押福建卷第21題【尺規(guī)作圖與證明】(原卷版+解析)

押福建卷第21題尺規(guī)作圖與證明題號分值2022年

中考2021年

中考2020年

中考2019年

中考2018年

中考218圓與等腰三角形平移與全等綜合圓與相似三角形三角形與平行四邊形三角形旋轉(zhuǎn)解題技巧（1）尺規(guī)作圖：考生備考時，要熟練掌握尺規(guī)基礎(chǔ)四種做法：畫線段、畫角、畫角平分線、畫垂直平分線；所有尺規(guī)都需要由這四種去實現(xiàn)題目所要求圖形性質(zhì)。（2）相關(guān)證明：需要掌握等腰、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形、勾股定理、三角函數(shù)等相關(guān)基礎(chǔ)知識。掌握幾何題的推理能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而實現(xiàn)解題。【真題1】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點G，求tan∠ADB【真題2】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知線段MN=a,AR⊥AK，垂足為a．（1）求作四邊形ABCD，使得點B，D分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點，求證：直線AD,BC,PQ相交于同一點．【真題3】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，C為線段AB外一點．（1）求作四邊形ABCD，使得CD//AB，且CD=2AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形ABCD中，AC，BD相交于點P，AB，CD的中點分別為M,N，求證：M,P,N三點在同一條直線上．1．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學?？寄M預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點P是BC的中點．(1)在AP上求作一點E，使△ADE∽(2)在（1）的條件下，求AE的長．2．（2023春·福建廈門·九年級廈門市蓮花中學?？茧A段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D為邊AC(1)尺規(guī)作圖：在邊AB上找一點E，使得∠DEA=2∠BDE．(2)在（1）的條件下以點E為圓心，EB為半徑的圓分別與AB，BC交于M，N點，且∠DEM=∠DEN．求證：AC與⊙E相切．3．（2023春·福建廈門·九年級廈門市第十中學?？茧A段練習）如圖，AB=AD，∠BAD=2∠BAC．(1)在AC上方求作一點E，使得∠CAE=∠BAD，且AC=AE，連接CE（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)在（1）的條件下，連接DE、BC、BE，若DE=1，CE=2，求∠EBC4．（2023·福建三明·校考一模）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC．(1)在線段AC上求作點D，使得點D到AB和BC的距離相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖形中，連接BD，若AD=BD，求∠A的度數(shù)．5．（2023春·福建廈門·九年級廈門市華僑中學校考階段練習）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=6，BC=3，將△ABC沿射線BC平移，使邊AB平移到DE，得到△DEF(1)作出平移后的△DEF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若AC，DE相交于點H，BE=2，求6．（2023·福建龍巖·?？家荒＃┤鐖D，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．(1)動手操作：利用尺規(guī)作∠ABC的平分線，交AC于點O，再以O(shè)為圓心，OC的長為半徑作⊙O（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)綜合運用：請根據(jù)所作的圖，若AC=8，sin∠OBC=17．（2023春·福建福州·九年級福建省福州楊橋中學校考期中）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AC為對角線．(1)把△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度α得到△EFC，點A的對應點為E，且在AD的延長線上，點B的對應點為F，請你在圖中作出△EFC．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若∠CEF=26°，求旋轉(zhuǎn)角α的大小．8．（2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠B=90°，∠C=75°，AD=2AB．(1)尺規(guī)作圖：在BC上求作一點E，使得∠AEC=150°；（保留作圖的跡，不寫作去）(2)在（1）的條件下，連接DE．求證：△ADE∽9．(2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=108°，AB=BC．(1)尺規(guī)作圖：在AC上求作一點D，使得BD=CD；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）作圖的基礎(chǔ)上，連接BD，求證：AB10．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知鈍角△ABC中，CA=CB．(1)請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠ACB的平分線CD交AB于點D；作△ABC的外接圓⊙O(2)在（1）中，若AB=23，∠ACB=120°，則此⊙O11．