專題02幾何作圖問題(原卷版+解析)

專題02：幾何作圖問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】作一條線段等于已知線段【題型二】作一個角等于已知角【題型三】作一個角的平分線【題型四】作線段的垂直平分線（作垂線問題）【題型五】作圓及切線問題【題型六】格點作圖問題【題型七】無刻度直尺作圖二、最新?？碱}組練【題型一】作一條線段等于已知線段【典例分析】1.用尺規(guī)作圖：（不要求寫作法，）(1)如圖，已知線段，，作線段(2)如圖，已知A、B、C、D四點的位置如圖所示，根據(jù)下列語句，畫出圖形．①連接，畫直線，、相交于點；②畫射線．【提分秘籍】作法：①作射線AB；②在射線AB上截取AC=a，則線段AC就是所求作的線段，如右圖.作一條線段等于已知線段是作有關(guān)線段的基礎(chǔ)，利用它可以作出已知線段的和、差、倍等線段.【變式演練】1.如圖，已知線段a和線段．(1)延長線段到C，使（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若，點O是線段的中點，求線段的長．

2.用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：線段；求作：矩形，使．

【題型二】作一個角等于已知角【典例分析】1.如圖，在中，，點是線段上一點．(1)尺規(guī)作圖：在內(nèi)作，與邊交于點（保留作圖痕跡，不用寫作法）；(2)在（1）的條件下，當(dāng)時，求的度數(shù)．

【提分秘籍】作法：①作射線O'A'；②以點0為圓心，以任意長為半徑畫弧，交OA于點C，交OB于點D；③以O(shè)'為圓心，以O(shè)C的長為半徑畫弧，交O'A'于點C'；④以C'為圓心，以CD的長為半徑畫弧，交前弧于點D'；⑤過點D'作射線O'B'，則△A'O'B'就是所求作的角，如右圖.【變式演練】1.如圖，在中，．(1)請用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)求作，使，交于D．（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，求的長．2.如圖，在梯形中，，．(1)尺規(guī)作圖：在上找一點E，連接，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）條件下，若，，，求梯形的高．

3.如圖，為的延長線上一點．(1)用尺規(guī)作圖的方法在上方作，使；(2)在（1）的條件下，若，恰好平分，求的度數(shù)．

【題型三】作一個角的平分線【典例分析】1.（1）尺規(guī)作圖：已知，求作的角平分線．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）尺規(guī)作圖：已知，求作．使．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【提分秘籍】作法：①在OA，OB上分別截取OD，OE，使OD=0E；②分別以D，E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在△AO【變式演練】1.如圖，四邊形是平行四邊形，．(1)實踐與操作：利用尺規(guī)作的平分線，交于點（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）；(2)猜想與證明：試猜想線段，，的關(guān)系，并加以證明．2.如圖，有三幢公寓樓分別建在點A、點B、點C處，是連接三幢公寓樓的三條道路，要修建一超市P，按照設(shè)計要求，超市要在的內(nèi)部，且到A、C的距離必須相等，到兩條道路的距離也必須相等，請利用尺規(guī)作圖確定超市P的位置．（不要求寫出作法、證明，但要保留作圖痕跡）．

3.已知：和兩點，求作一點，使，且點到的兩邊的距離相等．（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出作法，不要求證明）．

【題型四】作線段的垂直平分線（作垂線問題）【典例分析】1.如圖，在中，，．請用尺規(guī)作圖法在上找一點D，連接，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）【提分秘籍】作法：①分別以點A和B為圓心，大于12【變式演練】1.如圖，是矩形的一條對角線．(1)作的垂直平分線，分別交，于點E、F，垂足為點O（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡．不要求寫作法）；(2)若，，求的長．

2.如圖，在矩形中，，在上找一點，使得（保留作圖痕跡，不寫作法）；【題型五】作圓及切線問題【典例分析】1.如圖，已知中，．(1)尺規(guī)作圖：作的內(nèi)切圓（保留作圖痕跡，請標明字母）(2)若中，求內(nèi)切圓的面積．

2.如圖，為的直徑，為上的一點．(1)過點作的切線，交的延長線于點（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若，垂足為，，，求的長．

