2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)題匯編02 圓與方程（難點）（解析版）

專題02圓與方程（難點）

一、單選題

1.（2020江蘇高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xO），中，直線x+2y-4=0與兩坐標(biāo)軸分別交于點A、B,圓C

經(jīng)過A、B,且圓心在y軸上，則圓C的方程為（）

A.X2+y2+6y-16=0B.x2+y2-6^—16=0

C.x2+y2+8y-9=0D.x2+y2-8y-9=0

【答案】A

【分析】

求出點A、8的坐標(biāo)，設(shè)圓心坐標(biāo)為（0,6）,由|AC=|BC|可求出圓心C的坐標(biāo)，并求出圓的半徑，由此可

求得圓C的方程.

【解析】

易知，直線x+2y-4=0交x軸于點A（4,0）,交y軸于點8（0,2）,

設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（0力），由|AC|=忸。可得“2+上誹-2],解得6=—3,

所以，圓C的半徑為忸C|=|—3-2卜5,

因此，圓C的方程為f+（y+3）2=25,即為/+/+6丫_16=0.

故選：A.

【點睛】

求圓的方程，主要有兩種方法：

（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理.如：①圓心在過切點且與切線垂直的

直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時;切點與兩圓心三點共線；

（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量.一般地，與圓

心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式.不論是哪種形式，都要確定三個獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有

三個獨(dú)立等式.

2.（2019?廣東佛山市?佛山一中高三期中（理））已知圓C與直線x+y+3=0相切，直線/nr+y+l=0始終平

分圓C的面積，則圓C方程為（）

A.x2+y2-2y=2B.x2+y2+2y=2

C.x2+y2-2y=\D.x2+y2+2y=l

【答案】D

【分析】

計算出直線見+y+i=o所過定點的坐標(biāo)，由題意得出定點是圓c的圓心，然后利用點到直線的距離公式計

算出圓c的半徑長，即可得出圓c的方程.

【解析】

在直線如+y+i=o的方程中，令x=0,則y=-l,則直線皿+y+i=O過定點

山T宜線爾+y+1=0始終平分圓C的面積，則點(0,-1)是圓C的圓心，

又圓C與直線x+y+3=0相切，則圓C的半徑r=上詈=&.

因此，圓C的方程為Y+(y+l)2=2,即/+y2+2y=l.

故選D.

【點睛】

本題考查圓的方程的求解，同時也考查了直線過定點問題，求出圓的圓心坐標(biāo)為解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求

解能力，屬于中等題.

3.(2019?浙江嘉興市?嘉興一中高二期中)已知圓。產(chǎn)/+>2=1與圓?！?x-3p+(y+4)2=16,則圓Q與

圓。2的位置關(guān)系為()

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.相離

【答案】C

【分析】

先求出兩個圓的圓心和半徑，再根據(jù)它們的圓心距等于半徑之和，可得兩圓相外切.

【解析】

圓Oi的圓心為0(0,0),半徑等于1,圓。2的圓心為(3,Y),半徑等于4,

它們的圓心距等于J(0-3)2+(0+4)2=5,等于半徑之和，

故兩個圓相外切.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓和圓的位置關(guān)系的判定方法，屬于中檔題.

4.(2020?天津市咸水沽第一中學(xué)高二期中)若方程=丘+2有唯一解，則實數(shù)k的取值范圍是()

A.k=±6B.k2,2)

C.4<-2或％>2D.%<—2或&>2或&=±6

【答案】D

【分析】

將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，(力=廬7與g(x)="+2只有一個交點，然后利用數(shù)形結(jié)合處理.

【解析】

因為方程^/1^^=履+2有唯一解，即“工人仄^與g(x)="+2的圖象有唯一交點，

又f(x)表示圓心為。(0,0),半徑為r=1的上半圓(包括A(-1,0)和B(bO)),而g(x)是過點C(Q2)的直線,

如圖：

2「

當(dāng)直線與半圓相切時，由圓心到直線的距離公式得：7寸=1，左=±石，

,2-0c,2-0c

X,,k==2,==-2,

AC0+1BC。_]

由圖象可知，當(dāng)％<-2或k>2或&=±百時，y(x)=Jl—d與g(x)=h+2的圖象有唯一交點,

故選：D.

【點睛】

本題考查根據(jù)方程的解的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，難度一般，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

5.(2020?利川市第五中學(xué))已知圓/+/2_2爾_(4,“+2)>+4/+4n?+I=0的圓心在直線x+y-7=0上,

則該圓的面積為

A.4乃B.2萬C.冗D.

