新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-6-2直線與平面垂直二同步課件新人教A版必修第二冊

8.6.2直線與平面垂直(二)

必備知識·自主學(xué)習(xí)1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)定理:垂直于同一個平面的兩條直線_____.(2)符號:a⊥α,b⊥α?a∥b.(3)本質(zhì):垂直關(guān)系?平行關(guān)系,揭示了“平行”與“垂直”之間的內(nèi)在聯(lián)系.導(dǎo)思1.直線與平面垂直有哪些性質(zhì)?2.直線與平面、平面與平面的距離是怎樣定義的?平行【思考】如果兩條平行線中的一條與一個平面垂直,那么另一條直線與這個平面是什么位置關(guān)系?提示:垂直.2.距離(1)直線與平面的距離:直線與平面平行,直線上_________到平面的距離.(2)平面與平面的距離:平面與平面平行,其中一個平面上_________到另一個平面的距離.任意一點任意一點【思考】是不是任意的直線與平面、平面與平面間都有距離?提示:不是,只有當(dāng)直線與平面平行,平面與平面平行時才涉及距離問題.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)對于直線a和平面α,β,若a⊥α,a⊥β,則α∥β. (

)(2)對于直線a和平面α,β,若a⊥α,α∥β,則a⊥β. (

)(3)對于直線a,b和平面α,若a⊥α,a⊥b,則b∥α. (

)提示:(1)√.垂直于同一條直線的兩個平面平行.(2)√.直線垂直于平行平面中的一個,也垂直于另一個平面.(3)×.直線b可能在平面α內(nèi).2.如圖,P為△ABC所在平面α外一點,PB⊥α,PC⊥AC,則△ABC的形狀為 (

)A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定【解析】選B.由PB⊥α,AC?α,得PB⊥AC,又AC⊥PC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC為直角三角形.【解析】選B.由PB⊥α,AC?α,得PB⊥AC,又AC⊥PC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC為直角三角形.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)已知直線a∥b,平面α∥β,a⊥α,則b與β的位置關(guān)系是 (

)A.b⊥β B.b∥βC.b?β D.b?β或b∥β【解析】選A.因為a⊥α,a∥b,所以b⊥α.又α∥β,所以b⊥β.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一直線與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上),過該點作另一個底面的垂線,則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是 (

)

A.相交 B.平行C.異面 D.相交或平行2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E,F分別是棱AB,PC的中點.若EF⊥平面PCD,求證:PA=AD.【解析】1.選B.因為圓柱的母線垂直于圓柱的底面,所作的垂線也垂直于底面,由線面垂直的性質(zhì)定理可知,二者平行.2.取PD的中點H,連接HF,AH,因為FH

CD,又因為AE

CD,則AE

HF,所以四邊形AEFH是平行四邊形,所以EF

AH.因為EF⊥平面PCD,所以AH⊥平面PCD,所以AH⊥PD,所以PA=AD.【解題策略】關(guān)于線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用(1)在證明與垂直相關(guān)的平行問題時,可以考慮線面垂直的性質(zhì)定理,利用已知的垂直關(guān)系構(gòu)造線面垂直,關(guān)鍵是確定與要證明的兩條直線都垂直的平面.(2)注意線面垂直性質(zhì)定理的推論的應(yīng)用,利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系,或?qū)⒋怪标P(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系.【解題策略】關(guān)于線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用(1)在證明與垂直相關(guān)的平行問題時,可以考慮線面垂直的性質(zhì)定理,利用已知的垂直關(guān)系構(gòu)造線面垂直,關(guān)鍵是確定與要證明的兩條直線都垂直的平面.(2)注意線面垂直性質(zhì)定理的推論的應(yīng)用,利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系,或?qū)⒋怪标P(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系.【補償訓(xùn)練】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中點,E是PC上的點,且EF⊥BC,則=

.

【解析】在三棱錐P-ABC中,因為PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,所以AB⊥平面APC.因為EF?平面PAC,所以EF⊥AB,因為EF⊥BC,BC∩AB=B,所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF,因為F是AC的中點,E是PC上的點,所以E是PC的中點,所以=1.答案:1類型二空間中的距離問題(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)【典例】如圖,在四棱錐P-ABCD中,CD⊥平面PAD,AD=2PD=4,AB=6,PA=2,∠BAD=60°,點Q在棱AB上(1)證明:PD⊥平面ABCD;(2)若三棱錐P-ADQ的體積為2,求點B到平面PDQ的距離.【思路導(dǎo)引】(1)證明PD與平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線垂直;(2)將所求距離轉(zhuǎn)化,再轉(zhuǎn)化為三棱錐的高求值.【解析】(1)因為AD=2PD=4,PA=2,所以PA2=PD2+AD2,即PD⊥AD,因為CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,且AD∩CD=D.所以PD⊥平面ABCD.(2)因為三棱錐P-ADQ的體積為2,所以S△ADQ·PD=2,所以S△ADQ=3.所以AD·AQ·sin60°=3,所以AQ=3.所以Q為AB中點,即點A到平面PDQ的距離等于點B到平面PDQ的距離.在△ADQ中,由余弦定理可得

