高考數(shù)學(xué)理科一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第5講課后作業(yè)

A組基礎(chǔ)關(guān)1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β答案D解析如圖所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，只有D不一定成立，故選D.2．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案B解析根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，∴AH⊥平面EFH，B正確；∵過A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF?平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，∴C不正確；已證平面HAG⊥平面AEF，若證HG⊥平面AEF，只需證HG⊥AG，已證AH⊥HG，故HG⊥AG不成立，所以HG與平面AEF不垂直，∴D不正確．故選B.3.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成的角為45°答案D解析選項A，B，C顯然錯誤．∵PA⊥平面ABC，∴∠PDA是直線PD與平面ABC所成的角．∵ABCDEF是正六邊形，∴AD＝2AB.∵tan∠PDA＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直線PD與平面ABC所成的角為45°.故選D.4．(2017·江西南昌摸底)如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么點D在平面ABC內(nèi)的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部答案A解析因為AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以點D在平面ABC內(nèi)的射影H必在直線AB上．故選A.5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中點，則直線BE與平面B1BD所成的角的正弦值為()A．－eq\f(\r(10),5)B.eq\f(\r(10),5)C．－eq\f(\r(15),5)D.eq\f(\r(15),5)答案B解析如圖，延長BE與B1C1的延長線交于點F，連接FD1，因為E為C1C的中點，四邊形BCC1B1是正方形，所以C1F＝B1C1＝BC，所以∠C1D1F＝∠C1D1B1＝45°，所以FD1⊥B1D1，易證FD1⊥平面BB1D1D.所以∠BFD1是直線BE與平面B1BD所成的角．設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，則D1F＝B1D1＝eq\r(2)a.BF＝eq\r(2a2＋a2)＝eq\r(5)a，所以sin∠BFD1＝eq\f(D1F,BF)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5).6．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2答案A解析設(shè)B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝eq\r(2)，矩形ABB1A1中，tan∠FDB1＝eq\f(B1F,B1D)，tan∠A1AB1＝eq\f(A1B1,AA1)＝eq\f(\r(2),2).又∠FDB1＝∠A1AB1，所以eq\f(B1F,B1D)＝eq\f(\r(2),2).故B1F＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).故選A.7．已知正方體ABCD－A1B1C1D1，點E，F(xiàn)，G分別是線段DC，D1D和D1B上的動點，給出下列結(jié)論：①對于任意給定的點E，存在點F，使得AF⊥A1E；②對于任意給定的點F，存在點E，使得AF⊥A1E；③對于任意給定的點G，存在點F，使得AF⊥B1G；④對于任意給定的點F，存在點G，使得AF⊥B1G.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析因為DE⊥平面A1D，根據(jù)三垂線定理，對于任意給定的點E，A1E在平面A1D的射影為A1D，所以存在點F，使得AF⊥A1D，所以AF⊥A1E，①正確；如果對于任意給定的點F，存在點E，使得AF⊥A1E；那么AF⊥A1D，又AD1⊥A1D，得到過A有兩條直線與A1D垂直，故②錯誤；只有AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影時，AF⊥B1G，所以當G位于D1B的上半部分時，在D1D上不存在F點，使AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影，③錯誤；對任意給定的點F，存在平面BCC1B1上的線段B1G′和AF垂直，且B1G′為B1G的投影，所以④正確，所以C正確．8．如圖，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，則AD＝________.答案a解析作BC中點E，連接AE，DE，則在Rt△ABC中，AB＝AC＝a，由勾股定理得BC＝2AE＝eq\r(2)a，且有AE⊥BC，又平面ABC⊥平面BDC，平面ABC∩平面BDC＝BC且直線AE在平面ABC內(nèi)，∴由面面垂直的性質(zhì)定理得AE⊥平面BCD，∵DE?平面BCD內(nèi)，∴AE⊥DE，又在Rt△BCD中，點E是BC的中點，∴DE＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(2),2)a，∴在Rt△ADE中，AE＝eq\f(\r(2),2)a，由勾股定理得AD＝eq\r(AE2＋DE2)＝a.9．(2016·全國卷Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m?α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號)答案②③④解析對于①，由m⊥n，m⊥α可得n∥α或n在α內(nèi)，當n∥β時，α與β可能相交，也可能平行，故①錯誤；對于②，過直線n作平面與平面α交于直線c，由n∥α可知n∥c，∵m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正確；對于③，由兩個平面平行的性質(zhì)可知正確；對于④，由線面所成角的定義和等角定理可知其正確，故正確的有②③④.10．(2018·蘭州實戰(zhàn)考試)α，β是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個條件，就能得出BD⊥EF.現(xiàn)有下列條件：①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF.其中能成為增加條件的序號是________．答案①③解析由題意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四點共面．①中，∵AC⊥β，EF?β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF?α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故正確；②不能得到BD⊥EF，故錯誤；③中，由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上可知平面ABCD⊥β，又AB⊥α，AB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β＝EF，∴EF⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故正確；④中，由①知，若BD⊥EF，則EF⊥平面ABCD，則EF⊥AC，故錯誤，故填①③.B組能力關(guān)1．(2018·靜海月考)如圖所示，三棱錐P－ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C的軌跡是()A．一條線段 B．一條直線C．一個圓 D．一個圓，但要去掉兩個點答案D解析∵平面PAC⊥平面PBC，而平面PAC∩平面PBC＝PC.又AC?平面PAC，且AC⊥PC，∴AC⊥平面PBC，而BC?平面PBC，∴AC⊥BC，∴點C在以AB為直徑的圓上，∴點C的軌跡是一個圓，但是要去掉A和B兩點．故選D.2．如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為A1D1的中點，Q為A1B1上任意一點，E，F(xiàn)為CD上任意兩點，且EF的長為定值，則下面的四個值中不為定值的是()A．點P到平面QEF的距離B．三棱錐P－QEF的體積C．直線PQ與平面PEF所成的角D．二面角P－EF－Q的大小答案C解析A中，因為平面QEF也就是平面A1B1CD，顯然點P到平面A1B1CD的距離是定值，所以點P到平面QEF的距離為定值；B中，因為△QEF的面積是定值(EF為定長，點Q到EF的距離就是點Q到CD的距離，也是定長，即底和高都是定值)，再根據(jù)A的結(jié)論，即點P到平面QEF的距離也是定值，所以三棱錐P－QEF的高也是定值，于是其體積固定，所以三棱錐P－QEF的體積是定值；C中，因為Q是動點，PQ的長不固定，而Q到平面PEF的距離為定值，所以PQ與平面PEF所成的角不是定值；D中，因為A1B1∥CD，Q為A1B1上任意一點，E，F(xiàn)為CD上任意兩點，所以二面角P－EF－Q的大小即為二面角P－CD－A1的大小，為定值．3．(2018·全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A.eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(3\r(2),4) D．eq\f(\r(3),2)答案A解析根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1與線AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面C1BD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面AB1D1與C1BD中間的，且過棱的中點的正六邊形，邊長為eq\f(\r(2),2)，所以其面積為S＝6×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(3\r(3),4)，故選A.4．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，過A1作底面ABC的垂線，垂足為BC的中點，D為B1C1的中點．(1)證明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．解(1)證明：如圖，設(shè)E為BC的中點，連接AE，DE，A1E.由題意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因為AB＝AC，所以AE⊥BC.所以AE⊥平面A1BC.由D，E分別為B1C1，BC的中點，得DE∥BB1，且DE＝BB1，從而DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四邊形AA1DE是平行四邊形，所以A1D∥AE.又因為AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)如圖，作A1F⊥DE，垂足為F，連接BF.因為A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因為BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.又因為DE∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF為直線A1B與平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝eq\r(2).由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝eq\r(14).由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝eq\r(2)，∠DA1E＝90°，得A1F＝eq\f(\r(7),2).所以sin∠A1BF＝eq\f(A1F,A1B)＝eq\f(\r(7),8).C組素養(yǎng)關(guān)1．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1－BCDE.(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1－BCDE的體積為36eq\r(2)，求a的值．解(1)證明：在圖1中，連接EC(圖略)，因為AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，∠BAD＝90°，AD∥BC，E是AD的中點，所以四邊形ABCE為正方形，所以BE⊥AC，即在圖2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又A1O∩OC＝O，從而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可知A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱錐A1－BCDE的高，由圖1知，A1O＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)a，平行四邊形BCDE的面積S＝BC·AB＝a2，從而四棱錐A1－BCDE的體積V＝eq\f(1,3)×S×A1O＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),6)a3，由eq\f(\r(2),6)a3＝36eq\r(2)，解得a＝6.2．如圖，直角三角形ABC中，∠BAC＝60°，點F在斜邊AB上，且AB＝4AF，D，E是平面ABC同一側(cè)的兩點，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD＝3，AC＝BE＝4.(1)求證：平面CDF⊥平面CEF；(2)點M在線段BC上，異面直線CF與EM所成角的余弦值為eq\f(1,4)，求CM的長．解(1)證明：連接DE.∵AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，∴AD∥BE，即AD，BE在同一平面上，且AD⊥AB，B