2

【答案】A

【分析】

根據(jù)圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)直線過圓心求出見即可計算半徑得面積.

【解析】

x2+y2-Itnx—（4m+2）y++4m+1=0,

z.（x-in）2+[》_（2"z+1）]2=m2,

即圓心為（m,2//2+1）,半徑R=|同

???圓心在直線x+y-7=0上，

4-2/72+1—7=0,

即"7=2,

所以圓的半徑R=2,

S=7TR?-4）.

故選：4

【點睛】

本題主要考查了圓的一般方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的面積，屬于中檔題.

6.（2020?重慶市萬州南京中學(xué)高二期中）已知圓C:（x-6）2+（y-l）2=l和兩點A（f0）,的,0）。＞0）,若

圓C上存在點P,使得乙4尸8=90;，則f的取值范圍是（）

A.（0,2]B.[1,2]C.[2,3]D.[1,3]

【答案】D

【分析】

根據(jù)圓心C到。（0,0）距離為2,可得圓C上的點到。（0,0）的距離最大值為3,最小值為1,再由AAPB=901

可得|PO|=；|AB|=r,從而得到答案.

【解析】

圓C:（x-石）2+（y-l）2=l的圓心c（點l）,半徑為1,

因為圓心C到。（0,0）距離為2,

所以圓C上的點到。（0,0）的距離最大值為3,最小值為1,

又因為NAPB=90°,則以AB為直徑的圓和圓C有交點，

可得I尸O|=g|AB|=r,

所以有1W3,

故選：D

【點睛】

本題主要考查了實數(shù)值取值范圍的求法，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬手中檔題.

7.(2021?廣西)己知回M：x2+y2-2x-2y-2=0,直線/：2x+y+2=O,P為/上的動點，過點P作!3M的

切線PAP8,切點為A,B,當(dāng)最小時，直線AB的方程為()

A.2x-y-\=0B.1x+y-\=0C.2x-y+l=0D.2x+y+l=0

【答案】D

【分析】

由題意可判斷宜線與圓相離，根據(jù)圓的知識可知，四點A尸,8,M共圓，且A5_LMP,根據(jù)

歸用以回=45..=4|網(wǎng)可知，當(dāng)宜線MPJ■/時，|尸”|?|筋|最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)

圓系的知識即可求出宜線A8的方程.

【解析】

|2xl+l+2|

圓的方程可化為(x-l)2+(y-l)2=4點M到直線/的距離為d==石＞2,所以直線/與圓相

離.

依圓的知識可知，四點AP,8,M四點共圓，且所以歸河卜|陰=45.叩=4*9四岡4閭=4歸山,

而陷=-4,

當(dāng)直線時，|M4山=逃，|/訓(xùn).=1,此時|PM"A8|最小.

11,

111y=—x4—X——1

0MP:y-1=—(x-1)HPy=-x+—,由1，22解得，S.

222卜x+y+2=0=°

所以以MP為直徑的圓的方程為(x-i)(x+i)+y(y-i)=o,即/+/一丫-1=0,

兩圓的方程相減可得：2x+y+l=o,即為直線A8的方程.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力

和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.（2020?四川闔中中學(xué)高二期中（理））已知圓G：/+產(chǎn)一米+2y=0與圓C2：f+產(chǎn)+Q，-4=0的公共

弦所在直線恒過定點P（“，刀,且點尸在直線，火-2=0上，則>+〃2的取值范圍是（）

A.（―,+°°）B.（-00,—JC.[—,+<?）D.（-℃,—）

【答案】C

【分析】

將兩圓的方程相減求得兩圓的公共弦方程，繼而求得尸①，勿，再代入直線mx-町，-2=0,根據(jù)距離的幾何意義

求解加+〃2即可.

【解析】

由題,兩圓的公共弦方程為任+丁一履+2），）一任+丁+妗，—4）=0,即&（x+y）-2y-4=0,定點滿足

[x+y=0（x=2/、

Lc，即。，故尸2,—2.

[2y+4=0[y=-2

又點尸在直線加""y-2=0上，故2加+2"-2=0,即〃z+"-l=0.故（加,“）的軌跡為直線x+y-1=0.又W+〃2

的幾何意義為原點（0,0）到點（/77,〃）的距離d的平方.

故"+"的取值范圍嗚+◎.

