新教材高中數(shù)學(xué)9-1-2余弦定理課件新人教B版必修第四冊(cè)

9.1.2余弦定理基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探1.回顧勾股定理及其逆定理:(1)在Rt△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,如果C=90°,那么a,b,c的關(guān)系是________.

(2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,如果c2=a2+b2,那么角C的度數(shù)為________.

提示:(1)c2=a2+b2

(2)90°2.已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,如果a=3,b=4,C=60°,如何計(jì)算c的值?提示:方法一:如圖,作AH⊥CB,垂足為H,在Rt△AHC中,AC=4,C=60°,∠CAH=30°,得CH=2,HB=1,AH=2,由勾股定理,得c=AB=.方法二:在△ABC中,所以

,得=cos60°=9+16-2×3×4×=13,所以c=.方法三:在△ABC中,a=3,b=4,C=60°,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=9+16-2×3×4×=13,所以c=.【概念生成】1.余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的_________減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的____.即a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC.平方的和2倍2.變形公式由余弦定理,可以得到如下推論(變形公式):cosA=

;cosB=

;cosC=

.核心互動(dòng)探究探究點(diǎn)一利用余弦定理計(jì)算邊長(zhǎng)【典例1】1.在△ABC中,若a=2,b=

,C=

,則c=(

)

A.1 B.2 C.3 D.

2.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足A+C=2B,且AB=1,BC=4,則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為________,∠ADB=________.

【思維導(dǎo)引】1.利用余弦定理計(jì)算.2.利用三角形內(nèi)角和定理以及余弦定理計(jì)算.核心互動(dòng)探究探究點(diǎn)一利用余弦定理計(jì)算邊長(zhǎng)【典例1】1.在△ABC中,若a=2,b=

,C=

,則c=(

)

A.1 B.2 C.3 D.

2.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足A+C=2B,且AB=1,BC=4,則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為________,∠ADB=________.

【思維導(dǎo)引】1.利用余弦定理計(jì)算.2.利用三角形內(nèi)角和定理以及余弦定理計(jì)算.【解析】1.選D.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=4+3-2×2×cos=13,所以c=.2.由△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足A+C=2B,且A+B+C=π,可得B=.AB=1,BC=4,則BD=2,由余弦定理,得AD=在△ABD中,因?yàn)锳B2+AD2=BD2,所以∠BAD=,∠ADB=.答案:

【類題通法】利用余弦定理計(jì)算的注意事項(xiàng)1.如果已知三角形的兩邊和夾角(即SAS)解三角形,那么通常運(yùn)用余弦定理計(jì)算.2.注意三角形內(nèi)角和定理(即A+B+C=π)在解三角形中的應(yīng)用.【定向訓(xùn)練】1.(2018·全國(guó)Ⅱ卷)在△ABC中,cos

,BC=1,AC=5,則AB= (

)

A.4

B.

C.

D.2

【解析】選A.cosC=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,得AB2=25+1-2×5×1×=32,所以AB=4.2.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2

x+2=0的兩根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度數(shù).(2)求AB的長(zhǎng).【解題指南】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式可求角C的度數(shù).(2)用余弦定理可求得AB的長(zhǎng).【解析】(1)由2cos(A+B)=1,得cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-.且0°<C<180°,所以C=120°.(2)因?yàn)閍,b是方程x2-2x+2=0的兩根,所以a+b=2,ab=2,所以AB2=a2+b2-2abcos120°=(a+b)2-ab=10,得AB=.【解析】(1)由2cos(A+B)=1,得cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-.且0°<C<180°,所以C=120°.(2)因?yàn)閍,b是方程x2-2x+2=0的兩根,所以a+b=2,ab=2,所以AB2=a2+b2-2abcos120°=(a+b)2-ab=10,得AB=.探究點(diǎn)二利用余弦定理計(jì)算角【典例2】1.如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍,那么它的頂角的余弦值為 (

)

2.(2019·全國(guó)Ⅰ卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A.(2)若

a+b=2c,求sinC.【思維導(dǎo)引】1.設(shè)等腰三角形的底邊和腰,利用余弦定理計(jì)算.2.(1)利用正弦定理得到b2+c2-a2=bc,利用余弦定理求cosA再計(jì)算A.(2)利用正弦定理將三邊的等式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式,利用整體角代換法及和差角的正弦公式計(jì)算sinC=【解析】1.選D.設(shè)等腰三角形ABC的底邊長(zhǎng)為a,腰為b,則周長(zhǎng)為a+2b,依題意得a+2b=5a,所以b=2a,那么等腰三角形的頂角A的余弦值為cosA=2.(1)由(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=因?yàn)?°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由a+b=2c及正弦定理得sinA+sin(120°－C)=2sinC,即cosC+sinC=2sinC,可得

sinC-cosC=,即

所以cos(C+60°)=-.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=,故sinC=sin(C+60°－60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=【類題通法】由余弦定理求角的方法技巧1.如果已知三角形的三邊(即SSS)解三角形,那么通常運(yùn)用余弦定理的變形公式計(jì)算.2.由余弦定理的變形公式cosC=

,容易得到下列常用的結(jié)論:C=90°?c2=a2+b2,C<90°?c2<a2+b2,C>90°?c2>a2+b2.提醒:若C是三角形的最大的角,則C≥60°,若C是三角形的最小的角,則C≤60°.【定向訓(xùn)練】1.已知三角形的三邊滿足條件

