高考數(shù)學(xué)劃重點(diǎn)-概率分布

概率分布【考綱解讀】1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性；2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.【知識(shí)整合】1.離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列.(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.3.常見離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列為，X01P1－pp其中p＝P(X＝1)稱為成功概率.(2)超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.X01…mP…【名師點(diǎn)睛】掌握離散型隨機(jī)變量的分布列，須注意：(1)分布列的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機(jī)變量X所有可能取得的值；第二行是對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量X的值的事件發(fā)生的概率.看每一列，實(shí)際上是上為“事件”，下為“事件發(fā)生的概率”，只不過“事件”是用一個(gè)反映其結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的.每完成一列，就相當(dāng)于求一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率.(2)要會(huì)根據(jù)分布列的兩個(gè)性質(zhì)來檢驗(yàn)求得的分布列的正誤.(3)超幾何分布是一種常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型，要會(huì)根據(jù)問題特征去判斷隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，然后利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算.【名師劃重點(diǎn)】1.對(duì)于隨機(jī)變量X的研究，需要了解隨機(jī)變量取哪些值以及取這些值或取某一個(gè)集合內(nèi)的值的概率，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，它的分布正是指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取這些值的概率.2.求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出X取各個(gè)值的概率.【高考真題再現(xiàn)】【例題】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集，令.從集合Mn中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.（1）當(dāng)n=1時(shí)，求X的概率分布；（2）對(duì)給定的正整數(shù)n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，的所有可能取值是．的概率分布為，．（2）設(shè)和是從中取出的兩個(gè)點(diǎn)．因?yàn)?，所以僅需考慮的情況．①若，則，不存在的取法；②若，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種取法；③若，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種取法；④若，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種取法．綜上，當(dāng)時(shí)，的所有可能取值是和，且．因此，．【舉一反三】1．（2019·江蘇省高考模擬）某商場(chǎng)進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng).已知一抽獎(jiǎng)箱中放有8只除顏色外，其它完全相同的彩球，其中僅有5只彩球是紅色.現(xiàn)從抽獎(jiǎng)箱中一個(gè)一個(gè)地拿出彩球，共取三次，拿到紅色球的個(gè)數(shù)記為.（1）若取球過程是無放回的，求事件“”的概率；（2）若取球過程是有放回的，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）根據(jù)超幾何分布可知：；（2）隨機(jī)變量的可能取值為：；且，分布列如下：本題考查超幾何分布的概率問題求解、二項(xiàng)分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，關(guān)鍵是能夠明確有放回與無放回所符合的分布類型.2．（2019·四川省高考模擬（理））在某公司舉行的一次真假游戲的有獎(jiǎng)競(jìng)猜中，設(shè)置了“科技”和“生活”這兩類試題，規(guī)定每位職工最多競(jìng)猜3次，每次競(jìng)猜的結(jié)果相互獨(dú)立．猜中一道“科技”類試題得4分，猜中一道“生活”類試題得2分，兩類試題猜不中的都得0分．將職工得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于4分就認(rèn)為通過游戲的競(jìng)猜，立即停止競(jìng)猜，否則繼續(xù)競(jìng)猜，直到競(jìng)猜完3次為止．競(jìng)猜的方案有以下兩種：方案1：先猜一道“科技”類試題，然后再連猜兩道“生活”類試題；方案2：連猜三道“生活”類試題．設(shè)職工甲猜中一道“科技”類試題的概率為0.5，猜中一道“生活”類試題的概率為0.6．(1)你認(rèn)為職工甲選擇哪種方案通過競(jìng)猜的可能性大?并說明理由．(2)職工甲選擇哪一種方案所得平均分高?并說明理由．【答案】（1）職工甲選擇方案1通過競(jìng)猜的可能性大；（2）職工甲選擇方案1通過競(jìng)猜的平均分高【解析】猜中一道“科技”類試題記作事件A，猜錯(cuò)一道“科技”試題記作事件；猜中一道“生活”類試題記作事件B，猜錯(cuò)一道“生活”試題記作事件；則，，（1）若職工甲選擇方案1，通過競(jìng)猜的概率為：.