【提分秘籍】作圓問題：①三角形的內(nèi)心（到各邊距離相等）：三條角平分線的交點；②三角形的外心（到各頂點距離相等）：三條垂直平分線的交點；③將作圓問題轉(zhuǎn)化成作角平分線或垂直平分線問題做圓切線問題：以切點為圓心，小于原圓半徑r的長為半徑畫弧，與直線有兩個交點，再以這兩個交點為圓心，大于這兩點的長的一半為半徑畫弧，兩弧的兩個交點連線即可?！咀兪窖菥殹?.如圖，在中，，，．(1)求的長；(2)用尺規(guī)作三角形的外接圓（不寫作法，保留作圖痕跡），并求此外接圓的半徑．

2.已知：如圖，A、B、C三個點．求作：，使經(jīng)過A、B、C三點．

3.已知：和外一點．(1)如圖甲，和是的兩條切線，、分別為切點，求證：；(2)尺規(guī)作圖：在圖乙中，過點作的兩條切線、、、為切點（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）．

4.尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）已知：和外一點P．求作：過點P的的切線，PB．

【題型六】格點作圖問題【典例分析】1.在正方形網(wǎng)格中，已知格點（即小正方形的頂點）A、B組成的線段AB，請分別按下列要求作圖：(1)在圖1中作一個面積為2的△ABC（點C在格點上），且有一個內(nèi)角為鈍角；(2)在圖2中作一個等腰△ABC（點C在格點上）．【提分秘籍】根據(jù)要求作圖，常考類型等面積的三角形、等腰三角形、特殊的平行四邊形等，要注意各圖形的性質(zhì)特征。【變式演練】1.我們把端點都在格點上的線段叫做格點線段．如圖在的方格中，現(xiàn)有一格點線段，按要求畫圖．(1)在圖1中畫一個格點，使得內(nèi)部有1個格點（不包括邊上的格點）：(2)已知格點D，在圖2中畫一條格點線段，使線段和線段互相平分．

2.如圖，在的方格紙中，有一格點P，請按要求作圖，且所畫格點三角形與格點四邊形的頂點均不與點A，B，C，D重合．(1)在圖1中畫一個格點，使點Q，R分別落在邊，上，且(2)在圖2中畫一個有兩邊相等的格點四邊形，使點E，F(xiàn)，G，H分別落在邊，，，上，且點P在邊上．

【題型七】無刻度直尺作圖【典例分析】1.如圖，在方格紙中，每個小正方形的頂點叫做格點．已知線段，且點A，B，C均在格點上．僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，再比較大小．(1)畫；畫，垂足為E；(2)比較大?。壕€段______線段，理由是______．【提分秘籍】解題的關(guān)鍵是掌握方格特征，再根據(jù)題意，利用全等、對稱、旋轉(zhuǎn)等特征與性質(zhì)作圖．【變式演練】1.如圖，請你僅用無刻度直尺作圖．(1)在圖①中，畫出三角形邊上的中線；(2)在圖②中，找一格點D，使得．

2.如圖，在正方形網(wǎng)格中，的三個頂點都在格點上，只用無刻度的直尺作圖.(1)在圖①中，作的角平分線；(2)在圖②中，在邊上找一點D，使得．

3.圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫格點．點A、B、C、D均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中線段上找到一點E，使；(2)在圖②中線段上找到一點G，連接、，使．

1．(2023·陜西西安·校考三模）如圖，已知△ABC，點D在AB邊上，AB=3BD，請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上找一點E，使AC=3CE（不寫作法，保留作圖痕跡）．2．（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，已知在中，．請利用尺規(guī)在邊上求作一點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）3．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，作出的外接圓（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．4．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，在中，．(1)作的平分線，交于點E，（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若，，求點E到線段的距離．

5．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，平分，交于點E．用尺規(guī)作圖法在上求作一點F，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）

6．（2023·陜西西安·交大附中分校校考三模）如圖，在以為直徑的半圓上，用尺規(guī)在弧上求作一點P，使圓周角．（保留作圖痕跡，不寫作法）7．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖，內(nèi)接于半圓，是直徑，過作直線，使．(1)求證：是半圓的切線；(2)已知弧的中點，要求過作于．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）(3)若，，求．

8．（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，(1)在邊上找一個點，使得點到邊的距離等于（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若，，求線段的長．

