2025屆新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)02三角函數(shù)與解三角形教師版

重難點(diǎn)02三角函數(shù)與解三角形新高考中，三角函數(shù)與解三角形依舊會(huì)作為一個(gè)重點(diǎn)參加到高考試題中，嫻熟駕馭三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換公式及正、余弦定理，在此基礎(chǔ)上駕馭一些三角恒變換的技巧，如角的變換，函數(shù)名稱的變換等，此外，還要留意題目中隱含的各種限制條件，選擇合理的解決方法，敏捷實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化。1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間．①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)潔化原則，將解析式先化簡(jiǎn)，并留意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但假如ω<0，那么肯定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．2、求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過恒等變形化為y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分別應(yīng)用公式T=，T=，T=求解．3、對(duì)于函數(shù)y=Asin（ωx＋φ），其對(duì)稱軸肯定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)肯定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此在推斷直線x=x0或點(diǎn)（x0，0）是否為函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，可通過檢驗(yàn)f（x0）的值進(jìn)行推斷．4、若f（x）=Asin（ωx＋φ）為偶函數(shù)，則φ=kπ＋（kZ），同時(shí)當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）為奇函數(shù)，則φ=kπ（k∈Z），同時(shí)當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0.2、利用正、余弦定理求邊和角的方法（1）依據(jù)題目給出的條件(即邊和角)作出相應(yīng)的圖形，并在圖形中標(biāo)出相關(guān)的位置．（2）選擇正弦定理或余弦定理或二者結(jié)合求出待解問題．一般地，假如式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.3、求三角形面積的方法：1）若三角形中已知一個(gè)角(角的大小，或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求夾這個(gè)角的兩邊或該兩邊之積，套公式求解．2）若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．幾何中的長度、角度的計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為三角形中邊長和角的計(jì)算，這樣就可以利用正、余弦定理解決問題.解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，把已知和所求的量盡量放在同一個(gè)三角形中.熱點(diǎn)1、新題型的考查（1）以數(shù)學(xué)文化和實(shí)際為背景的題型；（2）多選題的題型；（3）多條件的解答題題型。熱點(diǎn)2、與其它學(xué)問交匯的考查（1）與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的結(jié)合；（2）與平面對(duì)量的結(jié)合；（3）與不等式的結(jié)合；（4）與幾何的結(jié)合。A卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·上海虹口·一模）設(shè)函數(shù)，其中，，若對(duì)隨意的恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增 D．過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像必有公共點(diǎn)【答案】D【分析】利用協(xié)助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而依據(jù)函數(shù)在處取得最大值求出參數(shù)，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)推斷答案.【詳解】由題意，，，而函數(shù)在處取得最大值，所以，所以，，則.對(duì)A，因?yàn)椋?，A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)椋訠錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)榈淖畲笾禐?，而，所以過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象必有公共點(diǎn)，D正確.故選：D.2．（2024·廣東·珠海市其次中學(xué)模擬預(yù)料）已知為銳角的內(nèi)角，滿意，則（）A． B．， C．， D．，【答案】C【分析】設(shè)，則，依據(jù)零點(diǎn)存在性定理推斷零點(diǎn)所在區(qū)間；【詳解】解：為銳角的內(nèi)角，滿意，設(shè)，即，，則函數(shù)在上為連續(xù)函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增；在中取，得，在中取，得，，，，.故選：.3．（2024·江蘇鹽城·高三期中）若函數(shù)與在上的圖象沒有交點(diǎn)，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)圖象的平移即可求解.