廣東省廣州市天河區(qū)2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試卷

2023-2024學年廣東省廣州市天河區(qū)高二（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）以下八個數(shù)據(jù)：72，60，68，63，58，61，70，71的第80百分位數(shù)是（）A．68 B．70 C．71 D．70.52．（5分）甲乙兩人獨立破譯密碼，甲能破譯出密碼的概率為，乙能破譯出密碼的概率為，則密碼被成功破譯的概率為（）A． B． C． D．3．（5分）已知隨機變量X的分布列如表：X236Pa則D（3X+2）的值為（）A．20 B．18 C．8 D．64．（5分）某市共10000人參加一次物理測試，滿分100分，學生的抽測成績X服從正態(tài)分布N（70，102），則抽測成績在[80，90]的學生人數(shù)大約為（）（若ξ～N（μ，σ2），則P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）＝0.6827，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）＝0.9545）A．1359 B．2718 C．3414 D．47735．（5分）若二項展開式中的各項的二項式系數(shù)只有第4項最大，則展開式的常數(shù)項的值為（）A．﹣1120 B．﹣160 C．1120 D．1606．（5分）曲線在點（π，0）處的切線方程為（）A．πx+2y﹣π2＝0 B．πx﹣2y﹣π2＝0 C．πx+y﹣π2＝0 D．πx﹣y﹣π2＝07．（5分）某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二進制數(shù)a1a2a3a4a5（例如01001），其中ak（k＝1，2，3，4，5）出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記X＝a1+a2+a3+a4+a5，則當程序運行一次時，下列說法正確的是（）A． B． C． D．五位二進制數(shù)10100與10001出現(xiàn)的概率相同8．（5分）若m＞1，n＞1，且，則（）A．lgm＞lgn B．1gm＜lgn C．（m﹣2）2＜（n﹣2）2 D．（m﹣2）2＞（n﹣2）2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）函數(shù)f（x）的定義域為（a，b），導函數(shù)f′（x）在（a，b）內(nèi)的圖象如圖所示，則（）A．函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)一定不存在最小值 B．函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)只有一個極小值點 C．函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)有兩個極大值點 D．函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可能沒有零點（多選）10．（6分）變量x，y的一組樣本數(shù)據(jù)如下表所示：x681012y6m32通過散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點分布在一條直線附近，并通過最小二乘法求得經(jīng)驗回歸方程為y＝7.6﹣0.4x，則（）A．變量x，y之間呈負相關(guān)關(guān)系 B．變量x，y之間的相關(guān)系數(shù)r＝﹣0.4 C．m＝5 D．樣本點（8，m）的殘差為0.6（多選）11．（6分）校運會組委會將甲、乙、丙、丁4名志愿者隨機派往鉛球、跳遠、跳高三個比賽區(qū)域，每個區(qū)域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一個區(qū)域．A表示事件“志愿者甲派往鉛球區(qū)域”，B表示事件“志愿者乙派往鉛球區(qū)域”，C表示事件“志愿者乙派往跳遠區(qū)域”，則（）A．A與B相互獨立 B．B與C互斥 C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）某藥廠用甲、乙兩地收購而來的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥，這兩個地區(qū)的供貨量分別占70%，30%，且用這兩地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為0.8，0.6，現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意取出一件產(chǎn)品，則此產(chǎn)品是優(yōu)等品的概率為．13．（5分）一個課外活動小組的7名同學被邀請參加一個社團活動．如果必須有人去，去幾個人自行決定，有種不同的去法．（用數(shù)字作答）14．（5分）近年來中國各地政府對夜間經(jīng)濟的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模穩(wěn)定增長，有關(guān)部門整理了2017﹣2022年中國夜間經(jīng)濟的數(shù)據(jù)，把市場發(fā)展規(guī)模記為y（單位：萬億元），并把2017﹣2022年對應(yīng)的年份代碼x依次記為1～6，經(jīng)分析，判斷可用函數(shù)模型y＝a?ebx擬合y與x的關(guān)系（a，b為參數(shù)）．