2021屆黑龍江省佳木斯某中學高考數學三模試卷(理科)(含答案解析)

2021屆黑龍江省佳木斯一中高考數學三模試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合A={%|y=log2。-1）}，B={y\y=Vx-1},則/nB=（）

A.。B.（l,+oo）C.[l,+8）D.[0,+8）

2.復數2=島。為虛數單位）的共舸復數所對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知b,且cWO,則下列命題正確的是（）

A.如果a>b,那么巴>2B.如果ac<bc,那么a<匕

CC

C?如果a>b，那么評D.如果ac2Vbe2,那么a<b

4.sigm。汨函數/（t）=哀￡面是描述在資源有限的條件下種群增長規(guī)律的一個最佳數學模型.某研究

所根據試驗數據建立了一種病毒的sigm3d函數模型f（t）=]+e，（t_⑹，當〃t*）=0,9K時，病

毒增長達到最大，則t*約為（）（m9k2.2）

A.90B.83C.74D.63

5.對于向量a,b,定義axb為向量a,b的向量積，其運算結果為一個

向量，且規(guī)定axb的模|axb\=|a||b|sinJ（其中。為向量a與b的夾

角），axb的方向與向量a,力的方向都垂直，且使得a,6,axb依

次構成右手系.如圖所示，在平行六面體4BCZ）-EFGH中，NE4B=

/.EAD=/.BAD=60°,ABAD=AE=2,則(:蔡x：壽')?蒸=()

A.4B.8C.26D.4厘

6./是平面a外一條直線，過/作平面小使的"，這樣的0（）

A.只能作一個B.至少可以作一個

C.不存在D.至多可以作一個

7.設tana=：,COS（TT+0）=-“06（0,兀）），則tan（2a-/?）的值為（）

A.一三B.C.fD.三

24242424

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，最后執(zhí)行的i的值為（）

S=l,i=l

u___/^,H->,c/

結束■/干刖1-*-4D/

15.下列結論：①偶函數一定與丁軸相交;②奇函數丁=/。）在x=o處有定義，則/（0）=0

若且a>5,貝U（；『<（；）’；④若eR,且則<?>/.

正確的是一（寫出你認為正確的結論）.

2

16.12.與曲線y=-x相切于點P（e:e）處的切線方程是.

e

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）

17.已知等差數列｛%｝，&3=4,a2+a6=10.

（1）求｛%J的通項公式；

（2）求償｝的前〃項和rn.

18.如圖，四棱錐P-H2CZ）中，FX_J底面,133），AC±.1D.底面,4BCD為梯形，

ABiiDC,.AB_BC,AB=BC=3，點E在棱尸8一上，且尸石=2EB-

（1）求證：平面p,48平面PCS；

（2）求證：PD〃：平面EAC.?

19.對于三次函數/(x)=a/+"2+以+d(a芋0),定義：設尸(尤)是函數y=f(x)的導函數、=

f'(x)的導數，若/"(%)=0有實數解比,則稱點(xoJQo))為函數y=/(x)的“拐點”.己知函數

/(x)=x3-3x2+2x-2,請解答下列問題：

(1)求函數/(x)的“拐點”4的坐標；

(2)求證f(x)的圖象關于“拐點”A對稱.

20.某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大于或等

于102的產品為優(yōu)質品.現用兩種新配方(分別稱為A配方和8配方)做試驗，各生產了100件

這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果：

A配方的頻數分布表

指標值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110)

頻數82042228

B配方的頻數分布表

指標值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106J10)

頻數412423210

(1)分別估計用A配方，B配方生產的產品的優(yōu)質品率；

(2)已知用B配方生產的一件產品的利潤y(單位：元)與其質量指標值，的關系式為y=

；'一居，&■：蝌，

1魅鼬士如4K蝮從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X(單位：元)，求X的分布列

14,喜里:M醒

及數學期望.(以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組

的概率)

21.(本小題滿分13分)

已知.典U砥，盤是平面上一動點，,好到直線北&：=-：!上的射影為點嬲，且滿足

(I)求點孽的軌跡建的方程；

(n)過點豳悔L頸:作曲線線的兩條弦蹩.輜，設.螞盤瀛?所在直線的斜率分別為，.，當時，%變

化且滿足*評卷=r時，證明直線施■恒過定點，并求出該定點坐標.

22.已知曲線C的極坐標方程是p=2sin。，以極點為原點，極軸方向為x軸正方向建立平面直角

坐標系xQy,直線/的參數方程是

。為參數).

(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程：

(2)設直線/與x軸的交點是M,N是曲線C上一動點，求MN的最大值.

23.已知函數/(%)=第.