【詳解】解：是周期為的正弦函數(shù)，，是由向左平移個(gè)單位得到①當(dāng)時(shí)，如下圖所示，此時(shí)函數(shù)與在上有交點(diǎn)，不符合題意②當(dāng)時(shí)，如下圖所示此時(shí)函數(shù)與在上無交點(diǎn)，符合題意③當(dāng)，如下圖所示此時(shí)函數(shù)與在上無交點(diǎn)，符合題意綜上所述，，故的取值范圍是故選：A.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是通過對(duì)三角函數(shù)平移的過程利用數(shù)形結(jié)合找到相交的臨界位置.4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)料）（）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】D【分析】利用切化弦，三角恒等變換，逆用兩角差的正弦公式，二倍角公式，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】故選:D5．（2024·山東·嘉祥縣第一中學(xué)高三期中）對(duì)于角的正切的倒數(shù)，記作，稱其為角的余切．在銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為，，，若滿意，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】依據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得到，依據(jù)角度的范圍得到，化簡(jiǎn)得到，得到答案.【詳解】因?yàn)?，依?jù)正弦定理得，由，，即，三角形為銳角三角形，可得，即，所以，可得，可得，所以，則，所以．故選：C．6．（2024·四川·綿陽中學(xué)試驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)料）某城市要在廣場(chǎng)中心的圓形地面設(shè)計(jì)一塊浮雕，彰顯城市主動(dòng)向上的活力.某公司設(shè)計(jì)方案如圖，等腰的頂點(diǎn)P在半徑為20m的大⊙O上，點(diǎn)M，N在半徑為10m的小⊙O上，點(diǎn)O，點(diǎn)P在弦MN的同側(cè).設(shè)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，對(duì)于其它區(qū)域中的某材料成本最省，則此時(shí)（）A． B． C． D．【答案】C【分析】用表示出的面積為，求導(dǎo)，令求得極值點(diǎn)，從而求得面積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的值.【詳解】如圖所示，等腰中，設(shè)的面積為，則求導(dǎo)令，即，解得：（舍去負(fù)根）記，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，即，取得極大值，即最大值.故選：C7．（2024·河南平頂山·高二期中）在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對(duì)的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長交于，由重心性質(zhì)和直角三角形特點(diǎn)可求得，由，利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系得到，由此確定為銳角，則可假設(shè)為鈍角，得到，，，由此可構(gòu)造不等式組求得的取值范圍，在利用余弦定理可得，利用的范圍，結(jié)合為銳角可求得的取值范圍.【詳解】延長交于，如下圖所示：為的重心，為中點(diǎn)且，，，；在中，；在中，；，，即，整理可得：，為銳角；設(shè)為鈍角，則，，，，，解得：，，，由余弦定理得：，又為銳角，，即的取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中的取值范圍問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠由兩角互補(bǔ)得到余弦值互為相反數(shù)，由余弦定理得到，確定為銳角，從而得到三邊之間的不等關(guān)系，求得的范圍.8．（2024·全國高考真題）設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①在（）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②在（）有且僅有2個(gè)微小值點(diǎn)③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中全部正確結(jié)論的編號(hào)是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】本題為三角函數(shù)與零點(diǎn)結(jié)合問題，難度大，通過整體換元得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像分析得出答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，，∵f（x）在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，∴，∴，故④正確，由，知時(shí)，令時(shí)取得極大值，①正確；微小值點(diǎn)不確定，可能是2個(gè)也可能是3個(gè)，②不正確；因此由選項(xiàng)可知只需推斷③是否正確即可得到答案，當(dāng)時(shí)，，若f（x）在單調(diào)遞增，則，即，∵，故③正確．故選D．【點(diǎn)睛】微小值點(diǎn)個(gè)數(shù)動(dòng)態(tài)的，易錯(cuò)，③正確性考查需仔細(xì)計(jì)算，易出錯(cuò)，本題主要考查了整體換元的思想解三角函數(shù)問題，屬于中檔題．二、多選題9．（2024·江蘇·海門中學(xué)高三期中）已知某物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，位移函數(shù)為，且，則下列說法正確的是（）A．該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．若，則D．若對(duì)于隨意，，有，則【答案】AC【分析】依據(jù)題意得，再依次探討各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，即，所以，因?yàn)?