2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專題檢測(cè)2.2二次函數(shù)與冪函數(shù)

.2二次函數(shù)與冪函數(shù)一、選擇題1.(2024南京秦淮中學(xué)開學(xué)考,3)已知a,b,c∈R,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),則()A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0答案A由f(0)=f(4),得a≠0且f(x)=ax2+bx+c圖象的對(duì)稱軸為直線x=-b2a=2,∴4a+b=0,又f(0)=f(4)>f(1),∴f(x)的圖象開口向上,于是a>0,故選2.(2024北京清華附中統(tǒng)練三,6)函數(shù)f(x)=ax2-(a-1)x-3在區(qū)間[-1,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.-∞,13C.0,13答案D若a=0,則f(x)=x-3,其在區(qū)間[-1,+∞)上是增函數(shù),符合題意.若a≠0,因?yàn)閒(x)在區(qū)間[-1,+∞)上是增函數(shù),故a>0,a-12a≤-1,解得0<a≤13.綜上3.(2024屆山西忻州頂級(jí)名校聯(lián)考,7)若函數(shù)y=x2+2mx+1在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.[-2,+∞)B.[2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,2]答案A函數(shù)y=x2+2mx+1的圖象為開口向上的拋物線,對(duì)稱軸為直線x=-m,又函數(shù)y=x2+2mx+1在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則-m≤2,解得m≥-2.4.(2024屆人大附中統(tǒng)練一,6)已知函數(shù)f(x)=ax2-x,若對(duì)隨意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式f(x1)-f(x2)A.12,+∞C.14,+∞答案D不妨設(shè)x2>x1≥2,f(x=a(x1-x∵對(duì)隨意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式f(x1∴a(x1+x2)-1>0,即a>1x1∵x2>x1≥2,∴0<1x1+x2<14,∴a≥14,即解后反思對(duì)不等式f(x1)-f(x2)x1-x2>0進(jìn)行化簡(jiǎn)5.(2024屆山東師范高校附中月考,7)已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)=2x-a.?x1∈[1,5),?x2∈[1,5),使得f(x1)≥g(x2)成立,則實(shí)數(shù)aA.{a|a≥1}B.{a|a≥-23}C.{a|a≥31}D.{a|a≥7}答案A由題意知(m-1)2=1,得m=0或m=2.當(dāng)m=0時(shí),f(x)=x2,當(dāng)m=2時(shí),f(x)=x-2,∵y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x)=x2.∴f(x)在[1,5)上的值域?yàn)閇1,25).g(x)在[1,5)上的值域?yàn)閇2-a,32-a),∴2-a≤1,∴a≥1.6.(2024屆四川名校聯(lián)盟聯(lián)考,12)關(guān)于x的方程9x-(a+1)3x+a2-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.-1,53C.-1,43答案B設(shè)3x=t,t>0,則t2-(a+1)t+a2-1=0有兩個(gè)不等的正根t1,t2?Δ=(a+1)7.(2024屆鄭州期中,12)已知冪函數(shù)y=xm2-2m-3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),則滿意(a+1)-m3A.(-∞,-1)∪2B.-1,C.(-∞,-1)∪3D.2答案A因?yàn)楹瘮?shù)y=xm2-2m-3(m∈N*)在(0,+∞)上是減函數(shù),所以因?yàn)閙∈N*,所以m=1或m=2.因?yàn)閮绾瘮?shù)y=xm2-2m-3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以m2因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x-13在(-∞,0)上為減函數(shù),在(0,+∞)上為減函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,又(a+1)-13<(3-2a)-13,所以0>a+1>3-2a或a+1>3-2a>0或3-2a>0>a+1,二、填空題8.(2024屆陜西頂級(jí)名校月考,14)已知函數(shù)f(x)=kx2+4x-2在[1,2]上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.

答案[-1,+∞)解析當(dāng)k=0時(shí),f(x)=4x-2在[1,2]上為增函數(shù),符合題意;當(dāng)k≠0時(shí),函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=-2k,則k>0,-2k≤1或k<0,-9.(2024屆人大附中統(tǒng)練一,13)已知函數(shù)y=f(x)滿意下列條件:①定義域?yàn)镽;②函數(shù)y=f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;③函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).寫出函數(shù)f(x)的一個(gè)表達(dá)式:.

答案y=x2(答案不唯一)解析滿意條件的函數(shù)可以為y=x2或y=x2+2等.(答案不唯一)10.(2024屆北京八中10月月考,14)如圖,已知正方形OABC,其中OA=a(a>1),函數(shù)y=3x2的圖象交BC于點(diǎn)P,函數(shù)y=x-12的圖象交AB于點(diǎn)Q,當(dāng)|AQ|+|CP|最小時(shí),a答案3解析由題意得Pa3,a則|AQ|+|CP|=1a+a3=1a+a3≥2當(dāng)且僅當(dāng)1a=a3,即a=3時(shí)取等號(hào),故當(dāng)|AQ|+|CP|最小時(shí),a=三、解答題11.(2024南寧三中月考)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿意:f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的值域;(3)當(dāng)x∈R時(shí),不等式f(x)>3x-k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解析(1)由f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2ax+a+b=2x,得2a=2,又f(0)=c=1,∴f(x)=x2-x+1.(2)由(1)知,f(x)=x2-x+1,其圖象開口向上,對(duì)稱軸為直線x=12∴f(x)在-1,12上單調(diào)遞減,在1∴f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值為f12=34,∴f(x)在區(qū)間[-1,1]上的值域?yàn)?4(3)由不等式f(x)>3x-k恒成立,得k>-x2+4x-1恒成立,令g(x)=-x2+4x-1,則只需k>g(x)max即可.當(dāng)x=2時(shí),g(x)max=g(2)=3,得k>3.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(3,+∞).12.(2024屆北京九中10月月考,18)已知關(guān)于x的方程x2+(m-3)x+m=0.(1)若