2022河北省高考數(shù)學(xué)（三模）試卷（含答案）

阿比堵育考裁考（三模）精偏祺宗

一、單選題（60分）

1.設(shè)集合“=卜|自20、N=<J=（￡|,X20>,則MQN=（）

A.[0,1]B.{0}C.（0,1）D.（0,1]

2.若zeC且|z+2-2j=l,則|z-1-24的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

3.已知直線機(jī)、〃和平面a,在下列給定的四個結(jié)論中，血/”的一個

必要但不充分條件是（）

A.mlla,n//aB.mA.a,nl.a

C.mlla,〃uaD.m、〃與a所成的角相等

4.從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，其莖葉圖數(shù)據(jù)如

圖.根據(jù)莖葉圖，下列描述正確的是（）

甲乙

002T~

45201346

031125

35564

A.甲種樹苗的中位數(shù)大于乙種樹苗的中位數(shù)，且甲種樹苗比乙種樹

苗長得整齊

B.甲種樹苗的中位數(shù)大于乙種樹苗的中位數(shù)，但乙種樹苗比甲種樹

苗長得整齊

C.乙種樹苗的中位數(shù)大于甲種樹苗的中位數(shù)，且乙種樹苗比甲種樹

苗長得整齊

D.乙種樹苗的中位數(shù)大于甲種樹苗的中位數(shù)，但甲種樹苗比乙種樹

苗長得整齊

5.已知是兩個非零向量，其夾角為若且

,+@=2目，則cos°=()

A.三B.|C.一9

6.已知f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，且當(dāng)xe(-oo,0)時,f(x)-引(x)>0(其

5

中f'(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù))，a=^~/(0.5-°-),b=(log3幻f(log.3),

c=Oogy^/Clog,9),則下列關(guān)系式正確的是()

A.c>a>bB.h>a>c

C.a>c>hD.a>b>c

7.已知角0的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，且

9

tan?=-.若角a的終邊上有一點尸，其縱坐標(biāo)為T,有下列三個結(jié)

論：①點P的橫坐標(biāo)是6；②cosa=3叵；③sin2a>0.則上述結(jié)論中，

13

正確的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

8.2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵儀

式在天安門廣場隆重舉行，這次閱兵不僅展示了我國的科技軍事力量,

更是讓世界感受到了中國的日新月異，去年的閱兵方陣有一個很搶眼,

他們就是院校科研方陣，他們是由軍事科學(xué)院，國防大學(xué)，國防科技

大學(xué)聯(lián)合組建，若已知甲，乙，丙三人來自上述三所學(xué)校，學(xué)位分別

有學(xué)士、碩士、博士學(xué)位，現(xiàn)知道：①甲不是軍事科學(xué)院的，②來自

軍事科學(xué)院的均不是博士，③乙不是軍事科學(xué)院的，④乙不是博士學(xué)

位，⑤來自國防科技大學(xué)的是碩士，則甲是來自哪個院校的，學(xué)位是

什么（）

A.國防大學(xué)，博士B.國防科技大學(xué)，碩士

C.國防大學(xué)，學(xué)士D.軍事科學(xué)院，學(xué)士

9.已知方程|隆2%|=0的兩根分別為玉，x2,則（）

xx=

A.1<x1x2<2B.辦工2>2C.\21D.0<x1x2<1

10.如圖所示，四邊形ABCD是正方形，其內(nèi)部8個圓的半徑相等，

且圓心都在正方形的對角線上，在正方形ABCO內(nèi)任取一點，則該點

取自陰影部分的概率為（）

A.（3~2V2）TTB.（5/2—1）TT

C.JD.7

84

11.三棱錐S-ABC的底面各棱長均為3,其外接球半徑為2,則三棱

錐S-ABC的體積最大時，點S到平面A3c的距離為（）

A.2+73B.2-V3C.3D.2

12.在AMC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若ZA=60。,

b>\,。=。+；，當(dāng)△至。的周長最短時，。的值為()

A.旦B.V2C.1+也D.1+V2

22

二、填空題(20分)

x+2y-2>0

13.設(shè)左丁滿足約束條件<x<2,貝！)2=2%->的最小值是

.”2

14.(l+tanl9°)-(l+tan26°)=.

