查補(bǔ)易混易錯(cuò)點(diǎn)01整式及其計(jì)算(原卷版+解析)

查補(bǔ)易混易錯(cuò)01整式及其計(jì)算中考數(shù)學(xué)中，整式這個(gè)考點(diǎn)一般會(huì)考學(xué)生對(duì)整式化簡(jiǎn)計(jì)算的應(yīng)用，偶爾考察整式的基本概念，對(duì)整式的復(fù)習(xí)，重點(diǎn)是要理解并掌握整式的加減法則、乘除法則及冪的運(yùn)算，難度一般不大。在整式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題中，則多注意整式混合運(yùn)算的法則應(yīng)用。中考五星高頻考點(diǎn)，難度中等偏下，但在全國(guó)各地中考試卷中屬于必考考點(diǎn)易錯(cuò)01：冪的各公式記背 易錯(cuò)02：乘法公式的記背與區(qū)別完全平方公式：首先，需注意公式中ab乘積項(xiàng)的符號(hào)與兩數(shù)和或差的一致性；其次，公式也是等式，從右往左也可以應(yīng)用，故應(yīng)用時(shí)要注意兩平方項(xiàng)符號(hào)的一致性，如：特別注意：當(dāng)完全平方公式未知項(xiàng)為“中間項(xiàng)”時(shí)，答案一般會(huì)有兩種情況，即正負(fù)皆可。平方差公式：平方差公式從左往右應(yīng)用，只要一項(xiàng)系數(shù)相同，一項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)即可，不需要都和公式長(zhǎng)的一模一樣，而結(jié)果特征為符號(hào)相同項(xiàng)的平方-符號(hào)相反項(xiàng)的平方；如：【中考真題練】1．(2023?德州）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2+2a2＝3a4 B．（2a2）3＝8a6 C．a(chǎn)3?a2＝a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b22．(2023?成都）下列計(jì)算正確的是（）A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n C．（m+2n）2＝m2+4n2 D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣93．(2023?德州）已知M＝a2﹣a，N＝a﹣2（a為任意實(shí)數(shù)），則M﹣N的值（）A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．無(wú)法確定4．(2023?百色）如圖，是利用割補(bǔ)法求圖形面積的示意圖，下列公式中與之相對(duì)應(yīng)的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b25．(2023?大慶）已知代數(shù)式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一個(gè)完全平方式，則實(shí)數(shù)t的值為．6．(2023?河北）發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．驗(yàn)證如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10為偶數(shù)．請(qǐng)把10的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和；探究設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，請(qǐng)論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．【中考模擬練】1．（2023?金牛區(qū)模擬）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)6÷a3＝a2 B．（4ab3）2＝4a2b6 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a﹣1）2＝a2﹣12．（2023?福建模擬）化簡(jiǎn)結(jié)果為﹣8a6的單項(xiàng)式是（）A． B．（﹣2a3）3 C．（﹣2a2）3 D．﹣（3a3）23．（2023?松北區(qū)一模）下列運(yùn)算一定正確的是（）A．2a2?3a2＝6a6 B．2a2+3a2＝5a4 C．（a3）2＝a5 D．a(chǎn)4?a2＝a64．（2023?開(kāi)州區(qū)模擬）有依次排列的2個(gè)整式：x，x+2，對(duì)任意相鄰的兩個(gè)整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫(xiě)在這兩個(gè)整式之間，可以產(chǎn)生一個(gè)新整式串：x，2，x+2，這稱(chēng)為第一次操作；將第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此類(lèi)推．通過(guò)實(shí)際操作，四個(gè)同學(xué)分別得出一個(gè)結(jié)論：小琴：第二次操作后整式串為：x，2﹣x，2，x，x+2；小棋：第二次操作后，當(dāng)|x|＜2時(shí)，所有整式的積為正數(shù)；小書(shū)：第三次操作后整式串中共有8個(gè)整式；小畫(huà)：第2023次操作后，所有的整式的和為2x+4048；四個(gè)結(jié)論正確的有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．45．(2023?武江區(qū)校級(jí)一模）已知：，則x＝．6．（2023?金牛區(qū)模擬）已知x+y＝1，xy＝﹣3，則x2+y2＝．7．(2023?