新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-3-1棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積和體積同步課件新人教A版必修第二冊(cè)

8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積

必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的高導(dǎo)思1.什么是棱柱、棱錐、棱臺(tái)的高?2.怎樣求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積?棱柱的高兩底面之間的距離,即從一底面上任意一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線,___________(垂線與底面的交點(diǎn))之間的距離.棱錐的高從頂點(diǎn)向底面作垂線,___________之間的距離.棱臺(tái)的高兩底面之間的距離,即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線,___________之間的距離.這點(diǎn)與垂足頂點(diǎn)與垂足這點(diǎn)與垂足2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的_______.面積和【思考】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與其展開圖的面積是否也都相等?提示:是.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是幾何體表面的面積,它表示幾何體表面的大小.常把多面體展開成平面圖形,利用平面圖形求多面體的表面積.3.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積棱柱:棱柱的底面面積為S,高為h,則V=___.棱錐:棱錐的底面面積為S,高為h,則V=_______.棱臺(tái):棱臺(tái)的上、下底面面積分別為S′,S,高為h,則V=_________________.Sh【思考】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積之間有什么關(guān)系?提示:棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積之間的關(guān)系可以理解為:【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)錐體的體積是等底等高的柱體體積的. (

)(2)棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由若干個(gè)等腰梯形組成的. (

)(3)多面體無論從哪條棱展開,展開圖都是一樣的. (

)提示:(1)√.由錐體、柱體的體積公式可得.(2)×.是由若干個(gè)梯形組成的,不一定是等腰梯形.(3)×.展開圖不一定相同,但面積相等.2.已知一個(gè)正三棱柱的底面邊長為,且側(cè)棱長為底面邊長的2倍,則該正三棱柱的體積為 (

)

【解析】選D.因?yàn)檎庵牡酌孢呴L為,所以底面面積為S=高與側(cè)棱長相等為2,所以該正三棱柱的體積為V=3.(教材二次開發(fā):例題改編)已知一個(gè)多面體共有9個(gè)面,所有棱長均為1,其平面展開圖如圖所示,則該多面體的體積V= (

)

A.1+ B.1 C. D.1+3.(教材二次開發(fā):例題改編)已知一個(gè)多面體共有9個(gè)面,所有棱長均為1,其平面展開圖如圖所示,則該多面體的體積V= (

)

A.1+ B.1 C. D.1+【解析】選A.幾何體如圖:下部分是正方體,棱長為1,

上部分是正四棱錐,高為,所以該多面體的體積V=1×1×1+×1×1×=1+.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.(2020·南京高一檢測(cè))已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩個(gè)底面的邊長分別為4和16,側(cè)棱長為10,則該棱臺(tái)的側(cè)面積為 (

)

A.80 B.240 C.320 D.6402.(2020·武漢高一檢測(cè))已知長方體全部棱長的和為36,表面積為52,則其體對(duì)角線的長為 (

)A.4 B. C.2 D.43.(2020·贛州高一檢測(cè))已知正六棱柱的高為2,底面邊長為1,則該正六棱柱的表面積為

.

【解析】1.選B.作出一個(gè)側(cè)面等腰梯形的高,也是棱臺(tái)的斜高,則由等腰梯形的性質(zhì),可得斜高h(yuǎn)′==8.再用棱臺(tái)側(cè)面積公式,得棱臺(tái)的側(cè)面積為S側(cè)=×(4+16)×8×3=240.2.選B.設(shè)長方體的長,寬,高分別為x,y,z,則可得體對(duì)角線的長為3.正六棱柱的高為2,底面邊長為1,所以正六棱柱的底由6個(gè)全等的等邊三角形構(gòu)成.則正六棱柱的側(cè)面積為S側(cè)=6×1×2=12,正六棱柱的底面積為S底=2×6××1×1×sin所以正六棱柱的表面積為S表=12+3.答案:12+32.選B.設(shè)長方體的長,寬,高分別為x,y,z,則可得體對(duì)角線的長為3.正六棱柱的高為2,底面邊長為1,所以正六棱柱的底由6個(gè)全等的等邊三角形構(gòu)成.則正六棱柱的側(cè)面積為S側(cè)=6×1×2=12,正六棱柱的底面積為S底=2×6××1×1×sin所以正六棱柱的表面積為S表=12+3.答案:12+3【解題策略】關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的表面積能直接求各個(gè)面的面積的可直接求出面積相加,計(jì)算時(shí)要注意構(gòu)造直角三角形,直角梯形,如圖四棱錐,四棱臺(tái)中的直角三角形,直角梯形.【補(bǔ)償訓(xùn)練】長方體的體對(duì)角線長為2,長、寬、高的比為3∶2∶1,那么它的表面積為(

)

A.44 B.88 C.64 D.48【解析】選B.設(shè)長、寬、高分別為3x,2x,x,則體對(duì)角線長為

所以x=2.所以表面積S=2(6x2+3x2+2x2)=88.類型二棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)【典例】1.(2020·東城高一檢測(cè))如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,那么四棱錐D1-ABCD的體積是 (

)

2.某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示,則該四棱臺(tái)的體積是 (

)

3.已知正四棱錐的底面邊長為2,體積為8,則正四棱錐的側(cè)面積為

.