令zi＝lnyi，計算得，，由最小二乘法得經(jīng)驗回歸方程為＝0.159x+2.799，則b的值為．為判斷擬合效果，通過經(jīng)驗回歸方程求得預(yù)測值（i＝1，2，?，6），若殘差平方和，則決定系數(shù)R2≈．（參考公式，決定系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：6×3.3572≈67.617）四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)f（x）＝x3+3x2﹣9x+m．（m∈R）（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當f（x）有3個零點時，求m的取值范圍．16．（15分）某食品加工廠為了檢查一條新投入使用的全自動包裝線的效能，隨機抽取該包裝線上的100件產(chǎn)品，檢測出產(chǎn)品的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為[485，490），[490，495），…，[505，510]，由此得到樣本的頻率分布直方圖（如圖）．（1）求直方圖中a的值；（2）估計這100件產(chǎn)品的重量的中位數(shù)（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（3）若產(chǎn)品重量在區(qū)間[490，505）上，則判定該產(chǎn)品包裝合格．在這100件產(chǎn)品中任取2件，記包裝不合格的產(chǎn)品件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）．17．（15分）某單位擬實行新的員工考勤管理方案．方案起草后，為了解員工對新方案是否滿意，隨機選取150名男員工和150名女員工進行問卷調(diào)查，結(jié)果如下：300名員工中有15名員工對新考勤管理方案不滿意，其中男3人，女12人．（1）完成如下列聯(lián)表：單位：人性別滿意合計是否男女合計根據(jù)α＝0.025的獨立性檢驗，能否認為性別與對新考勤管理方案滿意有關(guān)聯(lián)？（2）為了得到被調(diào)查者對所提問題的誠實回答，消除被調(diào)查者對于敏感問題的顧慮，決定調(diào)整調(diào)查方案．新的調(diào)查方案中使用兩個問題：①你公歷生日是奇數(shù)嗎？②你對新考勤管理方案是否滿意？先讓被調(diào)查者從裝有4個紅球，6個黑球（除顏色外，完全相同）的袋子中隨機摸取兩個球（摸出的球再放回袋中）．摸到兩球同色的員工如實回答第一個問題，摸到兩球異色的員工如實回答第二個問題．問卷上沒有問題，答題者只需選擇“是”或者“否”．由于回答的是哪個問題是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無顧慮的誠實回答．（i）根據(jù)以上調(diào)查方案，求某個被調(diào)查者回答第一個問題的概率；（ii）如果300人中共有206人回答“是”，請估計對新考勤管理方案滿意的員工所占的百分比．（每個員工公歷生日是奇數(shù)的概率取為≈0.5）α0.050.0250.005xα3.8415.0247.879附：．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，證明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．19．（17分）現(xiàn)有n枚游戲幣C1，C2，…，?n（n＞3），游戲幣?k（k＝1，2，?，n）是有偏向的，向上拋出后，它落下時正面朝上的概率為．甲、乙利用這n枚游戲幣玩游戲．（1）將C1，C2，C3這3枚游戲幣向上拋出，記落下時正面朝上的個數(shù)為X，求X的分布列；（2）將這n枚游戲幣向上拋出，規(guī)定若落下時正面朝上的個數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，請判斷這個游戲規(guī)則是否公平，并說明理由．

2023-2024學年廣東省廣州市天河區(qū)高二（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）以下八個數(shù)據(jù)：72，60，68，63，58，61，70，71的第80百分位數(shù)是（）A．68 B．70 C．71 D．70.5【分析】利用百分位數(shù)的求解公式即可求解．【解答】解：八個數(shù)據(jù)從小到大排列：58，60，61，63，68，70，71，72，因為8×80%＝6.4，所以八個數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為第7個數(shù)，即為71．故選：C．【點評】本題考查了百分位數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）甲乙兩人獨立破譯密碼，甲能破譯出密碼的概率為，乙能破譯出密碼的概率為，則密碼被成功破譯的概率為（）A． B． C． D．【分析】利用獨立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：設(shè)事件A表示“密碼被成功破譯”，則事件表示“密碼沒有被成功破譯”，由題意可知，P（）＝（1﹣）×（1﹣）＝，所以P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝．故選：D．【點評】本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知隨機變量X的分布列如表：X236Pa則D（3X+2）的值為（）A．