，所以所以，所以?duì)于A選項(xiàng)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相為，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取，滿意，但，故錯(cuò)誤故選：AC10．（2024·福建·模擬預(yù)料）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在區(qū)間上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)共有6個(gè)，下列說法正確的是（）A．在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)B．在上有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)C．的取值范圍是D．的取值范圍是【答案】BC【分析】借助于函數(shù)圖象，得到在上有5或6個(gè)零點(diǎn)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，另外得到的取值范圍.【詳解】，當(dāng)，則，借助圖象可知在上有5或6個(gè)零點(diǎn)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)．故A錯(cuò)誤．B正確；函數(shù)的圖象在區(qū)間上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)共有6個(gè)，所以，解得．故C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC11．（2024·江蘇淮安·高三期中）在△中，角的對(duì)邊分別為，則下列的結(jié)論中正確的是（）A．若，則△肯定是等腰三角形B．若，則C．若△是銳角三角形，則D．已知△不是直角三角形，則【答案】BCD【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及正切函數(shù)的兩角和公式，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行推斷求解即可【詳解】對(duì)于A，由，得，即，因?yàn)樵谥?，令，，此時(shí)，仍有，所以，不肯定是等腰三角形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，，所以，所以，由正弦定理得，B正確；對(duì)于C，若是銳角三角形，則均為銳角，所以，，得和，且，得，同理，可證得，，，所以成立，C正確；對(duì)于D，已知△不是直角三角形，，則有，所以，得所以，D正確；故選：BCD.12．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)料）在三角函數(shù)部分，我們探討過二倍角公式，事實(shí)上類似的還有三倍角公式，則下列說法中正確的有（）A．B．存在時(shí)，使得C．給定正整數(shù)，若，，且，則D．設(shè)方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根為，，，并且，則【答案】ACD【分析】利用兩角和的余弦公式及二倍角公式綻開化簡(jiǎn)即可推斷選項(xiàng)A；令，則，依據(jù)三角函數(shù)的有界性得到，進(jìn)而推斷B選項(xiàng)；令，其中，，問題轉(zhuǎn)化為，依據(jù)二次函數(shù)的最值證明上式成馬上可；求解方程得到或或，比較大小得到，，，再驗(yàn)證是否成馬上可.【詳解】，A對(duì)令，則，，則，B錯(cuò)；令，其中，，即∴由可得，即，∴∴，C對(duì)；令，，，即即∵，∴或或令，，，，∴的根都在，∴，，，D對(duì)故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生三角函數(shù)，二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的問題，主要考察學(xué)生分析問題解決問題的實(shí)力，對(duì)學(xué)生的要求比較高，屬于難題，在做此類目時(shí)不要驚慌，靜下心來，漸漸分析就可以找到題目的突破口.三、填空題13．（2024·福建省泉州第一中學(xué)高三期中）拿破侖是十九世紀(jì)法國宏大的軍事家、政治家，對(duì)數(shù)學(xué)也很有愛好，他發(fā)覺并證明白聞名的拿破倉定理：“以隨意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的中心怡為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”，在△ABC中，以AB，BC，CA為邊向外構(gòu)造的三個(gè)等邊三角形的中心依次為D，E，F(xiàn)，若∠BAC=60°，DF=，利用拿破侖定理可求得AB+AC的最大值_____【答案】【分析】設(shè)，連接.在△DAB中，∠ABD=∠BAD=30°，∠ADB=120°，由余弦定理表示出和.在△ADF中，由余弦定理和基本不等式解得AB+AC的最大值.【詳解】設(shè)，如圖，連接.由拿破侖定理知，△DEF為等邊三角形.因?yàn)镈為等邊三角形的中心，所以在△DAB中，∠ABD=∠BAD=30°，∠ADB=120°.設(shè)，由余弦定理得，即，解得，即.同理.又∠BAC=60°，∠CAF=30°，所以∠DAF=∠BAD+∠BAC+∠CAF=120°.在△ADF中，由余弦定理可得，即，化簡(jiǎn)得，由基本不等式得，解得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思索：(1)從題目給出的條件，邊角關(guān)系來選擇；(2)從式子結(jié)構(gòu)來選擇．14．（2024·四川·內(nèi)江市教化科學(xué)探討所一模）如圖，某小區(qū)有一塊扇形OPQ空地，現(xiàn)準(zhǔn)備在上選取一點(diǎn)C，按如圖方式規(guī)劃一塊矩形ABCD土地用于建立文化景觀．已知扇形OPQ的半徑為6米，圓心角為60°，則矩形ABCD土地的面積（單位：平方米）的最大值是______．【答案】【分析】設(shè)，，求出，在中，求出，然后表示出矩形面積，然后利用兩角和與差的正弦公式，二倍角公式，化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，最終由正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】，設(shè)，，則，中，，由正弦定理，，所以，，所以，即時(shí)，取得最大值．