高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1-1-1任意角課件新人教A版必修4

第一章三角函數(shù)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角必備知識·自主學習1.角的概念角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置_____到另一個位置所形成的圖形.旋轉2.角的表示

頂點:用O表示;始邊:用OA表示,用語言可表示為_________.終邊:用OB表示,用語言可表示為_________.起始位置終止位置3.角的分類類型定義圖示正角按_______方向旋轉形成的角

負角按_______方向旋轉形成的角

零角一條射線沒有作__________,稱它形成了一個零角

逆時針順時針任何旋轉

【思考】如果一個角的終邊與其始邊重合,這個角一定是零角嗎?提示:不一定,零角的終邊與始邊重合,但終邊與始邊重合的角不一定是零角,如360°,-360°等,角的大小不是根據(jù)始邊、終邊的位置,而是根據(jù)射線的旋轉.4.象限角如果角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的_________重合,那么,角的終邊在_________,就說這個角是_________角.如果角的終邊在_______上,就認為這個角不屬于任何一個象限.非負半軸第幾象限第幾象限坐標軸5.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S=__________________________,即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.(1)本質:滿足某一特定條件的角的同一表示.(2)作用:①判斷角所在的象限;②表示角的集合;③求角的三角函數(shù)值.{β|β=α+k·360°,k∈Z}5.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S=__________________________,即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.(1)本質:滿足某一特定條件的角的同一表示.(2)作用:①判斷角所在的象限;②表示角的集合;③求角的三角函數(shù)值.{β|β=α+k·360°,k∈Z}【思考】反過來,若角α,β滿足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}時,角α,β是否是終邊相同的角?提示:當角α,β滿足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}時,表示角α與β相隔整數(shù)個周角,即角α,β終邊相同.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)-30°角與330°角是終邊相同的角. (

)(2)負角都是第四象限角. (

)(3)終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同. (

)(4)終邊相同的角有無數(shù)個,它們相差360°的整數(shù)倍. (

)提示:(1)√.因為-30°=-360°+330°,所以-30°角與330°角終邊相同.(2)×.如-150°角是第三象限角.(3)√.(4)√.2.與-457°角終邊相同的角的集合是 (

)A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}【解析】選C.-457°=-2×360°+263°.所以-457°角與263°角終邊相同.3.(教材二次開發(fā):練習改編)-870°角的終邊所在的象限是 (

)

A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.因為-870°=-360°×3+210°,所以210°角與-870°角的終邊相同,又因為210°角的終邊在第三象限,所以-870°角的終邊也在第三象限.3.(教材二次開發(fā):練習改編)-870°角的終邊所在的象限是 (

)

A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.因為-870°=-360°×3+210°,所以210°角與-870°角的終邊相同,又因為210°角的終邊在第三象限,所以-870°角的終邊也在第三象限.關鍵能力·合作學習類型一任意角的概念及應用(數(shù)學抽象)【題組訓練】1.給出下列說法:①銳角都是第一象限角;②第一象限角一定不是負角;③鈍角是第二象限角;④小于180°的角是鈍角、直角或銳角.其中正確說法的序號為__________.(把正確說法的序號都寫上)

2.將時鐘撥快20分鐘,則分針轉過的度數(shù)是________.

【解析】1.銳角指大于0°小于90°的角,都是第一象限的角,所以①正確;由任意角的概念知,第一象限角也可為負角;鈍角一定是第二象限角,所以③正確;小于180°的角還有負角、零角,所以②④錯誤.答案:①③2.分針每分鐘轉6°,由于順時針旋轉,所以20分鐘轉了-120°.答案:-120°【解題策略】1.解決此類問題要正確理解銳角、鈍角、0°～90°角、象限角等概念.2.角的概念推廣后,確定角的關鍵是確定旋轉的方向和旋轉量的大小.【補償訓練】給出下列四個命題:①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.其中正確的命題有 (

)A.1個B.2個C.3個D.4個【解析】選D.-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°.所以這四個命題都是正確的.類型二終邊相同的角的表示及應用(數(shù)學運算)【典例】已知-990°<α<-630°,且α與120°角終邊相同,求角α的集合.【思路導引】α與120°角終邊相同,可表示為α=k·360°+120°,k∈Z,結合角的范圍,可得結論.【解析】α與120°角終邊相同,所以α=k·360°+120°,k∈Z.因為-990°<k·360°+120°<-630°,k∈Z,所以-1110°<k·360°<-750°,k∈Z,所以k=-3,此時α=(-3)×360°+120°=-960°.所以角α的集合為:{-960°}.【解題策略】(1)一般地,可以將所給的角β化成k·360°+α的形式(其中0°≤α<360°,k∈Z),其中的α就是所求的角.(2)如果所給的角的絕對值不是很大,可以通過如下方法完成:當所給角是負角時,采用連續(xù)加360°的方式;當所給角是正角時,采用連續(xù)減360°的方式,直到所得結果達到要求為止.特別提醒:表示終邊相同的角時,k∈Z這一條件不能省略.【跟蹤訓練】1.與1650°角終邊相同的角是 (

)

A.30° B.210° C.-30° D.-210°【解析】選B.與1650°角終邊相同的角是α=1650°+k·360°,k∈Z,當k=-4時,α=210°,所以與1650°角終邊相同的角是210°.2.設α=1000°,若β是與α終邊相同的最小正角,則β=________.

