新人教版高二暑期數(shù)學(xué)銜接第08講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示講義(學(xué)生版+解析)

第08講空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算的表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.握空間向量的坐標(biāo)表示2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示【基礎(chǔ)知識(shí)】一、空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j,k},以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以i,j,k的方向?yàn)檎较?以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度

建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸

.這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,O叫做原點(diǎn),i,j,k都叫做坐標(biāo)向量

,通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它們把空間分成八

個(gè)部分.二、空間點(diǎn)的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,i,j,k為坐標(biāo)向量,對(duì)空間任意一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量,且點(diǎn)A的位置由向量唯一確定

,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使

=xi+yj+zk

.在單位正交基底{i,j,k}下與向量對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作A(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).三、空間向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a.作=a.由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),上式可簡(jiǎn)記作a=(x,y,z)

.四、空間向量常用結(jié)論的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0,λ∈R)a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0,b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角〈a,b〉(a≠0,b≠0)cos〈a,b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))五、證明兩直線平行的步驟:1.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);2.求出直線的方向向量;3.證明兩向量共線;4.說(shuō)明其中一個(gè)向量所在直線上的一點(diǎn)不在另一個(gè)向量所在的直線上,即表示方向向量的

有向線段不共線,即可得證.六、證明兩直線垂直的步驟:1.根據(jù)已知條件和圖形特征,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,正確地寫出各點(diǎn)的坐標(biāo);2.根據(jù)所求點(diǎn)的坐標(biāo)求出兩直線方向向量的坐標(biāo);3.計(jì)算兩直線方向向量的數(shù)量積為0;4.由方向向量垂直得到兩直線垂直.七、求兩異面直線夾角的步驟1.求異面直線a,b上的方向向量的坐標(biāo):a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2);2.利用公式cos<a,b>=?求解;3.設(shè)異面直線a,b所成的角為θ,則cosθ=|cos<a,b>|.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：求點(diǎn)的坐標(biāo)例1．(2023學(xué)年四川省成都市嘉祥教育集團(tuán)高二下學(xué)期期中)已知空間點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A． B．C． D．考點(diǎn)二：求向量的坐標(biāo)例2．給定空間三個(gè)點(diǎn)??.(1)求以向量?為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；(2)求與向量?都垂直的單位向量.考點(diǎn)三：線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示例3．(2023學(xué)年廣東省江門市新會(huì)區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知向量，，則(

)A． B． C． D．考點(diǎn)四：數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示例4．(多選)(2023學(xué)年江蘇省鹽城市濱?？h高二下學(xué)期月考)已知空間向量，，則下列正確的是(

)A． B． C． D．，考點(diǎn)五：求長(zhǎng)度或距離例5．空間兩點(diǎn)、之間的距離為_(kāi)_____．考點(diǎn)六：求角度例6．(2023學(xué)年四川省成都市蓉城高中教育聯(lián)盟高二下學(xué)期期中)已知，，則向量與的夾角為(

)A．90° B．60° C．30° D．0°考點(diǎn)七：根據(jù)平行或垂直求參數(shù)的值例7.(2023學(xué)年江蘇省鹽城市濱?？h五汛中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知點(diǎn)，，，設(shè)，．(1)求，夾角的余弦值．(2)若向量，垂直，求的值．(3)若向量，平行，求的值．【真題演練】1.(2023學(xué)年江蘇省鹽城市高二下學(xué)期第二次學(xué)情分析考試)已知向量，若，則實(shí)數(shù)x的值為(

)A．7 B．8 C．9 D．102.(2023學(xué)年山東省臨沂市多縣區(qū)高二上學(xué)期期中)若向量，且與的夾角余弦值為，則實(shí)數(shù)等于(

)A．0 B．－ C．0或－ D．0或3.(2023學(xué)年江蘇省常州市溧陽(yáng)市高二下學(xué)期期中)平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A． B． C． D．4.(多選)(2023學(xué)年河北省張家口市宣化高二上學(xué)期期末)已知平面，其中點(diǎn)是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，是平面的一個(gè)法向量，若坐標(biāo)為，，則下列各點(diǎn)中在平面內(nèi)的是(