9．(2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，O是的中點，點M在的延長線上．(1)作的平分線，連接，并延長交于點D，連接（用尺規(guī)作圖，并在圖中標明相應(yīng)的字母，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．

10．（2023·福建·模擬預(yù)測）如圖，在中，，射線．(1)在線段上取一點，使得，在射線上確定一點，使是以為底邊的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接，求證：．

11．（2023·吉林·模擬預(yù)測）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點A，B，O均落在格點上，以點O為圓心長為半徑的圓交于點C．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，結(jié)果用實線表示．(1)線段的長等于______；(2)畫出的切線；(3)P為上的動點，當(dāng)取得最小值時，畫出點P．

12．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖是邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，的頂點在格點上，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中畫圖，按步驟完成下列問題：(1)在圖1中，畫出點，使得四邊形是平行四邊形；(2)在圖2中，在邊上找點，使得的面積是面積的；(3)在圖3中，在邊上找點，使得．13．（2023·山東·統(tǒng)考一模）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，，，在上，作經(jīng)過，兩點且與相切．14．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，在上求作一點D，使得．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）15．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形中，，，點是的中點．(1)在上求作一點，使（尺規(guī)作圖，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，求的長．

16．（2023·廣東廣州·廣州市第二中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在中(1)尺規(guī)作圖：以邊上一點O為圓心，線段OB的長為半徑作，使得與邊AC相切于點D；（保留作圖痕跡，不寫作法．）(2)在（1）的條件下，連接BD，記與邊BC的另一交點為E，，．①求的值；②求的長．

專題02：幾何作圖問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】作一條線段等于已知線段【題型二】作一個角等于已知角【題型三】作一個角的平分線【題型四】作線段的垂直平分線（作垂線問題）【題型五】作圓及切線問題【題型六】格點作圖問題【題型七】無刻度直尺作圖二、最新?？碱}組練