(2023秋·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AC與BD相交于點O．(1)在CD邊上求作一點E，使得∠CEB=∠BCA；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，設(shè)BE交AC于點F，若DE=BE，求證：OC12．（2023春·福建南平·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，點E是線段AD上的一點，且BE=BC，連接CE，設(shè)(1)尺規(guī)作圖：將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段BG，連接CG交BE于點H；(2)試判斷GH與CH的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．13．（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？家荒＃┤鐖D，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于12EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M(1)求證：AP平分∠CAB；(2)若∠ACD＝114°，求∠MAB的度數(shù)．14．(2023秋·福建莆田·九年級福建省莆田市中山中學?？茧A段練習）如圖，已知：在正方形ABCD中，M是BC邊的中點，連接AM．(1)請用尺規(guī)作圖法，在AM上求作一點P，使得△DPA∽△ABM；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若AB＝4，求DP的長．15．（2023·福建·模擬預測）如圖，在△ABC中，AB=AC，射線CM∥AB．(1)在線段AB上取一點E，使得CE=CB，在射線CM上確定一點D，使△CDE是以CE為底邊的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接AD，求證：AD=BC．16．(2023春·福建福州·九年級福建省福州屏東中學校考期中）如圖，線段BC關(guān)于某直線l作軸對稱變換，得到線段EF，其中點B的對稱點是點E．(1)請確定直線l的位置（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的情況下，點A位于BC的上方，點D位于EF的右側(cè)，且ΔABC，ΔDEF均為等邊三角形．求證：ΔDEF可由17．(2023春·福建福州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)分別在BC，AB邊求作點D，E，使DE⊥BC，且AE=DE；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，BE=4，AC=3，求AB的長．18．(2023·福建·九年級專題練習）閱讀下列材料，完成相應任務(wù)．已知：如圖，直線l∥m∥求作：等邊三角形ABC，使其點B，C分別落在直線m，n上．作法：①在直線m上取點D，連接AD，向右作等邊三角形∠ADE，使點E落在直線l，m之間；②在直線m上取點P（點P在點D左側(cè)），作∠AEC=∠ADP交直線n于點C；③在射線DP上截取DB=CE；④連接AB，AC，BC．△ABC就是所求作的等邊三角形．(1)使用直尺和圓規(guī)，依上述作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)請你根據(jù)上述作法，證明△ABC所求作的等邊三角形．19．(2023·福建福州·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為底作等腰三角形BCD，且∠ABD=90°，直線l⊥BC，垂足為B(1)在直線l上確定一點E，使得△ABE是以AB為底的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的情況下，連接DE交AB于點F，求證：F是DE的中點．20．(2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，已知⊙O經(jīng)過點C，且與AB相切于點D(1)在圖中作出⊙O；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若點D是邊AB上的動點，設(shè)⊙O與邊CA、CB分別相交于點E、F，求EF的最小值．押福建卷第21題尺規(guī)作圖與證明題號分值2022年

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中考2018年

中考218圓與等腰三角形平移與全等綜合圓與相似三角形三角形與平行四邊形三角形旋轉(zhuǎn)解題技巧（1）尺規(guī)作圖：考生備考時，要熟練掌握尺規(guī)基礎(chǔ)四種做法：畫線段、畫角、畫角平分線、畫垂直平分線；所有尺規(guī)都需要由這四種去實現(xiàn)題目所要求圖形性質(zhì)。（2）相關(guān)證明：需要掌握等腰、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形、勾股定理、三角函數(shù)等相關(guān)基礎(chǔ)知識。掌握幾何題的推理能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而實現(xiàn)解題。