)A． B． C． D．5.(多選)(2023學(xué)年江蘇省宿遷市沭陽(yáng)縣高二下學(xué)期期中)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，分別在上，并滿足，設(shè)，設(shè)的重心為G，下列說(shuō)法正確的是(

)A．向量可以構(gòu)成一組基底B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，在平面上的投影向量的模長(zhǎng)為D．對(duì)任意實(shí)數(shù)，總有6.(2023學(xué)年江蘇省淮安市漣水縣高二下學(xué)期第二次階段檢測(cè))已知空間三點(diǎn)A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，則在上的投影向量的模是______.7.(2023學(xué)年江蘇省宿遷市沭陽(yáng)縣高二下學(xué)期期中)設(shè)空間向量是一組單位正交基底，若空間向量滿足對(duì)任意的的最小值是2，則的最小值是_________．8.(2023學(xué)年福建省龍巖市非一級(jí)達(dá)標(biāo)校高二下學(xué)期期中聯(lián)考)已知空間中三點(diǎn)，，．(1)若，，三點(diǎn)共線，求的值；(2)若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.(2023學(xué)年江蘇省泰州中學(xué)高二下學(xué)期期中)若點(diǎn)，，在同一條直線上，則(

)A．21 B．4 C．4 D．102.(2023學(xué)年江蘇省徐州市睢寧縣高二下學(xué)期線上期中)已知直線的方向向量分別為，若，則等于(

)A．0 B．1 C．2 D．33.(2023學(xué)年江西省南昌市第十中學(xué)高二下學(xué)期期中)設(shè)，向量，且，則(

)A．1 B．2 C．3 D．44.(2023學(xué)年廣東省華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)高二上學(xué)期月考)已知，，且，則向量與的夾角為(

)A． B． C． D．5.(多選)(2023學(xué)年福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟(九校)高二下學(xué)期期中)對(duì)于非零空間向量，，，現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是(

)A．若，則，的夾角是鈍角B．若，，則C．若，則D．若，，，則，，可以作為空間中的一組基底6．(多選)(2023學(xué)年福建省華安縣高二下學(xué)期月考)已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是()A．B．C．D．與夾角的余弦值為7．(多選)(2023學(xué)年湖北省黃岡市蘄春縣高二上學(xué)期期中)已知空間中三點(diǎn)，，，則正確的有(

)A．與是共線向量 B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是8.平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量，則平面與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______．9．已知，．設(shè)D在直線AB上，且，設(shè)，若，則實(shí)數(shù)______．10.(2023學(xué)年四川省成都市蒲江縣蒲江中學(xué)高二下學(xué)期5月月考)空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸(x軸?y軸?z軸)正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作.(1)若，，求的斜60°坐標(biāo)；(2)在平行六面體中，AB=AD=2，AA1=3，，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.①若，求向量的斜坐標(biāo)；②若，且，求.第08講空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算的表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.握空間向量的坐標(biāo)表示2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示【基礎(chǔ)知識(shí)】一、空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j,k},以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以i,j,k的方向?yàn)檎较?以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度

建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸

.這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,O叫做原點(diǎn),i,j,k都叫做坐標(biāo)向量

,通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它們把空間分成八

個(gè)部分.二、空間點(diǎn)的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,i,j,k為坐標(biāo)向量,對(duì)空間任意一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量,且點(diǎn)A的位置由向量唯一確定

,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使

=xi+yj+zk

.在單位正交基底{i,j,k}下與向量對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作A(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).三、空間向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a.作=a.由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),上式可簡(jiǎn)記作a=(x,y,z)

.四、空間向量常用結(jié)論的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0,λ∈R)a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0,b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角〈a,b〉(a≠0,b≠0)cos〈a,b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))五、證明兩直線平行的步驟:1.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);2.求出直線的方向向量;3.證明兩向量共線;4.說(shuō)明其中一個(gè)向量所在直線上的一點(diǎn)不在另一個(gè)向量所在的直線上,即表示方向向量的