故最小值為，=

故選：C

【點睛】

本題主要考查了圓的公共弦方程與直線過定點的問題，同時也考查了利用幾何意義求解最值的問題.屬于中

檔題.

9.（2021?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題："設(shè)點M、N是銳角/AQB

的一邊QA上的兩點，試在邊Q8上找一點，使得NMPN最大”.如圖，其結(jié)論是：點P為過V、N兩點且和

射線。8相切的圓的切點.根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系X。），中，給定兩點加（-1,2）、

N（l,4）,點p在x軸上移動，當(dāng)NMPN取最大值時，點P的橫坐標(biāo)是（)

'A

A.1B.-7C.1或-7D.2或-7

【答案】A

【分析】

根據(jù)米勒問題的結(jié)論，P點應(yīng)該為過點M、N的圓與x軸的切點，可設(shè)點戶的坐標(biāo)為（。/），寫出圓的方程,

并將點M、N的坐標(biāo)代入可求出點P的橫坐標(biāo).

【解析】

設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（。力）,則圓的方程為（x—ay+（y—勾2=戶,

【點睛】

本題考查點的坐標(biāo)的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系、切割線定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于

中等題.

10.（2019?浙江杭州市?杭州外國語學(xué)校高二期中）已知直線如+y-2=0與圓心為C的圓

（》-1）2+仁-"）2=4相交于48兩點，且448。為等邊三角形，則實數(shù)4=

A.±￥B.+|C.I或7D.4±V15

【答案】D

【解析】

圓(x-l)2+(y-a)2=4的圓心C(l,a),半徑R=2,團(tuán)直線和圓相交，AABC為等邊三角形，回圓心到直線的

+a-2|12a—2|廠,—

距離為Rsin60o=石即d=匕』^=石,平方得/一8。+1=0,解得a=4土后，故選D.

\Ja~+\\ja+\

11.(2021?江蘇南通市?高二月考)已知點P(-2,-3)在以C(l,l)為圓心的圓C外，且圓C上的動點到點P距

離的最小值為2,直線。P與圓C交于4B兩點(其中。為坐標(biāo)原點)，點Q(x,y)在劣弧AB上運(yùn)動，則

2y_4|+2x-3y-2的最小值為()

A.2+3&B.2-30C.1+3應(yīng)D.1-3&

【答案】B

【分析】

由題意求得圓半徑，=3,作出圓及直線PO,交點AI,作直線x-2y-4=0,判斷出劣弧AB上點。(x,y)

的坐標(biāo)代入有x-2y-4<0,可化簡求值式為x-y+2,再作直線x-y+2=0,判斷出在此直線上方有

x-y+2<0,下方有x-y+2>0,因此得出要取得最小值，。點在直線x-y+2=0上方，求得與之平行的

圓的切線方程可得結(jié)論.

【解析】

22

|PC\=A/(1+2)+(1+3)=5,因為圓C上的動點到點P距離的最小值為2,

所以圓半徑為r=5—2=3,圓方程為(x-l)2+(y-l)2=9,

-33

直線OP方程為)，=丁=/

如圖，作出圓C,直線OP與圓交于點AB,

作直線x-2y-4=0,劣弧A3位于直線x-2y-4=0的上方，因此點Q(x,y)在劣弧AB上運(yùn)動時，

x-2y-4<0,所以|x-2y-4|+2x-3y-2=-x+2y+4+2x-3y-2=x-y+2,

作直線*7+2=0,在直線x-y+2=0上方，有x-y+2<0,在直線x-y+2=0下方，有x-y+2>0,

設(shè)直線x—丫+加=0與圓C相切，則吧蘆1=3,加=±3及，在直線x—y+2=0上方取機(jī)=3式，即有

72

x-y+3&=0,

所以x-y+2=2-3應(yīng)為最小值.

12.（2022?全國高三專題練習(xí)）已知直線x+y-A=0（k>0）與圓x2+/=4交于不同的兩點4B,。為坐標(biāo)原

點，且有|函+函邛網(wǎng)，則k的取值范圍是（）

A.（右,+8）B.［垃,2近）

C.［x/2,+-）D.［上,2g）

【答案】B

【分析】

山題設(shè)，I次+而I為等腰回AOB底邊中線長度的2倍，|通|為底邊長度，而左是直線在數(shù)軸上的截距，山

已知條件并結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想及圓的性質(zhì)，求左的范圍.