=1,則A=(

)A.30° B.45° C.60° D.120°【解析】選C.由題得a2-b2-c2+2bc=bc,所以b2+c2-a2=bc,所以2bccosA=bc,所以cosA=,因?yàn)?<A<π,所以A=.2.(2020·全國(guó)Ⅱ卷)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.【解析】(1)因?yàn)閟in2A-sin2B-sin2C=sinBsinC,所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=AC·AB,所以cosA=因?yàn)锳∈(0,π),所以A=(2)由(1)知A=,又BC=3,所以由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=AC2+AB2+AC·AB=9,即(AC+AB)2-AC·AB=9.因?yàn)锳C·AB≤(當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時(shí)取等號(hào)),所以9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-解得:AC+AB≤2(當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時(shí)取等號(hào)),所以△ABC的周長(zhǎng)=AC+AB+BC≤3+2,所以△ABC周長(zhǎng)的最大值為3+2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的長(zhǎng).(2)求sin2C的值.【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理可知,BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cosA,即BC2=32+22-2×3×2×cos60°,解得BC=.(2)由正弦定理可知,即,解得sinC=,由余弦定理可得,cosC=所以sin2C=2sinCcosC=2×探究點(diǎn)三由余弦定理判斷三角形的形狀【典例3】在△ABC中,如果三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a3+b3=c3,那么△ABC的形狀為 (

)

A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.以上均有可能【思維導(dǎo)引】利用a3+b3=c3得到=1,且c為最大的邊,通過不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為>1,再利用余弦定理的變形公式確定角C的取值范圍判斷.【解析】選A.依題意知c邊最大.因?yàn)閍3+b3=c3,所以=1,所以0<<1,0<<1,所以所以>1,即a2+b2-c2>0,cosC=>0,所以0<C<,所以△ABC為銳角三角形.【類題通法】判斷三角形形狀的方法技巧判定三角形形狀時(shí),一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形:(1)一個(gè)方向是轉(zhuǎn)化為角,走三角變形之路.通常是運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊化角.(2)另一個(gè)方向是轉(zhuǎn)化為邊,走代數(shù)變形之路,通常是正弦定理、余弦定理結(jié)合使用.【定向訓(xùn)練】1.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,a=2bcosC,則△ABC的形狀為 (

)A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰或直角三角形【解題指南】利用余弦定理的變形公式轉(zhuǎn)化為三邊關(guān)系判斷.也可以用正弦定理,轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系判斷.【解析】選A.方法一:在△ABC中,a=2bcosC,由正弦定理得2RsinA=4RsinBcosC,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,得sinBcosC-cosBsinC=0,所以sin(B-C)=0,得B-C=0,B=C,所以b=c,即△ABC為等腰三角形.方法二:在△ABC中,由余弦定理得cosC=所以a=2bcosC=2b·,得a2=a2+b2-c2,所以b=c,△ABC的形狀為等腰三角形.2.(1)已知在△ABC中,,試判斷三角形的形狀.(2)已知在△ABC中,,試判斷三角形的形狀.【解析】(1)方法一:利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.因?yàn)?所以bcosA=acosB,又b=2RsinB,a=2RsinA,所以2RsinBcosA=2RsinAcosB,所以sinAcosB-cosAsinB=0,所以sin(A-B)=0.因?yàn)?<A<π,0<B<π,所以-π<A-B<π,所以A-B=0,即A=B,故三角形是等腰三角形.方法二:利用余弦定理將角化為邊.因?yàn)橛深}意得bcosA=acosB,所以b·

所以b2+c2-a2=a2+c2-b2,所以a2=b2,所以a=b.故此三角形是等腰三角形.(2)方法一:由已知及正弦定理得所以sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,故△ABC為等腰三角形或直角三角形.方法二:由已知,得bcosB=acosA,所以

所以b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2),所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2?C=90°.故此三角形是等腰三角形或直角三角形.【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.在△ABC中,三邊長(zhǎng)a,b,c的對(duì)角分別為A,B,C,已知a=2,b=3,cosC=

,則c的值為 (

)

A.2 B.3 C.

D.

【解析】選B.因?yàn)閏2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×=9,所以c=3.2.若a,b,c為△ABC的三邊,B=120°,則a2+c2+ac-b2的值 (

)A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不確定【解析】選C.cosB=所以a2+c2-b2=-ac,即a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.3.已知三角形的三邊長(zhǎng)度分別為6,3

,3

,則三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為 (

)A.90° B.120° C.135° D.150°【解析】選C.因?yàn)槿切蔚娜呴L(zhǎng)度6,3,3中,3是最大的邊,則三角形的最大內(nèi)角θ滿足cosθ=所以θ=135°.4.在△ABC中,A=60°,最大邊和最小邊是方程x2-9x+8=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根,則邊BC=________.

【解析】因?yàn)锳=60°,所以最大邊和最小邊所夾的角為A,AB,AC為x2-9x+8=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根,則AB+AC=9,AB×AC=8,所以BC2=AB2+AC2-2×AC×AB×cosA=(AB+AC)2-2×AC×AB×(1+cosA)=92-2×8×=57.所以BC=.答案:

Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞3.已知三角形的三邊長(zhǎng)度分別為6,3

,3

,則三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為 (

)A.90° B.120° C.135° D.150°【解析】選C.因?yàn)槿切蔚娜呴L(zhǎng)度6,3,3中,3是最大的邊,則三角形的最大