故答案為：．15．（2024·上?！ひ荒＃┮阎瘮?shù)，若對(duì)隨意，，方程有解，方程也有解，則的值的集合為______.【答案】【分析】依據(jù)題意，不妨設(shè)，分類探討當(dāng)，，三種狀況下，結(jié)合方程有解以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從而求出和的值，即可得出的值的集合.【詳解】解：由題可知，不妨設(shè)，對(duì)于，對(duì)隨意實(shí)數(shù)，，方程有解，當(dāng)時(shí)，方程可化為有解，所以恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，同上；當(dāng)時(shí)，方程可化為有解，所以，綜上得：；對(duì)于，對(duì)隨意實(shí)數(shù)，，方程也有解，當(dāng)時(shí)，方程可化為有解，所以；當(dāng)時(shí)，同上；當(dāng)時(shí)，方程可化為有解，所以恒成立，所以，所以的值的集合為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合問題，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過設(shè)，以及分類探討與的大小狀況，并將方程有解轉(zhuǎn)化為恒成立問題是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分類探討思想和邏輯分析實(shí)力.16．（2024·浙江·模擬預(yù)料）已知在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，與BC交于點(diǎn)D，M是AD的中點(diǎn)，延長BM交AC于點(diǎn)H，，，則___________，___________.【答案】【分析】（1）由，求出，在△ADC中，利用余弦定理即可求得；（2）在△ABC中，利用正弦定理，求出，利用平面對(duì)量基本定理和三點(diǎn)共線建立方程組，解出.【詳解】在△ABC中，AD是的角平分線，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)椋郑獾?所以△ADC中，設(shè)則，由余弦定理得：，即，即，所以.在△ABC中，，.因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線，所以所以，所以.由正弦定理得：,所以.而，所以.取為基底，則由H、M、B三點(diǎn)共線可得：①；、由C、D、B三點(diǎn)共線可得：；即，所以,所以.即②.因M是AD的中點(diǎn)，所以,①式化為：，即③設(shè)，則②③比照得：，解得，即.答案：；【點(diǎn)睛】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思索：(1)從題目給出的條件，邊角關(guān)系來選擇；(2)從式子結(jié)構(gòu)來選擇．四、解答題17．（2024·黑龍江·高三期中）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C滿意.（1）求角A；（2）若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC的面積S的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）將，轉(zhuǎn)化為，再由余弦定理求解；（2）依據(jù)△ABC的外接圓半徑為1，得到，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得，再由求解.（1）解：因?yàn)椋裕?，所以，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑為1，所以，由余弦定理得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故△ABC的面積S的最大值是.18．（2024·廣西玉林·高三期中）已知函數(shù).（1）若，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若f（x）在[0，m]上的最小值為2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（）（2）【分析】（1）先化簡(jiǎn)得到，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”列不等式求出f（x）的遞增區(qū)間；.（2）利用單調(diào)性實(shí)數(shù)m的取值范圍.（1）.令，（）解得，（）∴f（x）的遞增區(qū)間為（）.（2），得.∵f（x）在上的最小值為2，∴，解得.19．（2024·上海普陀·一模）設(shè)函數(shù)，該函數(shù)圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為，且為偶函數(shù).（1）求和的值；（2）在中，角的對(duì)邊分別為，若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題可得，，即求；（2）利用正弦定理可得，進(jìn)而可得，再利用二倍角公式、和差角公式及協(xié)助角公式可得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即求.（1）∵函數(shù)圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為，∴，解得，又為偶函數(shù)，∴，又，∴.（2）∵，∴，即，又，∴，∴又，∴，由（1）知，∴，又，所以，∴，∴的取值范圍為.20．（2024·江蘇·無錫市教化科學(xué)探討院高三期中）在①?②兩個(gè)條件中任取一個(gè)填入下面的橫線上，并完成解答.①在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)；②在上有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)和2個(gè)微小值點(diǎn).設(shè)函數(shù)，且滿意___________.（1）求ω的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求在（0，2π）上的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）（2），【分析】（1）選①，依據(jù)題意得到，從而得到，即可得到；選②，依據(jù)題意得到，從而得到，即可得到；（2）依據(jù)題意得到，再求解單調(diào)區(qū)間即可.