高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識(shí)技法精細(xì)過（12）：排列組合二項(xiàng)式定理

高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識(shí)技法精細(xì)過（十二）第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N＝①____________________種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事情需要分成n個(gè)不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，…，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N＝②____________________種不同的方法．3．兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都涉及③____________________的不同方法的種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與④________有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與⑤________有關(guān)，各個(gè)步驟⑥________，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成．二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨(dú)立的．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的．三、技法1.分類加法計(jì)數(shù)原理的實(shí)質(zhì)分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨(dú)立，每類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事．2．使用分類加法計(jì)數(shù)原理遵循的原則有時(shí)分類的劃分標(biāo)準(zhǔn)有多個(gè)，但不論是以哪一個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，都應(yīng)遵循“標(biāo)準(zhǔn)要明確，不重不漏”的原則.3.分步乘法計(jì)數(shù)原理的實(shí)質(zhì)分類乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成其中的任何一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事．4．使用分步乘法計(jì)數(shù)原理的原則(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．(2)將完成這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵．從計(jì)數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù).5.兩個(gè)注意：(1)注意在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問題時(shí)，一般是先分類再分步，在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理．(2)注意對(duì)較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.6.解決涂色問題的要點(diǎn)(1)要分清所給的顏色是否用完，并選擇恰當(dāng)?shù)耐可樞颍?2)切實(shí)選擇好分類標(biāo)準(zhǔn)，分清哪些可以同色，哪些不同色.參考答案①m1＋m2＋…＋mn②m1×m2×…×mn③完成一件事情④分類⑤分步⑥相互依存第二節(jié)排列與組合一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．排列與排列數(shù)(1)排列的定義：一般地，從n個(gè)①________元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的②________排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的③____________的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記為Aeq\o\al(m,n).(3)排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝④____________.Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝⑤__________，規(guī)定0?。?.2．組合與組合數(shù)(1)組合的定義：一般地，從n個(gè)⑥________的元素中取m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)⑦_(dá)_______元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的⑧__________的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示．(3)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝⑨____________＝⑩__________________________＝?__________________.(4)組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝?____________.性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝?____________(m≤n，n∈N*，m∈N*)．二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不要重復(fù)計(jì)數(shù)．2．解受條件限制的組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)．分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)遺漏或重復(fù)．3．解組合應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)注意“至少”、“至多”、“恰好”等詞的含義．三、技法1.求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問題除法處理對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法2.兩類含有附加條件的組合問題的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直解法或間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，用間接法求解.3.解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．參考答案①不同②順序③所有不同排列④eq\f(n！,n－m！)⑤n?、薏煌卟煌嗨胁煌M合⑨eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))⑩eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)?eq\f(n！,m！n－m！)?eq\x(C\o\al(n－m,n))?Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)第三節(jié)二項(xiàng)式定理一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝①______________________________________.這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù)Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做②________________________.式中的Ceq\o\al(r,n)an－rbr叫做二項(xiàng)展開式的③________，用Tr＋1表示，即展開式的第④________項(xiàng)；Tr＋1＝⑤____________.2．二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.(2)每一項(xiàng)的次數(shù)之和都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為⑥________.(3)字母a按⑦_(dá)_______排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按⑧________排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從⑨______________，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，⑩____________.3．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端?________的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)，當(dāng)?________時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng)?________時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)?________取得最大值．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)?________和?________相等，且同時(shí)取得最大值．(3)二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即?__________________________________________＝2n.二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝?________.二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．要把“二項(xiàng)式系數(shù)的和”與“各項(xiàng)系數(shù)和”，“奇(偶)數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與奇(偶)次項(xiàng)系數(shù)和”嚴(yán)格地區(qū)別開來．2．應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)常用到根式與冪指數(shù)的互化，容易出錯(cuò)．3．通項(xiàng)公式是第r＋1項(xiàng)而不是第r項(xiàng)．三、技法1.求展開式中的指定項(xiàng)或特定項(xiàng)解此類問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).2.二項(xiàng)式系數(shù)或項(xiàng)系數(shù)的和問題涉及的兩個(gè)方法=1\*GB2⑴“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法；只需令x＝1即可；對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．=2\*GB2⑵若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).3.求解二項(xiàng)式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題的一般步驟第一步，求系數(shù)的最大值問題，要先弄清所求問題是“展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大”“二項(xiàng)式系數(shù)最大”以及“最大項(xiàng)”三者中的哪一個(gè)；第二步，若是求二項(xiàng)式系數(shù)最大值，則依據(jù)(a＋b)n中n的奇偶及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解．若是求展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值，由于展開式中項(xiàng)的系數(shù)是離散型變量，設(shè)展開式各項(xiàng)的系數(shù)分別為A1，A2，…An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值只需解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))即得結(jié)果.4.利用二項(xiàng)式定理解決整除問題時(shí)，基本思路：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可．因此，一般將被除式化為含有相關(guān)除式的二項(xiàng)式，然后再展開，此時(shí)常用“配湊法”、“消去法”結(jié)合有關(guān)整除知識(shí)來處理.參考答案①Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)②二項(xiàng)式系數(shù)③通項(xiàng)