江蘇專用2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷02含解析

Page212024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷02（江蘇專用）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2024·江蘇·沭陽縣建陵高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意：，解得，；故選：B.2．（2024·江蘇南京·高二期中）已知復(fù)數(shù)z滿意，則（

）A．2 B． C．5 D．10【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所以，所?故選：B.3．（2024·江蘇宿遷·高二期中）若拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為8，則點(diǎn)到軸的距離是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以，解得，所以準(zhǔn)線方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為8，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為8，設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則有，所以.故選：A.4．（2024·江蘇南通·高二期末）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠選擇全部素?cái)?shù)的一種古老的方法．這種方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下頭一個(gè)2不動(dòng)，剔除掉全部2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng)，剔除掉全部3的倍數(shù)；接下來，再在剩余的數(shù)中對(duì)3后面的一個(gè)數(shù)5作同樣處理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除．剔除到最終，剩下的便全是素?cái)?shù)．在利用“埃拉托塞尼篩法”選擇2到30的全部素?cái)?shù)過程中剔除的全部數(shù)的和為（

）A．333 B．335 C．337 D．341【答案】B【詳解】2到30的全部整數(shù)和，2到30的全部素?cái)?shù)和，所以剔除的全部數(shù)的和為.故選：B5．（2024·江蘇蘇州·高三期中）已知函數(shù)（）的周期為，那么當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，，，，，所以.故選：B6．（2024·江蘇南通·高二期末）若x＝a是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，令，得：當(dāng)，即此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合x＝a是函數(shù)的極大值點(diǎn)，反之，當(dāng)，即，此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，x＝a是函數(shù)的微小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，即，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).綜上得：.故選：A.7．（2024·江蘇·鹽城中學(xué)高三階段練習(xí)）在正四棱臺(tái)中，，，則該棱臺(tái)外接球的半徑為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【詳解】[解法1]由題意知：四邊形均為正方形，為上下底面的中心，設(shè)正四棱臺(tái)的外接球球心為，外接球半徑為，則直線；，，，又，，當(dāng)位于線段上時(shí)，設(shè)，則，解得：（舍）；當(dāng)位于線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)，則，解得：，所以,故選：C.[解法2]同解法1，求得為直角梯形，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接,則為等腰直角三角形，四邊形為正方形，取中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),由于為的中垂線，所以,即O為四棱臺(tái)的外接球的球心，明顯，，所以外接球半徑.故選：C.8．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)料）北京冬奧會(huì)火種臺(tái)（圖1）以“承天載物”為設(shè)計(jì)理念，創(chuàng)意靈感來自中國傳統(tǒng)青銅禮器——尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部伸綻開闊，寓意迎接純凈的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為雙曲線的一部分圍著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高50cm，上口直徑為，底座直徑為25cm，最小直徑為20cm，則這種尊的軸截面的邊界所在雙曲線的離心率為（

）A．2 B．C． D．【答案】B【詳解】建立雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的直角坐標(biāo)系，最小直徑在軸，如圖，雙曲線方程為，則，，（），（）在雙曲線上，且，由，即，，，由，得，所以，，，離心率為．故選：B．二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2024·江蘇·南京師大附中高二期中）為迎接黨的二十大成功召開，某中學(xué)實(shí)行黨史學(xué)問競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分狀況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)依據(jù)?分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，依據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（

）A．B．得分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為200C．該校學(xué)生黨史學(xué)問競(jìng)賽成果的中位數(shù)大于80D．估計(jì)該校學(xué)生黨史學(xué)問競(jìng)賽成果的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，由頻率分布直方圖性質(zhì)得：，解得，故正確；對(duì)于B，由頻率分布直方圖得：成果落在區(qū)間的頻率為，所以人數(shù)為，故B正確；對(duì)于，由頻率分布直方圖得：的頻率為的頻率為，所以成果的中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，估計(jì)成果的平均數(shù)為：，所以成果的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，故D正確.故選：ABD.10．（2024·江蘇南通·高二期中）已知直線，和圓，下列說法正確的是（

）A．直線l恒過定點(diǎn)B．圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為C．直線被圓截得的弦長(zhǎng)存在最大值，且最大值為D．直線被圓截得的弦長(zhǎng)存在最小值，且最小值為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，由，得，聯(lián)立，得，無論m為何值，直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，在中，令，得，所以圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最大，最大值為圓直徑4，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于直線恒過的定點(diǎn)，易知此點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)此定點(diǎn)為，當(dāng)直線與直徑垂直時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最小，且最小值為，故D正確.故選：ABD11．（2024·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動(dòng)，則（

）A．直線BD1⊥平面A1C1DB．三棱錐P﹣A1C1D的體積為定值C．異面直線AP與A1D所成角的取值范用是[45°，90°]D．直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，正方體中，，，且，平面，平面，平面，，同理，，，且，平面，直線平面，A選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，正方體中，平面，平面，平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，到平面的距離為定值，又△的面積是定值，三棱錐的體積為定值，B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，異面直線與所成角為直線與直線的夾角．易知△為等邊三角形，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，直線與直線的夾角為．故異面直線與所成角的取值范圍是，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)豎坐標(biāo)為，，則，，，，所以，．由選項(xiàng)A正確：可知是平面的一個(gè)法向量，直線與平面所成角的正弦值為：，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，D選項(xiàng)正確．故選：ABD．12．（2024·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿意，且，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上有微小值C．的最小值為-1 D．的最小值為0【答案】ABD【詳解】設(shè)，則，所以（C為常數(shù)），所以，又，所以，所以，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取得微小值，因?yàn)椋?，所以在上有微小值可知A，B都正確．，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的微小值即最小值為，故C錯(cuò)誤．，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，而當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為0，故D正確．故選：ABD.三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，其次空3分．）13．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)料）已知，試寫出一個(gè)滿意條件①②③的__________．①：