（1）選①因?yàn)?，所以，若函?shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則，即，又，所以；選②因?yàn)?，所以，若函?shù)在上有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)和2個(gè)微小值點(diǎn)，則，即，又，所以.（2）因?yàn)?，將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間為，，即，，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減區(qū)間有，.21．（2024·四川瀘州·模擬預(yù)料）如圖，在平面四邊形中，對(duì)角線平分的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.（1）求；（2）若，且________，求線段的長.從下面①②中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的空格中進(jìn)行求解.①的面積；②.注：假如選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）4【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦綻開公式得，依據(jù)的范圍可得答案；（2）選①由面積和得，由余弦定理求得及，依據(jù)平分和余弦定理可得；選②，由余弦定理可得，由正弦定理得到，再依據(jù)平分求得，由是直角三角形可得.（1）因?yàn)椋裕?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?（2）選①，因?yàn)榈拿娣e，所以，即，，由余弦定理得所以，所以，因?yàn)槠椒?，所以，所以，所以；選②，因?yàn)?，在中，由余弦定理：，即，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠椒?，所以，因?yàn)?，，所以是直角三角形，且，所?22．（2024·上海金山·一模）落戶上海的某休閑度假區(qū)預(yù)料于2024年開工建設(shè).如圖，擬在該度假園區(qū)入口處修建平面圖呈直角三角形的迎賓區(qū)，，迎賓區(qū)的入口設(shè)置在點(diǎn)A處，出口在點(diǎn)B處，游客可從入口沿著觀景通道A-C-B到達(dá)出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到達(dá)出口（P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)）.（1）若△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，某游客的步行速度為每分鐘50米，則該游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快幾分鐘？（結(jié)果精確到1分鐘）（2）園區(qū)安排將△PBC區(qū)域修建成室外游樂場(chǎng)，若，該如何設(shè)計(jì)使室外游樂場(chǎng)的面積最大，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）3（2）當(dāng)時(shí)，室外游樂場(chǎng)的面積最大.【分析】（1）由三角形PBC為等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的長，在三角形PAC中，利用余弦定理求出的PA長即可，進(jìn)而計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）在三角形PBC中由的度數(shù)表示出的度數(shù)，利用正弦定理表示出PB與PC，進(jìn)而表示出三角形PBC面積利用正弦函數(shù)的值域確定出面積的最大值即可.（1）由題設(shè)，米，米，在中，由余弦定理得，于是米.游客可從入口沿著觀景通道A-C-B到達(dá)出口，所需時(shí)間為分鐘，游客沿便捷通道A-P-B到達(dá)出口所需時(shí)間為分鐘，所以該游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快分鐘.（2）,設(shè)則，在中，.由正弦定理得，得.所以面積，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為平方米.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對(duì)三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng)解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式，誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，肯定要嫻熟駕馭并敏捷應(yīng)用，特殊是二倍角公式的各種改變形式要熟記于心.B卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·湖北·高三期中）已知，則的可能值為（）A．B．C．D．【答案】BD【分析】依據(jù)兩角差的正弦公式，結(jié)合兩角和的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)在第三象限時(shí)，有，所以；當(dāng)當(dāng)在第四象限時(shí)，有，所以，故選：BD2．（2024·江蘇·一模）已知，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先依據(jù)二倍角公式得到，從而得到，再利用誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?所以.故選：B3．（2024·上海金山·一模）下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別計(jì)算出ABCD的周期，再推斷是否在區(qū)間上單調(diào)遞增即可．【詳解】A:，周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；B:,周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，解除；C:,周期為,在區(qū)間上不具有單調(diào)性，解除；D:,周期為,解除.