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*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系21.2解一元二次方程學(xué)習(xí)目標1.會求一元二次方程的兩根之和與兩根之積2.能用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?
求根公式不僅表示可以由方程的系數(shù)a、b、c決定根的值.而且反映了根與系數(shù)之間的聯(lián)系.一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系還有其他的表現(xiàn)方式嗎?復(fù)習(xí)引入
從因式分解法可知,方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數(shù))的兩根為x1和x2,將方程化為x2+px+q=0的形式,你能看出x1,x2與p,q之間的關(guān)系嗎?思考1重要發(fā)現(xiàn)如果方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0,x2+px+q=0,x1+x2=-p,x1·x2=q.
一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中,二次項系數(shù)a未必是1,它的兩個根的和、積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢?思考2已知方程ax2+bx+c=0(a≠0),當(dāng)b2-4ac≥0時,兩根分別為x1=
,x2=
。x1+x2=
,x1x2=
.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系:如果
ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1、x2,那么注意:滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.歸納小結(jié)把
ax2+bx+c=0(a≠0)的兩邊同除以a,能否得出該結(jié)論?想一想∵
ax2+bx+c=0(a≠0)的兩邊同除以a得又∵x2-(x1+x2)x+x1x2=0∴-(x1+x2)=,x1x2=可得x1+x2=,x1x2=例1
根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,求下列方程兩個根x1,x2的和與積:(1)x2-6x-15=0(2)3x2+7x-9=0;(3)5x-1=4x2.解:
(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15.例題講解例2
已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一個根是1,求它的另一個根及m的值.
由于x1·x2=1×5=得m=15.答:方程的另一個根是5,m=15.解:設(shè)方程的兩個根分別是x1、x2,其中x1=1.所以x1
+
x2=1+x2=6,解得x2=5.解:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知:
例3
不解方程,求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.常見的變形公式:歸納小結(jié)1.如果-1是方程2x2-x+m=0的一個根,則另一個根是___,m=____.-32x1x22.設(shè)x1、x2是方程x2-4x+1=0的兩個根,則(1)x1+x2=
_____,x1x2=_______,(2)x12+x22=(x1+x2)2-________=______,(3)(x1-x2)2
=(______)2-4x1x2=_______.
411412x1+x23.利用根與系數(shù)的關(guān)系,求下列方程的兩根之和、兩根之積.(1)x2+7x+6=0;(2)2x2-3x-2=0.解:(1)這里a=1,b=7,c=6.
Δ
=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=-7,
x1x2=6.(2)2x2-3x-2=0.(2)這里a=2,b=-3,c=-2.
Δ=b2-4ac=(-3)2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=-1.4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的兩個根,且(x1+1)(x2+1)=4;(1)求k的值;(2)求(x1-x2)2的值.解:(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得:k=-7;
(2)因為k=-7,所以則:根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)內(nèi)
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