【解析】

y

，+"2=4

當(dāng)廊+函呼同

時，。、A、B為等腰三角形的三個頂點且。4=。8,此時0408=120。，則圓心。到直

線x+y—k=0（k>0）的距離為1,則々=&；

當(dāng)k>五時，|況+又直線與圓x?+y2=4存在兩交點，故k<2立，

綜上，k的取值范圍為［及,20）.

故選：B.

13.（2021?全國高二課前預(yù)習(xí)）己知點P（x,y）是直線/：辰-y+4=0（%>0）上的動點，過點尸作圓C：

x2+/+2y=0的切線以，A為切點，若1小1最小為2時，圓M：/+y2r2=。與圓。外切，且與直線/相

切，則機(jī)的值為（）

A.-2B.245-2

C.4D.V6+2

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意當(dāng)CP與/垂直時，IPAI的值最小，進(jìn)而可得&=2,再根據(jù)圓〃與圓C外切可得%>0,根據(jù)圓M

與直線/相切，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可求出.切的值.

【解析】

圓C的圓心為C（0，-l）,半徑為1，

,|1+4|

當(dāng)CP與/垂直時，IP*的值最小，此時點C到直線/的距離為“=:言,

由勾股定理得儼+22=（光能）2,又Q0,解得左=2,

圓M的圓心為Ml。,2），半徑為l：l,

22

iTim

團(tuán)圓A/與圓。外切，即丁1+1=1=一（一1）I,團(tuán)相＞0,

22

.m..

團(tuán)圓M與直線/相切，回加=一彳+,解得切=2石-2,

275

故選:B

14.（2021?黑龍江哈爾濱市,哈爾濱三中高二月考）已知點尸為圓（1-Ip+（y-2）2=1上動點，。為坐標(biāo)原點,

則向量辦在向量7=（2,1）方向上投影的最大值為（）

A.75B.逑+1C,如5.1D,延

555

【答案】B

【分析】

設(shè)向量:所在直線為。4（A為向量的終點），當(dāng)點P位于與直線OA垂直且與圓相切的直線上時，投影取得

最值，進(jìn)而求出最大值.

【解析】

如圖所示，向量；所在直線為83為向量的終點），則心則設(shè)與直線。人垂直且與圓相切的直線為

l:y=-2x+t,所以圓心到直線的距離1=匕*=1=，=4±石，

根據(jù)圖形可知，當(dāng)7=4+6時投影最大，設(shè)此時/:》=一2工+4+不與直線OA交于B,

y=-2工+4+石

易得，直線。4y=jx,聯(lián)立：，

1,解得:

+1，則向量而＞在向量（2,1）方向上投影的最大值為竽+1?

所以|0B|=

故選：B.

15.（2021?全國高二課時練習(xí)）如圖，圓C的部分圓弧在如圖所示的網(wǎng)格紙上（小正方形的邊長為1）,圖

若圓C經(jīng)過點4（2,15）,則圓C的半徑為

C.872D.10

【答案】A

【分析】

題中的網(wǎng)格，相當(dāng)于給出了點的坐標(biāo)，由此可求出直線的方程、切點的坐標(biāo)：要求圓的半徑，可考慮求出

圓心坐標(biāo)，這樣圓心與點A之間的距離即是半徑.

【解析】

由圖可知，直線與圓C切于點（2,1）,即圓C經(jīng)過點（2,1）,又圓C經(jīng)過點（2,15）,所以圓C的圓心在直線y=8

又直線過點（0,3）,（3,0）,所以直線的斜率氏=汽=-1,

0—3

因為直線與圓C切于點（2,1）,所以圓心在直線y-l==（x-2）,即x-y-l=0上

-1

x_；二；10得圓C的圓心為（9,8），

聯(lián)立

則圓C的半徑為7（9-2）2+（8-1）2=7正.

【點睛】

本題考查直線與圓，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.

圓心的性質(zhì)：圓心在弦的垂直平分線上；圓心與切點的連線與切線垂直（K?右-1）.

16.（2021?全國高二課時練習(xí)）太極圖的形狀如中心對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太

極圖如圖是放置在平面直角坐標(biāo)系中簡略的“陰陽魚太極圖"，其外邊界是一個半徑為2的圓，其中黑色

陰影區(qū)域在y軸右側(cè)部分的邊界為一個半圓，已知直線/：y=a（x-2）.給出以下命題：

①當(dāng)。=0時，若直線/截黑色陰影區(qū)域所得兩部分的面積分別記為，，S2（S|NS2）,則$:$2=3:1；

②當(dāng)〃=時，直線/與黑色陰影區(qū)域有1個公共點；

③當(dāng)。目0,1）時，直線/與黑色陰影區(qū)域有2個公共點.