【解析】因為與α終邊相同的角為k·360°+α(k∈Z),當α=1000°時,又β是與α終邊相同的最小正角,則β=(-2)×360°+1000°=280°.答案:280°類型三象限角及其應用(直觀想象)角度1用不等式組表示角的集合

【典例】如圖所示.(1)寫出終邊落在射線OA,OB上的角的集合.(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.【思路導引】(1)根據(jù)題目給出的條件分別寫出OA,OB表示的角.(2)根據(jù)陰影部分寫出不等式,注意兩個角的先后順序.【解析】(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.(2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}.

【變式探究】將本例中的圖形改為如圖所示,寫出終邊落在陰影部分的角的集合.【解析】設終邊落在陰影部分的角為α,角α的集合由兩部分組成.①{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}.②{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}.所以角α的集合應當是集合①與②的并集,即S={α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z}∪{α|(2k+1)180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z}={α|n·180°+30°≤α<n·180°+105°,n∈Z}.角度2

nα或所在象限的判定

【典例】若α是第二象限角,則2α,分別是第幾象限的角?【思路導引】根據(jù)已知條件,用不等式表示出α的范圍,再求出nα或,然后判定所在象限即可.【解析】(1)因為α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),所以180°+k·720°<2α<360°+k·720°,所以2α是第三或第四象限的角,或角的終邊在y軸的非正半軸上.(2)方法一:因為α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),所以45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z).①當k=2n(n∈Z)時,45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z),即是第一象限角;②當k=2n+1(n∈Z)時,225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z),即是第三象限角.故是第一或第三象限角.方法二:作圖

因為α是第二象限角,所以是第一或第三象限角.【解題策略】

已知α范圍,求nα和所在象限(1)已知α范圍,求nα所在象限時,用不等式表示出來,再查找不等式的范圍即可,注意結果可能不只有象限角,還可能有軸線角.(2)已知α范圍,求所在象限時,可以把每個象限等分為n份,在每一份中按順序標記一,二,三,四,找到原象限數(shù)字即可.

【發(fā)散·拓】確定(n∈N*)的終邊所在的象限的方法:一般地,要確定所在的象限,可以作出各個象限的從原點出發(fā)的n等分射線,它們與坐標軸把周角分成4n個區(qū)域,從x軸的非負半軸起,按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次標上1,2,3,4,…,1,2,3,4,…,標號為幾的區(qū)域,就是根據(jù)α所在第幾象限時,的終邊所落在的區(qū)域,如此所在的象限就可以由標號區(qū)域所在的象限直觀看出.【題組訓練】1.集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中角所表示的范圍(陰影部分)是 (

)【解析】選C.由集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}可知,當k為偶數(shù)時,集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}與|45°≤α≤90°}表示的范圍相同;當k為奇數(shù)時,集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}與{α|225°≤α≤270°}表示的范圍相同;所以集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中表示的角的范圍為選項C.2.若α是第三象限角,則180°-是 (

)A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角C.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角【解析】選B.因為α是第三象限角,所以k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,所以k·180°+90°<<k·180°+135°,k∈Z,所以-k·180°-135°<-<-k·180°-90°,k∈Z,所以-k·180°+45°<180°-α<-k·180°+90°,k∈Z,故當k為偶數(shù)時,180°-α是第一象限角;故當k為奇數(shù)時,180°-α是第三象限角.3.已知角α是第一象限角,則角可能是第________象限角.

【解析】根據(jù)題意,角α是第一象限角,故k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z,所以k·120°<<k·120°+30°,k∈Z,所以當k=3n時,n·360°<<n·360°+30°,n∈Z,位于第一象限;當k=3n+1時,n·360°+120°<<n·360°+150°,n∈Z,位于第二象限;當k=3n+2時,n·360°+240°<<n·360°+270°,n∈Z,位于第三象限;綜上所述,角可能是第一、二、三象限角.答案:一、二、三1.下列說法正確的是 (

)A.終邊相同的角一定相等B.鐘表的時針旋轉而成的角是負角C.終邊相同的角之間相差360°D.小于90°的角都是銳角【解析】選B.終邊相同的角不一定相等,可能相隔k·360°,A錯誤;鐘表的時針是順時針旋轉,故是負角,所以B正確;終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍,C錯誤;負角小于90°,但不是銳角,D錯誤.課堂檢測·素養(yǎng)達標2.下列是第三象限角的是 (

)

A.-110° B.-210° C.80° D.-13°【解析】選A.-110°=-360°+250°,所以-110°是第三象限角,正確;-210°=-360°+150°,所以-210°是第二象限角,不正確;80°是第一象限角,不正確;-13°=-360°+347°,所以-13°是第四象限角,不正確.3.(教材二次開發(fā):例題改編)在0°～360°的范圍內,與-510°終邊相同的角是 (

)A.330° B.210° C.150° D.30°【解析】選B.因為-510°=-720°+210°,則在0°～360°的范圍內,與-510°終邊相同的角是210°.4.與-2020°角終邊相同的最小正角是________.

【解析】-2020°=-6×360°+140°,即與-2020°角終邊相同的最小正角是140°.答案:140°5.已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(不包含邊界),那么角α的集合是________.

【解析】觀察圖形可知,角α的集合是{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°,k∈Z}.答案:{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°,k∈Z}Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更