【真題1】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點G，求tan∠ADB答案:(1)作圖見解析(2)5分析：（1）先過點A作BD的垂線，進而找出半徑，即可作出圖形；（2）根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)∠ADB=α，⊙A的半徑為r，先判斷出BE＝DE，進而得出四邊形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解BE=rtanα，再判定△ABE≌△CDF，根據(jù)BE=DF=rtanα，DE=DF+EF=rtanα+r，在Rt△ADE中，利用【詳解】（1）解：如圖所示，⊙A即為所求作：（2）解：根據(jù)題意，作出圖形如下：設(shè)∠ADB=α，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點E，CF與⊙A相切于點G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又AE=AG=r，∴四邊形AEFG是正方形，∴EF=AE=r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD=90°，∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠ADB=α，在Rt△ABE中，tan∠BAE=∴BE=rtan∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌∴BE=DF=rtan∴DE=DF+EF=rtan在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE∴rtanα+rtan∵tanα>0∴tanα=5?12，即tan∠【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線段長建立方程是解決問題的關(guān)鍵．【真題2】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知線段MN=a,AR⊥AK，垂足為a．（1）求作四邊形ABCD，使得點B，D分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點，求證：直線AD,BC,PQ相交于同一點．答案:（1）作圖見解析；（2）證明見解析分析：（1）根據(jù)AB=a，點B在射線AK上，過點A作AB=a；根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，得AB=BC=AC，分別過點A、B，a為半徑畫圓弧，交點即為點C；再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)作CD，即可得到答案；（2）設(shè)直線BC與AD相交于點S、直線PQ與AD相交于點S'，根據(jù)平行線和相似三角形的性質(zhì)，得ADS'【詳解】（1）作圖如下：四邊形ABCD是所求作的四邊形；（2）設(shè)直線BC與AD相交于點S，∵DC//∴△SBA∽△SCD，∴SA設(shè)直線PQ與AD相交于點S'同理S'∵P，Q分別為AB,CD的中點，∴PA=12∴PA∴S'∴S'∴ADS∴S'∴點S與S'重合，即三條直線AD,BC,PQ【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而完成求解．【真題3】(2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，C為線段AB外一點．（1）求作四邊形ABCD，使得CD//AB，且CD=2AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形ABCD中，AC，BD相交于點P，AB，CD的中點分別為M,N，求證：M,P,N三點在同一條直線上．答案:（1）詳見解析；（2）詳見解析分析：（1）按要求進行尺規(guī)作圖即可；(2)通過證明角度之間的大小關(guān)系，得到∠CPN+∠CPM=180°，即可說明M,P,N三點在同一條直線上．【詳解】解：（1）則四邊形ABCD就是所求作的四邊形．（2）∵AB∥CD，∴∠ABP=∠CDP，∠BAP=∠DCP，∴ΔABP∽ΔCDP，∴ABCD∵M,N分別為AB，CD的中點，∴AB=2AM，CD=2CN，∴AMCN連接MP，NP，又∵∠BAP=∠DCP，∴ΔAPM∽ΔCPN，∴∠APM=∠CPN，∵點P在AC上∴∠APM+∠CPM=180°，∴∠CPN+∠CPM=180°，∴M,P,N三點在同一條直線上．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．1．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學?？寄M預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點P是BC的中點．(1)在AP上求作一點E，使△ADE∽(2)在（1）的條件下，求AE的長．答案:(1)見解析(2)18分析：（1）過D作DE⊥AP于E，△ADE即為所求；（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到AD∥BC，則∠DAE=∠APB，又由∠DEA=∠B=90°，根據(jù)有兩角對應相等的兩三角形相似，即可證明出△DAE∽【詳解】（1）解：過D作DE⊥AP于E，△ADE即為所求；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠DAE=∠APB，又∵∠DEA=∠B=90°，∴△DAE∽∴AE:AD=PB:AP，∵P邊BC的中點，BC=6，∴BP=3，又∵AB=4，∠B=90°，∴AP=5，∴AE:6=3:5，∴AE=18【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似的變換和勾股定理等知識，根據(jù)利用勾股定理求線段長，相似三角形判定和性質(zhì)求出線段比是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·福建廈門·九年級廈門市蓮花中學?？茧A段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D為邊AC(1)尺規(guī)作圖：在邊AB上找一點E，使得∠DEA=2∠BDE．(2)在（1）的條件下以點E為圓心，EB為半徑的圓分別與AB，BC交于M，N點，且∠DEM=∠DEN．求證：AC與⊙E相切．