故選：A.4．（2024·山東聊城一中模擬預(yù)料）我國魏晉時(shí)期聞名的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了“割圓術(shù)——割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不行割，則與圓周合體而無所失矣”.也就是利用圓的內(nèi)接多邊形逐步靠近圓的方法來近似計(jì)算圓的面積.如圖的半徑為1，用圓的內(nèi)接正六邊形近似估計(jì)，則的面積近似為，若我們運(yùn)用割圓術(shù)的思想進(jìn)一步得到圓的內(nèi)接正二十四邊形，以此估計(jì)，的面積近似為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得圓內(nèi)接正二十四邊形的面積，由此求得的面積的近似值.【詳解】，圓內(nèi)接正二十四邊形的面積為.故選：C5．（2024·山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高三期中）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于隨意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】，只須要探討的根的狀況，借助于和的圖像，依據(jù)交點(diǎn)狀況，列不等式組，解出的取值范圍.【詳解】令，則令，則則問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有兩個(gè)，至少有三個(gè)t，使得，求的取值范圍.作出和的圖像，視察交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可知使得的最短區(qū)間長度為2π，最長長度為，由題意列不等式的：解得：.故選：B【點(diǎn)睛】探討y=Asin(ωx+φ)+B的性質(zhì)通常用換元法（令），轉(zhuǎn)化為探討的圖像和性質(zhì)較為便利.6．（2024·江蘇·高三期中）關(guān)于函數(shù)y=sin（2x+φ）（）有如下四個(gè)命題：甲：該函數(shù)在上單調(diào)遞增；乙：該函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長度得到一個(gè)奇函數(shù)；丙：該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為；?。涸摵瘮?shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為.假如只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】依據(jù)題意首先求出函數(shù)的增區(qū)間，平移后的解析式，對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，進(jìn)而分別探討甲、乙、丙、丁為錯(cuò)誤時(shí)其它命題的正誤，進(jìn)而得到答案.【詳解】令，則函數(shù)的增區(qū)間為…①；函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長度得到…②；令…③；令…④.若甲錯(cuò)誤，則乙丙丁正確，由②，由函數(shù)的奇偶性性，令，由①，函數(shù)的增區(qū)間為，則甲正確，沖突.令，由①，函數(shù)的增區(qū)間為，則甲錯(cuò)誤，滿意題意.由③，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，時(shí)，，則丙正確.由④，函數(shù)的對(duì)稱中心為，令，丁錯(cuò)誤.不合題意；若乙錯(cuò)誤，則甲丙丁正確，易知函數(shù)增區(qū)間的的兩個(gè)端點(diǎn)的中點(diǎn)為對(duì)稱中心，由①，令，結(jié)合④，令，由函數(shù)的奇偶性，取k=0，，由③，，令，則丙錯(cuò)誤.不合題意；若丙錯(cuò)誤，則甲乙丁正確，由②，由函數(shù)的奇偶性，令，由①，函數(shù)的增區(qū)間為，則甲錯(cuò)誤，不合題意.令，由①，函數(shù)的增區(qū)間為，甲正確.取區(qū)間中點(diǎn)，則丁錯(cuò)誤.不合題意；若丁錯(cuò)誤，則甲乙丙正確.由②，由函數(shù)的奇偶性，令，由①，函數(shù)的增區(qū)間為，則甲錯(cuò)誤，不合題意.令，，由①，函數(shù)的增區(qū)間為，甲正確.由③，.k=-2時(shí)，，則丙正確.由④，，令，④錯(cuò)誤.滿意題意.綜上：該命題是丁.故選：D.7．（2024·黑龍江·大慶中學(xué)高三期中）已知為常數(shù)，在某個(gè)相同的閉區(qū)間上，若為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，則稱此區(qū)間為函數(shù)的“”區(qū)間.若函數(shù)，則此函數(shù)的“”區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式組求解的問題.【詳解】對(duì)于函數(shù)，對(duì)于函數(shù)，則此函數(shù)的“”區(qū)間滿意：，即，∴故選：C8．（2024·全國·模擬預(yù)料）已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A．是周期為的偶函數(shù)B．函數(shù)的圖象有多數(shù)條對(duì)稱軸C．函數(shù)的最大值為，最小值為，則D．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)【答案】D【分析】依據(jù)偶函數(shù)的定義可知為偶函數(shù)，依據(jù)周期函數(shù)的定義可知當(dāng)時(shí)，為周期函數(shù)，最小正周期為，化簡(jiǎn)函數(shù)在內(nèi)的解析式，作出函數(shù)的圖象，依據(jù)圖象可得解.【詳解】由，得為偶函數(shù)．化簡(jiǎn)函數(shù)在內(nèi)的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，為周期函數(shù)，最小正周期為，由函數(shù)為偶函數(shù)畫出其圖象如下．