專題17等腰三角形(原卷版+解析)

專題17等腰三角形此板塊知識內(nèi)容是初中幾何中的重要知識點之一，很多幾何模型都與其有關(guān)，像經(jīng)典的“手拉手”模型，半角、二倍角三角函數(shù)等都與等腰三角形緊密聯(lián)系。在廣東的中考中，等腰三角形相關(guān)知識單獨出題的可能性較少，多以綜合形式出現(xiàn)，由于等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形結(jié)合其他考點出成題的幾率特別大，分值占比也是比較多的，作為常出現(xiàn)在中等偏上難度試題中的知識內(nèi)容，在復(fù)習(xí)時要多注意其中的基本圖形理解和輔助線添法。一．等腰三角形的性質(zhì)和判定定義有兩邊長相等的三角形是等腰三角形，相等的兩邊長叫做腰，第三邊叫做底性質(zhì)軸對稱性：一般等腰三角形是軸對稱圖形，有1條對稱軸等邊對等角三線合一（頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合）。判定①定義法；②等角對等邊1．一個等腰三角形的兩邊長分別為3和7，這個三角形的周長是（

）A．10 B．13 C．13或17 D．172．如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．53．如圖，，，、分別平分、，，則的周長是______．4．等腰三角形的底邊長為，一腰上的中線把其分為周長差為的兩部分．求腰長．5．如圖，在中，，是上的一點，過點作于點，延長和，交于點．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，，求的長．1.“三線合一”即是一線三用2.角平分線常見的處理策略：角平分線＋∥→等腰△6．如圖，在中，平分，，，，則的周長為（）A．2 B．24 C．27 D．37．如圖，在中，，的平分線交于點，為的中點，若，則的長是（

）A．8 B．6 C．5 D．48．如圖，在中，，于點，為的中點，，那么的長是________．9．如圖，在中，，，是邊上的一點，以為直角邊作等腰，其中，連接．(1)求證：；(2)若時，求的長．二．等邊三角形的性質(zhì)和判定定義三邊長都相等的三角形是等邊三角形性質(zhì)軸對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸等邊三角形三個角都相等，分別都等于60°三線合一（等邊三角形三邊上均存在三線合一）。判定定義法有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形1．如圖，等邊三角形中，是上的高，點E，F(xiàn)分別在上，且，則圖中與相等的線段（不包含）一共有（

）A．4條 B．6條 C．7條 D．8條2．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，點是邊的中點，點是上的一個動點，當(dāng)最小時，的度數(shù)是（）A． B． C． D．3．如圖，在中，，點D為邊上一點，連接．現(xiàn)將沿翻折使得點A落在邊的中點E處．若，則__________．4．如圖所示，是邊長為6的等邊三角形，點D是的中點，，延長到E，使．(1)求證：；(2)求的長度．1.特別注意：當(dāng)一個三角形的角平分線與高線，或者中線出現(xiàn)重合時，雖然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等來證明該三角形是等腰三角形。2.等邊三角形面積的另一求解方法：5．如圖，直線，等邊的頂點在直線上，，則（

）A． B． C． D．6．如圖，在三角形中，，，，與相交于點F，若，則E到的距離為___________．7．如圖，和都是等邊三角形，A、B、D三點共線．下列結(jié)論：①；②；③平分；④，⑤是等邊三角形．其中正確的有_____（只填序號）．8．已知：如圖，點P是等邊內(nèi)的一點，連接、、，以為邊作等邊，連接．(1)求證:；(2)若，，，求的面積．三．線段垂直平分線的性質(zhì)與判定性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端的距離相等。判定定理：到線段兩端的距離相等點在這條線段的垂直平分線上。1．如圖，在中，線段的垂直平分線交于點，若，，則的周長為（）A． B． C． D．2．如圖，在中，的垂直平分線交于點，垂足為點，平分，若，則為_____度．3．如圖，在中，是的角平分線，請用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點E，使得（保留作圖痕跡，不寫作法）4．如圖，已知．(1)用尺規(guī)作圖方法作的垂直平分線，交于點，交于點，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若，周長為13，求的周長．1.角平分線與線段垂直平分線常見輔助線的區(qū)別：角平分線：過點作到邊的垂線段；線段垂直平分線：連接兩個端點5．如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交于點D、E．若，，則的長為（

）A．2 B．4 C．6 D．86．如圖，中，，的垂直平分線分別交，于點D，E，連接，則的大小為_____．7．如圖，已知中，，，．(1)作的垂直平分線，分別交、于點、；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，連接，求的周長．8．如圖，在中，已知，若，的周長是20．(1)求作：的垂直平分線交于點N，交于點M，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)①求的長度；②若點P為直線上一點，請直接寫出周長的最小值是______．1．(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD=（