20 B．18 C．8 D．6【分析】根據(jù)概率之和等于1求得a，再根據(jù)期望公式和方差公式求出期望與方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)即可得解．【解答】解：根據(jù)分布列可知，解得，，，所以D（3X+2）＝9D（X）＝18．故選：B．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差，是中檔題．4．（5分）某市共10000人參加一次物理測試，滿分100分，學生的抽測成績X服從正態(tài)分布N（70，102），則抽測成績在[80，90]的學生人數(shù)大約為（）（若ξ～N（μ，σ2），則P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）＝0.6827，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）＝0.9545）A．1359 B．2718 C．3414 D．4773【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，以及頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解．【解答】解：學生的抽測成績X服從正態(tài)分布N（70，102），則P（80≤X≤90）＝＝＝0.1359，由于總?cè)藬?shù)為10000，則抽測成績在[80，90]的學生人數(shù)大約為10000×0.1359＝1359．故選：A．【點評】本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）若二項展開式中的各項的二項式系數(shù)只有第4項最大，則展開式的常數(shù)項的值為（）A．﹣1120 B．﹣160 C．1120 D．160【分析】依題意，根據(jù)二項式系數(shù)性質(zhì)，可知n＝6，從而可得展開式通項，令k＝3即可求得常數(shù)項的值．【解答】解：因為二項展開式中的各項的二項式系數(shù)只有第4項最大，所以n＝6，則展開式的通項為，令3﹣k＝0，解得k＝3，所以，即展開式中常數(shù)項為﹣160．故選：B．【點評】本題考查二項式展開式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）曲線在點（π，0）處的切線方程為（）A．πx+2y﹣π2＝0 B．πx﹣2y﹣π2＝0 C．πx+y﹣π2＝0 D．πx﹣y﹣π2＝0【分析】先求導，再得到x＝π時的導函數(shù)值即切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程即可．【解答】解：y＝xcos，y'＝cos﹣sin，∴y'|x＝π＝cos﹣sin＝﹣，又當x＝π時，y＝0，∴切線方程為y＝﹣（x﹣π），整理得πx+2y﹣π2＝0．故選：A．【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義與切線方程，屬于中檔題．7．（5分）某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二進制數(shù)a1a2a3a4a5（例如01001），其中ak（k＝1，2，3，4，5）出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記X＝a1+a2+a3+a4+a5，則當程序運行一次時，下列說法正確的是（）A． B． C． D．五位二進制數(shù)10100與10001出現(xiàn)的概率相同【分析】根據(jù)二項分布的定義可判斷A的正誤，利用二項分布可判斷B的正誤，利用公式計算出X的期望和方差后可判斷CD的正誤．【解答】解：由二進制數(shù)A的特點知，每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1，且每個數(shù)位上的數(shù)字互不影響，故X的可能取值有0，1，2，3，4，5，且X的取值表示1出現(xiàn)的次數(shù)，由二項分布的定義，可得X～B（5，），故，故A錯誤；因為X～B（5，），所以，B錯誤；，故C錯誤，五位二進制數(shù)10100與10001出現(xiàn)的概率為＝，D正確．故選：D．【點評】本題考查二項分布的期望和方差，是中檔題．8．（5分）若m＞1，n＞1，且，則（）A．lgm＞lgn B．1gm＜lgn C．（m﹣2）2＜（n﹣2）2 D．（m﹣2）2＞（n﹣2）2【分析】由不等式性質(zhì)先可得，進而可得，構(gòu)造函數(shù)，x∈（1，+∞），對其求導，結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性關(guān)系可得1＜m＜n，然后結(jié)合二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷．【解答】解：先判斷與的大小關(guān)系，因為en（n+2）﹣（en+1）（n+1）＝en﹣n﹣1＞0（n＞1）恒成立，所以en（n+2）＞（en+1）（n+1），即，因為，故，設(shè)，x∈（1，+∞），則＜0在（1，+∞）上恒成立，所以在（1，+∞）上單調(diào)遞減，因為f（m）＞f（n），所以1＜m＜n，則lgm＜lgn，A錯誤，B正確；由于y＝（x﹣2）2在（1，+∞）不單調(diào)，故C、D錯誤．故選：B．