【題型一】作一條線段等于已知線段【典例分析】1.用尺規(guī)作圖：（不要求寫作法，）(1)如圖，已知線段，，作線段(2)如圖，已知A、B、C、D四點的位置如圖所示，根據(jù)下列語句，畫出圖形．①連接，畫直線，、相交于點；②畫射線．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）先畫出射線，在射線上截取，再截取，，即為所求；（2）根據(jù)題意進行畫圖即可；【詳解】（1）解：如圖，，，即為所求，（2）解：如圖所示：【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握直線、射線、線段的定義，以及用圓規(guī)截取線段等于已知線段的方法．【提分秘籍】作法：①作射線AB；②在射線AB上截取AC=a，則線段AC就是所求作的線段，如右圖.作一條線段等于已知線段是作有關(guān)線段的基礎(chǔ)，利用它可以作出已知線段的和、差、倍等線段.【變式演練】1.如圖，已知線段a和線段．(1)延長線段到C，使（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若，點O是線段的中點，求線段的長．答案:(1)見解析(2)1分析：（1）根據(jù)線段的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）先求出，再根據(jù)線段中點的定義得到，則．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：，∴，∵點O是線段的中點，∴，∴．【點睛】本題主要考查了線段的尺規(guī)作圖，與線段中點有關(guān)的計算，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．2.用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：線段；求作：矩形，使．答案:作圖見詳解分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)運用尺規(guī)作圖即可．【詳解】解：（1）畫射線，在上截取，即以點為圓心，以為半徑畫弧交于點，以點為圓心，以為半徑畫弧交于點；（2）分別以點為圓心，以為半徑，畫弧，交于點，連接，以點為端點，在上取，（3）分別以為圓心，為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，可得矩形，如圖所示，即為所求圖形．∴矩形即為所求圖形．【點睛】本題主要考查尺規(guī)作圖，線段的垂直平分線的作圖，矩形的作圖，矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【題型二】作一個角等于已知角【典例分析】1.如圖，在中，，點是線段上一點．(1)尺規(guī)作圖：在內(nèi)作，與邊交于點（保留作圖痕跡，不用寫作法）；(2)在（1）的條件下，當(dāng)時，求的度數(shù)．答案:(1)見解析(2)．分析：（1）利用基本作圖作；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和得到，再利用（1）的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）解：∵，，，∴，∴．【點睛】本題考查了基本作圖，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握基本作圖－作一個角等于已知角和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】作法：①作射線O'A'；②以點0為圓心，以任意長為半徑畫弧，交OA于點C，交OB于點D；③以O(shè)'為圓心，以O(shè)C的長為半徑畫弧，交O'A'于點C'；④以C'為圓心，以CD的長為半徑畫弧，交前弧于點D'；⑤過點D'作射線O'B'，則△A'O'B'就是所求作的角，如右圖.【變式演練】1.如圖，在中，．(1)請用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)求作，使，交于D．（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，求的長．答案:(1)見解析(2)4分析：（1）以B為圓心，小于任意長為半徑畫弧，交、于點E、F，以C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點G，以G為圓心，以長為半徑畫弧，交前弧于點H，連接并延長交于D即可；（2）在（1）的條件下，可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）以B為圓心，小于任意長為半徑畫弧，交、于點E、F，以C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點G，以G為圓心，以長為半徑畫弧，交前弧于點H，連接并延長交于D即可，如上圖所示．（2）∵，，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖法、三角形相似的判定及性質(zhì)，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵．2.如圖，在梯形中，，．(1)尺規(guī)作圖：在上找一點E，連接，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）條件下，若，，，求梯形的高．答案:(1)見解析(2)梯形的高為．分析：（1）根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，作即可解決問題；（2）證明四邊形是平行四邊形，求得，再證明是等邊三角形，作于點F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：如圖，即為所作，；（2）解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，作于點F，∴，∴，答：梯形的高為．【點睛】本題考查了作圖－復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．3.如圖，為的延長線上一點．(1)用尺規(guī)作圖的方法在上方作，使；(2)在（1）的條件下，若，恰好平分，求的度數(shù)．答案:(1)見解析(2)分析：（1）以C為頂點，作即可；（2）根據(jù)已知判斷出，從而根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，關(guān)鍵角平分線的定義得到，再根據(jù)鄰補角求出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）∵，∴，∴，∵平分，∴，∴．