(1)用定義證明函數/(%)在區(qū)間(-1,+8)上的單調性；

(2)求/(%)在區(qū)間［2,5］上的最大值和最小值.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：解：由A中y=log2(x-1),得到x-l>0,即％>1,

???A=(1,+co),

由8中丫=舊二1，得到久一120,即為21,

B=[1,+00),

則AClB=(l,+oo),

故選：B.

求出A與8中x的范圍，分別確定出A與8,求出A與B的交集即可.

此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵.

2.答案：D

解析:解：由于復數z=急=廣比),、=1+2i,故它的共軌復數為1-2i,共輒復數對應點為(1,-2),

故共舸復數所對應的點在第四象限，

故選。.

利用兩個復數代數形式的乘除法法則化簡復數Z,可得它的共輛復數，從而得到共軌復數的坐標，可

得共輾復數所對應的點所在的象限.

本題主要考查復數的基本概念，兩個復數代數形式的乘除法法則的應用，虛數單位i的基運算性質，

復數與復平面

內對應點之間的關系，屬于基礎題.

3.答案：D

解析：

本題主要考查了不等式的性質的簡單應用，屬于基礎題.

通過不等式的性質和代入特值逐項分析即可.

解：當c<0時，選項A,B錯誤，

C：例如a=2,6=1滿足。>兒但是三<；,故C錯誤，

D：若ac2cbe2,則c?>0,由不等式的性質可得a<b,故。正確，

故選。.

4.答案：C

解析：解：由/?*)=i+e-黑8=0-9K，得身E=0?9,

故e-o.2C-63)=a即一o.2(t*-63)=—》9X-2.2,所以廣=74,

故選：C.

/(t*)=0.9K時，解指數方程，即可求解.

本題考查了函數的方程問題，涉及到解指數式方程的問題，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

5.答案：。

解析：根據向量積定義知，向量久筋x瑟’垂直平面ABCD,且方向向上，設:藕x：畫’與蠡所成

角為。.因為"48=^EAD=^BAD=60°,所以點E在底面ABC。上的射影在直線AC上.

鈍

作￡71AC于/,貝！|￡71平面ABCC,所以。+NE4=」.過/作〃_L/W于J,連接E/,由三垂線逆定

雪

理可得切JL4D.因為4E=2,Z.EAD=60°,所以4/=1-EJ=辰又乙CAD=30%1]LAD,所以4/=

富6..因為AE=2,ElLAC,所以cosEA/=至=逆，

S?融爭

所以sinJ=sini--2'遙觸|=cosEAl=木',cosO=道.

最,S3

故(密；x：贏').國=\'^W'^\sinBAD\'^\.

cosd=8X71X7=4,故選D.

既作

6.答案：D

解析：

由平面與平面平行的性質得這樣的平面夕有且只有1個.

本題考查滿足條件的平面的個數的求法，是基礎題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng).

解:當a〃a時，過a作平面0,使得夕〃a,

由平面與平面平行的性質得：

這樣的平面￡有且只有1個.

。與a相交時，設平面為ea與a交點、為P,

根據題意Pe/7,P&a,則an/?=/且Pe/,這與?！?矛盾，

???這樣的夕不存在.

綜上所述，過平面a外一條直線a與a平行的平面的個數為至多1個.

故選：D.

7洛案：D

解析：解：:"加0:=9/。712&=^^=^7^=$85(乃+/5)=_。。5?=_*pG(0,Tr),

433

???cosp=-,sinp=-,tanp=

tan2a-tanp_7

???tan(2a—/?)=

l+tan2atan/?24'

故選：D.

根據題意可求得cos。=土sin￡=l，tanp=再利用正切的差角公式計算得到答案.

本題主要考查三角函數的恒等變換，屬于基礎題.

8.答案：D

解析：解：模擬程序的運行過程，如下；

S=1,i=1,

執(zhí)行第一次循環(huán)，5=2,1=2；

執(zhí)行第二次循環(huán)，S=5,i=3；

執(zhí)行第三次循環(huán)，S=26,i=4,

執(zhí)行第四次循環(huán)，S=21,i=5,

執(zhí)行第五次循環(huán)，S=16,i=6；

此時不滿足條件，終止循環(huán)，.??最后執(zhí)行的i值為6.

故選：D.

模擬程序的運行過程，即可得出程序運行后執(zhí)行的i值.

本題考查了程序框圖的應用問題，在判斷程序框圖的運行結果時，模擬程序運行是常用的方法.

9.答案：A

解析：解：：+6)=/(%),

.??/(x)的周期為6,

又y=/(x+3)為偶函數，

.-./(x+3)=/(-x+3),

???/(10)=/(4+6)=/(4)=/(I+3)=/(-I+3)=/⑵,

又1<￡<2，0<ln2<1,

1

???0<ln2<1<e2<2?

