八年級數(shù)學上冊 第13章　三角形中的邊角關系、命題與證明 單元測試卷（滬科版 24秋）

八年級數(shù)學上冊第13章三角形中的邊角關系、命題與證明單元測試卷（滬科版24秋）一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)1．【2024·合肥瑤海區(qū)期中】以下列各組線段的長為邊長，能組成三角形的是()A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，5，10 D．4，4，82．【母題：教材P73練習T3】在下列各圖中，正確畫出△ABC邊AC上的高的是()3．【2024·合肥四十八中月考】若一個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)的比為2∶3∶4，則這個三角形是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形4．【2024·六安裕安中學校級期中】將一副三角尺按如圖所示的方式疊放，則∠1的度數(shù)為()A．45° B．60° C．75° D．15°5．如圖，BE，CF都是△ABC的角平分線，且∠BDC＝130°，則∠A＝()A．50° B．60° C．70° D．80°6．【2024·蕪湖期中】如圖，在△ABC中，點D為邊BC上的一點，點E為AD的中點，且S△ABC＝4cm2，則S△BEC＝()A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2 D．0.25cm27．如圖，在△ABC中，CE和AD分別是AB，BC邊上的高，若AD＝12，CE＝16，則eq\f(AB,BC)的值為()A．eq\f(3,5) B．eq\f(3,4) C．eq\f(4,3) D．eq\f(5,8)8．下列命題中，真命題有()①如果a＝b，b＝c，那么a＝c；②直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這個點到這條直線的距離；③如果a·b＝0，那么a＝b＝0;④如果a＝b，那么a3＝b3.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．【2024·宣城宣州區(qū)期中】如圖，將一張三角形紙片ABC折疊，使點A落在A′處，折痕為DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正確的是()A．γ＝180°－α－β B．γ＝α＋2β C．γ＝2α＋β D．γ＝α＋β10．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，CF平分∠ACB的補角∠ACE，交BA的延長線于點F，交BD的延長線于點M.下列結論：①∠BMC＝∠MBC＋∠F；②∠ABD＋∠BAD＝∠DCM＋∠DMC；③2∠BMC＝∠BAC；④2(∠BDC＋∠F)＝3∠BAC.其中正確的結論有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．命題“對頂角相等”的逆命題是______________________．12．如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，△ABD的周長比△ACD的周長大4.若AB＝10，則AC＝________.13.《周禮·考工記》中記載有：“……半矩謂之宣(xuān)，一宣有半謂之欘(zhú)……”．意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”，即1宣＝eq\f(1,2)矩，1欘＝1eq\f(1,2)宣(其中，1矩＝90°)．問題：圖①為中國古代一種強弩圖，圖②為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，則∠C＝________度．14．【2024·滁州天長市期中】如圖，AC，BD相交于點O，BP，CP分別平分∠ABD，∠ACD，且交于點P.(1)若∠A＝70°，∠D＝60°，則∠P＝________°；(2)若∠A∠D∠P＝24x，則x＝________．三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．寫出下列命題的逆命題，并判斷真假．(1)三角形三個內(nèi)角的和等于180°；(2)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．16．【2024·滁州育才中學月考】如圖，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，求證：FG⊥AB.四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．【2023·合肥大地中學月考】有人說：“如果△ABC的三邊長a，b，c滿足a2－b2＝ac－bc，那么△ABC一定是等腰三角形．”你同意這個說法嗎？請給出你的理由．18．如圖，△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF與AE交于點O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE，∠BOE的度數(shù)．五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，在△ABC中(AB＞AC)，AD是△ABC的中線，AE是△ACD的中線．(1)若DE＝2，求BC的長；(2)若△ABC的周長為35，BC＝11，且△ABD與△ACD的周長差為3，求AC的長．20．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m－2.(1)求m的取值范圍；(2)若△ABC是等腰三角形，求m的值及△ABC的周長．六、(本題滿分12分)21．如圖，在△ABC中，∠ABC與外角∠ACD的平分線相交于點O.(1)當∠ABC＝60°，∠ACD＝130°時，求∠BOC的度數(shù)；(2)求證：∠O＝eq\f(1,2)∠A.七、(本題滿分12分)22．如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α＋β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”．(1)如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分線．求證：△ABD是“準直角三角形”；(2)下列說法：①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，則△ABC是“準直角三角形”；②若△ABC是“準直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝20°；③“準直角三角形”一定是鈍角三角形．其中正確的是________；(填序號)(3)如圖②，B，C為直線l上兩點，點A在直線l外，且∠ABC＝50°.若P是直線l上一點，且△ABP是“準直角三角形”，請直接寫出∠APB的度數(shù)．八、(本題滿分14分)23．問題情境：如圖，在同一平面內(nèi)，點B和點C分別位于一塊直角三角板PMN的兩條直角邊PM，PN上，點A與點P在直線BC的同側，若點P在△ABC內(nèi)部，試問∠ABP，∠ACP與∠A的大小是否滿足某種確定的數(shù)量關系？(1)特殊探究：若∠A＝55°，則∠ABC＋∠ACB＝________°，∠PBC＋∠PCB＝________°，∠ABP＋∠ACP＝________°.(2)類比探索：試猜想∠ABP＋∠ACP與∠A的關系，并說明理由．(3)類比延伸：改變點A的位置，使點P在△ABC外，其它條件都不變，判斷(2)中的結論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出∠ABP，∠ACP與∠A滿足的數(shù)量關系式．