【點睛】本題考查了基本作圖：熟練掌握作一個角等于已知角的方法是解決此類問題的關(guān)鍵．也考查了平行線的判定和性質(zhì)以及角平分線的定義．【題型三】作一個角的平分線【典例分析】1.（1）尺規(guī)作圖：已知，求作的角平分線．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）尺規(guī)作圖：已知，求作．使．（保留作圖痕跡，不寫作法）答案:（1）見解析；（2）見解析分析：（1）利用尺規(guī)作圖——作一個角的平分線的方法直接作圖即可；（2）利用尺規(guī)作圖——作一個角等于已知角的方法直接作圖即可.【詳解】（1）解：如圖所示，射線OC即為所求．（2）解：如圖即為所求；【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作一個角的平分線和作一個角等于已知角，解題關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖的方法．【提分秘籍】作法：①在OA，OB上分別截取OD，OE，使OD=0E；②分別以D，E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在△AO【變式演練】1.如圖，四邊形是平行四邊形，．(1)實踐與操作：利用尺規(guī)作的平分線，交于點（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）；(2)猜想與證明：試猜想線段，，的關(guān)系，并加以證明．答案:(1)見解析(2)，理由見解析分析：（1）根據(jù)尺規(guī)作圖—角平分線的作法，進行作圖即可；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)可推出，再由角平分線的性質(zhì)推出，根據(jù)等角對等邊即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，射線即為所求；（2）．證明：四邊形為平行四邊形，，，，平分，，，，．【點睛】本題考查了基本作圖-角平分線，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．2.如圖，有三幢公寓樓分別建在點A、點B、點C處，是連接三幢公寓樓的三條道路，要修建一超市P，按照設(shè)計要求，超市要在的內(nèi)部，且到A、C的距離必須相等，到兩條道路的距離也必須相等，請利用尺規(guī)作圖確定超市P的位置．（不要求寫出作法、證明，但要保留作圖痕跡）．答案:見解析分析：作線段的垂直平分線和的角平分線，則其交點即為點P．【詳解】解：如圖，P點即為所作．【點睛】本題考查作圖—線段的垂直平分線，作圖—角平分線．掌握基本作圖方法是解題關(guān)鍵．3.已知：和兩點，求作一點，使，且點到的兩邊的距離相等．（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出作法，不要求證明）．答案:作圖見詳解分析：根據(jù)題意，點在的角平分線與線段的垂直平分線的交點處，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，先尺規(guī)作圖的角平分線，（1）以點為圓心，以任意長畫弧，交于點，（2）連接，分別以點為圓心，以大于為半徑畫弧，交于點，（3）連接并延長，則射線平分；連接，作線段的垂直平分線，（1）分別以點為圓心，以大于為半徑畫弧，交于點，（2）連接，則直線是線段的垂直平分線．則射線以直線的交點，即為所求點的位置．【點睛】本題主要考查尺規(guī)作角平分線，垂直平分線的綜合，理解并掌握角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型四】作線段的垂直平分線（作垂線問題）【典例分析】1.如圖，在中，，．請用尺規(guī)作圖法在上找一點D，連接，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）答案:見解析分析：作的垂直平分線交于點D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到,推出，利用三角形內(nèi)角和定理即可得到．【詳解】解：如圖，點D為所作．．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．【提分秘籍】作法：①分別以點A和B為圓心，大于12【變式演練】1.如圖，是矩形的一條對角線．(1)作的垂直平分線，分別交，于點E、F，垂足為點O（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡．不要求寫作法）；(2)若，，求的長．答案:(1)見解析(2)5分析：（1）分別以、為圓心，以大于一半的長為半徑上下畫弧，上下各有一個交點，這兩點的連線即為所求；（2）連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，設(shè)，則，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示：直線即為所求；（2）證明：連接，垂直平分線段，，，，設(shè)，則，即，解得：，的長為5．【點睛】本題綜合考查了尺規(guī)作線段的垂直平分線、矩形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理解三角形等，熟記作圖步驟，靈活運用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定進行線段關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．2.如圖，在矩形中，，在上找一點，使得（保留作圖痕跡，不寫作法）；答案:作圖見解析，理由見解析分析：利用基本作圖，過點作于點即可．【詳解】解：如圖，過點作于點，∴，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，則即為所作．【點睛】本題考查作圖—基本作圖：熟練掌握種基本作圖是此類問題的關(guān)鍵．也考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．【題型五】作圓及切線問題【典例分析】1.如圖，已知中，．(1)尺規(guī)作圖：作的內(nèi)切圓（保留作圖痕跡，請標明字母）(2)若中，求內(nèi)切圓的面積．