由圖易知函數(shù)不是周期函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象有唯一一條對(duì)稱軸軸，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；最大值，最小值，故，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；依據(jù)圖象可知，若，則在區(qū)間內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)，故選D．故選：D【點(diǎn)睛】依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的圖象，依據(jù)圖象求解是本題解題關(guān)鍵.二、多選題9．（2024·福建漳州·模擬預(yù)料）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，其外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，滿意，的面積，則（）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】依據(jù)三角形面積公式，結(jié)合正弦定理和圓的性質(zhì)進(jìn)行推斷求解即可.【詳解】，A正確；已知所以即，D正確；若為銳角三角形，所以，若為直角三角形或鈍角三角形時(shí)可類似證明，B正確；，所以，C錯(cuò)．故選：ABD.10．（2024·重慶一中模擬預(yù)料）如圖所示為函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，0<φ<π)圖象的一部分，對(duì)隨意的，且，若，有，則φ的值可能為（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由題意，從圖看出，可知關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱軸是對(duì)稱的.即x=時(shí)其中一條對(duì)稱軸，且f()=2，，即可求解φ的值.【詳解】解：由題意，從圖看出A=2，，可知關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱軸是對(duì)稱的.即x=是其中一條對(duì)稱軸，且f()=2，∴函數(shù)f()=2，可得：2sin[ω()+φ]=2，可得：ω()+φ=+2kπ，k∈Z，…①.∵，∴函數(shù)，可得：，或+2kπ，k∈Z，…②.令k=0，由①②解得：φ=，或，∵0<φ<π，∴φ=或.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.關(guān)鍵在于運(yùn)用正弦函數(shù)的對(duì)稱性建立關(guān)于的關(guān)系.11．（2024·湖北·石首市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下述結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在[0，2π]有且僅有2個(gè)微小值點(diǎn)B．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在上單調(diào)遞增C．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則ω的范圍是D．若f（x）圖象關(guān)于對(duì)稱，且在單調(diào)，則ω的最大值為11【答案】BD【分析】利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析推斷得解.【詳解】因?yàn)?因?yàn)樵谟星覂H有個(gè)零點(diǎn)，所以，所以.所以選項(xiàng)C正確；此時(shí)，在有且僅有個(gè)微小值點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以，此時(shí)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，.，，，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故的最大值為9．故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BD【點(diǎn)睛】求較為困難的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，留意要先把化為正數(shù)．12．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，面積為，有以下四個(gè)命題中正確的是（）A．的最大值為B．當(dāng)，時(shí)，不行能是直角三角形C．當(dāng)，，時(shí)，的周長為D．當(dāng)，，時(shí)，若為的內(nèi)心，則的面積為【答案】ACD【解析】利用三角形面積公式，余弦定理基本不等式，以及三角換元，數(shù)形結(jié)合等即可推斷選項(xiàng)A；利用勾股定理的逆定理即可推斷選項(xiàng)B；利用正弦定理和三角恒等變換公式即可推斷選項(xiàng)C；由已知條件得是直角三角形，從而可以求出其內(nèi)切圓的半徑，即可得的面積即可推斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.令，，故，因?yàn)?，且，故可得點(diǎn)表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點(diǎn)，如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)上，表示圓弧上一點(diǎn)到點(diǎn)點(diǎn)的斜率，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)，即時(shí)，取得最小值，故可得，又，故可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，即三角形為等邊三角形時(shí)，取得最大值，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以化?jiǎn)得，因?yàn)椋?，所以，則，所以，所以，，，因?yàn)?