湖南省常德市臨澧縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)永通班下學(xué)期入學(xué)考試試題含解析

Page20湖南省常德市臨澧縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)永通班下學(xué)期入學(xué)考試試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，若的面積為20，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)的面積列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意不妨設(shè)，則的面積為，解得.故選：C2.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則所在直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先由圓方程得到圓心和半徑，求出的長(zhǎng)，以及的中點(diǎn)坐標(biāo)，得到以為直徑的圓的方程，由兩圓方程作差整理，即可得出所在直線方程.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以，的中點(diǎn)為，則以為直徑的圓的方程為，所以為兩圓的公共弦，因此兩圓的方法作差得所在直線方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查求兩圓公共弦所在直線的方法，屬于?？碱}型.3.若點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離依次為和，則這樣的直線有A.條 B.條 C.條 D.條【答案】C【解析】【詳解】試題分析：以點(diǎn)為圓心，以為半徑長(zhǎng)的圓的方程為，以點(diǎn)為圓心，且以為半徑的圓的方程為，則直線為兩圓的公切線，，即圓與圓外切，因此兩圓的公切線有條，即直線有三條，故選C.考點(diǎn)：1.兩圓的位置關(guān)系；2.兩圓的公切線4.已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值是A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)求得和，同時(shí)利用下標(biāo)和的性質(zhì)化簡(jiǎn)所求式子，可知所求式子等價(jià)于，利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】是等比數(shù)列是等差數(shù)列本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，其中還涉及到誘導(dǎo)公式的學(xué)問(wèn)，屬于基礎(chǔ)題.5.已知雙曲線C：（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長(zhǎng)為6，漸近線方程為，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線左支上，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，則的最小值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)題意得雙曲線的方程為，再結(jié)合雙曲線的定義得，故，連接，交雙曲線于，交圓于，此時(shí)取得最小值，再計(jì)算即可得答案.【詳解】由題意可得，即，漸近線方程為，即有，即，可得雙曲線方程為，焦點(diǎn)為，，由雙曲線的定義可得，由圓可得，半徑，，連接，交雙曲線于，交圓于，此時(shí)取得最小值，且為，則的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程的求解，雙曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.6.已知數(shù)列滿意…，設(shè)數(shù)列滿意：,數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出的通項(xiàng)，再求出的通項(xiàng)，從而可求，利用參變分別可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)椤?，所以…，故即，其?而令，則，故，.，故，故恒成立等價(jià)于即恒成立，化簡(jiǎn)得到，因?yàn)?，?故選D.【點(diǎn)睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，假如通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；假如通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；假如通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；假如通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.參數(shù)的數(shù)列不等式的恒成立問(wèn)題，可以用參變分別的方法構(gòu)建新數(shù)列，通過(guò)探討新數(shù)列的最值來(lái)求參數(shù)的取值范圍.7.已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別是，，若雙曲線C上存在點(diǎn)P使得，，則其離心率的值是（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合以及列方程，化簡(jiǎn)求得離心率.【詳解】設(shè)，則①，利用向量加法法則知，則即，故②，設(shè)，則，③，由②③得，即，又，所以，即，即所以雙曲線離心率值是3故選：D8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)隨意的實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，且數(shù)列滿意，且，則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由利用特值法可得，所以可得，由遞推關(guān)系可知數(shù)列為以3為周期的數(shù)列，依據(jù)周期化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】依題意，對(duì)隨意的實(shí)數(shù)，等式成立，令得，所以或，又當(dāng)時(shí)，所以，所以，令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不妨令，則，所以對(duì)隨意有，任取，則，因?yàn)椋?，所以，即，單調(diào)遞減，所以有唯一解，又?jǐn)?shù)列滿意，所以，又因?yàn)?，所以，，，由?shù)列的遞推關(guān)系知數(shù)列為以3為周期的數(shù)列，所以，，，，，，當(dāng)時(shí)，所以，，所以，，又，所以故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知過(guò)點(diǎn)A（a，0）作曲線的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）A.－2 B.4 C.0 D.6【答案】AD【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，將點(diǎn)代入，化簡(jiǎn)后方程有兩根，即可得到的取值范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為：，切線過(guò)點(diǎn)A（a，0），代入得：，即方程有兩個(gè)解，則有或．故選：AD.10.已知拋物線焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為B.若直線過(guò)點(diǎn)，則C.若，則的最小值為D.若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】BCD【解析】【分析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)知A錯(cuò)誤；直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知B正確；依據(jù)過(guò)焦點(diǎn)可知最小值為通徑長(zhǎng)，知C錯(cuò)誤；利用拋物線焦半徑公式，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，知D正確.【詳解】解：拋物線，即，對(duì)于A，由拋物線方程知其焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意，直線斜率存在，設(shè)其方程為，由，消去整理得，，，故B正確；對(duì)于C，若，則直線過(guò)焦點(diǎn)，所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為拋物線的通徑長(zhǎng)，故C正確；對(duì)于D，，，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，到軸的距離為，故D正確.故選：BCD.11.無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，，為實(shí)數(shù)，則（）A.可能為等差數(shù)列B.可能為等比數(shù)列C.中肯定存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列D.中肯定存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列【答案】ABC【解析】【分析】由可求得的表達(dá)式，利用定義判定得出答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，上式＝．所以若是等差數(shù)列，則所以當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列，時(shí)是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，從其次項(xiàng)起先是等差數(shù)列．故選：ABC【點(diǎn)睛】本題只要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，利用求通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．12.已知雙曲線且，設(shè)直線與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，點(diǎn)在的兩條漸近線上的射影分別為，記的面積為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為 B.C.數(shù)列為等差數(shù)列 D.