答案:(1)見解析(2)分析：（1）作的角平分線交于點，過點作于點，以為圓心，的長為半徑作圓，則即為所求；（2）勾股定理求得，設(shè)的半徑為，根據(jù)等面積法求得，進而即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，（2）∵中，∴,設(shè)的半徑為，則，解得：，∴內(nèi)切圓的面積為．【點睛】本題考查了作三角形的內(nèi)切圓，三角形內(nèi)心的定義，掌握三角形內(nèi)心的定義是解題的關(guān)鍵．2.如圖，為的直徑，為上的一點．(1)過點作的切線，交的延長線于點（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若，垂足為，，，求的長．答案:(1)見解析(2)【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）解：，，，為的中位線，，為的直徑，，為的切線，，，，，，即，解得：，即的長為．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】作圓問題：①三角形的內(nèi)心（到各邊距離相等）：三條角平分線的交點；②三角形的外心（到各頂點距離相等）：三條垂直平分線的交點；③將作圓問題轉(zhuǎn)化成作角平分線或垂直平分線問題做圓切線問題：以切點為圓心，小于原圓半徑r的長為半徑畫弧，與直線有兩個交點，再以這兩個交點為圓心，大于這兩點的長的一半為半徑畫弧，兩弧的兩個交點連線即可?！咀兪窖菥殹?.如圖，在中，，，．(1)求的長；(2)用尺規(guī)作三角形的外接圓（不寫作法，保留作圖痕跡），并求此外接圓的半徑．答案:(1)(2)圖見解析，分析：（1）作于點H，則，在中，求得，，在中，，即可得到的長；（2）作線段和的垂直平分線相交于點，以點為圓心，為半徑作圓，則即為三角形的外接圓，連接，則，由，根據(jù)圓周角定理得到，則是等腰直角三角形，由即可得到．【詳解】（1）解：作于點H，則，在中，，，∴，，在中，，∴，∴，即的長為；（2）如圖，即為三角形的外接圓，連接，則，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，即此外接圓的半徑為．【點睛】此題考查了解直角三角形、圓周角定理、三角形的外接圓等知識，熟練掌握解直角三角形和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2.已知：如圖，A、B、C三個點．求作：，使經(jīng)過A、B、C三點．答案:見解析分析：連接、，分別作線段、的垂直平分線，相交于點O，連接，以點O為圓心，的長為半徑畫圓即可．【詳解】解：如圖，即為所求，【點睛】此題考查了三角形的外接圓，熟練掌握三角形外接圓的作法是解題的關(guān)鍵．3.已知：和外一點．(1)如圖甲，和是的兩條切線，、分別為切點，求證：；(2)尺規(guī)作圖：在圖乙中，過點作的兩條切線、、、為切點（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）連接，，，首先證（），可得結(jié)論；（2）以為直徑作，兩圓相交于，，直線，即為所求．【詳解】（1）如圖，連接，，．，是切線，，，．在和中，，，．（2）以為直徑作，兩圓交于點、，直線、即為所求；【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直徑的性質(zhì)等知識點，添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會利用輔助圓解決問題是解本題的關(guān)鍵．4.尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）已知：和外一點P．求作：過點P的的切線，PB．答案:見解析分析：根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形即可；【詳解】作圖如圖，直線、即為所作的的切線．【點睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【題型六】格點作圖問題【典例分析】1.在正方形網(wǎng)格中，已知格點（即小正方形的頂點）A、B組成的線段AB，請分別按下列要求作圖：(1)在圖1中作一個面積為2的△ABC（點C在格點上），且有一個內(nèi)角為鈍角；(2)在圖2中作一個等腰△ABC（點C在格點上）．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）先找到一個滿足面積是2的△ABC，比如點C在點A往后兩格，然后在過這個點作一條平行線可找到符合條件的點C，從而作出這樣的鈍角△ABC；（2）可通過找到點A或點B的距離是的點即點C來找這樣的三角形．（1）解：如下圖所示，△ABC即為所求做三角形；（2）如下圖所示，△ABC即為所求做三角形；（以下5圖答其一正確）【點睛】本題考查網(wǎng)格中的作圖，涉及等腰三角形的判定，三角形的面積公式等知識，掌握平行線間的距離相等和網(wǎng)格中找長度的線段是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】根據(jù)要求作圖，?？碱愋偷让娣e的三角形、等腰三角形、特殊的平行四邊形等，要注意各圖形的性質(zhì)特征。【變式演練】1.我們把端點都在格點上的線段叫做格點線段．如圖在的方格中，現(xiàn)有一格點線段，按要求畫圖．(1)在圖1中畫一個格點，使得內(nèi)部有1個格點（不包括邊上的格點）：(2)已知格點D，在圖2中畫一條格點線段，使線段和線段互相平分．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)，構(gòu)建圖形即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，線段即為所求．理由：連接，根據(jù)題意得：，∴四邊形是平行四邊形，∴線段和線段互相平分．【點睛】本題考查作圖——應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．2.如圖，在的方格紙中，有一格點P，請按要求作圖，且所畫格點三角形與格點四邊形的頂點均不與點A，B，C，D重合．(1)在圖1中畫一個格點，使點Q，R分別落在邊，上，且(2)在圖2中畫一個有兩邊相等的格點四邊形，使點E，F(xiàn)，G，H分別落在邊，，，上，且點P在邊上．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想構(gòu)造全等三角形或等腰直角三角形解決問題即可．（2）構(gòu)造矩形或梯形即可解決問題．【詳解】（1）參考圖如下．（2）參考圖如下．