若職工甲選擇方案2，通過競(jìng)猜的概率為：∵∴職工甲選擇方案1通過競(jìng)猜的可能性大.(2)職工甲選擇方案1所得平均分高，理由如下：若職工甲選擇方案1，X的可能取值為：0,2,4，則，，，數(shù)學(xué)期望若職工甲選擇方案2，X的可能取值為：0,2,4，，數(shù)學(xué)期望因?yàn)?，所以職工甲選擇方案1所得平均分高.3．（2019·湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高考模擬（理））為了迎接2019年全國(guó)文明城市評(píng)比，某市文明辦對(duì)市民進(jìn)行了一次文明創(chuàng)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民有且僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：組別30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100頻數(shù)2515020025022510050（1）由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布Nμ,210，μ近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表），請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求P（2）在（1）的條件下，文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：（i）得分不低于μ的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于μ的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；（ii）每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)（單位：元）2040概率31現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：①210≈14.5②若Z～Nμ,σ2，則Pμ?σ<Z<μ+σ=0.6826【答案】（Ⅰ）P（36＜Z≤79．5）＝0．8186；（Ⅱ）X的分布列為X20406080P31331X的數(shù)學(xué)期望為75【解析】（Ⅰ）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表,結(jié)合題中所給的條件,可以求得μ=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65,又36≈65?2210,79.5≈65+所以P（36＜Z≤79．5）=1（Ⅱ）根據(jù)題意,可以得出所得話費(fèi)的可能值有20,40,60,80元,得20元的情況為低于平均值,概率p=1得40分的情況有一次機(jī)會(huì)獲40元,2次機(jī)會(huì)2個(gè)20元,概率P=1得60分的情況為兩次機(jī)會(huì),一次40元一次20元,概率P=1得80分的其概況為兩次機(jī)會(huì),都是40元,概率為P=1所以變量X的分布列為:X20406080P31331所以其期望為E(X)=20×3【押題預(yù)測(cè)】1．（2019·安徽省高考模擬（理））田忌賽馬是《史記》中記載的一個(gè)故事,說的是齊國(guó)大將軍田忌經(jīng)常與齊國(guó)眾公子賽馬,孫臏發(fā)現(xiàn)田忌的馬和其他人的馬相差并不遠(yuǎn),都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻(xiàn)策:比賽即將開始時(shí),他讓田忌用下等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設(shè)田忌的各等級(jí)馬與某公子的各等級(jí)馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽，田忌獲勝的概率如下表所示:比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場(chǎng)賽馬組成,每場(chǎng)由公子和田忌各出一匹馬參賽,結(jié)果只有勝和負(fù)兩種,并且毎一方三場(chǎng)賽馬的馬的等級(jí)各不相同,三場(chǎng)比賽中至少獲勝兩場(chǎng)的一方為最終勝利者.（1）如果按孫臏的策略比賽一次，求田忌獲勝的概率；（2）如果比賽約定,只能同等級(jí)馬對(duì)戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對(duì)方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）0.72；（2）金.【解析】（1）記事件：按孫臏的策略比賽一次，田忌獲勝，對(duì)于事件，三場(chǎng)比賽中，由于有一場(chǎng)比賽田忌必輸，另兩場(chǎng)都勝，故.（2）設(shè)田忌在每次比賽中所得的獎(jiǎng)金為隨機(jī)變量（金），則的取值為和,若在某月的比賽中田忌獲勝，則三場(chǎng)比賽中，田忌輸贏的分布為：勝勝勝，負(fù)勝勝，勝負(fù)勝，勝勝負(fù).設(shè)在該月的比賽中田忌獲勝的概率為，則,,因此田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望為（金）.2．（2019·天津高考模擬（理））在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：（Ⅰ）取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)的分布列及期望；（Ⅱ）取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．【答案】（1分布列見解析，的數(shù)學(xué)期望（2）【解析】（1）由于從件產(chǎn)品中任取件的結(jié)果為，從件產(chǎn)品中任取件，其中恰有件一等品的結(jié)果為，那么從件產(chǎn)品中任取件，其中恰有件一等品的概率為，所以隨機(jī)變量的分布列是0123的數(shù)學(xué)期望（2）設(shè)“取出的件產(chǎn)品中一等品的件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件，“恰好取出件一等品和件三等品”為事件,“恰好取出件一等品”為事件,“恰好取出件一等品”為事件,由于事件彼此互斥，且,而,,所以取出的件產(chǎn)品中一等品的件數(shù)多于二等品件的數(shù)的概率為3．