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）由∠DEA=2∠BDE，∠DEA=∠BDE+∠DBE，可知∠BDE=∠DBE，進而可知點E在線段DB的垂直平分線上，因此線段DB的垂直平分線與AB的交點即為點E；（2）連接EN，由HF垂直平分BD，可得ED=EB，利用圓周角定理可得∠DEM=∠DEN=2∠DBN，結(jié)合∠DEA=2∠BDE可得∠BDE=∠DBN，進而依次推出BC∥DE，∠ADE=∠C=90°，即可證明AC與OE相切．【詳解】（1）解：如圖，連接BD，作BD的垂直平分HF，交AB于點E，點E即為所求；（2）證明：如圖，連接EN，DE，由的作圖可知：HF垂直平分BD，∴DE=BE，∴∠BDE=∠1，∵BE是半徑，∴DE也是⊙E的半徑，∵∠DEA=2∠BDE，∴∠DEA=2∠1，∵∠DEM=∠DEN，∴∠DEN=2∠1，∵∠DEN=2∠2，∴∠1=∠2，∴∠2=∠BDE，∴DE∥∴∠ADE=∠C=90°，∴DE⊥AC，∵DE也是⊙E的半徑，∴AC與⊙E相切．【點睛】本題考查作圖—復雜作圖，圓周角定理，切線的判定等．解第一問的關(guān)鍵是作出BD的垂直平分線，解第二問的關(guān)鍵是設(shè)法證明DE∥3．（2023春·福建廈門·九年級廈門市第十中學?？茧A段練習）如圖，AB=AD，∠BAD=2∠BAC．(1)在AC上方求作一點E，使得∠CAE=∠BAD，且AC=AE，連接CE（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)在（1）的條件下，連接DE、BC、BE，若DE=1，CE=2，求∠EBC答案:(1)見解析(2)∠CBE=90°分析：（1）作∠BAD的平分線，取AC=AE即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得AE垂直平分BD，則BE=DE=1，再證明△AEB?△ACBSAS，得BE=BC=1【詳解】（1）作∠BAD的平分線，取AC=AE，連接CE，如圖所示（2）如圖，連接DE，∵AB=AD，AE平分∠BAD，∴AE垂直平分BD，∴BE=DE=1，∠BAE=∠DAE=∵∠BAD=2∠BAC，∴∠BAE=∠DAE=∠BAC∵AE=AC，AB是公共邊，∴△AEB?△ACBSAS∴BE=BC=1，∵CE=∴BC∴∠CBE=90°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，尺規(guī)作圖等知識，證明△AEB?△ACBSAS4．（2023·福建三明·?？家荒＃┤鐖D，等腰三角形ABC中，AB=AC．(1)在線段AC上求作點D，使得點D到AB和BC的距離相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖形中，連接BD，若AD=BD，求∠A的度數(shù)．答案:(1)圖見解析(2)∠A=36°分析：（1）作∠ABC的角平分線，以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，與AB、BC相交于兩點，再以這兩點為圓心，以大于兩點的長度為半徑畫弧，交于一點，連接此點與點B，交AC于點D；根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，即可證明點D到兩邊的距離相等；（2）根據(jù)等邊對等角，得出∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得出∠BDC=2∠ABD，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠ABD=∠CBD，進而得出∠C=∠ABC=2∠ABD，再根據(jù)等量代換，得出∠ABC=∠C=∠BDC，設(shè)∠A=x，則∠BDC=2x，進而得出∠ABC=∠C=∠BDC=2x，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出x+2x+2x=180°，解出即可得出答案．【詳解】（1）解：點D即為所求，證明：過點D作DF⊥AB于點F，DE⊥BC與點E，∴∠BFD=∠BED=90°，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠FBD=∠EBD，∵BD=BD，∴△BFD≌△BEDAAS∴DF=DE；（2）解：如圖，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠ABD，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，∴∠C=∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠ABD，∴∠C=∠BDC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，設(shè)∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x，∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得：x=36°，∴∠A=36°．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖—角平分線、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對等角、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、解一元一次方程，解本題的關(guān)鍵在正確得出點D．5．（2023春·福建廈門·九年級廈門市華僑中學?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=6，BC=3，將△ABC沿射線BC平移，使邊AB平移到DE，得到△DEF(1)作出平移后的△DEF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若AC，DE相交于點H，BE=2，求答案:(1)見解析(2)2分析：（1）根據(jù)作三角形的方法作圖即可；（2）先利用勾股定理得逆定理證明△ABC是直角三角形，即∠A=90°，然后求出S△ABC=322，CE=1，由平移的性質(zhì)得到AB∥DE【詳解】（1）解：如圖所示，△DEF即為所求；（2）解：∵AB=3，AC=6，∴AB∴△ABC是直角三角形，即∠A=90°，∴S△ABC∵BE=2，∴CE=BC?BE=1，由平移的性質(zhì)可知AB∥DE，∴△CEH∽△CBA，∴S△EHC∴S△EHC【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理得逆定理，平移的性質(zhì)，尺規(guī)作圖——作三角形，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．