【點睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．【題型七】無刻度直尺作圖【典例分析】1.如圖，在方格紙中，每個小正方形的頂點叫做格點．已知線段，且點A，B，C均在格點上．僅用無刻度的直尺完成下列畫圖，再比較大?。?1)畫；畫，垂足為E；(2)比較大?。壕€段______線段，理由是______．答案:(1)見解析(2)，垂線段最短分析：（1）根據(jù)方格特征作圖即可；（2）由垂線段最短可得答案．【詳解】（1）解：取格點D，則；取格點F，直線交于點E，則，垂足為E；如圖：∵，∴，∴，∵，∴，故直線即為所求；（2）解：垂線段最短可得：線段線段，故答案為：，垂線段最短．解題的關(guān)鍵是掌握方格特征，利用全等三角形判定與性質(zhì)作圖．【提分秘籍】解題的關(guān)鍵是掌握方格特征，再根據(jù)題意，利用全等、對稱、旋轉(zhuǎn)等特征與性質(zhì)作圖．【變式演練】1.如圖，請你僅用無刻度直尺作圖．(1)在圖①中，畫出三角形邊上的中線；(2)在圖②中，找一格點D，使得．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）如圖，連接即可；（2）按如圖所示，找到點D，連接即可．【詳解】（1）（2）如圖，即為所求；【點睛】本題考查了作圖，三角形中線的性質(zhì)、全等三角形的判定方法，掌握中線的性質(zhì)及全等三角形判定的方法是關(guān)鍵．2.如圖，在正方形網(wǎng)格中，的三個頂點都在格點上，只用無刻度的直尺作圖.(1)在圖①中，作的角平分線；(2)在圖②中，在邊上找一點D，使得．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）延長構(gòu)造等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知的角平分線過等腰三角形底邊的中點，找出底邊中點P與點A連接即可；（2）設(shè)網(wǎng)格邊長為1，如圖，取格點、、，連接交網(wǎng)格于，連接，交網(wǎng)格于，連接交于，可得，根據(jù)可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合網(wǎng)格特征作出即可得答案．【詳解】（1）解：如圖，點射線即為所求；（2）解：設(shè)網(wǎng)格邊長為1，如圖，取格點、、，連接交網(wǎng)格于，連接，交網(wǎng)格于，連接交于，∵，，∴，∵，∴，∴，∴∴如圖，點D即為所求；【點睛】本題考查了無刻度的直尺作圖、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義和相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3.圖①、圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫格點．點A、B、C、D均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中線段上找到一點E，使；(2)在圖②中線段上找到一點G，連接、，使．答案:(1)見解析（答案不唯一）(2)見解析分析：（1）結(jié)合網(wǎng)格特點，利用相似三角形的性質(zhì)，找出兩邊的比例正好是即可得；（2）先找出點關(guān)于的對稱點，再與點連接，與的交點即為點．【詳解】（1）解：如圖①，點即為所作．（2）解：如圖②，點即為所作．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、無刻度的直尺作圖等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．1．(2023·陜西西安·校考三模）如圖，已知△ABC，點D在AB邊上，AB=3BD，請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上找一點E，使AC=3CE（不寫作法，保留作圖痕跡）．答案:見解析分析：過點D作∠ADE=∠ABC，射線DE交AC于點E，點E即為所求．【詳解】解：如圖，點E即為所求．．由作圖知：∠ADE=∠ABC，∴DE∥BC，∴，∵AB=3BD，∴AC=3CE．【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行線分線段成比例定理等知識，解題關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用平行線分線段成比例定理解決問題．2．（2023·陜西西安·校考一模）如圖，已知在中，．請利用尺規(guī)在邊上求作一點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）答案:見解析分析：根據(jù)垂線的作圖的方法作即可．【詳解】解：點如圖所示．【點睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，熟練掌握垂線的作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，作出的外接圓（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．答案:見解析分析：作的垂直平分線與交于點M，以M為圓心，為直徑畫圓即可．【詳解】解：如圖所示，即為所求；．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—畫圓，熟練掌握角所對的弦是直徑是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）如圖，在中，．(1)作的平分線，交于點E，（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若，，求點E到線段的距離．答案:(1)見解析(2)分析：（1）根據(jù)角平分線的作法即可得出答案．（2）過點E作于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所求，（2）解：過點E作于點F，∵為的平分線且，∴，在中，∵，，∴，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意，∴，即點E到線段的距離為．【點睛】本題考查了角平分線的作法和性質(zhì)，正確做出輔助線是解題關(guān)鍵．5．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，平分，交于點E．用尺規(guī)作圖法在上求作一點F，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）答案:見解析分析：作的角平分線交于點F，則點F為所作．