高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識(shí)技法精細(xì)過(guò)（15）：隨機(jī)抽樣與統(tǒng)計(jì)

高考數(shù)學(xué)考前30天回歸課本知識(shí)技法精細(xì)過(guò)（十五）第一節(jié)隨機(jī)抽樣一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)①________地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)②________，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．(2)最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有兩種——③________法和④______________法．(3)一般地，抽簽法就是總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，⑤______________后，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本．(4)隨機(jī)數(shù)表法就是利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣．(5)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣有操作簡(jiǎn)便易行的優(yōu)點(diǎn)，在總體個(gè)數(shù)不多的情況下是行之有效的．2．系統(tǒng)抽樣(1)一般地，假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，我們可以按下列步驟進(jìn)行系統(tǒng)抽樣：(ⅰ)先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)．有時(shí)可直接利用個(gè)體自身所帶的號(hào)碼，如學(xué)號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)、門牌號(hào)等；(ⅱ)確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段．當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k＝⑥________；(ⅲ)在第1段用⑦_(dá)_______確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(l≤k)；(ⅳ)按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l⑧________得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)(l＋k)，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)⑨________，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本．(2)當(dāng)總體中元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，常采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，當(dāng)總體中元素個(gè)數(shù)較多時(shí)，常采用⑩________.3．分層抽樣(1)分層抽樣的概念：一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)當(dāng)總體是由?________的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣的方法．(3)分層抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是?________的．二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．認(rèn)清簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三者間的區(qū)別與聯(lián)系，是正確選擇抽樣方法的前提．2．在系統(tǒng)抽樣中，應(yīng)先確定分段間隔，然后再確定入樣個(gè)體編號(hào)間的關(guān)系．三、技法1.解決簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣應(yīng)注意的問(wèn)題(1)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便；二是號(hào)簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法．(2)在使用隨機(jī)數(shù)表時(shí)，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時(shí)，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計(jì)起，每三個(gè)或四個(gè)作為一個(gè)單位，自左向右選取，有超過(guò)總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍去.2.系統(tǒng)抽樣應(yīng)注意的問(wèn)題=1\*GB2⑴系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，所以依次抽取的樣本對(duì)應(yīng)的號(hào)碼就是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)就是第1組所抽取樣本的號(hào)碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號(hào)碼．=2\*GB2⑵系統(tǒng)抽樣時(shí)，如果總體中的個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可以先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再按系統(tǒng)抽樣進(jìn)行.參考答案①不放回②都相等③抽簽④隨機(jī)數(shù)表⑤攪拌均勻⑥eq\f(N,n)⑦簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣⑧加上間隔k⑨(l＋2k)⑩系統(tǒng)抽樣?差異明顯?均等第二節(jié)用樣本估計(jì)總體一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．頻率分布直方圖(1)通常我們對(duì)總體作出的估計(jì)一般分成兩種．一種是用樣本的①________估計(jì)總體的分布．另一種是用樣本的②________估計(jì)總體的數(shù)字特征．(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示③________，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長(zhǎng)方形的④________表示．各小長(zhǎng)方形的面積總和⑤________.(3)連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．隨著⑥________的增加，作圖時(shí)所分的⑦_(dá)_______增加，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計(jì)中稱之為⑧________________，它能夠更加精細(xì)地反映出總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的⑨________.(4)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且可以隨時(shí)記錄，給數(shù)據(jù)的記錄和表示都帶來(lái)方便．2．眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)(1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)⑩________的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在?________位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的?________.(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．即eq\x\to(x)＝?__________.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該?________.3．樣本方差，標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])，其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項(xiàng)，n是樣本容量，eq\x\to(x)是?________.標(biāo)準(zhǔn)差是反映總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方．通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)樣本容量?________總體容量時(shí)，樣本方差越接近總體方差．二、必明1個(gè)易誤點(diǎn)不要把直方圖錯(cuò)認(rèn)為條形圖，兩者的區(qū)別在于條形圖是離散隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖是連續(xù)隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)刻度為頻率/組距，連續(xù)隨機(jī)變量在某一點(diǎn)上是沒(méi)有頻率的．三、技法1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的意義及計(jì)算公式(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明地描述，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)的大小．(2)平均數(shù)、方差的公式推廣．①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.(ⅰ)數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；(ⅱ)數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.(3)方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式．s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.2.莖葉圖的應(yīng)用(1)莖葉圖中的“莖”上的數(shù)字代表十位上的數(shù)字，“葉”上的數(shù)字代表個(gè)位上的數(shù)字(若沒(méi)有則表示該數(shù)據(jù)不存在)；(2)解題時(shí)，可把莖葉圖中的數(shù)字按大小順序轉(zhuǎn)化為總體的個(gè)體數(shù)字再求解.3.繪制頻率分布直方圖時(shí)的2個(gè)注意點(diǎn)(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來(lái)檢驗(yàn)該表是否正確．(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是eq\f(頻率,組距)，而不是頻率．4．由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌握的2個(gè)關(guān)系式(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù).參考答案①頻率分布②數(shù)字特征③eq\f(頻率,組距)④面積⑤等于1⑥樣本容量⑦組數(shù)⑧總體密度曲線⑨百分比⑩最多?最中間?中位數(shù)?eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)?相等?平均數(shù)?接近第三節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)正相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)．(2)負(fù)相關(guān)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)．(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在①__________附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．2．回歸方程(1)最小二乘法求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．(2)回歸方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))3．回歸分析(1)定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．(2)樣本點(diǎn)的中心對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中②____________稱為樣本點(diǎn)的中心．(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量③________________；當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量④________________.r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性⑤________.r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于⑥________時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．4．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．二、必明4個(gè)易誤點(diǎn)1．回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無(wú)意義．2．根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值．3．r的大小只說(shuō)明是否相關(guān)，并不能說(shuō)明擬合效果的好壞，R2才是判斷擬合效果好壞的依據(jù)，必須將二者區(qū)分開(kāi)來(lái)．4．獨(dú)立性檢驗(yàn)的隨機(jī)變量K2＝2.706是判斷是否有關(guān)系的臨界值，K2＜2.706應(yīng)判斷為沒(méi)有充分依據(jù)顯示X與Y有關(guān)系，而不能作為小于90%的量化值來(lái)作出判斷．三、技法1.判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：r＞0時(shí)，正相關(guān)；r＜0時(shí)，負(fù)相關(guān)．(3)線性回歸方程中：eq\o(b,\s\up6(^))＞0時(shí)，正相關(guān)；eq\o(b,\s\up6(^))＜0時(shí)，負(fù)相關(guān).2.求線性回歸方程的基本步驟(1)先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計(jì)算出eq\o(x,\s\up6(－))、eq\o(y,\s\up6(－))，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)、x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值．(2)計(jì)算回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)).(3)寫出