有向線段不共線,即可得證.六、證明兩直線垂直的步驟:1.根據(jù)已知條件和圖形特征,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,正確地寫出各點(diǎn)的坐標(biāo);2.根據(jù)所求點(diǎn)的坐標(biāo)求出兩直線方向向量的坐標(biāo);3.計(jì)算兩直線方向向量的數(shù)量積為0;4.由方向向量垂直得到兩直線垂直.七、求兩異面直線夾角的步驟1.求異面直線a,b上的方向向量的坐標(biāo):a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2);2.利用公式cos<a,b>=?求解;3.設(shè)異面直線a,b所成的角為θ,則cosθ=|cos<a,b>|.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：求點(diǎn)的坐標(biāo)例1．(2023學(xué)年四川省成都市嘉祥教育集團(tuán)高二下學(xué)期期中)已知空間點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A． B．C． D．答案:D解析：依題意，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選D考點(diǎn)二：求向量的坐標(biāo)例2．給定空間三個(gè)點(diǎn)??.(1)求以向量?為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；(2)求與向量?都垂直的單位向量.解析：(1)由題設(shè)，，，則，故，所以.(2)設(shè)單位向量且，由題意得：，可得：，則，可得，所以或.考點(diǎn)三：線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示例3．(2023學(xué)年廣東省江門市新會(huì)區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知向量，，則(

)A． B． C． D．答案:C解析：，，則，故選C考點(diǎn)四：數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示例4．(多選)(2023學(xué)年江蘇省鹽城市濱?？h高二下學(xué)期月考)已知空間向量，，則下列正確的是(

)A． B． C． D．，答案:AB解析：向量，，，則A正確，，則B正確，，則C錯(cuò)誤，，則D錯(cuò)誤.故選AB考點(diǎn)五：求長(zhǎng)度或距離例5．空間兩點(diǎn)、之間的距離為_(kāi)_____．答案:3解析：因點(diǎn)、，則.考點(diǎn)六：求角度例6．(2023學(xué)年四川省成都市蓉城高中教育聯(lián)盟高二下學(xué)期期中)已知，，則向量與的夾角為(

)A．90° B．60° C．30° D．0°答案:A解析：因?yàn)?，，所以，，設(shè)向量與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，故向量與的夾角為，故選A.考點(diǎn)七：根據(jù)平行或垂直求參數(shù)的值例7.(2023學(xué)年江蘇省鹽城市濱海縣五汛中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知點(diǎn)，，，設(shè)，．(1)求，夾角的余弦值．(2)若向量，垂直，求的值．(3)若向量，平行，求的值．解析：(1)，，故.(2)由(1)可得，，因?yàn)橄蛄浚怪?，故，整理得到：，故?(3)由(1)可得不共線，故，均不為零向量，若向量，平行，則存在非零常數(shù)，使得，整理得到：，因?yàn)椴还簿€，故，故或，故.【真題演練】1.(2023學(xué)年江蘇省鹽城市高二下學(xué)期第二次學(xué)情分析考試)已知向量，若，則實(shí)數(shù)x的值為(

)A．7 B．8 C．9 D．10答案:D解析：因?yàn)?，所?故選D2.(2023學(xué)年山東省臨沂市多縣區(qū)高二上學(xué)期期中)若向量，且與的夾角余弦值為，則實(shí)數(shù)等于(

)A．0 B．－ C．0或－ D．0或答案:C解析：由題知，，即，解得或.故選C3.(2023學(xué)年江蘇省常州市溧陽(yáng)市高二下學(xué)期期中)平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為(

)A． B． C． D．答案:B解析：設(shè)，∵，又，∴，解得，即.故選B.4.(多選)(2023學(xué)年河北省張家口市宣化高二上學(xué)期期末)已知平面，其中點(diǎn)是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，是平面的一個(gè)法向量，若坐標(biāo)為，，則下列各點(diǎn)中在平面內(nèi)的是(