且/'(x)在(0,3)內單調遞減，

1

???〃2)</(吟</(仇2)，

即f(10)<f(e為</(m2)，

故選：A.

利用/。+6)=〃%)得到函數的周期，結合丫=/。+3)為偶函數得到/(10)=/(2),從而將所求函

數的自變量放在了(0,3)范圍內，利用單調性求得函數值的大小.

本題屬于基礎題，考查函數的性質，能夠將函數的性質綜合運用正確解題是我們高中數學的基本功.

10.答案：B

解析：解：???|曲+前|=|瓦？一前

:.BA-BF=0，

???Z.ABF=90°,

由射影定理得0依=OFxOA,

??.b2=ca,

又?“2=小+/,

.??c2=a2+ca,

???Q2+eq—=o,

2

A14-e—e=0,

解得e=U或e=U(舍)，

22k7

i+Vs

:.c=-----.

2

故選8.

先利用|瓦5+前|=|瓦？-麗I，推導出乙4BF=90。，再由射影定理得及=ca,由此能求出該雙曲

線的離心率.

本題考查雙曲線的離心率的求法，涉及到雙曲線性質、向量、射影定理等知識點，解題時要注意函

數與方程思想的合理運用.

11.答案：C

解析：試題分析：又負羯爛熨令口煲令=攬=媼域犀H?=胤⑴

又由茄!芻“二?鹿瞬=礴磷物樸咯雅Y威城罷物-H-礴=緘旗螂刖畫，（2）:“犀e（叫著就，由（1）、（2）可得

M

辭=一,

1部

"f球磁=巡城方叫馬，由噩錠一受士學麗書生，,圖工，得：,真含磁的單調增區(qū)間是

陶噂殿壇埠.

考點：1、由y=Asin（3%+0）的部分圖象確定其解析式；2、函數y=Asin（3%+?）的圖象變換.

12.答案：B

解析：解：,??四棱柱4BCD-&BiQDi的外接球體積為^兀,

.??四棱柱ABC。-&B1C1D1的外接球的半徑為1,

設四棱柱力BCD-41/小。1的高為h,則

???底面A8CD是邊長為1的正方形，

:,V14-14-/i2=2，

???h=V2,

???四棱柱4BCD-4$傳也的側面積為4后.

故選：B.

利用四棱柱4BCD-481GD1的外接球體積為［兀，求出四棱柱4BCD-4B1GD1的外接球的半徑為

1,進而求出四棱柱4BCD-&BiCiDi的高，即可求出四棱柱4BC0-4B1C1D1的側面積.

本題考查四棱柱4BC0-&&的。1的側面積，考查學生的計算能力，正確求出四棱柱4BC0-

力iBiG。］的高是關鍵.

13.答案：1

解析：解：根據題意，設尸為直線/的任意一點，過點尸向圓C:（X+1）2+（y+l）2=1引切線，T

為切點，

圓C：（X+1）2+（y+1）2=1,圓心C為（一1,一1）,半徑r=l；

則|P7|=y/\PC\2-r2=J|PC|2-1，

當PC的長度最小時，切線長|P7|最小，

而|PC|的最小值為圓心C到直線/的距離，則|PC|mm=d=bi需）+41=方，

則|P7|min=&』=l；

故答案為：1.

根據題意，設P為直線/的任意一點，過點P向圓C:（X+1）2+0+1）2=1引切線，T為切點，

由切線長公式可得|PT|=,|PC|2_『=J|PC|2_1,分析可得當PC的長度最小時，切線長|P7|最

小，進而計算可得答案.

本題考查圓的切線方程，涉及切線長的計算，屬于基礎題.

14.答案：叵

2

解析：

本題考查了等差數列的性質，考查了三角形內角和定理，是基礎題.

直接由等差數列的性質結合三角形內角和定理得答案.

解：???乙4、乙B、NC成等差數列，

:*Z-A+z.6=2/.B,

又Z71+乙B+Z-C=7T,

:.34B=7T,

則NB=*可得sinB=叵.

32

故答案為立.

2

15.答案：②③④

解析：

本題考查命題的真假判斷與應用，解題的關鍵是理解命題涉及的函數的性質，函數的圖象特征.

解：①是一個錯誤命題，因為有的偶函數在％=0上沒有定義，就不可能相交，如函數y=x-2,此

函數是一個偶函數，但與丫軸不相交；

②是一個正確命題，因為一個奇函數如果在％=0有定義，則必有/（0）=0；

③是一個正確命題，因為函數,=（；）在定義域R上是減函數，所以若。力€及，且a>5,則

5<（異

④是一個正確命題，因為函數事=<在定義域R上是增函數,所以若且a>8,則a?

因此正確的是②③④.

故填②③④.

16.答案：y-2.X-e

解析：本題考查導數的幾何意義即切線的斜率為導函數在自變量等于切點橫坐標時的函數值，屬于

簡單題.