其中所有正確命題的序號是（）.

七

-2

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】

根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，逐項分析判斷即可得解.

【解析】

2

圖1圖2圖3

如圖1所示，大圓的半徑為2,小圓的半徑為1,

所以大圓的面積為4兀，小圓的面積為兀.

對于①，當(dāng)。=0時，直線/的方程為y=o.

此時直線/將黑色陰影區(qū)域的面積分為兩部分,

兀37c7T71

3=兀4=,=7T=—,

122222

所以E：邑=3:1,故①正確.

對于②，根據(jù)題意，黑色陰影區(qū)域在第一象限的邊界方程為

x2+（y-l）2=l（x>0）

44

當(dāng)”=時，直線/的方程為y=-]（x-2）,

即4x+3y-8=0,小圓圓心（0,1）到直線/的距離d==1，

所以直線/與該半圓弧相切，如圖2所示，

所以直線,與黑色陰影區(qū)域只有一個公共點，故②正確.

對于③，當(dāng)ae[0,l）時，如圖3所示，

直線/:y=a（x-2）與黑色陰影區(qū)域的公共部分為一條線段，有無數(shù)個公共點，故③錯誤.

綜上所述，①②正確.

故選：A.

二、多選題

17.（2020?遼寧高二期中）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A,B的距離之比為定值

“幾#1）的點的軌跡是圓,此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-2,0）,8（4,0）,點

\PA\1

「滿足局=「?設(shè)點P的軌跡為C,則（）.

I?邙2

A.軌跡C的方程為（x+4>+y2=9

\PD\1

B.在x軸上存在異于A,B的兩點。，E,使得=7

\PE\2

C.當(dāng)A,B,P三點不共線時，射線尸。是44P3的角平分線

D.在C上存在點使得|圖=2|加4|

【答案】BC

【分析】

根據(jù)兩點間的距離公式計算化簡，逐一判斷選項即可.

【解析】

A：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-2,0）,8（4,0）,點P滿足犒=g,

.、A/（X4-2）-4-y21

設(shè)P（x,y）,則…廣=_3----=不,化簡得x++8%=0,

■.4）2+/2

即（x+4『+y2=i6,所以A錯誤；

B：假設(shè)在x軸上存在異于A,8的兩點O,E,使得黑=:，

\PE\2

設(shè)E（〃,o）,則J（x_“y+y2=2j（x_，〃/+y2,

化筒得+39-（8/n-2n）x-i-4/n2-n2=0,

山軌跡C的方程為x2+y2+8x=0,可得8m-2M=-24,4m2-n2=0,

解得m=-6,〃=一12或機(jī)=一2,n=4（舍去），所以B正確；

OA]\PA

C：當(dāng)A,B,P三點不共線時，7^二;=而商，

UD2rD

可得射線P。是N4PB的角平分線，所以C正確；

D：若在C上存在點"，使得|MO|=2|M4|,可設(shè)"（x,y）,

則心2+尸=2戊*+2）2+/,化簡得八八++與=0,

與丁+9+8》=0聯(lián)立，方程組無解，故不存在點M，所以D錯誤.

故選：BC.

18.（2020?江蘇揚(yáng)州市?高一期中）已知點P（cosasin，）（6eR）,直線/:x+陽-4=0,下列結(jié)論正確的是

（）

A./恒過定點（4,0）

B.|。"=1（。為坐標(biāo)原點）

C.尸到直線/的距離有最小值，最小值為3

D.P到直線/的距離有最大值，最大值為5

【答案】ABD

【分析】

直接代點可判斷A；利用兩點之間距離公式可判斷B；山點尸的軌跡與直線過定點，畫出圖形后可判斷C、

D.即可得解.

【解析】

直線/:x+my-4=0,當(dāng)y=0時，x=4,故A正確；

\0P\=>/cos26？+sin20=1,故B正確；

點尸的軌跡是以(0,0)為圓心，半徑為1的圓，直線過定點(4,0),位置如圖:

由圖可知，點尸到直線/的距離最小值為0,

當(dāng)直線與*軸垂直時，圓心到直線的距離最大，最大值為4,所以P到直線/的距離有最大值，最大值為5.

故C錯誤，D正確.

故選:ABD.