麗水二模）如圖1，將一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形紙片剪去兩個(gè)全等小長(zhǎng)方形，得到圖2，再將剪下的兩個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（圖3），若圖3的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為30，則b的值為．8．（2023?大慶一模）若關(guān)于x的多項(xiàng)式x2﹣ax+36＝（x+b）2，則a+b的值是．9．（2023?陜西模擬）我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”，如圖揭示了（α+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)；……；請(qǐng)根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出（α+b）4展開(kāi)式中第3項(xiàng)的系數(shù)是．10．（2023?衡水模擬）下面是嘉淇對(duì)于一道整式化簡(jiǎn)題目的不完整的解題過(guò)程，其中P是關(guān)于a的多項(xiàng)式．a(chǎn)（P）﹣8（a﹣1）＝a2+4a﹣8a+8＝……?（1）求多項(xiàng)式P；（2）請(qǐng)將題目的化簡(jiǎn)過(guò)程補(bǔ)充完整，并判斷該化簡(jiǎn)結(jié)果能為負(fù)數(shù)嗎？說(shuō)明理由．11．（2023?襄都區(qū)校級(jí)一模）將從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)按如圖的方式排列，其中第a行第b個(gè)數(shù)字可以表示為（a，b），例如第三行第四個(gè)數(shù)字為8，用（3，4）的形式表示數(shù)字8．（1）圖中（5，7）表示的數(shù)是，第9行共有個(gè)數(shù)，58可以表示為；（2）用含n的代數(shù)式表示第n行所有數(shù)字的和．查補(bǔ)易混易錯(cuò)01整式及其計(jì)算中考數(shù)學(xué)中，整式這個(gè)考點(diǎn)一般會(huì)考學(xué)生對(duì)整式化簡(jiǎn)計(jì)算的應(yīng)用，偶爾考察整式的基本概念，對(duì)整式的復(fù)習(xí)，重點(diǎn)是要理解并掌握整式的加減法則、乘除法則及冪的運(yùn)算，難度一般不大。在整式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題中，則多注意整式混合運(yùn)算的法則應(yīng)用。中考五星高頻考點(diǎn)，難度中等偏下，但在全國(guó)各地中考試卷中屬于必考考點(diǎn)易錯(cuò)01：冪的各公式記背 易錯(cuò)02：乘法公式的記背與區(qū)別完全平方公式：首先，需注意公式中ab乘積項(xiàng)的符號(hào)與兩數(shù)和或差的一致性；其次，公式也是等式，從右往左也可以應(yīng)用，故應(yīng)用時(shí)要注意兩平方項(xiàng)符號(hào)的一致性，如：特別注意：當(dāng)完全平方公式未知項(xiàng)為“中間項(xiàng)”時(shí)，答案一般會(huì)有兩種情況，即正負(fù)皆可。平方差公式：平方差公式從左往右應(yīng)用，只要一項(xiàng)系數(shù)相同，一項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)即可，不需要都和公式長(zhǎng)的一模一樣，而結(jié)果特征為符號(hào)相同項(xiàng)的平方-符號(hào)相反項(xiàng)的平方；如：【中考真題練】1．(2023?德州）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2+2a2＝3a4 B．（2a2）3＝8a6 C．a(chǎn)3?a2＝a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2分析：A．應(yīng)用合并同類(lèi)項(xiàng)法則進(jìn)行求解即可得出答案；B．應(yīng)用積的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；C．應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；D．應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：A．因?yàn)閍2+2a2＝3a2，故A選項(xiàng)不符合題意；B．因?yàn)椋?a2）3＝8a6，故B選項(xiàng)符合題意；C．因?yàn)閍2?a3＝a2+3＝a5，故C選項(xiàng)不符合題意；D．因?yàn)椋╝﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：B．2．(2023?成都）下列計(jì)算正確的是（）A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n C．（m+2n）2＝m2+4n2 D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9分析：選項(xiàng)A根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則判斷即可；選項(xiàng)B根據(jù)去括號(hào)法則判斷即可；選項(xiàng)C根據(jù)完全平方公式判斷即可；選項(xiàng)D根據(jù)平方差公式判斷即可．【解答】解：A．m+m＝2m，故本選項(xiàng)不合題意；B．2（m﹣n）＝2m﹣2n，故本選項(xiàng)不合題意；C．（m+2n）2＝m2+4mn+4n2，故本選項(xiàng)不合題意；D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．(2023?德州）已知M＝a2﹣a，N＝a﹣2（a為任意實(shí)數(shù)），則M﹣N的值（）A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．