【詳解】解：如圖，點F為所作．理由：在四邊形中，∵，∴，∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，四邊形內(nèi)角和定理，平行線的判定，熟練掌握四邊形內(nèi)角和定理，平行線的判定是解題的關(guān)鍵．6．（2023·陜西西安·交大附中分校校考三模）如圖，在以為直徑的半圓上，用尺規(guī)在弧上求作一點P，使圓周角．（保留作圖痕跡，不寫作法）答案:見解析分析：作線段的垂直平分線交半圓于P，點P即為所求．【詳解】解：如圖所示，點P即為所求；作線段的垂直平分線交半圓于P，連接，∴，∵為半圓的直徑，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，等邊對等角，線段垂直平分線的性質(zhì)和尺規(guī)作圖，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．7．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖，內(nèi)接于半圓，是直徑，過作直線，使．(1)求證：是半圓的切線；(2)已知弧的中點，要求過作于．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）(3)若，，求．答案:(1)見解析(2)見解析(3)1分析：（1）根據(jù)圓周角定理得到，再證明，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）以點為圓心，為半徑畫弧，與相交兩點，再分別以這兩點為圓心，大于兩點間距離的長為半徑，畫弧，兩弧交與一點，過點和這一點的直線交于點，即為所求垂線；（3）連接交于，根據(jù)垂徑定理，利用點為的中點得到，，易得，接著證明得到，然后計算即可．【詳解】（1）證明：為直徑，，，，即，，是半圓的切線；（2）解：如圖，即為所求．（3）解：如圖，連接交于，點為的中點，，，，在和中，，，，是直徑，，．【點睛】本題考查了切線的判定，垂線的作法，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，熟練掌握知識點并正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，(1)在邊上找一個點，使得點到邊的距離等于（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若，，求線段的長．答案:(1)圖見解析(2)分析：（1）作的角平分線即可；（2）由勾股定理求得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，即可求得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求．（2）解：在中，，過點作，垂足為，由（1）可得：，，，設(shè)，則，在中，，解得：，．【點睛】本題考查了作圖-角平分線，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．9．(2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，O是的中點，點M在的延長線上．(1)作的平分線，連接，并延長交于點D，連接（用尺規(guī)作圖，并在圖中標明相應(yīng)的字母，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．答案:(1)見解析；(2)平行四邊形，證明見解析．分析：（1）根據(jù)題意作圖即可；（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，得到，推出，利用“”易證，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．【詳解】（1）解：如圖，，即為所求；（2）解：四邊形ABCD是平行四邊形，證明如下：是的平分線，，，，，，，，，是的中點，，在和中，，，，，四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，平行的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定等知識，解題關(guān)鍵掌握全等三角形的判定和性質(zhì)與平行四邊形的判定．10．（2023·福建·模擬預(yù)測）如圖，在中，，射線．(1)在線段上取一點，使得，在射線上確定一點，使是以為底邊的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接，求證：．答案:(1)見解析(2)見解析分析：（1）以點C為圓心，CB為半徑畫弧，交AB于一點，該點即為點E，作CE的垂直平分線，交CM于一點，該點即為點D，連接CD、ED即可；（2）證明四邊形ABCD是平行四邊形即可．【詳解】（1）解：以點C為圓心，CB為半徑畫弧，交AB于一點，該點即為所求作的點E，作CE的垂直平分線，交CM于一點，該點即為所求作的點D，如圖所示：（2）證明：連接AD，如圖所示：∵AC＝AB，CE＝CB，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CEB，∵，∴∠CEB＝∠DCE，∵DE＝DC，∴∠DCE＝∠DEC＝∠ABC＝∠ACB，∴△DCE≌△ABC（ASA），∴CD＝AB，∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC．【點睛】本題主要考查作圖?復(fù)雜作圖，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．11．（2023·吉林·模擬預(yù)測）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點A，B，O均落在格點上，以點O為圓心長為半徑的圓交于點C．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，結(jié)果用實線表示．(1)線段的長等于______；(2)畫出的切線；(3)P為上的動點，當(dāng)取得最小值時，畫出點P．答案:(1)(2)見解析(3)見解析分析：（1）利用網(wǎng)格根據(jù)勾股定理求出的長，再用即可求解的長；（2）連接A點和B點上一格再左兩格的格點，交于D，利用垂徑定理得到，證明，得出是的切線；（3）找到B點和C點關(guān)于的對稱點和，連接交于P，可得當(dāng)，P，D三點共線時，取得最小值．【詳解】（1）解