②：

③【答案】（答案不唯一：）【詳解】由②③得，所以，相減得，，結(jié)合①，取，則，只要為正整數(shù)都滿意題意．故答案為：（答案不唯一）．14．（2024·江蘇·南京市秦淮中學(xué)高一期中）一個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次記為，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，中有兩個(gè)不同數(shù)字的和等于剩下的一個(gè)數(shù)字時(shí)，稱這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”（如213，341等）．現(xiàn)從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是______．【答案】##【詳解】解：從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中兩個(gè)的和等于第三個(gè)的有123，134，因此“有緣數(shù)”個(gè)數(shù)為，所以這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率．故答案為：．15．（2024·江蘇泰州·高三期中）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則的最小值為_____．【答案】【詳解】曲線在點(diǎn)A處的切線可寫作設(shè)該切線在曲線上的切點(diǎn)為，則有，消去t得則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得該最小值.故答案為：.16．（2024·江蘇蘇州·高三期中）侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種特別有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由多數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成的，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的三等分點(diǎn)上．設(shè)外圍第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，往里其次個(gè)正方形為，…，往里第個(gè)正方形為．那么第7個(gè)正方形的周長(zhǎng)是____________，至少須要前____________個(gè)正方形的面積之和超過2．（參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】

【詳解】因?yàn)槊恳粋€(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，且外圍第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，所以，,由勾股定理有：，設(shè)第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，……，，所以，所以第7個(gè)正方形的周長(zhǎng)是，第n個(gè)正方形的面積為，則第1個(gè)正方形的面積為，則第2個(gè)正方形的面積為，則第3個(gè)正方形的面積為，……則第n個(gè)正方形的面積為，前n個(gè)正方形的面積之和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以至少須要前4個(gè)正方形的面積之和超過2．故答案為：，4.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第16題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．）17．（2024·江蘇省響水中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿意.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿意條件的最大整數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1），，，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比.（2），所以，.方法一因?yàn)?，所以，，所以，故滿意條件的最大整數(shù).方法二令，因?yàn)椋?，所以?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，又因?yàn)?，，故滿意條件的最大整數(shù).18．（2024·江蘇·海門中學(xué)高二階段練習(xí)）在十余年的學(xué)習(xí)生活中，部分學(xué)生養(yǎng)成了上課轉(zhuǎn)筆的習(xí)慣．某探討小組為探討轉(zhuǎn)筆與學(xué)習(xí)成果好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有上課轉(zhuǎn)筆習(xí)慣的有45人．經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖．記分?jǐn)?shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．(1)請(qǐng)完成下列2×2列聯(lián)表．并推斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的條件下，認(rèn)為成果是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān)．上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計(jì)優(yōu)秀25合格40合計(jì)100(2)現(xiàn)實(shí)行分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，記抽到5人中合格的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)若將頻率視作概率，從全市全部在校學(xué)生中隨機(jī)抽取20人進(jìn)行調(diào)查，記20人中上課轉(zhuǎn)筆的人數(shù)為k的概率為，當(dāng)取最大值時(shí)，求k的值．附：，其中．【答案】(1)填表見解析；能(2)分布列見解析；期望為(3)(1)上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計(jì)優(yōu)秀52530合格403070合計(jì)4555100答：能在在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的條件下，認(rèn)為成果是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān)(2)個(gè)人中優(yōu)秀的人數(shù)為，則合格的人數(shù)為人，由分層抽樣可知：人中有人優(yōu)秀，人合格；由題意可以取，，則的分布列為：2345答：的期望為(3)由題意可知?jiǎng)t解得，又故答：當(dāng)時(shí)，取最大值時(shí)19．（2024·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，D為邊BC上一點(diǎn)，若．(1)證明：①AD平分∠BAC，②；(2)若，求的最大值．【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)（1）①設(shè)∠BAD＝α，∠CAD＝β，在△ABD中，由正弦定理得：，即，在△ACD中，由正弦定理得：，即由題意可得：，則∵，則∴，又因?yàn)?，所?，即所以AD平分∠BAC，②由題意可得：，即整理得：∵，∴即證（2）因?yàn)椋从帧咚?，即所以，則∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以的最大值為．20．（2024·江蘇揚(yáng)州·高三期中）如圖，在體積為1的四棱錐P－ABCD中，，．(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)E為棱BC上一動(dòng)點(diǎn)，求直線PE與平面PAD所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗?，則，又，所以且，所以四邊形為正方形，所以，則，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）解：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，則線段即為四棱錐的高，則，解得，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，設(shè)直線PE與平面PAD所成角為，則，當(dāng)時(shí)，，所以直線PE與平面PAD所成角的正弦值的最大值為.21．（2024·江蘇省阜寧中學(xué)高二期中）已知雙曲線的一條漸近線方程是，焦距為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線在軸右側(cè)相交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)是定值，定值為【詳解】（1）由題意得：，，，解得：，，∴