）A．2 B．3 C．4 D．52．(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，以兩點為圓心，大于的長為半徑畫圓，兩弧相交于點，連接與相較于點，則的周長為（

）A．8 B．10 C．11 D．133．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點D是邊AB上一點，點B關(guān)于直線CD的對稱點為，當(dāng)時，則的度數(shù)為________．4．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，連結(jié)BD．若，則AD的長為________．5．(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點F，作，則周長為________．6．(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，D，E分別為，上的點，將沿折疊，得到，連接，，，若，，，則的長為__________．7．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，∠B=∠C，BD=CE，求證：△ABD≌△ACE8．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點，分別是、邊上的點，，，與相交于點，求證：是等腰三角形．9．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，作的垂直平分線交于點D，延長至點E，使．（1）若，求的周長；（2）若，求的值．1．如圖，在等邊中，，垂足為且，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．2．在中，用尺規(guī)作圖，分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N．作直線交于點D，交于點E，連接．則下列結(jié)論不一定正確的是（）A． B． C． D．3．如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分別以點B和點C為圓心、大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點，作直線EF交AB于點D，連接CD，則ACD的周長是_____．4．等腰一腰上的高為，這條高與底邊的夾角為，則的面積是_____．5．如圖，在中，，．（1）通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線是線段的__________，射線是的__________；（2）在（1）所作的圖中，求的度數(shù)．6．如圖，已知點D、E在的邊上，且，．求證：．7．如圖，在中，，，，將繞點按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，當(dāng)點的對應(yīng)點恰好落在邊上時，求的長．8．如圖，在中，點D是上一點，且，，連接交于點F．(1)若，求的度數(shù)；(2)若平分，求證：．9．在中，，兩條高，交于點H，F(xiàn)是的中點，連接并延長交邊于點G．(1)如圖1，若是等邊三角形．①求證：；②求的長．(2)如圖2，若，，求的面積．專題17等腰三角形此板塊知識內(nèi)容是初中幾何中的重要知識點之一，很多幾何模型都與其有關(guān)，像經(jīng)典的“手拉手”模型，半角、二倍角三角函數(shù)等都與等腰三角形緊密聯(lián)系。在廣東的中考中，等腰三角形相關(guān)知識單獨出題的可能性較少，多以綜合形式出現(xiàn)，由于等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形結(jié)合其他考點出成題的幾率特別大，分值占比也是比較多的，作為常出現(xiàn)在中等偏上難度試題中的知識內(nèi)容，在復(fù)習(xí)時要多注意其中的基本圖形理解和輔助線添法。一．等腰三角形的性質(zhì)和判定定義有兩邊長相等的三角形是等腰三角形，相等的兩邊長叫做腰，第三邊叫做底性質(zhì)軸對稱性：一般等腰三角形是軸對稱圖形，有1條對稱軸等邊對等角三線合一（頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合）。判定①定義法；②等角對等邊1．一個等腰三角形的兩邊長分別為3和7，這個三角形的周長是（

）A．10 B．13 C．13或17 D．17答案:D分析：求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和7，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：（1）若3為腰長，7為底邊長，由于，則三角形不存在；（2）若7為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊，所以這個三角形的周長為．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．2．如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案:B分析：根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有0個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有3個．故共有3個點，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．3．如圖，，，、分別平分、，，則的周長是______．答案:15分析：先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性質(zhì)得，，則的周長．【詳解】解：平分，平分，，，，，，，，，等角對等邊，的周長．故答案為：．【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．4．等腰三角形的底邊長為，一腰上的中線把其分為周長差為的兩部分．求腰長．答案:腰長為分析：由于題目中沒有指明是“”為，還是“”為，因此必須分兩種情況討論．【詳解】解：∵為邊上的中線，∴，（1）當(dāng)時，有，∵，∴；（2）當(dāng)時，有，∵，∴，但是當(dāng)時，三邊長分別為．而，不能構(gòu)成三角形，舍去．故腰長為．【點睛】本題考查等腰三角形的定義以及三角形三邊關(guān)系，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，是上的一點，過點作于點，延長和，交于點．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，，求的長．答案:(1)見解析(2)4分析：（1）根據(jù)得到，結(jié)合垂直以及等角的余角相等即可證明；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論以及題目條件得到是等邊三角形然后根據(jù)已知條件計算即可．【詳解】（1）解：，，，，，而，，是等腰三角形；（2）解：，，，，，，，，是等邊三角形，，．【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定以及余角的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰及等邊三角形的性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．1.“三線合一”即是一線三用2.角平分線常見的處理策略：角平分線＋∥→等腰△6．如圖，在中，平分，，，，則的周長為（）A．2 B．24 C．27 D．3答案:C分析：根據(jù)題意在上截取，連接，由可證≌，可得，，可證，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，∵平分，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長＝，故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，的平分線交于點，為的中點，若，則的長是（

