第一章特殊平行四邊形回顧與思考課件北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

第一章特殊平行四邊形回顧與思考數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版要點(diǎn)回顧典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01要點(diǎn)回顧1.菱形的性質(zhì).（1）邊：菱形的四條邊

?.（2）對(duì)角線：菱形的對(duì)角線互相

，并且平分每一

組

?.（3）對(duì)稱性：①菱形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸；②菱形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).相等

垂直

對(duì)角

2.菱形的判定.（1）定義法：有一組鄰邊

的平行四邊形叫做菱形.（2）對(duì)角線互相

的平行四邊形是菱形.（3）四條邊

的四邊形是菱形.3.矩形的性質(zhì).（1）角：矩形的四個(gè)角都是

?.（2）對(duì)角線：矩形的對(duì)角線

，且互相

?.（3）對(duì)稱性：①矩形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸；②矩形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).相等

垂直

相等

直角

相等

平分

4.矩形的判定.（1）定義法：有一個(gè)角是

的平行四邊形叫做矩形.（2）對(duì)角線

的平行四邊形是矩形.（3）有三個(gè)角都是

的四邊形是矩形.5.正方形的性質(zhì).（1）角：正方形的四個(gè)角都是

?.（2）邊：正方形的四條邊

?.（3）對(duì)角線：正方形的對(duì)角線

?.直角

相等

直角

直角

相等

相等且互相垂直平分

（4）對(duì)稱性：①正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸；②正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).6.正方形的判定.（1）定義法：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四

邊形叫做正方形.（2）有一組鄰邊相等的

是正方形.（3）對(duì)角線互相

的矩形是正方形.（4）有一個(gè)角是

的菱形是正方形.（5）對(duì)角線

的菱形是正方形.矩形

垂直

直角

相等

7.特殊平行四邊形的面積公式.

S矩形＝

ab

（其中

a

，

b

分別是矩形的

?）；

8.直角三角形斜邊中線定理.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

?.兩條對(duì)角線長(zhǎng)

長(zhǎng)與寬

邊長(zhǎng)

對(duì)角線長(zhǎng)

一半

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練要點(diǎn)一

菱形的性質(zhì)與判定

如圖，在?

ABCD

中，

DB

＝

DA

，點(diǎn)

F

是

AB

的中點(diǎn)，連接

DF

并延長(zhǎng)，交

CB

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E

，連接

AE

，

CF

.

【思路導(dǎo)航】（1）先證得△

AFD

≌△

BFE

，推出

AD

＝

BE

，

得到四邊形

AEBD

是平行四邊形，再根據(jù)

DB

＝

DA

可得結(jié)論；

（2）先證得∠

EDC

＝90°，再利用勾股定理求出

DE

的長(zhǎng)，進(jìn)

而可求出

CF

的長(zhǎng).

【點(diǎn)撥】熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性

質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵，求線段長(zhǎng)

度常用勾股定理來(lái)解決，這些都屬于中考常考題型.

如圖，已知四邊形

ABCD

是菱形，點(diǎn)

H

為對(duì)角線

AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)

E

在

AB

的延長(zhǎng)線上，

CE

⊥

AB

，垂足為

E

，點(diǎn)

F

在

AD

的延長(zhǎng)線

上，

CF

⊥

AD

，垂足為

F

.

（1）若∠

BAD

＝60°，求證：四邊形

CEHF

是菱形；

（2）若

CE

＝4，△

ACE

的面積為16，求菱形

ABCD

的面積.

要點(diǎn)二

矩形的性質(zhì)與判定

如圖，在四邊形

ABCD

中，已知

AD

∥

BC

，∠

ABC

＝∠

ADC

，對(duì)角線

AC

，

BD

相交于點(diǎn)

O

，

OA

＝

OB

，

DE

平分∠

ADC

交

BC

于點(diǎn)

E

，連接

OE

.

（1）求證：四邊形

ABCD

是矩形；（2）若

AB

＝1，求△

OEC

的面積.

（2）解：作

OF

⊥

BC

于點(diǎn)

F

，如圖所示.∵四邊形

ABCD

是矩形，∴

CD

＝

AB

＝1，∠

BCD

＝90°，

OA

＝

CO

，

OB

＝

DO

，

AC

＝

BD

.

∴

OA

＝

OB

＝

CO

＝

DO

.

∴

BF

＝

FC

.