（2019·安徽省高考模擬（理））某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購買2臺(tái)機(jī)器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過2次每次收取維修費(fèi)2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維修費(fèi)1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2臺(tái)這種機(jī)器．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：維修次數(shù)0123臺(tái)數(shù)5102015以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）選擇延保方案二較合算【解析】（Ⅰ）X所有可能的取值為0，1，2，3，4，5，6，P(X=0)=110×110P(X=3)=110×P(X=5)=25×∴X的分布列為X0123456P1131176（Ⅱ）選擇延保一，所需費(fèi)用Y1Y70009000110001300015000P1711769EY1=選擇延保二，所需費(fèi)用Y2Y100001100012000P6769EY∵EY4．（2019·四川省石室中學(xué)高考模擬（理））某商場(chǎng)舉行促銷活動(dòng)，有兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱，箱內(nèi)有一個(gè)“”號(hào)球，兩個(gè)“”號(hào)球，三個(gè)“”號(hào)球、四個(gè)無號(hào)球，箱內(nèi)有五個(gè)“”號(hào)球，五個(gè)“”號(hào)球，每次摸獎(jiǎng)后放回，每位顧客消費(fèi)額滿元有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)額滿元有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，摸得有數(shù)字的球則中獎(jiǎng)，“”號(hào)球獎(jiǎng)元，“”號(hào)球獎(jiǎng)元，“”號(hào)球獎(jiǎng)元，摸得無號(hào)球則沒有獎(jiǎng)金．（1）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，顧客消費(fèi)額服從正態(tài)分布，某天有位顧客，請(qǐng)估計(jì)消費(fèi)額（單位：元）在區(qū)間內(nèi)并中獎(jiǎng)的人數(shù).（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）附：若，則，.（2）某三位顧客各有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求其中中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列.（3）某顧客消費(fèi)額為元，有兩種摸獎(jiǎng)方法，方法一：三次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；方法二：一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).請(qǐng)問：這位顧客選哪一種方法所得獎(jiǎng)金的期望值較大.【答案】(1)中獎(jiǎng)的人數(shù)約為人.(2)分布列見解析.(3)這位顧客選方法二所得獎(jiǎng)金的期望值較大.【解析】（1）依題意得，，得，消費(fèi)額在區(qū)間內(nèi)的顧客有一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，中獎(jiǎng)率為人數(shù)約人其中中獎(jiǎng)的人數(shù)約為人（2）三位顧客每人一次箱內(nèi)摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)率都為，三人中中獎(jiǎng)人數(shù)服從二項(xiàng)分布，，故的分布列為（或）（或）（或）（或）（3）箱摸一次所得獎(jiǎng)金的期望為箱摸一次所得獎(jiǎng)金的期望為方法一所得獎(jiǎng)金的期望值為，方法二所得獎(jiǎng)金的期望值為，所以這位顧客選方法二所得獎(jiǎng)金的期望值較大點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：①“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義；②“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率加法公式、獨(dú)立事件的概率公式以及對(duì)立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；③“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；④“求期望”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望．對(duì)于某些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項(xiàng)分布），則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得．因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度．5．（2019·云南省高考模擬（理））某市移動(dòng)公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對(duì)使用A，B兩種套餐的集團(tuán)用戶進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市個(gè)人數(shù)超過1000人的大集團(tuán)和8個(gè)人數(shù)低于200人的小集團(tuán)中隨機(jī)抽取若干個(gè)集團(tuán)進(jìn)行調(diào)查，若一次抽取2個(gè)