6．（2023·福建龍巖·?？家荒＃┤鐖D，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．(1)動手操作：利用尺規(guī)作∠ABC的平分線，交AC于點O，再以O(shè)為圓心，OC的長為半徑作⊙O（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)綜合運用：請根據(jù)所作的圖，若AC=8，sin∠OBC=1答案:(1)見解析(2)21分析：（1）根據(jù)角平分線和圓的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）如圖所示，過點O作OD⊥AB于D，由角平分線的性質(zhì)得到OC=OD，設(shè)OC=OD=x，OA=8?x，解Rt△OBC求出OB=3x，BC=22x，再證明△ADO∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)求出AD=22，在Rt△ADO中，由勾股定理得，8?x【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，過點O作OD⊥AB于D，∵OB平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，∴OC=OD，設(shè)OC=OD=x，OA=8?x，在Rt△OBC中，sin∴OB=3OC=3x，∴BC=O∵∠A=∠A，∴△ADO∽△ACB，∴ADAC=OD∴AD=22在Rt△ADO中，由勾股定理得O∴8?x2解得x=7∴OB=3x=21【點睛】本題主要考查角平分線和圓的尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·福建福州·九年級福建省福州楊橋中學校考期中）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AC為對角線．(1)把△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度α得到△EFC，點A的對應點為E，且在AD的延長線上，點B的對應點為F，請你在圖中作出△EFC．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若∠CEF=26°，求旋轉(zhuǎn)角α的大?。鸢?(1)見解析(2)52°分析：（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明∠ACD=∠DCE，再利用平行線的性質(zhì)求出∠ACD=26°，可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖，△EFC即為所求；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB∥CD，∴CD⊥AE．∵CA=CE，CD⊥AE，∴∠ACD=∠DCE．∵∠CEF=∠CAB=26°，∴∠CAB=∠ACD=∠DCE=26°．∴∠ACE=52°．∴α=52°．【點睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．8．（2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠B=90°，∠C=75°，AD=2AB．(1)尺規(guī)作圖：在BC上求作一點E，使得∠AEC=150°；（保留作圖的跡，不寫作去）(2)在（1）的條件下，連接DE．求證：△ADE∽答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）以A為圓滿心，AD為半徑畫弧，交BC于點E，連接AE即可；（2）先求出∠DAE=∠ABE=30°，再利用等腰三角形的性質(zhì)證∠ADE=∠AED=12180°?∠DAE=75°，平行線的性質(zhì)得∠DEC=∠ADE=75°，從而得【詳解】（1）解：如圖，點E即為所求的點，∵AD=AE，AD=2AB，∴AE=2AB，∵∠B=90°，∴∠AEB=30°，∴∠AEC=150°；（2）證明：連接∵∠AEC=150°∴∠AEB=180°?∠AEC=30°，∴∠BAD=∠B=90°，∴AD∥∴∠DAE=∠ABE=30°，由作圖得，AD=AE，∴∠ADE=∠AED=1∵AD∥∴∠DEC=∠ADE=75°又∵∠C=75°，∴∠ADE=∠DEC，∠AED=∠C，∴△ADE∽【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，相似三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．9．(2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=108°，AB=BC．(1)尺規(guī)作圖：在AC上求作一點D，使得BD=CD；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）作圖的基礎(chǔ)上，連接BD，求證：AB答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）利用尺規(guī)作線段BC的垂直平分線，交AC于點D，（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，證明△CDB∽△CBA即可．【詳解】（1）作法1作法2作法3（2）如圖，∵AB=BC，∴∠A=∠C．又BD=CD，∴∠CBD=∠C，即∠CBD=∠A．