【點睛】

本題考查了直線過定點問題、兩點之間距離公式的應(yīng)用以及直線與圓的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，

屬于中檔題.

19.(2021?全國高二單元測試)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于

同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作AABC,AB=AC=4,點

8(7,3),點C(4,-2),且其“歐拉線"與圓“：(》-3)2+產(chǎn)=，相切，則下列結(jié)論正確的是()

A.的“歐拉線"方程為y=x-l

B.圓加上點到直線x->+3=0的最大距離為3五

C.若點(x，y)在圓M上，則x+石)，的最小值是3-2夜

D.圓(x-a-l)2+(y-a)2=8與圓M有公共點，則。的取值范圍是［1-2友,1+2夜］

【答案】ACD

【分析】

山A3=AC及題意可得三角形ABC的歐拉線為線段8c的中垂線，求出BC的中垂線方程判斷A；山歐拉線

與圓M相切可得，圓心又到歐拉線的距離等于半徑可得『的值，由圓上的點到直線的距離的最大值為圓心

到直線的距離加半徑判斷5；令，=x+Gy,得)'=號，代入圓的方程，由方程有根求出f的范圍判斷C；

由兩個圓有公共點可得圓心距與兩個半徑之間的關(guān)系，求得。的取值范圍判斷。.

解：?.-4?=AC,由題意可得三角形43c的歐拉線為8c的中垂線,

山仇一1,3),點C(4,-2)可得BC的中點為弓，!)，且即C=￥；=T，

22—1—4

13

???線段BC的中垂線方程為：即x-y-l=O,故A正確;

22

???三角形ABC的"歐拉線"與圓M:(x-3>+>'2=/相切，

圓心(3,0)到直線x-y-1=0的距離d=r=軍=&,

V2

???圓M的方程為：(》-3)2+丁=2,

圓心(3,0)到直線犬-y+3=0的距離d=史普=3后,

???圓M上點到直線X-y+3=0的距離的最大值為d+r=3點+夜=4夜，故B錯誤；

I—x

令t=x+6y,；.y=,代入圓M的方程(x-3)2+y?=2,

可得4x2-(18-2r)x+產(chǎn)+21=0,由于(x,y)在圓上，.?.4/-(18+2f)x+產(chǎn)+21=0有根,

J1lj0=(18+2f)2-4x4x(?+21)..0,整理得:/_&+L,0,解得:3-2夜剌3+2近,

的最小值為3-2應(yīng)，即x+6y的最小值為3-20，故C正確；

(x—a—1廠+(y—。)-=8園心坐標(biāo)3+1,〃)，半徑為2>/2，

圓M的(x-3)2+V=2的圓心坐標(biāo)為(3,0),半徑為近，

要使圓(x-a-l)2+(y-a)2=8與圓”有公共點,則圓心距e[242亞+業(yè)，即圓心距3揚(yáng),

'''級曠("+1-3)~+優(yōu),

a2-2a-10

即:aFa+J。,解得1一2伍女1+2&，故。正確.

故選：ACD.

20.(2021?江蘇高二課時練習(xí))已知尸為橢圓C：?+=l的左焦點，直線/：y="(kH0)與橢圓C交

于A,B兩點,AELx軸，垂足為E,破與橢圓C的另一個交點為P,貝!!()

14L

A.府廣麻|的最小值為2B.△ABE面積的最大值為0

C.直線8E的斜率為;kD.為鈍角

【答案】BC

【分析】

A項，先由橢圓與過原點直線的對稱性知，|AF|+忸F|=4,再利用1的代換利用基本不等式可得最小值:，

A項錯誤；B項，由直線與橢圓方程聯(lián)立，解得交點坐標(biāo)，得出面積關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)最值：

C項，由對稱性，可設(shè)A（%%）,則3（-%,-%）,E（與,0）,則可得直線BE的斜率與k的關(guān)系；D項，先

h211

由A、8對稱且與點P均在橢圓上,可得k-k=————，又由C項可知k=ABE=彳火，得kpA，^AB=—>

PAPBa'2PB2

即NR鉆=90。，排除D項.