）A．8 B．6 C．5 D．4答案:C分析：利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進(jìn)行求解即可．【詳解】∵，平分，∴，∴，∵為的中點，∴，故選C．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握等腰三角形三線合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，，于點，為的中點，，那么的長是________．答案:3分析：利用等角對等邊證明，再證明為直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出DE．【詳解】解：∵，∴∵，∴為直角三角形，∵為的中點，∴．故答案為：3【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．9．如圖，在中，，，是邊上的一點，以為直角邊作等腰，其中，連接．(1)求證：；(2)若時，求的長．答案:(1)見解析(2)分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，即可根據(jù)證明；（2）勾股定理求得根據(jù)已知條件證明是等腰三角形可得，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：是等腰直角三角形，，，，在與中；，（2）在中，，，,,,,,∴∠ADC=∠ACD，,．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．二．等邊三角形的性質(zhì)和判定定義三邊長都相等的三角形是等邊三角形性質(zhì)軸對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸等邊三角形三個角都相等，分別都等于60°三線合一（等邊三角形三邊上均存在三線合一）。判定定義法有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形1．如圖，等邊三角形中，是上的高，點E，F(xiàn)分別在上，且，則圖中與相等的線段（不包含）一共有（

）A．4條 B．6條 C．7條 D．8條答案:C分析：根據(jù)等邊三角形中，是上的高，得出，根據(jù)，證明和是等腰三角形，與都是等邊三角形即可．【詳解】解：∵等邊三角形中，是上的高，∴，∵，∴，∴和是等腰三角形，與都是等邊三角形，∴，∴與相等的線段有有7條．故選：C．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，點是邊的中點，點是上的一個動點，當(dāng)最小時，的度數(shù)是（）A． B． C． D．答案:C分析：連接，則的長度即為與和的最小值，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得即可解決問題；【詳解】如圖，連接，與交于點，此時最小，∵是等邊三角形，是邊上的高，∴，∴，∴，即的長度即為與和的最小值，∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C【點睛】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，點D為邊上一點，連接．現(xiàn)將沿翻折使得點A落在邊的中點E處．若，則__________．答案:分析：由折疊的性質(zhì)可得，，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，即可證明是等邊三角形，得到，則，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出，則由勾股定理可得．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，，∵，E為邊的中點，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．4．如圖所示，是邊長為6的等邊三角形，點D是的中點，，延長到E，使．(1)求證：；(2)求的長度．答案:(1)見解析(2)分析：（1）證明，可得結(jié)論；（2）連接，過得到A作于點H，則，，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，點D是的中點，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：連接，過得到A作于點H，則，，∵，∴，∴．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．1.特別注意：當(dāng)一個三角形的角平分線與高線，或者中線出現(xiàn)重合時，雖然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等來證明該三角形是等腰三角形。2.等邊三角形面積的另一求解方法：5．如圖，直線，等邊的頂點在直線上，，則（