答案一、1．B2．D3．A4．C5．D6．A7．B8．B9．C點方法：在解決折疊問題時，要分清楚折疊前后重合的角，即相等角，進而找到角之間的等量關系．10．D二、11．相等的兩個角是對頂角12．613．22.514．(1)65(2)3【點撥】(1)由對頂角相等可得∠DOC＝∠AOB.設∠DOC＝∠AOB＝a，在△DOC中，∠DCO＝180°－∠D－∠DOC＝120°－a.∵CP平分∠ACD，∴∠PCA＝eq\f(1,2)∠DCO＝60°－eq\f(1,2)a.在△AOB中，∠ABO＝180°－∠A－∠AOB＝110°－a.∵BP平分∠ABD，∴∠PBA＝eq\f(1,2)∠ABO＝55°－eq\f(1,2)a.∵∠AFP是△PCF的外角，∴∠AFP＝∠P＋∠PCF＝∠P＋60°－eq\f(1,2)a.∵∠AFP是△ABF的外角，∴∠AFP＝∠A＋∠ABF＝125°－eq\f(1,2)a.∴∠P＋60°－eq\f(1,2)a＝125°－eq\f(1,2)a.∴∠P＝65°.(2)設∠A＝2k，∠D＝4k，∠P＝xk，∠DOC＝∠AOB＝b.∵∠DCO＝180°－∠D－∠DOC，∴∠PCF＝eq\f(1,2)∠DCO＝eq\f(1,2)(180°－4k－b)．∵∠ABO＝180°－∠A－∠AOB，∴∠PBA＝eq\f(1,2)∠ABO＝eq\f(1,2)(180°－2k－b)．∵∠AFP＝∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∴xk＋eq\f(1,2)(180°－4k－b)＝2k＋eq\f(1,2)(180°－2k－b)，解得x＝3.三、15．【解】(1)內(nèi)角和等于180°的多邊形是三角形；真命題．(2)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；真命題．16．【證明】∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.∴CD∥FG.又∵CD⊥AB，∴FG⊥AB.四、17．【解】同意．理由如下：∵a2－b2＝ac－bc，∴(a＋b)(a－b)＝c(a－b)．∴(a＋b－c)(a－b)＝0.∵a，b，c是△ABC的三邊長，∴a＋b－c>0.∴a－b＝0，即a＝b.∴△ABC一定是等腰三角形．18．【解】∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝80°.∵AE是△ABC的角平分線，∴∠EAC＝eq\f(1,2)∠BAC＝40°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∴在△ADC中，∠DAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°.∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝40°－30°＝10°.∵BF是∠ABC的平分線，∠ABC＝40°，∴∠FBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝20°.∵∠C＝60°，∴∠AFO＝∠FBC＋∠C＝80°.∴∠AOF＝180°－∠EAC－∠AFO＝60°.∴∠BOE＝∠AOF＝60°.五、19．【解】(1)∵AE是△ACD的中線，DE＝2，∴CD＝2DE＝2×2＝4.∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.∴BC＝2×4＝8.(2)∵△ABC的周長為35，∴AB＋AC＋BC＝35.又∵BC＝11，∴AB＋AC＝24.∵△ABD與△ACD的周長差為3，∴(AB＋BD＋AD)－(AC＋CD＋AD)＝AB－AC＝3，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＋AC＝24，,AB－AC＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝13.5，,AC＝10.5.))∴AC的長為10.5.20．【解】(1)∵在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m－2，∴20－8<2m－2<20＋8，解得7<m<15.∴m的取值范圍是7<m<15.(2)分兩種情況：①當AB＝AC時，2m－2＝20，解得m＝11.此時△ABC的周長＝20＋20＋8＝48；②當BC＝AC時，2m－2＝8，解得m＝5.∵7<m<15，∴此種情況不合題意．綜上所述，m的值為11，△ABC的周長為48.六、21．(1)【解】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠CBO＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，∠DCO＝eq\f(1,2)∠ACD＝65°.∵∠DCO是△BCO的外角，∴∠BOC＝∠DCO－∠CBO＝35°.(2)【證明】∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠A＝∠ACD－∠ABC.∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠DCO＝eq\f(1,2)∠ACD，∠CBO＝eq\f(1,2)∠ABC.∵∠DCO是△BCO的外角，∴∠BOC＝∠DCO－∠CBO＝eq\f(1,2)(∠ACD－∠ABC)＝eq\f(1,2)∠A.七、22．(1)【證明】∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠A＝90°.∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABC＝2∠ABD.∴2∠ABD＋∠A＝90°.∴△ABD是“準直角三角形”．(2)①③(3)【解】∠APB的度數(shù)為10°或20°或40°或110°.八、23．【解】(1)125；90；35(2)猜想：∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.理由：