曲線「：/"（其中。>°，”>°）的左、右焦點(diǎn)分別為6（-C,0）、

（C,0）（其中。>°）。

_垃71

y——x—

（1）若雙曲線r過點(diǎn)（2,1）且一條漸近線方程為2；直線/的傾斜角為4,在

了軸上的截距為-2。直線/與該雙曲線r交于兩點(diǎn)A、B,M為線段AB的中點(diǎn)，求4

時打入的面積；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線「在第一象限的交點(diǎn)為匕過P

作圓的切線，若切線的斜率為-石，求雙曲線「的離心率。

20.（本題滿分16分，本題共有2個問題，問題（1）滿分8分，問題（2）滿分8分）

概率統(tǒng)計(jì)在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用廣泛。請解決下列兩個問題。

（1）隨著中小學(xué)“雙減”政策的深入人心，體育教學(xué)和各項(xiàng)體育鍛煉迎來時間充沛的春

天。某初中學(xué)校學(xué)生籃球隊(duì)從開學(xué)第二周開始每周進(jìn)行訓(xùn)練，第一次訓(xùn)練前共有6個籃

球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3個是舊球（即至少用過一次的球）。每次訓(xùn)

練，都是從中不放回任意取出2個籃球，訓(xùn)練結(jié)束后放回原處。設(shè)第一次訓(xùn)練時取到的新

球個數(shù)為。求隨機(jī)變量自的分布和期望。

（2）由于手機(jī)用微波頻率信號傳遞信息，那么長時間使用手機(jī)是否會增加得腦瘤的概率？

研究者針對這個問題，對腦瘤病人進(jìn)行問卷調(diào)查，詢問他們是否總是習(xí)慣在固定的一側(cè)接

聽電話？如果是，是哪邊？結(jié)果有88人喜歡用固定的一側(cè)接電話。其中腦瘤部位在左側(cè)的

病人習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話的有14人，習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話的有28人；腦瘤部位

在右側(cè)的病人習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話的有

19人，習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話的有27人。

根據(jù)上述信息寫出下面這張2x2列聯(lián)表中字母所表示的數(shù)據(jù)，并對患腦瘤在左右側(cè)的部位

是否與習(xí)慣在該側(cè)接聽手機(jī)電話相關(guān)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)。（顯著性水平a=0.05）

習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話總計(jì)

腦瘤部位在左側(cè)的病人ah42

腦瘤部位在右側(cè)的病人Cd46

總計(jì)a+cb+d88

2n[ad-hcY

參考公式及數(shù)據(jù)：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中,

n=a+b+c+d,＞3.841）?0.05

21.（本題滿分18分，本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6

分，第（3）小題滿分8分）

=—%2-（?+1）%+?Inx

已知函數(shù)2。（其中。為常數(shù)）

（1）若。=一2,求曲線'=/（》）在點(diǎn)（2,7（2））處的切線方程；

（2）當(dāng)。＜0時，求函數(shù)'=/。）的最小值；

（3）當(dāng)0?。＜1時，試討論函數(shù)'=/（"）的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由。

2023屆靜安區(qū)二模參考答案

2023.4

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1~6題每題4分，7~12題每

題5分）

I.{0,1,2}3.百至+或

V2

7.（0,2]8.（4,4）9、^=0.186x4-11.571102

11.95.4或95.5都對12、l+21g2

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13~14題每題4分，15~16題

每題5分）

13.C14.B15.A16.D

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）【解答下列各題必須在答題紙相

應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。】

17.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分8分，第（2）小題滿分6

分）

解：（1）證明：已知遞推公式。"=2%一|+3,兩邊同時加上3,得

%+3=2（%+3）（心2）,

鳥=2（〃22）,

an>O,a?+3>Oj故。“T+3

%+3=2%+3+3=2）

（直接將已知遞推公式代入等比數(shù)列定義計(jì)算也可："M+3

又％+3=4,所以數(shù)列｛1+3｝是以4+3=4為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列。

+l）,+2

an=2"-3,Sn=4（J2）=2—4—3〃

（2）數(shù)列｛%+3｝通項(xiàng)公式為1-2

18.(本題滿分14分，本題共有2個小題，第(1)小題滿分7分，第(2)小題滿分7

分)

解：證明(1)因?yàn)锳D=2,AF=AB=BC=FE=\,取AD中點(diǎn)N,連接EN,因?yàn)?/p>

AD//BC//FE，所以EN//AF,EN=AF=l,CN〃=AB=1

又FA_L平面ABCD,AB±ADa

所以EN_L平面ABCD,ABRNCE為底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1,三棱錐

E-CDN是高等于1底面是等腰直角三角形。

五面體ABCDEF的體積=棱柱ABF-NCE的體積+棱錐E-CDN的體積。

V=—xlxlxl+—X—xlxl=—.