）A． B． C． D．答案:B分析：過點B作，交于點F，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.【詳解】過點B作，交于點F，∵，∴，∴，，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵．6．如圖，在三角形中，，，，與相交于點F，若，則E到的距離為___________．答案:分析：證明出是等邊三角形，再結(jié)合條件證明，得出，接著證明出，得到，利用對頂角得到，過點作的垂線，交于于點，在中求解即可．【詳解】解：，，是等邊三角形，，，，，，，，，過點作的垂線，交于于點，，，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解．7．如圖，和都是等邊三角形，A、B、D三點共線．下列結(jié)論：①；②；③平分；④，⑤是等邊三角形．其中正確的有_____（只填序號）．答案:①②③④⑤分析：①證明，即可得出結(jié)論；②證明，即可得出結(jié)論；③作于M，于N，證明，得到，即可得出結(jié)論；④證明，得到，即可得出結(jié)論；⑤根據(jù)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵與為等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，故①正確；又∵，∴在和中，，∴，∴，故②正確；作于M，于N，如圖所示：則，在和中，，∴，∴，∴平分；故③正確；∵，∴是等邊三角形，故⑤正確；在和中，，∴，∴，∴，∴，故④正確；∴①②③④⑤都正確．故答案為：①②③④⑤．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．8．已知：如圖，點P是等邊內(nèi)的一點，連接、、，以為邊作等邊，連接．(1)求證:；(2)若，，，求的面積．答案:(1)見詳解(2)分析：（1）先由等邊三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得，再證明≌便可；（2）作交的延長線于利用全等三角形的性質(zhì)證明，解直角三角形求出即可解決問題．【詳解】（1）證明：和是等邊三角形，，，，，在和中，，≌，．（2）解：作交的延長線于，是等邊三角形，，≌，，，，，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握這些性質(zhì)及判定方法，并會根據(jù)條件作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三．線段垂直平分線的性質(zhì)與判定性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端的距離相等。判定定理：到線段兩端的距離相等點在這條線段的垂直平分線上。1．如圖，在中，線段的垂直平分線交于點，若，，則的周長為（）A． B． C． D．答案:C分析：先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】線段的垂直平分線交于點，，，，的周長．故選：【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，的垂直平分線交于點，垂足為點，平分，若，則為_____度．答案:分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，則，由平分可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，求解即可．【詳解】解：∵垂直平分，∴，∴又∵平分，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行求解．3．如圖，在中，是的角平分線，請用尺規(guī)作圖法在邊上求作一點E，使得（保留作圖痕跡，不寫作法）答案:見解析分析：用尺規(guī)作圖，作出線段的垂直平分線，交線段于點，即為所求．【詳解】解：如圖，點即為所求．【點睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．4．如圖，已知．(1)用尺規(guī)作圖方法作的垂直平分線，交于點，交于點，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若，周長為13，求的周長．答案:(1)見解析；(2)分析：（1）如圖，分別以A、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于兩點，過這兩點作直線分別交、于點D、E，則直線就是的垂直平分線；（2）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)可得，，求出，，進(jìn)而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，直線即為的垂直平分線，連接．即為所求作；（2）解：∵直線是的垂直平分線，∴，，∴，∵的周長為，即：，∴，∴，即的周長為．【點睛】本題考查尺規(guī)作線段垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解并掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)．1.角平分線與線段垂直平分線常見輔助線的區(qū)別：角平分線：過點作到邊的垂線段；線段垂直平分線：連接兩個端點5．如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交于點D、E．若，，則的長為（

）A．2 B．4 C．6 D．8答案:C分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，從而得到，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由，列出方程，求出x，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴，，∴，設(shè)，∵，∴，∵，∴，解得：，即，∵，，∴．故選：C【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，中，，的垂直平分線分別交，于點D，E，連接，則的大小為_____．答案:##80度分析：由線段的垂直平分線交于D，交于E，可得，繼而求得的度數(shù)，再由三角形的外角性質(zhì)則可求得答案．【詳解】解：∵線段的垂直平分線交于D，交于E，∴，∴，∵∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．如圖，已知中，，，．(1)作的垂直平分線，分別交、于點、；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，連接，求的周長．答案:(1)見解析(2)13分析：（1）利用基本作圖，作BC的垂直平分線分別交、于點、即可；（2）由作圖可得CD=BD，繼而可得AD=CD，再結(jié)合三角形周長的求解方法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）如圖所示，點D、H即為所求（2）∵DH垂直平分BC，∴DC=DB，∴∠B=∠DCB，∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=∠ACB=90°，∴∠A=∠DCA，∴DC=DA，∴△BCD的周長=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13．【點睛】本題考查了作垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．8．如圖，在中，已知，若，的周長是20．(1)求作：的垂直平分線交于點N，交于點M，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)①求的長度；②若點P為直線上一點，請直接寫出周長的最小值是______．答案:(1)見解析(2)①8；②20分析：（1）根據(jù)垂直平分線的作法作圖即可；（2）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，的周長是20．，即可求的長度；②依據(jù)，，即可得到當(dāng)與重合時，，此時最小，進(jìn)而得出的周長最小值．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）①，的周長是，即，垂直平分，，，，．的長度為8．②當(dāng)與重合時，的周長最?。碛桑?，，當(dāng)與重合時，，此時最小值等于的長，的周長最小值．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．1．(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD=（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案:B分析：根據(jù)尺規(guī)作圖的方法步驟判斷即可．【詳解】由作圖痕跡可知AD為∠BAC的角平分線，而AB=AC，由等腰三角形的三線合一知D為BC重點，BD=3，故選B【點睛】本題考查尺規(guī)作圖-角平分線及三線合一的性質(zhì),關(guān)鍵在于牢記尺規(guī)作圖的方法和三線合一的性質(zhì).2．(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，以兩點為圓心，大于的長為半徑畫圓，兩弧相交于點，連接與相較于點，則的周長為（