在△CDB與△CBA中，∠C=∠C，∠CBD=∠A，∴△CDB∽△CBA，∴CDBC=BC又AB=BC，∴AB【點睛】本題考查了作垂直平分線，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握垂直平分線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，已知鈍角△ABC中，CA=CB．(1)請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠ACB的平分線CD交AB于點D；作△ABC的外接圓⊙O(2)在（1）中，若AB=23，∠ACB=120°，則此⊙O答案:(1)見解析(2)2分析：（1）利用基本作圖作角平分線，然后作AC的垂直平分線交于點O，然后以O(shè)為圓心，OC為半徑作外接圓；（2）連接OA，則△OAC為等邊三角形，利用勾股定理求出半徑．【詳解】（1）如圖，CD和⊙O即為所作；（2）如圖，連接OA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=1又∵OA=OC,∴△OAC為等邊三角形，∴OD=1設(shè)半徑為R，則R解得：R=2故答案為：2【點睛】本題考查基本作圖—作角平分線和垂直平分線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，會利用方程解決幾何問題是解題的關(guān)鍵．11．(2023秋·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AC與BD相交于點O．(1)在CD邊上求作一點E，使得∠CEB=∠BCA；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，設(shè)BE交AC于點F，若DE=BE，求證：OC答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）過B作BE⊥AC交CD于點E，交AC于點F，證明△CEF~△BCF，即可得到∠CEB=∠BCA；（2）首先證明△BCE～△ABC，BC2=AB?CE，根據(jù)四邊形ABCD為矩形，得到OB=OC=OD【詳解】（1）解：如圖所示；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°，由（1）得∠CEB=∠BCA，∴△BCE∽△ABC，∴CEBC=∵DE=BE，∴∠1=∠2，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OC=OD，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3，又∠EFC=∠OFB，∴∠CEB=∠4=∠BCA，∴OB=BC=OC，∵BC∴OC【點睛】本題主要考查作垂線，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握作圖方法以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·福建南平·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，點E是線段AD上的一點，且BE=BC，連接CE，設(shè)(1)尺規(guī)作圖：將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段BG，連接CG交BE于點H；(2)試判斷GH與CH的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．答案:(1)圖見解析(2)GH=分析：（1）利用尺規(guī)作∠ABG=∠CBE，BG=BA，然后連接CG（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BG=BA，∠ABG=∠CBE，根據(jù)已知可得∠BEC=∠BCE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCE=∠DEC【詳解】（1）解：如圖，以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧分別與AB、BE、BC，交于點O、P、Q；然后以點O為圓心，以PQ長為半徑畫弧，兩弧在線段AB左側(cè)交于點K；作射線BK，以點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交射線BK于點G；連接CG與BE交于點H．（2）GH=證明：如圖，過點C作CF⊥BE于∴∠CFH∵將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段BG，∠CBE∴BG=BA，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC∴∠ABG∴∠GBH∴∠GBH∵BE=∴∠BEC∵AD∥∴∠DEC∴∠BEC∴EC平分∠BED∵∠CFE=90°，∴CF=∴BG=在△GBH和△∠GBH∴△GBH∴GH=【點睛】本題是旋轉(zhuǎn)綜合題，考查了尺規(guī)作圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點．正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考一模）如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于12EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M(1)求證：AP平分∠CAB；(2)若∠ACD＝114°，求∠MAB的度數(shù)．答案:(1)見解析(2)33°分析：（1）利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出∠FAP=∠EAP，即可證明；（2）根據(jù)AB∥CD，∠ACD＝114°，得出∠CAB＝66°，再根據(jù)AM是∠CAB的平分線，即可得出∠MAB的度數(shù)．