所以S△PDQ=×PD×DQ=.由VP-ADQ=VA-PDQ?2=××d,所以.所以點B到平面PDQ的距離為.【解題策略】空間中距離的轉(zhuǎn)化(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化:利用線面距離、面面距離的定義,轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點到平面的距離.(2)利用中點轉(zhuǎn)化:如果條件中具有中點條件,將一個點到平面的距離,借助中點(等分點),轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離.(3)通過換底轉(zhuǎn)化:一是直接換底,以方便求幾何體的高;二是將底面擴(kuò)展(分割),以方便求底面積和高.【跟蹤訓(xùn)練】(2020·渭南高一檢測)如圖所示的幾何體中,ABC-A1B1C1為三棱柱,且AA1⊥平面ABC,AA1=AC,四邊形ABCD為平行四邊形,AD=2CD,∠ADC=60°.(1)求證:AC1⊥平面A1B1CD;(2)若CD=2,求C1到平面A1B1CD的距離.【解析】(1)因為ABC-A1B1C1為三棱柱,且AA1⊥平面ABC,AA1=AC,四邊形ABCD為平行四邊形,AD=2CD,∠ADC=60°.所以四邊形AA1C1C是正方形,所以AC1⊥A1C,設(shè)CD=a,則AD=2a,,所以CD2+AC2=AD2,所以AC⊥DC,所以AC⊥AB,因為AA1⊥AB,又因為AC∩AA1=A,所以AB⊥平面ACC1A1,所以A1B1⊥AC1,因為A1B1∩A1C=A1,所以AC1⊥平面A1B1CD.(2)因為CD=2,所以AD=4,AC=AA1=,所以AC1=.所以點C1到平面A1B1CD的距離為AC1=.類型三直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)角度1探究性問題

【典例】已知四邊形ABCD為平行四邊形,PA⊥平面ABCD,當(dāng)平行四邊形ABCD滿足條件

時,有PC⊥BD(填上你認(rèn)為正確的一個條件即可).

【思路導(dǎo)引】構(gòu)造條件使BD⊥平面PAC.【解析】連接AC,因為四邊形ABCD為平行四邊形,PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA.當(dāng)平行四邊形ABCD是菱形時,BD⊥AC,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以PC⊥BD.答案:平行四邊形ABCD是菱形(答案不唯一)【變式探究】將本例的條件變?yōu)?在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上存在點Q滿足PQ⊥DQ,試求a的最小值.【解析】假設(shè)在BC邊上存在點Q,使得PQ⊥DQ,連接AQ,因為在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DQ,因為PQ⊥DQ,PA∩PQ=P,所以DQ⊥平面PAQ,所以DQ⊥AQ,所以∠AQD=90°,由題意得△ABQ∽△QCD,設(shè)BQ=x,所以x(a-x)=8,即x2-ax+8=0(*),當(dāng)Δ=a2-32≥0時,(*)方程有解,所以當(dāng)a≥4時,在BC上存在點Q滿足PQ⊥DQ,故a的最小值為4.角度2綜合性問題

