八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第13章　三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明 單元測(cè)試卷（滬科版 2024年秋）

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明單元測(cè)試卷（滬科版2024年秋）一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)題序12345678910答案1.在下列長(zhǎng)度的三條線段中，不能組成三角形的是()A．2，3，4 B．3，6，6 C．2，2，6 D．5，6，72．如圖，在△ABC中，BC邊上的高為()A．線段AE B．線段BE C．線段BD D．線段CF(第2題)(第6題)(第7題)3．下列命題的逆命題為真命題的是()A．對(duì)頂角相等 B．如果a＝b，那么a2n＝b2nC．若a>b，則a2>b2 D．同位角相等，兩直線平行4．下面是直角三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比的是()A．4∶27∶25 B．1∶1∶2C．2∶3∶6 D．都是直角三角形5．已知命題：“三角形三條高線的交點(diǎn)一定不在三角形的外部”．小冉想舉一反例說(shuō)明它是假命題，則下列選項(xiàng)中符合要求的反例是()A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形6．如圖，AE是△ABC的中線，點(diǎn)D是BE上一點(diǎn)，若BD＝5，DE＝2，則CD的長(zhǎng)度為()A．9 B．7 C．5 D．47．一副三角尺，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)為()A．10° B．15° C．20° D．25°8．如圖，將三角形紙片ABC沿虛線剪掉兩角得到五邊形CDEFG，若DE∥CG，F(xiàn)G∥CD，根據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，則∠A的度數(shù)為()(第8題)A．58° B．64° C．66° D．72°9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AG，BD，CE的中點(diǎn)，S△ABC＝48，則S△DEF的值為()A．6 B．8 C．12 D．4(第9題)(第10題)(第12題)10．如圖，直線AB∥CD，BE⊥EF交于點(diǎn)E，連接CF，則∠B，∠C與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系是()A．∠EFC＝∠B＋∠C B．∠B＋∠C＋∠EFC＝180°C．∠EFC＋∠B＝90°＋∠C D．∠C＋∠EFC＝180°＋∠B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．把命題“和為180°的兩個(gè)角互為補(bǔ)角”寫(xiě)成“如果……那么……”的形式是________________________________________________________．12．如圖，已知∠ABC＝90°，點(diǎn)D是BC上一定點(diǎn)，點(diǎn)E是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，∠CDE的平分線DM和∠AED的平分線EM交于點(diǎn)M，則∠DME的度數(shù)為_(kāi)_______．13．用長(zhǎng)度相等的50根火柴棍，首尾相接擺放成一個(gè)三角形，使最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度是最短邊長(zhǎng)度的3倍，則最長(zhǎng)邊用了______根．14．如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ABD，∠ACD的平分線交于點(diǎn)P.(第14題)(1)若∠A＝70°，∠D＝60°，則∠P＝___________________________°；(2)若∠A∶∠D∶∠P＝2∶4∶x，則x等于________．三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．如圖，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝48°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADC的度數(shù)．(第15題)16．命題：一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角一定互為補(bǔ)角．(1)寫(xiě)出這個(gè)命題的逆命題．(2)判斷這個(gè)逆命題是真命題還是假命題．如果是假命題，請(qǐng)舉一個(gè)反例．四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，已知∠A＝eq\f(1,2)∠B＝eq\f(1,3)∠C，求∠A，∠B，∠C的度數(shù)．18．已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2＋2b2－4a－20b＋54＝0，求△ABC的周長(zhǎng)．五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，E，B，C三點(diǎn)共線，AB與DE交于點(diǎn)G.已知∠A＝∠C，若AB∥CD，則BC∥AD.請(qǐng)補(bǔ)全證明過(guò)程，并解答下列問(wèn)題．(第19題)(1)證明：∵AB∥CD(已知)，∴∠ABE＝∠C(__________________________)．∵∠A＝∠C(已知)，∴∠ABE＝________(等量代換)，∴BC∥AD(__________________________)．(2)【延伸】若前提“∠A＝∠C”不變，將條件“AB∥CD”與結(jié)論“BC∥AD”調(diào)換，所得命題是真命題還是假命題？如果是真命題，寫(xiě)出證明過(guò)程；如果是假命題，舉出反例．(3)【拓展】如圖，已知有三個(gè)論斷①∠A＝∠C；②AB∥CD；③BC∥AD，選出其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論組成一個(gè)命題，能組成多少個(gè)真命題？20．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，BE平分∠ABC，分別交CD，AC于點(diǎn)F，E.(1)若∠CEF＝50°，求∠A的度數(shù)．(2)∠CFE與∠CEF相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(第20題)六、(本題滿分12分)21．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交BC于點(diǎn)F.若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0<x≤45)．(1)求∠B的度數(shù)；(2)若△DEF中有兩個(gè)角相等，求x的值．(第21題)七、(本題滿分12分)22．如圖①，AB⊥BC于點(diǎn)B，DC⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E在線段BC上，且AE⊥DE.(1)求證：∠BAE＝∠CED.(2)如圖②，AF，DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數(shù)是______．(3)如圖③，EH平分∠CED，EH的反向延長(zhǎng)線交∠BAE的平分線AF于點(diǎn)G.求證：EG⊥AF.(第22題)八、(本題滿分14分)23．綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了如下問(wèn)題：如圖，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，連接AP.【特例探究】(1)如圖①，當(dāng)P為BC邊的中點(diǎn)時(shí)，利用面積之間的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)線段PD，PE，BF之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________________．【深入探究】(2)如圖②，當(dāng)P為BC邊上的任意一點(diǎn)時(shí)，(1)中的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出成立的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展探究】(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)：①試猜想線段PD，PE，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；②當(dāng)S△ABC＝10，AB＝5，PE＝2時(shí)，線段PD的長(zhǎng)為_(kāi)____________________________________________________．(第23題)

答案一、1.C2.A3.D4.B5.D6.A7.B8.A9.A10．C二、11.如果有兩個(gè)角的和是180°，那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角12．45°13.2414.(1)65(2)3三、15.解：∵∠BAC＝50°，∠B＝48°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝82°.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝25°，∴∠ADC＝180°－∠CAD－∠C＝73°.16．解：(1)逆命題為“互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角”．(2)這個(gè)逆命題是假命題．反例：兩個(gè)角都是直角．四、17.解：∵∠A＝eq\f(1,2)∠B＝eq\f(1,3)∠C，∴設(shè)∠A＝x°，則∠B＝2x°，∠C＝3x°，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得x＋2x＋3x＝180，解得x＝30，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°.18．解：∵a2＋2b2－4a－20b＋54＝0，∴a2－4a＋4＋2b2－20b＋50＝0，∴(a－2)2＋2(b－5)2＝0，∴a－2＝0，b－5＝0，解得a＝2，b＝5.∵a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且均為正整數(shù)，∴5－2＜c＜5＋2，即3<c<7，∴c＝4或5或6.當(dāng)c＝4時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為2＋4＋5＝11；當(dāng)c＝5時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為2＋5＋5＝12；當(dāng)c＝6時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為2＋5＋6＝13.綜上，△ABC的周長(zhǎng)為11或12或13.五、19.解：(1)兩直線平行，同位角相等；∠A；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行(2)是真命題．證明：∵BC∥AD，∴∠ABE＝∠A，∵∠A＝∠C，∴∠ABE＝∠C，∴AB∥CD，故將條件“AB∥CD”與結(jié)論“BC∥AD”調(diào)換后所得命題為真命題．(3)根據(jù)題意可知，①②作為條件，③作為結(jié)論，為真命題；①③作為條件，②作為結(jié)論，為真命題；②③作為條件，①作為結(jié)論，為真命題．故能組成3個(gè)真命題．20．解：(1)∵∠ACB＝90°，∠CEF＝50°，∴∠CBE＝40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2×40°＝80°，∴∠A＝180°－∠ACB－∠ABC＝180°－90°－80°＝10°.(2)相等．理由如下：如圖，(第20題)∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∵CD⊥AB，∴∠FDB＝90°.∴∠2＋∠4＝90°.又∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，即∠CFE＝∠CEF.六、21.解：(1)∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠C＋∠B＝90°，即∠C＝90°－∠B，又∵∠C－∠B＝50°，∴90°－∠B－∠B＝50°，解得∠B＝20°.(2)∵∠BAD＝x°，∠B＝20°，∴∠ADF＝∠B＋∠BAD＝20°＋x°，∴∠ADB＝180°－∠ADF＝180°－(20°＋x°)＝160°－x°，根據(jù)折疊可得∠ADE＝∠ADB＝160°－x°，∠B＝∠E＝20°，∴∠FDE＝∠ADE－∠ADF＝160°－x°－(20°＋x°)＝140°－2x°.∴∠DFE＝180°－∠E－∠FDE＝180°－20°－(140°－2x°)＝2x°＋20°.①當(dāng)∠FDE＝∠DFE時(shí)，140－2x＝2x＋20，解得x＝30；②當(dāng)∠DFE＝∠E＝20°時(shí)，2x＋20＝20，解得x＝0，∵0<x≤45，∴不合題意，舍去；③當(dāng)∠FDE＝∠E＝20°時(shí)，140－2x＝20，解得x＝60，∵0<x≤45，∴不合題意，舍去．綜上所述，x＝30.七、22.(1)證明：∵AB⊥BC，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED.(2)45°點(diǎn)撥：過(guò)點(diǎn)F作FM∥AB交CB于點(diǎn)M.∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠B＋∠C＝180°，∠CED＋∠CDE＝90°，∴AB∥CD，∴FM∥AB∥CD.由(1)知∠BAE＝∠CED，∴∠BAE＋∠CDE＝90°.∵AF，DF分別平分∠BAE和∠CDE，∴∠CDF＝eq\f(1,2)∠CDE，∠BAF＝eq\f(1,2)∠BAE，∴∠CDF＋∠BAF＝eq\f(1,2)(∠BAE＋∠CDE)＝45°.∵FM∥AB∥CD，∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，∴∠AFD＝∠CDF＋∠BAF＝45°.(3)證明：∵EH平分∠CED，∴∠CEH＝eq\f(1,2)∠CED，∴∠BEG＝eq\f(1,2)∠CED.∵AF平分∠BAE，∴∠BAG＝eq\f(1,2)∠BAE.由(1)知∠BAE＝∠CED，∴∠BAG＝∠BEG.∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠BAG＋∠GAE＋∠AEB＝90°，∴∠GAE＋∠AEB＋∠BEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF.八、23.解：(1)BF＝PD＋PE(2)仍然成立．證明：∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC×BF，S△ABP＝eq\f(1,2)AB×PD，S△ACP＝eq\f(1,2)AC×PE，