【解析】

對于A,設(shè)橢圓C的右焦點為尸，連接AT,BF',

則四邊形AF'BF為平行四邊形，

.-.|AF|+|fiF|=\AF\+\AF'\=2a=^,

?.?白+向=!修目+忸同）（贏+向,1（闞*硝、9

4〔卜日1MJ」4

當(dāng)且僅當(dāng)|明=2|AF|時等號成立,A錯誤;

2）

土+匕=1,旦±2

對于B,由一得戶為才

y=kx

c11||?4網(wǎng)

「.△ABE的面積§=1以F=TT2F

同+2網(wǎng)

當(dāng)且僅當(dāng)A=±等時等號成立'B正確;

對于C,設(shè)4（為,%）,則3（-%,一%）,E（%,0）,

故直線BE的斜率&?=絲坦=；?&=C正確;

玉）十天）N演）Z

對于D,設(shè)P（，%〃），直線R4的斜率額為岫，直線PB的斜率為L，

則原八條依=

tn—xam+x<)m~—x；

2922

又點尸和點A在橢圓C上，.-W+3=1①，=1②,

①一②得當(dāng)一^二一:，易知kpB=kBE=gk,

nr-x022

則%得”-'

：.ZPAB=90°,D錯誤.

橢圓常用結(jié)論：

已知橢圓±+4=13＞匕＞0），AB為橢圓經(jīng)過原點的一條弦，P是橢圓上異于A、B的任意一點，若kpA，kp"

a~b~

都存在，則Zp八?即8=一」.

a~

力優(yōu)選提升題

三、填空題

21.（2020?遼寧高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓0：（》-2）2+＞2=/任＞0）上存在點人且點尸關(guān)

于直線x-y=0的對稱點。在圓C2:（x-2＞+（y-爐=4上，則，的取值范圍是.

【答案】[石-2,石+2]

【分析】

根據(jù)題意，可得圓G關(guān)于直線x-y=。對稱圓c”根據(jù)題意，可得圓C3與圓G有交點，根據(jù)兩圓的位置關(guān)

系，即可求得答案.

【解析】

將題意等價為圓C1關(guān)于直線X-y=0對稱圓G與圓J有交點，

由題意得,圓+。-2）2=產(chǎn)（「＞0）,圓心為（0,2）,半徑為r,

又G：(x-2y+(y—1)2=4,圓心為(2』)，半徑為2,

所以IGC3I=捏+㈠)2=也，

若兩圓相交，則滿足一2V|GG|Vr+2，

解得石-24"K+2.

所以廠的取值范圍是[石-2,石+2].

故答案為：[石-2,石+2]

22.(2021?全國高二期中)如圖，已知圓O:/+y2=16,4,8是圓。上兩個動點，點尸(2,0),則矩形P4C8的

頂點C的軌跡方程是.

【答案】X2+/=28

【分析】

設(shè)點C(x,y),連接A氏PC交于可寫出M的坐標(biāo)，再在直角△OMB中，OMLMB,利用勾股定理列

方程可得x,y的關(guān)系式，即頂點C的軌跡方程.

【解析】

設(shè)點C(x,y),如圖連接AB,PC交于M,

由矩形B4C8可知M為PC的中點，PM=MB

連接OB,OM,在直角△QWB中，OMVMB,則OB?=O河？+=OM?+用產(chǎn)

即16=(晉j+仁J+(學(xué)-2J+仁j,整理得/+r=28,

所以頂點C的軌跡方程是x2+y2=28

故答案為：x2+/=28

【點睛】

關(guān)鍵點睛：本題考查求軌跡方程，解題的關(guān)鍵是求誰設(shè)誰，設(shè)點C(x,y),然后再利用圖像的幾何關(guān)系找到

x,y的關(guān)系式，即求得軌跡方程，考查學(xué)生的直觀想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

23.(2018?北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高二期中(理))已知圓/-2利+丫2=0與圓/+/=4交于A,B兩點.。是

坐標(biāo)原點，且NAO3N120。，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(ro,-2]U[2,+?)

【分析】

由題意可知，若NAO3W120。，則卻226,即。到直線AB的距離小于等于1.

【解析】

y

3-

團(tuán)圓V-2ax+丁=0與圓/+丁=4交于人，B兩點，

回直線AB：(x2-2ar+y2)-(x2+/)=-4,即ov=2

若NAOB2120。，Wi]|AB|>2>/3,即O到直線AB的距離小于等于1.

N的

團(tuán)實數(shù)。的取值范圍是(-8,-2]0[2,y)

故答案為(-8,-2卜[2,+8)

【點睛】

本題考查r兩圓間的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是把兩圓間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線與圓間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為垂徑定

理問題即可.