【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，導數(shù)與單調(diào)性關(guān)系在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）函數(shù)f（x）的定義域為（a，b），導函數(shù)f′（x）在（a，b）內(nèi)的圖象如圖所示，則（）A．函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)一定不存在最小值 B．函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)只有一個極小值點 C．函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)有兩個極大值點 D．函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可能沒有零點【分析】結(jié)合導函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的零點，即可得到選項．【解答】解：由題意可知，函數(shù)的單調(diào)性是增函數(shù)→減函數(shù)→增函數(shù)→減函數(shù)，即x＝c，x＝e時，函數(shù)取得極大值，在x＝d處取得極小值，所以B、C正確；極大值是函數(shù)的最大值時，函數(shù)能取得最大值；所以A不正確；函數(shù)可能沒有零點，所以D正確．故選：BCD．【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值的判斷，是基礎(chǔ)題．（多選）10．（6分）變量x，y的一組樣本數(shù)據(jù)如下表所示：x681012y6m32通過散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點分布在一條直線附近，并通過最小二乘法求得經(jīng)驗回歸方程為y＝7.6﹣0.4x，則（）A．變量x，y之間呈負相關(guān)關(guān)系 B．變量x，y之間的相關(guān)系數(shù)r＝﹣0.4 C．m＝5 D．樣本點（8，m）的殘差為0.6【分析】根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式可判斷B，根據(jù)線性回歸方程必過點（，）可判斷C，根據(jù)殘差的定義可判斷D．【解答】解：對于A，根據(jù)線性回歸方程為，可知回歸系數(shù)，故判斷x，y之間呈現(xiàn)負相關(guān)關(guān)系，故A正確；對于B，相關(guān)系數(shù)，故B錯誤；對于C：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算，，代入回歸方程，得，解得m＝5，C正確；對于D，由C可知m＝5，所以樣本點（8，m）的殘差為m﹣（﹣0.4×8+7.6）＝5﹣4.4＝0.6，故D正確．故選：ACD．【點評】本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，考查了相關(guān)系數(shù)和殘差的定義，屬于中檔題．（多選）11．（6分）校運會組委會將甲、乙、丙、丁4名志愿者隨機派往鉛球、跳遠、跳高三個比賽區(qū)域，每個區(qū)域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一個區(qū)域．A表示事件“志愿者甲派往鉛球區(qū)域”，B表示事件“志愿者乙派往鉛球區(qū)域”，C表示事件“志愿者乙派往跳遠區(qū)域”，則（）A．A與B相互獨立 B．B與C互斥 C． D．【分析】根據(jù)題意，由相互獨立事件的定義分析A，由互斥事件的定義分析B，由古典概型公式公式分析C，由條件概率公式分析D，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁4名志愿者隨機派往三個比賽區(qū)域，每個區(qū)域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一個區(qū)域，有＝36種安排方法，由于4名志愿者隨機派往三個比賽區(qū)域，則P（A）＝，P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝＝，同理：P（AC）＝，依次分析選項：對于A，P（AB）≠P（A）P（B），事件A、B不相互獨立，A錯誤；對于B，事件B、C不會同時發(fā)生，則B與C互斥，B正確；對于C，P（AB）＝，C錯誤；對于D，P（C|A）＝＝＝，D正確．故選：BD．【點評】本題考查相互獨立事件的判斷，涉及條件概率的計算，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）某藥廠用甲、乙兩地收購而來的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥，這兩個地區(qū)的供貨量分別占70%，30%，且用這兩地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為0.8，0.6，現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意取出一件產(chǎn)品，則此產(chǎn)品是優(yōu)等品的概率為0.74．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解．【解答】解：這兩個地區(qū)的供貨量分別占70%，30%，且用這兩地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為0.8，0.6，則此產(chǎn)品是優(yōu)等品的概率為：70%×0.8+30%×0.6＝0.74．