【思路導(dǎo)引】1.確定底面積、高求體積;2.利用三視圖求出上下底面積、高后求體積;3.由條件求出高,再求出側(cè)面的高求側(cè)面積.【解析】1.選B.因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,所以=S正方形ABCD·DD1=×1×1×1=.2.選B.由四棱臺(tái)的三視圖可知,此棱臺(tái)的上底面積S1=1×1=1,下底面積S2=2×2=4,高h(yuǎn)=2,代入臺(tái)體的體積公式V=3.設(shè)正四棱錐的高為h,由于正四棱錐的底面邊長為2,體積為8,則V=·h=8,解得h=3,所以正四棱錐的側(cè)面的高為所以正四棱錐的側(cè)面積為4×答案:4【解題策略】常見的求幾何體體積的方法(1)公式法:直接代入公式求解.(2)等積法:如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面,只需選用底面積和高都易求的形式即可.(3)分割法:將幾何體分割成易求解的幾部分,分別求體積.【跟蹤訓(xùn)練】(2020·貴陽高一檢測(cè))在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,三棱錐B-AB1C1的體積為 (

)【解析】選A.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長AB=1,則三棱錐B-AB1C1的體積為:類型三棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積、體積的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

角度1組合體的體積

【典例】(2020·東城高一檢測(cè))魯班鎖起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),相傳由春秋時(shí)代魯國工匠魯班所作.如圖1是某個(gè)經(jīng)典的六柱魯班鎖,如圖2是其中一個(gè)構(gòu)件的三視圖(圖中單位:mm),則此構(gòu)件的體積為 (

)A.34000mm3 B.33000mm3C.32000mm3 D.30000mm3【思路導(dǎo)引】根據(jù)三視圖和實(shí)物圖判斷幾何體的組成,再利用公式求體積.【解析】選C.由題三視圖得,魯班鎖中的一個(gè)零件是長為100,寬為20,高為20的長方體的上面的中間部分去掉一個(gè)長為40,寬為20,高為10的小長方體的一個(gè)幾何體,如圖,

所以該零件的體積V=100×20×20-40×20×10=32000(mm3).角度2體積的應(yīng)用

【典例】如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)A到平面A1BD的距離d=

.

【思路導(dǎo)引】利用等體積法求高即為距離d.【解析】在三棱錐A1-ABD中,AA1⊥平面ABD,AB=AD=AA1=a,A1B=BD=A1D=a,因?yàn)樗运詃=a.答案:a【解題策略】關(guān)于點(diǎn)到面的距離利用等體積法求點(diǎn)到面的距離時(shí),一般是先選擇適當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)求出錐體的體積,再改變頂點(diǎn),設(shè)出所求的點(diǎn)到面的距離,用該距離表示出體積后求距離.【題組訓(xùn)練】1.(2020·銀川高一檢測(cè))如圖所示,正方體的棱長為4,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為

.

【解析】由題意知所得幾何體是八面體,且八面體是兩個(gè)底面邊長為2,高為2的四棱錐組成;則該八面體的表面積是這兩個(gè)四棱錐的側(cè)面積之和.又四棱錐的側(cè)棱長為l=所以以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為:S=8××2×2×sin60°=16.答案:162.(2020·石景山高一檢測(cè))若四面體各棱的長是1或2,且該四面體不是正四面體,則其表面積的值可能是

.(只需寫出一個(gè)可能的值)

【解析】由四面體各棱的長是1或2,且該四面體不是正四面體,如圖,可取三條側(cè)棱長均為2,底面邊長BC=BD=2,CD=1.其表面積為故其表面積的一個(gè)可能值為答案:(答案不唯一)核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積1.數(shù)學(xué)抽象：棱柱、棱錐、、棱臺(tái)的體積公式；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求多面體或多面體組合體的表面積和體積；3.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.棱錐棱臺(tái)棱柱棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積各面面積之和棱柱、棱錐、棱臺(tái)展開圖求多面體表面積1．多面體的表面積轉(zhuǎn)化為各面面積之和．2．解決有關(guān)棱臺(tái)的問題時(shí)，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到梯形中去解決；二是把棱臺(tái)還原成棱錐，利用棱錐的有關(guān)知識(shí)來解決．求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算．課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.棱長為3的正方體的表面積為 (

)

A.27 B.64 C.54 D.36【解析】選C.根據(jù)表面積的定義,組成正方體的面共6個(gè),且每個(gè)都是邊長為3的正方形.從而,其表面積為6×32=54.2.已知高為3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形,如圖,則三棱錐B-AB1C的體積為 (

)

【解析】選D.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)各面均為等邊三角形的四面體的表面積為,則棱長等于 (

)【解析】選A.設(shè)各面均為等邊三角形的四面體的棱長為a,所以它的表面積由四個(gè)邊長為a的等邊三角形的面積組成,即S=4××a×a×sin60°=a2=,解得a=1.4.如圖,ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱,則四棱錐C-AA′B′B的體積是(

)

【解析】選C.因?yàn)閂C-A′B′C′=V柱=,所以VC-AA′B′B=1-=.5.如圖(1)所示,已知正方體面對(duì)角線長為a,沿陰影面將它切割成兩塊,拼成如圖(2)所示的幾何體,那么此幾何體的全面積為

.

【解析】正方體棱長為a,新幾何體的全面積為S全=2×a×a+4×=(2+)a2.答案:(2+)a2Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞5.如圖(1)所示,已知正方體面對(duì)角線長為a,沿陰影面將它切割成兩塊,拼成如圖(2)所示的幾何體,那么此幾何體的全面積為

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3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)各面均為等邊三角形的四面體的表面積為,則