，所以，，所以的周長為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由C可知，為直角三角形，且，，，，，所以的內(nèi)切圓半徑為，所以的面積為所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)是正余弦定理以及面積公式，對(duì)于A利用面積公式和余弦定理，結(jié)合不等式得，再利用三角換元、數(shù)形結(jié)合即可得證，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.三、填空題13．（2024·內(nèi)蒙古·海拉爾其次中學(xué)高三期中）函數(shù)的部分圖象如圖所示，已知分別是最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，且滿意（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則__________．【答案】【分析】由已知部分函數(shù)圖象可知，即可求，再由向量垂直的坐標(biāo)表示求A，最終由求，即可寫出的解析式.【詳解】由圖象知：，即，則，可得，∴，的橫坐標(biāo)為，即，∵，∴，則，，得，∴，由五點(diǎn)作圖法知：，得，綜上，函數(shù)的解析式為．故答案為：14．（2024·上海市七寶中學(xué)高三期中）已知中的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，且．則的面積是_______．【答案】【分析】利用正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角，利用余弦定理分析可知為等邊三角形，求出該三角形的邊長，利用三角形的面積公式即可得解.【詳解】，則，即，即，即，，則，可得，則，，則，由余弦定理可得，所以，，故，所以，為等邊三角形，則，故，故.故答案為：.15．（2024·河南·高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，若為的面積，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為______.【答案】【分析】首先依據(jù)已知，利用正弦定理求出，進(jìn)而求出，然后利用余弦定理，用、表示，結(jié)合三角形面積公式，再利用均值不等式求出最小值，并求出取得最小值時(shí)成立的條件即可求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，，即，又因?yàn)?，所以，故，則，由余弦定理得，，則，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取“”號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，故，即，從而，此時(shí).故答案為：.16．（2024·浙江省諸暨市其次高級(jí)中學(xué)高三期中）在ABC中，，，則ABC的外接圓面積___________，ABC周長的最大值為___________.【答案】【分析】依據(jù)在ABC中，，，利用正弦定理解得外接圓的半徑，求得外接圓的面積；然后由ABC周長為求解.【詳解】因?yàn)樵贏BC中，，，所以，解得，所以ABC的外接圓面積是，所以，所以ABC周長為，，，，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，ABC周長求得最大值為.故答案為：，四、解答題17．（2024·浙江高考真題）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意結(jié)合三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由協(xié)助角公式得，則，所以該函數(shù)的最小正周期;（2）由題意，，由可得，所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最大值.18．（2024·全國新高考1卷真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）依據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）由題設(shè)，應(yīng)用余弦定理求、，又，可得，結(jié)合已知及余弦定理即可求.【詳解】（1）由題設(shè)，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得證.（2）由題意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，；綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：其次問，依據(jù)余弦定理及得到的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合已知條件及余弦定理求.19．（2024·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）在非直角三角形ABC中，角的對(duì)邊分別為，（1）若，求角B的最大值；（2）若，（i）證明：；（可能運(yùn)用的公式有）（ii）是否存在函數(shù)，使得對(duì)于一切滿意條件的m，代數(shù)式恒為定值？若存在，請(qǐng)給出一個(gè)滿意條件的，并證明之；若不存在，請(qǐng)給出一個(gè)理由.【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）存在，，證明見解析.【解析】(1)由余弦定理結(jié)合基本不等式可得，從而可求出角B的最大值.(2)(i)由正弦定理邊角互換可得，結(jié)合和差化積公式和誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合兩叫和、差的余弦公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得所證式子.(ii)結(jié)合已知條件和半角正切公式可得，通過整理變形可得，從而可求出.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以由余弦定理可得：（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，，所以角B的最大值為.（2）（i）由及正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，有，由兩角和、差的余弦公式可得整理得，故．（ii）由及半角正切公式可得，，綻開整理得，即，即，即，與原三角式作比較可知存在且．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了同角三角函