)A． B． C． D．答案:ABC解析：對(duì)于A選項(xiàng)，，，A滿足；對(duì)于B選項(xiàng)，，，B滿足；對(duì)于C選項(xiàng)，，，C滿足；對(duì)于D選項(xiàng)，，，D不滿足.故選ABC.5.(多選)(2023學(xué)年江蘇省宿遷市沭陽(yáng)縣高二下學(xué)期期中)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，分別在上，并滿足，設(shè)，設(shè)的重心為G，下列說(shuō)法正確的是(

)A．向量可以構(gòu)成一組基底B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，在平面上的投影向量的模長(zhǎng)為D．對(duì)任意實(shí)數(shù)，總有答案:AD解析：，顯然不共面，∴向量可以構(gòu)成一組基底，A正確；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，當(dāng)時(shí)，，則,∴，Ｂ不正確；,當(dāng)時(shí)，,在平面上的投影向量為，，Ｃ不正確；對(duì)任意實(shí)數(shù)，，則，，,，D正確．故選AD．6.(2023學(xué)年江蘇省淮安市漣水縣高二下學(xué)期第二次階段檢測(cè))已知空間三點(diǎn)A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，則在上的投影向量的模是______.答案:解析：由題，，故在上的投影向量的模7.(2023學(xué)年江蘇省宿遷市沭陽(yáng)縣高二下學(xué)期期中)設(shè)空間向量是一組單位正交基底，若空間向量滿足對(duì)任意的的最小值是2，則的最小值是_________．答案:解析：以方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)則，當(dāng)時(shí)的最小值是，，取則，，又因?yàn)槭侨我庵?，所以的最小值?取則，又因?yàn)槭侨我庵?，所以的最小值?8.(2023學(xué)年福建省龍巖市非一級(jí)達(dá)標(biāo)校高二下學(xué)期期中聯(lián)考)已知空間中三點(diǎn)，，．(1)若，，三點(diǎn)共線，求的值；(2)若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．解析：(1)由題設(shè)，，又，，三點(diǎn)共線，所以存在使，即，可得，所以.(2)由，由(1)知：當(dāng)時(shí)，有；而，又，的夾角是鈍角，所以，可得；又時(shí)、，故，滿足題設(shè)；綜上，.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.(2023學(xué)年江蘇省泰州中學(xué)高二下學(xué)期期中)若點(diǎn)，，在同一條直線上，則(

)A．21 B．4 C．4 D．10答案:C解析：，，∵點(diǎn)，，在同一條直線上，∴∥則解得，∴，故選C．2.(2023學(xué)年江蘇省徐州市睢寧縣高二下學(xué)期線上期中)已知直線的方向向量分別為，若，則等于(

)A．0 B．1 C．2 D．3答案:B解析：由于，所以.故選B3.(2023學(xué)年江西省南昌市第十中學(xué)高二下學(xué)期期中)設(shè)，向量，且，則(

)A．1 B．2 C．3 D．4答案:A解析：，∥，∴.故選A.4.(2023學(xué)年廣東省華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)高二上學(xué)期月考)已知，，且，則向量與的夾角為(

)A． B． C． D．答案:C解析：由，解得，所以，，所以，因?yàn)?，所?故選C5.(多選)(2023學(xué)年福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟(九校)高二下學(xué)期期中)對(duì)于非零空間向量，，，現(xiàn)給出下列命題，其中為真命題的是(

)A．若，則，的夾角是鈍角B．若，，則C．若，則D．若，，，則，，可以作為空間中的一組基底答案:BD解析：A：當(dāng)，時(shí)，顯然，因?yàn)?，所以，的夾角是平角，故本選項(xiàng)命題是假命題；B：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)命題是真命題；C：當(dāng)，，時(shí)，顯然，但是，因此本選項(xiàng)命題是假命題；D：假設(shè)，，是共面向量，所以有，顯然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作為空間中的一組基底，所以本選項(xiàng)命題是真命題，故選BD6．(多選)(2023學(xué)年福建省華安縣高二下學(xué)期月考)已知空間向量