【詳解】（1）證明：連接EP，F(xiàn)P，根據(jù)題意得AF=AE，EP=FP，AP=AP，∴?APF??APE，∴∠FAP=∠EAP，∴AP平分∠CAB；（2）∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝114°，∴∠CAB＝66°，由（1）知，AM是∠CAB的平分線，∴∠MAB＝12∠CAB【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及角平分線的作法，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是正確解答本題的關(guān)鍵．14．(2023秋·福建莆田·九年級福建省莆田市中山中學校考階段練習）如圖，已知：在正方形ABCD中，M是BC邊的中點，連接AM．(1)請用尺規(guī)作圖法，在AM上求作一點P，使得△DPA∽△ABM；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若AB＝4，求DP的長．答案:(1)見解析(2)8分析：（1）由點P在AM上，△DPA∽△ABM，即得出∠APD=90°，即過點D作AM的垂線即可；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理結(jié)合題意可求出AM=25，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出PDAB=（1）如圖，△APD即為所求．（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝4，∵BM＝MC＝2，∴AM=A∵△DPA∽△ABM，∴PDAB∴PD4∴PD=8【點睛】本題考查作圖—做垂線，正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．15．（2023·福建·模擬預測）如圖，在△ABC中，AB=AC，射線CM∥AB．(1)在線段AB上取一點E，使得CE=CB，在射線CM上確定一點D，使△CDE是以CE為底邊的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接AD，求證：AD=BC．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）以點C為圓心，CB為半徑畫弧，交AB于一點，該點即為點E，作CE的垂直平分線，交CM于一點，該點即為點D，連接CD、ED即可；（2）證明四邊形ABCD是平行四邊形即可．【詳解】（1）解：以點C為圓心，CB為半徑畫弧，交AB于一點，該點即為所求作的點E，作CE的垂直平分線，交CM于一點，該點即為所求作的點D，如圖所示：（2）證明：連接AD，如圖所示：∵AC＝AB，CE＝CB，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CEB，∵CD∥AB，∴∠CEB＝∠DCE，∵DE＝DC，∴∠DCE＝∠DEC＝∠ABC＝∠ACB，∴△DCE≌△ABC（ASA），∴CD＝AB，∵CD∥AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC．【點睛】本題主要考查作圖?復雜作圖，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．16．(2023春·福建福州·九年級福建省福州屏東中學?？计谥校┤鐖D，線段BC關(guān)于某直線l作軸對稱變換，得到線段EF，其中點B的對稱點是點E．(1)請確定直線l的位置（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的情況下，點A位于BC的上方，點D位于EF的右側(cè)，且ΔABC，ΔDEF均為等邊三角形．求證：ΔDEF可由答案:(1)答案見解析(2)證明見解析分析：（1）連接BE，作線段BE的垂直平分線即可；（2）令BE交直線l于點H，AD交直線l于點G，連接AH，DH，AD，根據(jù)SAS證明△ABH≌△DEH，得出HG垂直平分AD，進而得出結(jié)論．(1)解：如圖所示，直線l即為所求．(2)證明：令BE交直線l于點H，AD交直線l于點G，連接AH，DH，AD，∵BC，EF關(guān)于直線l對稱，∴∠CBH=∠FEH，BH=EH，又△ABC和△DEF為等邊三角形，∴AB=BC，EF=DE，∠ABC=∠DEF=60°，∴∠ABH=∠DEH，又BC=EF，∴AB=DE，∴△ABH≌△DEH（SAS），∴∠AHB=∠DHE，AH=DH又∠GHB=∠GHE=90°，∴∠AHG=∠DHG，∴HG垂直平分AD，∴A，D關(guān)于直線l對稱，即ΔDEF可由ΔABC關(guān)于直線l【點睛】本題考查垂直平分線的作圖以及垂直平分線的判定，軸對稱的性質(zhì)，借助于全等三角形以及等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．17．(2023春·福建福州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)分別在BC，AB邊求作點D，E，使DE⊥BC，且AE=DE；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，BE=4，AC=3，求AB的長．答案:(1)作圖見解析(2)6分析：（1）作AD平分∠CAB交CB于點D，過點D作DE⊥BC交AB于點E；點D，E即為所求作的點；（2）證明△BDE∽△BCA,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．(1)解：如圖所示：點D，E即為所求作的點，(2)解：∵DE⊥BC∴∠EDB=∠C=90°，∴DE∥∴△BDE∽△BCA,∴BEBA=DEAC，而BE=4，∴44+DE∴DE2+4DE-12=0，∴DE=2（負根舍去）∴AE=DE=2，AB=AE+EB=2+4=6．【點睛】本題考查作圖-應用與設(shè)計作圖，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．18．(2023·福建·九年級專題練習）閱讀下列材料，完成相應任務(wù)．已知：如圖，直線l∥m∥求作：等邊三角形ABC，使其點B，C分別落在直線m，n上．作法：①在直線m上取點D，連接AD，向右作等邊三角形∠ADE，使點E落在直線l，m之間；②在直線m上取點P（點P在點D左側(cè)），作∠AEC=∠ADP交直線n于點C；③在射線DP上截取DB=CE；④連接AB，AC，BC．△A