即：2323

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AD,Ab為x，、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系。

j_j_

點(diǎn)C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),M(2,1,2),所以

_____/11\

AD=(O,2,O),MD=--,1,--,C￡=(-l,0,l)

I2Z)

CEAD=0,CEMD=---=0

^..CELAD^ELMD

n\kA

所以CE_L平面AMD

又CEu平面CDE,

平面CDE_L平面AMD

證法2：因?yàn)锳C=AE=J5,所以4ACE為等腰三角形，M為EC的中點(diǎn)，所以

AMICE；

同理在ANCE中，MNICE,（N為AD中點(diǎn)）

又A例、MNu平面AMD,

所以CE_L平面AMD

又CEu平面CDE,

平面平面AMD。

（說明：推導(dǎo)CEL平面AMD的路徑不唯一）

19.（本題滿分16分，本題共有2個小題，第（1）小題滿分8分，第（2）小題滿分8

分）

22

X）廣-1J

--7T-1y^±-x

解：（1）雙曲線「：ab漸近線方程為a,已知一條漸近線方程為

，-也x41_]

2，所以。=四，雙曲線「經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,所以/b-,

解得cr=2力-=1

2

X2_1

----y=1

所以，雙曲線「2

71

直線/的傾斜角為I,則斜率為1,方程為：y=x-2,代入雙曲線方程得：

X2-8X+10=0,設(shè)兩點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（再，*）、（“2,%）,M（x,y）,則

X+/=8,x=4,y=2

時=26,△崢6的面積石'2=2石

222

（2）圓方程：x+y=c

方法1：設(shè)過P作圓的切線與X軸交于點(diǎn)Q,由PQ斜率為-6,可知直角三角形POQ

中，OP=c,4PQ0WPQ=^-c,0Q=不，從而點(diǎn)p的縱坐標(biāo)等于5c,

222

因?yàn)辄c(diǎn)p在圓廠+y-=c上，所以代入計(jì)算得點(diǎn)「的橫坐標(biāo)等于2c,點(diǎn)尸又在雙曲線

爐V731

------1---

r：/F上，將（2c,2c）代入得岑一旨=4

a2b2

離心率e=￡>l,b2=c2-a2,所以3e2-p=4,整理得3e“一8e?+4=0,解得

aez-l

e2=2,所以雙曲線「的離心率為返。

￡

方法2：將圓方程與橢圓方程聯(lián)立，求得P(W至，C),過點(diǎn)尸的切線方程為

C

。迎%+gy_=0,若該切線的斜率為一G,則_a4b：+色,1=_匾,即

a2(Z?2+c2)=3b4-b2=c2—Q?代入整理得：3c4-8a2c2+4a4=o.e=->1,3e4—

a

8e2+4=0,解得e2=2,所以雙曲線「的離心率為加。

20.(本題滿分16分，本題共有2個問題，問題(1)滿分8分，問題(2)滿分8分)

(1)解：第一次訓(xùn)練時所取的球是從6個球(3新，3舊)中不放回取出2個球，所以可

判斷出自服從超幾何分布，4可取的值為0,1,2

=0)=|=|P(f=i)=等=|p(f=2)=L

/012\

.?七的分布為：131

\555/

131

E(^=Ox—+lx—+2x—=1

?555

(2)a=14,b=28,c=19,d=27,Q+C=33,b+d=55

提出原假設(shè)H0:患腦瘤在左右側(cè)的部位與習(xí)慣在該側(cè)接聽手機(jī)電話無關(guān)。

計(jì)算Z的值，/B0.595

統(tǒng)計(jì)決斷：由P(/23.841)=0.05,而0.595<3.841,小概率事件沒有發(fā)生，故不能否

定原假設(shè).

因此，腦瘤病患在左右側(cè)的部位與習(xí)慣在該側(cè)接聽手機(jī)電話無關(guān)，或者說，長時間使用手

機(jī)與是否得腦瘤沒有顯著關(guān)系

21.(本題滿分18分，本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6

分，第(3)小題滿分8分)

解：(1)當(dāng)。=-2時，f(2)=2+2-2ln2=4-2ln2,

一)=