故答案為：0.74．【點評】本題主要考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）一個課外活動小組的7名同學被邀請參加一個社團活動．如果必須有人去，去幾個人自行決定，有127種不同的去法．（用數(shù)字作答）【分析】利用分步乘法計數(shù)原理求得所有不同去法，減去沒有人去的情況即可．【解答】解：7名同學被邀請參加一個社團活動，有27＝128種去法，沒人去的有1種，故必須有人去的去法有128﹣1＝127種．故答案為：127．【點評】本題考查分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，是中檔題．14．（5分）近年來中國各地政府對夜間經(jīng)濟的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模穩(wěn)定增長，有關(guān)部門整理了2017﹣2022年中國夜間經(jīng)濟的數(shù)據(jù)，把市場發(fā)展規(guī)模記為y（單位：萬億元），并把2017﹣2022年對應(yīng)的年份代碼x依次記為1～6，經(jīng)分析，判斷可用函數(shù)模型y＝a?ebx擬合y與x的關(guān)系（a，b為參數(shù)）．令zi＝lnyi，計算得，，由最小二乘法得經(jīng)驗回歸方程為＝0.159x+2.799，則b的值為0.159．為判斷擬合效果，通過經(jīng)驗回歸方程求得預(yù)測值（i＝1，2，?，6），若殘差平方和，則決定系數(shù)R2≈0.995．（參考公式，決定系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：6×3.3572≈67.617）【分析】結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，以及決定系數(shù)的公式，即可求解．【解答】解：y＝a?ebx，則兩邊同時取對數(shù)可得，lny＝lna+bx，令z＝lny，最小二乘法得經(jīng)驗回歸方程為＝0.159x+2.799，則b的值為0.159，＝，故R2＝1﹣≈1﹣．故答案為：0.159；0.995．【點評】本題主要考查決定系數(shù)的公式，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)f（x）＝x3+3x2﹣9x+m．（m∈R）（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當f（x）有3個零點時，求m的取值范圍．【分析】（1）直接根據(jù)導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得結(jié)果；（2）首先求出函數(shù)的極值，根據(jù)題意得到，再解不等式組即可．【解答】解：（1）因為f′（x）＝3x2+6x﹣9＝3（x+3）（x﹣1），令f′（x）＝0，得x＝﹣3或1，令f′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣3；f′（x）＜0，得﹣3＜x＜1，所以f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣3），（1，+∞），減區(qū)間為（﹣3，1）．（2）由（1）易得f（x）的極大值為f（﹣3）＝27+m，極小值為f（1）＝﹣5+m，因為f（x）有3個零點，所以，解得﹣27＜m＜5．即m的取值范圍為（﹣27，5）．【點評】本題主要考查了導數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，還考查了由函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)范圍，屬于中檔題．16．（15分）某食品加工廠為了檢查一條新投入使用的全自動包裝線的效能，隨機抽取該包裝線上的100件產(chǎn)品，檢測出產(chǎn)品的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為[485，490），[490，495），…，[505，510]，由此得到樣本的頻率分布直方圖（如圖）．（1）求直方圖中a的值；（2）估計這100件產(chǎn)品的重量的中位數(shù)（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（3）若產(chǎn)品重量在區(qū)間[490，505）上，則判定該產(chǎn)品包裝合格．在這100件產(chǎn)品中任取2件，記包裝不合格的產(chǎn)品件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）．【分析】（1）由頻率之和為1即可求解；（2）利用頻率分布直方圖中中位數(shù)的求解方法即可得解；（3）由題可得X所有可能的取值為0，1，2，然后利用超幾何分布求出對應(yīng)的概率即可得解．【解答】解：（1）依題意，（0.01+a+0.06+0.07+0.01）×5＝1，解得a＝0.05，所以直方圖中a的值是0.05；（2）由直方圖可知，各組頻率分別為：0.05，0.3，0.35，0.25，0.05，則0.05+0.3＝0.35＜0.5，0.05+0.3+0.35＞0.5，所以抽取的100件產(chǎn)品的重量的中位數(shù)在[495，500）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.35+（x﹣495）×0.07＝0.5，解得：x≈497.1，所以這100件產(chǎn)品的重量的中位數(shù)約為497.1克；（3）樣本中合格產(chǎn)品數(shù)量為100×（0.06+0.07+0.05）×5＝90，在這100件產(chǎn)品中任取2件，記包裝不合格的產(chǎn)品件數(shù)為X，則X所有可能的取值為0，1，2，于是，，，所以X的分布列為：X012P則．