無(wú)法確定分析：利用配方法把M﹣N的代數(shù)式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性判斷即可．【解答】解：M﹣N＝a2﹣a﹣（a﹣2）＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1，∵（a﹣1）2≥0，∴（a﹣1）2+1≥1，∴M﹣N大于0，故選：C．4．(2023?百色）如圖，是利用割補(bǔ)法求圖形面積的示意圖，下列公式中與之相對(duì)應(yīng)的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2分析：左邊大正方形的邊長(zhǎng)為（a+b），面積為（a+b）2，由邊長(zhǎng)為a的正方形，2個(gè)長(zhǎng)為a寬為b的長(zhǎng)方形，邊長(zhǎng)為b的正方形組成，根據(jù)面積相等即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意，大正方形的邊長(zhǎng)為a+b，面積為（a+b）2，由邊長(zhǎng)為a的正方形，2個(gè)長(zhǎng)為a寬為b的長(zhǎng)方形，邊長(zhǎng)為b的正方形組成，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2．故選：A．5．(2023?大慶）已知代數(shù)式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一個(gè)完全平方式，則實(shí)數(shù)t的值為或﹣．．分析：根據(jù)完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，可得（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，計(jì)算即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意可得，（2t﹣1）ab＝±（2×2）ab，即2t﹣1＝±4，解得：t＝或t＝．故答案為：或﹣．6．(2023?河北）發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．驗(yàn)證如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10為偶數(shù)．請(qǐng)把10的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和；探究設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為m，n，請(qǐng)論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確．分析：寫(xiě)出兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和，根據(jù)完全平方公式，合并同類(lèi)項(xiàng)法則計(jì)算即可求解．【解答】解：驗(yàn)證：10的一半為5，5＝1+4＝12+22，探究：兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．理由如下：（m+n）2+（m﹣n）2＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2＝2m2+2n2＝2（m2+n2），故兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和．【中考模擬練】1．（2023?金牛區(qū)模擬）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)6÷a3＝a2 B．（4ab3）2＝4a2b6 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1分析：計(jì)算出各個(gè)選項(xiàng)中式子的正確結(jié)果，即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．【解答】解：a6÷a3＝a3，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；（4ab3）2＝16a2b6，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故選項(xiàng)C正確，符合題意；（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．2．（2023?福建模擬）化簡(jiǎn)結(jié)果為﹣8a6的單項(xiàng)式是（）A． B．（﹣2a3）3 C．（﹣2a2）3 D．﹣（3a3）2分析：利用積的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、（﹣2）2＝8a6，故A不符合題意；B、（﹣2a3）3＝﹣8a9，故B不符合題意；C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故C符合題意；D、﹣（3a3）2＝﹣9a6，故D不符合題意；故選：C．3．（2023?松北區(qū)一模）下列運(yùn)算一定正確的是（）A．2a2?3a2＝6a6 B．2a2+3a2＝5a4 C．（a3）2＝a5 D．a(chǎn)4?a2＝a6分析：根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、合并同類(lèi)項(xiàng)法則及冪的運(yùn)算法則分別計(jì)算可得答案．【解答】解：A、2a2?3a2＝6a4，此選項(xiàng)不合題意；B、2a2+3a2＝5a2，此選項(xiàng)不符合題意；C、（a3）2＝a6，此選項(xiàng)不合題意；D、a4?a2＝a6，此選項(xiàng)符合題意．