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的方程求出漸近線方程，設(shè)點(diǎn)，求出到兩漸近線的距離，從而得到，即可得到的通項(xiàng)公式，再依據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的方程為且，所以漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，則且，記到兩條漸近線的距離分別為，則、，則，故因此為等差數(shù)列，故，故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.若函數(shù)f（x）＝x2－ax＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：函數(shù)定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，使得存在垂直于y軸的切線，即有解，可得有解，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)““時(shí)等號(hào)成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用14.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿意，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)整理代換法，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)、換元法、基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，且，所以，令，于是有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故答案為：15.在平面直角坐標(biāo)系中，若圓：上存在點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓：上，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】求出圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程，由對(duì)稱圓與圓有公共點(diǎn)即得．【詳解】圓：的圓為，半徑為1，它關(guān)于直線的對(duì)稱圓的圓心為，半徑仍舊為，圓的圓心為，半徑為，由題意，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓相交．圓與圓的位置關(guān)系：兩圓圓心距離為，半徑分別為，則相離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含．16.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限）．若直線AO與拋物線的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)D，設(shè)，的面積分別為，，則______．【答案】##0.5625【解析】【分析】直線方程為.聯(lián)立直線方程與拋物線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，表示出，，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，直線方程為.設(shè)，.聯(lián)立直線方程與拋物線的方程，解得或.因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以，，直線方程為，點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)椋暂S.所以，，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且滿意.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2）若數(shù)列滿意，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)，得到，證明數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，即可求出結(jié)果；（2）由（1）求得，分和兩種狀況，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由得：，即，由得：，兩式相減得:，即，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列，則，則；（2）由（1）知：，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及數(shù)列的求和問(wèn)題，屬于常考題型.18.已知函數(shù)()．（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）由題意轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，再參變分別后得，利用圖象求的取值范圍；（2）首先構(gòu)造函數(shù)()，求函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值，并證明不等式.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，若函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，等同于，即水平直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)(不是的切線)，令，的定義域?yàn)?，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，則為的極大值，也為最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且為正數(shù)，則的圖像如圖所示，則此時(shí)；（2）證明：令()，則只需證明當(dāng)時(shí)恒成馬上可，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，，，則，則在時(shí)單調(diào)遞增，又，∴時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）干脆構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明或），進(jìn)而構(gòu)造協(xié)助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是依據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，依據(jù)相像結(jié)構(gòu)構(gòu)造協(xié)助函數(shù).其中一種重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的突破口.19.在等差數(shù)列中，已知公差，是與的等比中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先依據(jù)條件求出首項(xiàng)，再依據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果，（2）依據(jù)條件作差得結(jié)果，（3）依據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）∵①∴②②－①得：，，故．（3），∴，令，①則②①－②得：，∴∴．∴數(shù)列的前項(xiàng)和【點(diǎn)睛】用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)留意的問(wèn)題(1)要擅長(zhǎng)識(shí)別題目類型，特殊是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特殊留意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步精確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種狀況求解.20.已知雙曲線：一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；（2）已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率之積為，求的面積．【答案】（1），離心率為（2）【解析】【分析】（1）依題意用點(diǎn)到直線的距離公式列方程可得c，然后由漸近線斜率和幾何量關(guān)系列方程組可解；（2）設(shè)直線方程聯(lián)立雙曲線方程消元，利用韋達(dá)定理表示出直線，的斜率可得直線的方程，數(shù)形結(jié)合可解.【小問(wèn)1詳解】由題意知焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則因?yàn)橐粭l漸近線方程為，所以，又，解得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線：，，，聯(lián)立則，所以，由解得或（舍去），所以，：，令，得，所以的面積為21.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，分別令和，進(jìn)而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，可知時(shí)，恒成立，進(jìn)而分、和三種狀況，分別探討函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出的取值范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，明顯，令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）令，則當(dāng)時(shí)，恒成立，求導(dǎo)得，且，①當(dāng)時(shí)，令，即，則時(shí)，恒成立，∴在上是增函數(shù)，且，∴不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，恒成立，∴在上是增函數(shù)，且，∴不符合題意；③當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，恒有，即在上是減函數(shù)，所以時(shí)，，所以，解得，故.綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問(wèn)題，考查分類探討思想在解題中的運(yùn)用，屬于難題.22.如圖，橢圓的兩頂點(diǎn)，，離心率，過(guò)y軸上的點(diǎn)的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P，直線與直線交于點(diǎn)Q.（1）當(dāng)且時(shí)，求直線l的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)P異于A，B兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)Q橫坐標(biāo)分別為，，是否存在常數(shù)使成立，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）或（2）存在，【解析】【