24.(2018?安慶市第七中學(xué)高二期中(理))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓(x-2)?+(y-2)?=1上存在點

M,使得點M關(guān)于x軸的對稱點N在直線kx+y+3=0上,則實數(shù)k的最小值為.

【答案】一三4

【解析】

?.?M在0一2)2+(了-2)2=1,可設(shè)/(2+cos6,2+sin。)，可得N(2+cos6,-2-sin。)，將N的坐標(biāo)代入

fcr+y+3=0,可得sin6-kcos6=2/:+l,|2%+1區(qū)7^71,化為得北2+4440,-g4%40,/的最小值為-g,

4

故填一§?.

25.(2019?江西贛州?(文))圓G：/+)，2+4公+4。2-4=0和圓。2：/+/一2紗+/-1=0相內(nèi)切，若a/eR,

則*+*的最小值為

且必w0,

【答案】9

【分析】

由題意可得兩圓相內(nèi)切，根據(jù)兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，可得/+從=],再利用"1"的代換，使用基

本不等式，可求解.

【解析】

由題意，根據(jù)兩圓分別為x2+y~+4ax+4〃~-4=。和圓C2：/+）廣-2by+h2—1=0,

圓心分別為(-200),(0,。)，半徑分別為2和1,故有國壽=1，所以4〃2+〃=1,

所以*+AT+和4/+〃)=5+》今

>5+4=9,

當(dāng)且僅當(dāng)今=笄時'等號成立，所以:+，的最小值為9.

【點睛】

本題主要考查了兩圓的位置關(guān)系，及利用基本不等式求最小值問題，其中解答中根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，根

據(jù)"1"的代換，利用基本不等式求最小值求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于

中檔試題.

26.(2019?安徽阜陽市?)圓〃的方程為(x-2-5cos6)2+(y-5sine)2=l(ewR),圓C的方程為

(X-2)2+/=4,過圓M上任意一點尸作圓C的兩條切線PE、PF,切點分別為E、F,則麗.麗的最小

值為.

【答案】6

【分析】

設(shè)NCP￡=a,可得出NEPF=2a,利用三角函數(shù)的定義以及平面向量數(shù)量積的定義可得出

PEPF=\PC\+舒72,利用圓的幾何性質(zhì)求得|無『的取值范圍，結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得而.而

的最小值.

【解析】

設(shè)NCPE=a,則/EPF=2a,

PE

由切線長定理可得|厚卜|可，|而卜向I2+4,cosa=

PC

一味吟型一囤"畫+46+而啊

圓心M的坐標(biāo)為（2+5cos，,5sin，），則|祝卜J（2+5cos9一2『+（5sin6>）2=5,

由圖可得|碇卜臼定目碇|+1,即41無上6,則16?|定『436,

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)^=%+亍-12在區(qū)間［16,36］上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)附=16時，麗.而取得最小值16+*12=6.

故答案為：6.

【點睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的最值，同時也考查了雙勾函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.

四、解答題

27.（2018?義烏市義亭中學(xué)高二期中）如圖，橢圓C：f+3y2=〃2

（2）若”=拓，M,N是橢圓C上兩點，且|MN|=2g,求/XMON面積的最大值.

【答案】（1）—:（2）6

3

【分析】

（1）將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，代入離心率公式計算即可；

（2）對直線的斜率討論，設(shè)方程為，=丘+以聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長公式上,匕的關(guān)系，利用4>0得

出人的范圍，求出O到直線MN的距離d的范圍即可得出結(jié)論.

【解析】

x2y2

解：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：/+/=

T

m22a~2a~ini

0c2=a2---=---,HPc=—a?

333

回橢圓C的離心率e=￡=直.

a3

r22

(2)a=卡時，橢圓方程為=+^^—=1,

62

顯然直線MN的斜率存在.

①當(dāng)々=0時.，把1=百代入橢圓方程得y=i,

回。到直線MN的距離為1,

回S^MON=5X26X1—6>

②當(dāng)直線MN斜率不為零時，設(shè)直線MN的方程為丫=丘+%

y=kx+b

聯(lián)立方程組//,得(1+3公產(chǎn)+6附x+3從-6=0,

--F--=1

62

回△=36慮2-40+3〃)(3從-6)>0,解得"<6公+2,

設(shè)〃a，x）,"（毛，必），則玉+々=-售工,不々=生言

-

1"?JK1I3K

36k汨12W-2)Jl+r.2jl8%2-322+6

回“兇=&+於=273,

(1+3公『1+3公1+3公

回>Jl+k2yl6k2