∵

DE

平分∠

ADC

，∠

ADC

＝90°，∴∠

EDC

＝45°.在Rt△

EDC

中，

EC

＝

CD

＝1，

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、三角形的面積、平行四

邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰直角三角形的判

定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用矩形的判定與性質(zhì)，

屬于?？碱}型.

1.如圖，將矩形

ABCD

沿

EF

折疊，使點(diǎn)

D

與點(diǎn)

B

重合，點(diǎn)

G

為

點(diǎn)

C

的對(duì)應(yīng)點(diǎn).（1）若∠

AEB

＝40°，則∠

BFE

的度數(shù)為

?；

（第1題圖）70°

（2）若

AB

＝6，

AD

＝18，則

CF

的長(zhǎng)為

?.【解析】（2）設(shè)

BE

＝

x

，則

DE

＝

BE

＝

x

.

∴

AE

＝

AD

－

DE

＝18－

x

.在Rt△

ABE

中，

AB2＋

AE2＝

BE2，則62＋（18－

x

）2＝

x2.解

得

x

＝10.∴

BE

的長(zhǎng)為10.∵

AD

∥

BC

，∴∠

DEF

＝∠

BFE

.

∵∠

BEF

＝∠

DEF

，∴∠

BEF

＝∠

BFE

.

∴

BF

＝

BE

＝10.∴

CF

＝

BC

－

BF

＝18－10＝8.故答案為8.（第1題圖）8

（第2題圖）①③④⑥

【解析】∵四邊形

ABCD

為矩形，∴

AC

＝

BD

.

①正確.

AC

不一

定與

BD

垂直.②不正確.∵

AC

＝

BD

，

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

，

∴

OA

＝

OB

.

∴△

AOB

為等腰三角形.③正確.∵四邊形

ABCD

為

矩形，∴

OB

＝

OD

.

∴

S△

ABO

＝

S△

ADO

.

④正確.∵四邊形

ABCD

為矩形，∴

BD

不一定平分∠

ABC

.

∴∠

ABD

不一定為45°.⑤不

正確.∵四邊形

ABCD

為矩形，∴當(dāng)

AB

＝

AD

時(shí)，矩形

ABCD

為

正方形.⑥正確.故答案為①③④⑥.要點(diǎn)三

正方形的性質(zhì)與判定

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，先把△

ABC

繞點(diǎn)

B

按

順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△

DBE

后，再把△

ABC

沿射線

BE

平移至

△

FEG

，

DE

與

FG

相交于點(diǎn)

H

.

（1）試判斷線段

DE

與

FG

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）連接

CG

，求證：四邊形

CBEG

是正方形.【思路導(dǎo)航】（1）由旋轉(zhuǎn)及平移的性質(zhì)可得到∠

DEB

＋∠

GFE

＝90°，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得

BE

＝

CB

＝

CG

＝

GE

，∠

CBE

＝90°，從而可證明四邊形

CBEG

是

正方形.（1）解：

FG

⊥

DE

.

理由如下：∵△

ABC

繞點(diǎn)

B

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△

DBE

，∴∠

DEB

＝∠

ACB

.

∵△

ABC

沿射線

BE

平移至△

FEG

，∴∠

GFE

＝∠

A

.

∵∠

ABC

＝90°，∴∠

A

＋∠

ACB

＝90°.∴∠

DEB

＋∠

GFE

＝90°.∴∠

FHE

＝90°.∴

FG

⊥

DE

.

（2）證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移，可得∠

GEF

＝90°，∠

CBE

＝

90°，

CG

＝

BE

，

CB

＝

BE

，

CB

＝

GE

，∴

CG

＝

BE

＝

CB

＝

GE

.

∴四邊形

CBEG

為菱形.又∵∠

CBE

＝90°，∴菱形

CBEG

是正方形.【點(diǎn)撥】掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即旋轉(zhuǎn)或平移

前后，對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊都相等.

如圖，在矩形

ABCD

中，已知∠

BAD

的平分線交

BC

于點(diǎn)

E

，

EF

⊥

AD

于點(diǎn)

F

，

DG

⊥

AE

于點(diǎn)

G

，

DG

與

EF

交于點(diǎn)

O

.

（1）求證：四邊形

ABEF

是正方形；（1）證明：∵四邊形

ABCD

是矩形，∴∠

BAF

＝∠

ABE

＝90°.∵

EF

⊥

AD

，∴∠

EFA

＝90°.∴四邊形

ABEF

是矩形.∵

AE

平分∠

BAD

，∴

EF

＝

EB

.

∴矩形

ABEF

是正方形.（2）若

AD

＝

AE

，求證：

AB

＝

AG

；