故選：D．4．（2023?開(kāi)州區(qū)模擬）有依次排列的2個(gè)整式：x，x+2，對(duì)任意相鄰的兩個(gè)整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫(xiě)在這兩個(gè)整式之間，可以產(chǎn)生一個(gè)新整式串：x，2，x+2，這稱(chēng)為第一次操作；將第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此類(lèi)推．通過(guò)實(shí)際操作，四個(gè)同學(xué)分別得出一個(gè)結(jié)論：小琴：第二次操作后整式串為：x，2﹣x，2，x，x+2；小棋：第二次操作后，當(dāng)|x|＜2時(shí)，所有整式的積為正數(shù)；小書(shū)：第三次操作后整式串中共有8個(gè)整式；小畫(huà)：第2023次操作后，所有的整式的和為2x+4048；四個(gè)結(jié)論正確的有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4分析：根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則和整式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵第一次操作后的整式串：x，2，x+2，∴第二次操作后的整式串：x，2﹣x，2，x，x+2，故小琴的結(jié)論正確；第二次操作后整式的積為：2x（2﹣x）?x?（x+2）＝2x2（4﹣x2），∵|x|＜2，∴x2＜4，∴4﹣x2＞0，∴2x2（4﹣x2）≥0，即第二次操作后整式的積為非負(fù)數(shù)，故小棋的結(jié)論錯(cuò)誤；第三次操作后整式串為：x，2﹣2x，2﹣x，x，2，x﹣2，x，2，x+2，共9個(gè)式子，故小書(shū)結(jié)論錯(cuò)誤；∵第一次操作后的整式的和為：x+2+x+2＝2x+4，第二次操作后的整式的和為：x+2﹣x+2+x+x+2＝2x+6，第三次操作后的整式的和為：x+2﹣2x+2﹣x+x+2+x﹣2+x+2+x+2＝2x+8，第n次操作后的整式的和為：2x+2（n+1），∴第2023次操作后，所有的整式的和為：2x+4048．故小畫(huà)的結(jié)論正確；∴正確的有：2個(gè)．故答案為：B．5．(2023?武江區(qū)校級(jí)一模）已知：，則x＝．分析：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則以及冪的乘方解決此題．【解答】解：∵，∴＝．∴．∴5x﹣6＝2．∴x＝．故答案為：．6．（2023?金牛區(qū)模擬）已知x+y＝1，xy＝﹣3，則x2+y2＝7．分析：把x+y＝5兩邊平方，利用完全平方公式展開(kāi)后將xy的值代入即可求出所求式子的值．【解答】解：x+y＝1兩邊平方得：x2+2xy+y2＝1，將xy＝﹣3代入得：x2+y2＝1+6＝7．故答案為：7．7．(2023?麗水二模）如圖1，將一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形紙片剪去兩個(gè)全等小長(zhǎng)方形，得到圖2，再將剪下的兩個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（圖3），若圖3的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為30，則b的值為．分析：根據(jù)圖形給出的已知條件列出算式，進(jìn)行整式加減即可得結(jié)論．【解答】解：觀察圖形可得：圖3的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)30＝2（10﹣b）+2（10﹣3b），解得b＝．故答案為：．8．（2023?大慶一模）若關(guān)于x的多項(xiàng)式x2﹣ax+36＝（x+b）2，則a+b的值是6或﹣6．分析：根據(jù)完全平方公式的特征求解即可．【解答】解：由題意得：x2﹣ax+36＝x2+2bx+b2，∴，∴a＝12，b＝﹣6或a＝﹣12，b＝6．∴a+b＝6或﹣6．故答案為：6或﹣69．（2023?陜西模擬）我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”，如圖揭示了（α+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）2＝a2+2ab+b2展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)；……；請(qǐng)根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出（α+b）4展開(kāi)式中第3項(xiàng)的系數(shù)是6．分析：本題通過(guò)閱讀理解尋找規(guī)律，觀察可得（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項(xiàng)系數(shù)都是1，中間各項(xiàng)系數(shù)等于（a+b）n﹣1相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)和．因此可得（a+b）4的各項(xiàng)系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可．【解答】解：根據(jù)題意知，（a+b）4的展開(kāi)后，共有5項(xiàng)，各項(xiàng)系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，所以第3項(xiàng)的系數(shù)是6．故答案為：6．10．（2023?衡水模擬）下面是嘉淇對(duì)于一道整式化簡(jiǎn)題目的不完整的解題過(guò)程，其中P是關(guān)于a的多項(xiàng)式．a(chǎn)（P）﹣8（a﹣1）＝a2+4a﹣8a+8＝……?（1）求多項(xiàng)式P；（2）請(qǐng)將題目的化簡(jiǎn)過(guò)