【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用及離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題．17．（15分）某單位擬實行新的員工考勤管理方案．方案起草后，為了解員工對新方案是否滿意，隨機選取150名男員工和150名女員工進行問卷調(diào)查，結(jié)果如下：300名員工中有15名員工對新考勤管理方案不滿意，其中男3人，女12人．（1）完成如下列聯(lián)表：單位：人性別滿意合計是否男女合計根據(jù)α＝0.025的獨立性檢驗，能否認為性別與對新考勤管理方案滿意有關(guān)聯(lián)？（2）為了得到被調(diào)查者對所提問題的誠實回答，消除被調(diào)查者對于敏感問題的顧慮，決定調(diào)整調(diào)查方案．新的調(diào)查方案中使用兩個問題：①你公歷生日是奇數(shù)嗎？②你對新考勤管理方案是否滿意？先讓被調(diào)查者從裝有4個紅球，6個黑球（除顏色外，完全相同）的袋子中隨機摸取兩個球（摸出的球再放回袋中）．摸到兩球同色的員工如實回答第一個問題，摸到兩球異色的員工如實回答第二個問題．問卷上沒有問題，答題者只需選擇“是”或者“否”．由于回答的是哪個問題是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無顧慮的誠實回答．（i）根據(jù)以上調(diào)查方案，求某個被調(diào)查者回答第一個問題的概率；（ii）如果300人中共有206人回答“是”，請估計對新考勤管理方案滿意的員工所占的百分比．（每個員工公歷生日是奇數(shù)的概率取為≈0.5）α0.050.0250.005xα3.8415.0247.879附：．【分析】（1）根據(jù)已知可得列聯(lián)表，利用公式計算χ2的值，與臨界值比較即可得解；（2）（i）利用古典概型概率公式求解即可；（ii）分別求出回答第二個問題和回答第二個問題，選擇“是”的員工人數(shù)，作比即可求解．【解答】解：（1）列聯(lián)表如下：性別滿意合計是否男1473150女13812150合計28515300零假設(shè)為H0：性別與對新方案滿意度獨立，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)經(jīng)計算得，根據(jù)小概率值α＝0.025的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為性別與新考勤管理方案滿意有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.025．（2）（i）設(shè)某個被調(diào)查者回答第一個問題為事件A，即被調(diào)查者摸到兩個球的顏色相同，由題意得，所以某個被調(diào)查者回答第一個問題的概率為．（ii）回答第一個問題約有人，則回答第二個問題約有300﹣140＝160人，由題意可知公歷生日是奇數(shù)的概率是，所以回答第一個問題，選擇“是”的員工人數(shù)約為人，則回答第二個問題，選擇“是”的員工人數(shù)約為206﹣70＝136人，因為，所以對新考勤管理方案滿意的員工所占百分比大約為85%．【點評】本題主要考查獨立性檢驗，概率的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，證明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．【分析】（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，確定導函數(shù)的符號，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）表示出f（x1）+f（x2）＝lna++ln2+1，通過求導進行證明．【解答】解：（1）∵f′（x）＝﹣，（x＞0，a＞0），不妨設(shè)φ（x）＝2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），則關(guān)于x的方程2ax2﹣x+1＝0的判別式Δ＝1﹣8a，當a≥時，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，當0＜a＜時，Δ＞0，方程f′（x）＝0有兩個不相等的正根x1，x2，，當x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）時f′（x）＜0，當x∈（x1，x2）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）遞減，在（x1，x2）遞增；（2）證明：由（1）知當且僅當a∈（0，）時f（x）有極小值x1和極大值x2，且x1，x2是方程的兩個正根，則x1+x2＝，x1x2＝，∴f（x1）+f（x2）＝（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣（lnx1+lnx2）＝ln（2a）++1＝lna++ln2+1（0＜a＜），令g（a）＝lna++ln2+1，當a∈（0，）時，g′