【典例】(2020·本溪高一檢測)如圖,AB為☉O直徑,C為☉O上一點,PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AF⊥PC,求證:PB⊥EF.【思路導(dǎo)引】設(shè)法證明PB⊥平面AEF,即證明AF⊥PB.【證明】因為PA⊥平面ABC,BC在平面ABC上,所以PA⊥BC.又AB是圓O的直徑,所以AC⊥BC.又AC,PA在平面PAC中交于A,所以BC⊥平面PAC.又AF?平面PAC,所以BC⊥AF.因為AF⊥PC,BC,PC在平面PBC中交于C,所以AF⊥平面PBC.又PB?平面PBC,所以AF⊥PB.又AE⊥PB,AF,AE在平面AEF中交于A,所以PB⊥平面AEF,所以PB⊥EF.【解題策略】關(guān)于線面垂直判定、性質(zhì)的應(yīng)用(1)分析已知的垂直關(guān)系,得出能夠推出的線線、線面垂直,即挖掘已知條件,以方便后續(xù)證明.(2)證明垂直關(guān)系時往往需要逆向思維,如要證明直線a垂直于平面α內(nèi)直線b,可以考慮證明直線b垂直于直線a所在的平面β.(3)掌握線線、線面垂直的相互轉(zhuǎn)化.【題組訓(xùn)練】(2020·麗水高一檢測)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=1,PA=AD=2.(1)求證:CD⊥平面PAC;(2)在棱PC上是否存在點H,使得AH⊥平面PCD?若存在,確定點H的位置;若不存在,說明理由.【解析】(1)由題意,可得DC=AC=,所以AC2+DC2=AD2,即AC⊥DC,又因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又因為PA∩AC=A,所以DC⊥平面PAC.(2)過點A作AH⊥PC,垂足為H,由(1)可得CD⊥AH,又PC∩CD=C,所以AH⊥平面PCD,因為在Rt△PAC中,PA=2,AC=,,所以可得PH=PC,即在棱PC上存在點H,且PH=PC,使得AH⊥平面PCD.【補償訓(xùn)練】(2020·三明高一檢測)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,以下能使A1C⊥BC1的是 (

)A.AB=AC B.AA1=ACC.BB1=AB D.CC1=BC【解析】選B.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,即AB⊥AC,又AA1⊥AB,AA1∩AC=A,所以AB⊥平面AA1C1C,又A1C?平面AA1C1C,所以AB⊥A1C,若AA1=AC,則長方形AA1C1C為正方形,可得A1C⊥AC1,又AB∩AC1=A,所以A1C⊥平面ABC1,又BC1?平面ABC1,所以A1C⊥BC1.1234方法總結(jié)易錯提醒核心素養(yǎng)核心知識邏輯推理：線面垂直的的綜合應(yīng)用中的相互轉(zhuǎn)化問題線面垂直的判斷方法：（1）基本事實4；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）線面垂直的性質(zhì)定理；直線與平面垂直（二）（1）注意線面垂直關(guān)系應(yīng)用中的轉(zhuǎn)化思想（2）注意求直線到面的距離、平行平面間的距離時轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用性質(zhì)定理平行平面間的距離直線到面的距離應(yīng)用課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB,l⊥AC,直線m⊥BC,m⊥AC,則直線l,m的位置關(guān)系是 (

)A.相交 B.異面 C.平行 D.不確定【解析】選C.因為l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可證m⊥平面ABC,所以l∥m.2.如圖,AB是☉O的直徑,C是圓周上不同于A,B的任意一點,PA⊥平面ABC,則四面體P-ABC的四個面中,直角三角形的個數(shù)有 (

)A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【解析】選A.因為AB是圓O的直徑,所以∠ACB=90°,即BC⊥AC,所以三角形ABC是直角三角形.又因為PA⊥圓O所在平面,所以△PAC,△PAB是直角三角形.因為BC在☉O內(nèi),所以PA⊥BC,因此BC垂直于平面PAC中兩條相交直線,所以BC⊥平面PAC,所以△PBC是直角三角形.從而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,直角三角形的個數(shù)是4.3.已知平面α∥平面β,a是直線,則“a⊥α”是“a⊥β”的 (

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.根據(jù)題意,“a⊥α”,又因為平面α∥平面β,所以“a⊥β”,則“a⊥α”是“a⊥β”的充分條件,反之,若“a⊥β”,又因為平面α∥平面β,所以“a⊥α”,則“a⊥α”是“a⊥β”的必要條件,所以“a⊥α”是“a⊥β”的充要條件.4.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)已知PA⊥矩形ABCD所在平面,PA≠AD,M,N分別是AB,PC的中點,則MN垂直于 (

)A.AD B.CD C.PC D.PD【解析】選B.連接AC,取AC的中點為O,連接NO,MO,如圖所示.因為N,O分別為PC,AC的中點,所以NO∥PA,因為PA⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD,所以NO⊥CD.又因為M,O分別為AB,AC的中點,所以MO∥BC.因為BC⊥CD,所以MO⊥CD,因為NO∩MO=O,所以CD⊥平面MNO,所以CD⊥MN.5.正三棱錐的底面邊長為2,側(cè)面均為直角三角形,則此三棱錐的體積是

.

【解析】如圖,由已知得PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.又PB⊥PC,PB=PC,BC=2,所以PB=PC=,所以PA=,所以VP-ABC=VA-PBC=PA·S△PBC

答案:

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