2

解：切線斜率左二川口=一%」=2,

e

故切線方程是y-e=2(%-e),即y=2%-e.

故答案為：y=2x-e.

17.答案：解：(1)設等差數列｛Q九｝公差為d,

由&+=I。，

可知2@4=10,=5,d—CI4—。3=1，

所以｛即｝其通項公式為：

冊=。3+(九―3)x1=n+l(nGN").

(2)7n=|+費+,+…+箸①，

押=卷+/+盤+…+露②，

①-②得=1+*+套+…+點一普,

-T—1-L5—271+]n+1

2n-2日2兀+1'

1T_3n+3

2n^2~2n+1*

九+3

解析：本題考查了等差數列的通項及錯位相減法求和，屬于中檔題.

(1)由@2+。6=1。，得。4=5，求得(/=口4-03，由an=%+(九一3)Xd即可得解.

(2)利用錯位相減法即可求和.

18.答案：證明：⑴由已知有乂g]_貿》[P41底面幺

PA1BO且為平面PAS內兩條相交直線，

面71平面必小又RCu平面PRC，

?一平面P4P1平面PCS-

⑵連接在八交于點。，連接0月，

由已知有AB=BC=3yAB1SC，

-AC=3板，又就1版4?=45°，

?=又以"?得息"與加00相似，

,DODC,PE_DOPE

=

——=—=2,又由已知—=2...——o

ORARERORRR

,PDHOR，又PDu平面￡AC，。月u平面￡40，,PDM平面EAC.

解析：本題考查線面平行，面面垂直。

解題思路是：要想證面面垂直，先找出線面垂直，而要想證線面垂直先找出線線垂直，根據己知中

給出的條件和隱含的垂直條件找到線線垂直。要想證線面平行先找到線線平行，一般可采用找三角

形相似或中位線或平行四邊形等方法。

19.答案:解：(1)：/'(X)=3X2-6X+2,

/°(x)=6x—6,

令/〃(x)=6x-6=0,

得無=1,/(I)=-2

所以“拐點”A的坐標為(1,一2)

(2)設P(x(),yo)是y=/(x)圖象上任意一點，則光=潟-3年+2x0-2

???P(Xo,yo)關于(1，-2)的對稱點P'(2-x0,-4-y0),

把P'(2—XQ,-4—y(j)代入y=f(x)，得左邊=-4~yo——x0+3就—2Ko—2

右邊=(2-%o)3—3(2-Xo)2+2(2—Xo)—2=一瑞+3XQ—2x()—2

???左邊=右邊，

???P'(2-&,-4-y0)在y=/(%)圖象上，

.??/(x)的圖象關于“拐點”A對稱.

解析：本題考查一階導數、二階導數的求法，函數的拐點的定義以及函數圖象關于某點對稱的條件.

(1)根據“拐點”的定義求出/''(x)=0的根，然后代入函數解析式可求出“拐點”A的坐標.

(2)設出點的坐標，根據中心對稱的定義即可證明.

20.答案：(1)0.3,0.42(2)X的分布歹IJ為

X-224

P0.040.540.42

E(X)=2.68.

解析：(1)由試驗結果知，用A配方生產的產品中優(yōu)質品的頻率為左里=0.3,所以用A配方生產

颯

的產品的優(yōu)質品率的估計值為0.3.由試驗結果知，用B配方生產的產品中優(yōu)質品的頻率為匕上史=

0.42,所以用B配方生產的產品的優(yōu)質品率的估計值為0.42.

(2)用8配方生產的100件產品中，其質量指標值落入區(qū)間[90,94),[94,102),[102,110)的頻率分別

為0.04,0.54,0.42,因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,

即X的分布列為

X-224

P0.040.540.42

X的數學期望E(X)=-2x0.04+2x0.54+4x0.42=2.68.

21.答案：(1)『=直線48經過(5,-6)這個定點

解析：試題分析：解：(I)設曲線C上任意一點P(x,y),又F(l,0),N(-l,y),從而:燕-利魏

__*!|*i|.[______11

磁'=修，[盛，燕丑、海=G況?一3,盛，懶樸三超.薜=0凱3—冥桿2、,=做

念罷罷塞

化簡得好=，”即為所求的P點的軌跡C的對應的方程............4分

(n)設超取就、鼠嗎㈤!：、血:所,蜥因=金-酶-期、蟒,：/=，鏘:-砥

將例B與解=到富聯(lián)立，得：％儲-噬)4%開勤=期

?.?躺=二一獸①

峋

同理扇=丁一名②

而A8直線方程為：理一嬲=里二％［賽一磔，即期=」—需普號-③

演一同贏尚羯1M機時

.....................8分

由①②:乃+y=4^^-4=—=<--