）A．8 B．10 C．11 D．13答案:A分析：利用基本作圖得到MN垂直平分AB，利用線段垂直平分線的定義得到DA=DB，然后利用等線段代換得到△BDC的周長=AC+BC．【詳解】由作法得MN垂直平分AB，∴DA=DB，∴△BDC的周長=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．故選A．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．3．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點D是邊AB上一點，點B關(guān)于直線CD的對稱點為，當(dāng)時，則的度數(shù)為________．答案:分析：如圖，連接，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)可得，，并由平行線的性質(zhì)可推出，最后由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接∵點B關(guān)于直線CD的對稱點為，∴，．∵，∴．∴，．∵，∴．∵，∴．∴．∵．∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱、等腰三角形及平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握軸對稱、等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，連結(jié)BD．若，則AD的長為________．答案:2分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．【詳解】解：∵，∴∠A+∠ABC=，∵線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點D、E，∴AD=BD，∴∠ABD=，∴，∵，∴AD=BD=2CD=2，故答案為：2．【點睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點F，作，則周長為________．答案:分析：知道和是角平分線，就可以求出，的垂直平分線交于點F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半，再求出DE，得到．【詳解】解：的垂直平分線交于點F，（垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等）∴∵，是角平分線∴∵∴，∴【點睛】此題考查角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)的綜合題，掌握運用三者的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．(2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，D，E分別為，上的點，將沿折疊，得到，連接，，，若，，，則的長為__________．答案:分析：延長，交于點G，由折疊，可知，可得，延長，，交于點M，結(jié)合，可得，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，延長，交于點G，設(shè)由折疊，可知，∵，∴，∴，延長，，交于點M，∵，∴，，∴，∵，，∴，，∴．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，添加合適的輔助線，構(gòu)造等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．7．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，∠B=∠C，BD=CE，求證：△ABD≌△ACE答案:證明見解析分析：由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵∠B=∠C，∴AC=AB，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）【點睛】本題考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點，分別是、邊上的點，，，與相交于點，求證：是等腰三角形．答案:見解析分析：先證明，得到，，進(jìn)而得到，故可求解．【詳解】證明：在和中∴∴∴又∵∴即∴是等腰三角形．【點睛】此題主要考查等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與性質(zhì)．9．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，作的垂直平分線交于點D，延長至點E，使．（1）若，求的周長；（2）若，求的值．答案:（1）1；（2）分析：(1)作出BC的垂直平分線，連接BD，由垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周長；(2)設(shè)，，進(jìn)而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．【詳解】解：(1)如圖，連接，設(shè)垂直平分線交于點F，∵為垂直平分線，∴，∵，∴．(2)設(shè)，∴，又∵，∴，在中，．∴．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義及勾股定理等知識，熟練掌握垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等是解決本題的關(guān)鍵．1．如圖，在等邊中，，垂足為且，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．答案:C分析：先根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到∠ADC=90°，∠CAD=30°，再設(shè)CD=x，在Rt△ACD中利用勾股定理計算即可．【詳解】∵等邊△ABC中，AD⊥BC，∴∠ADC=90°∠CAD=∠BAD=60°÷2=30°，AB=AC，設(shè)CD=x，則AC=2x，在Rt△ACD中，解得：x=±1(舍負(fù))，∴AB=AC=2．故選C．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)．2．在中，用尺規(guī)作圖，分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N．作直線交于點D，交于點E，連接．則下列結(jié)論不一定正確的是（）A． B． C． D．答案:A分析：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．【詳解】由作圖可知，垂直平分線段，∴，，，故選項B，C，D正確，故選：A．【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分別以點B和點C為圓心、大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點，作直線EF交AB于點D，連接CD，則ACD的周長是_____．答案:18分析：由題可知，EF為線段BC的垂直平分線，則CD＝BD，由勾股定理可得AC5，則△ACD的周長為AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB，即可得出答案．【詳解】解：由題可知，EF為線段BC的垂直平分線，∴CD＝BD，∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC5，∴△ACD的周長為AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18．故答案為：18．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理是詳解本題的關(guān)鍵．4．等腰一腰上的高為，這條高與底邊的夾角為，則的面積是_____．答案:分析：如圖，，，得到，得到，過點作，利用三線合一，求出的長，利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，，，則：．∵，∴，過點作，則：，∴∴；故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角