15.商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格，及根據(jù)商品的

最低銷售限價a,最高銷售限價b(b>a)以及常數(shù)x(0<x<l)確

定實際銷售價格c=a+x(b-a),這里，x被稱為樂觀系數(shù).

經(jīng)驗表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)

的等比中項，據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于.

16.已知函數(shù)/(刈=0*-依-1,g(x)=lnx-ar-l,其中0<。<1,e為自

然對數(shù)的底數(shù)，若%e(0,+8),使/5)g(x°)>0,則實數(shù)。的取值范

圍是.

三、解答題(70分)

17.已知數(shù)列｛4｝中，6=1,當(dāng)〃N2時，a.m”.

(I)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

(II)設(shè)勿=4"--。2"+1,數(shù)列也｝的前〃項和為T”,求證：卜；.

18.已知四邊形ABC。是梯形(如圖1),AB//CD,AD1DC,CD=2,

AB=AD=l,石為8的中點，以AE為折痕把折起，使點。到

達(dá)點P的位置(如圖2),且PC=6

(1)求證：平面PAE,平面ABCE；

(2)求點C到平面心￡的距離.

19.2020年1月底因新型冠狀病毒感染的肺炎疫情形勢嚴(yán)峻，避免

外出是減少相互交叉感染最有效的方式.在家中適當(dāng)鍛煉，合理休息,

能夠提高自身免疫力，抵抗該種病毒.某小區(qū)為了調(diào)查“宅”家居民的

運(yùn)動情況，從該小區(qū)隨機(jī)抽取了100位成年人，記錄了他們某天的鍛

煉時間，其頻率分布直方圖如下：

(1)求。的值，并估計這100位居民鍛煉時間的平均值受(同一組

中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);

⑵小張是該小區(qū)的一位居民，他記錄了自己“宅”家7天的鍛煉時

長：

序號〃1234567

鍛煉時長m（單位：

10151220302535

分鐘）

（I）根據(jù)數(shù)據(jù)求相關(guān)于“的線性回歸方程;

（II）若〃,-44G是（1）中的平均值），則當(dāng)天被稱為“有效運(yùn)動

日”.估計小張“宅”家第8天是否是“有效運(yùn)動日”?

附；在線性回歸方程，=及+%中,

丫22

20.已知橢圓G東+方=1（。＞1＞0）和圓和：小+。=戶＞＞0）,片、?為

橢圓G的左、右焦點，點6（0，6）在橢圓a上，當(dāng)直線8片與圓C?相切

時，T

（I）求G的方程；

（II）直線=左＞0,機(jī)＞0）與橢圓G和圓。2都相切,切點分別

為M、N,求AOMTV面積的最大值.

21.已知函數(shù)/（x）="lnx+Zzr+l,且曲線y=/（x）在點（1,/。））處的切

線為x軸.

（I）求a,b的值，并討論的單調(diào)區(qū)間；

（II）求證（黑尸000"〈（喘嚴(yán)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

x=3cosa,,

22.在直角坐標(biāo)系Qy中，曲線C的參數(shù)方程為y=2+3sina”為參

數(shù)），以坐標(biāo)原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線

/的極坐標(biāo)方程為Osin--0=2啦.

(1)求C與/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/與曲線。交于N兩點，點口-2,2),求高+看的

值.

23.

已知函數(shù)/(x)=|x+l|-。卜一1|.

(1)當(dāng)。=-2時，解不等式/(x)>5；

(2)若/(x)4小+3],求”的最小值.

答案

1.C2.A3.D.4.B5.B

6.A7.B8.A9.D10.A

11.C12.C

13.-6

【詳解】

由題，可行域如圖所示，

設(shè)y=2x-z,平移直線，當(dāng)直線與點A(-2,2)相交時，直線的截距最大,

所以z的最小值為2x(—2)-2=-6,

故答案為:-6

14.2

is,

2

16.(0,—)

e-

17.

【詳解】

解：(I)證明：當(dāng)〃22時，由一。“=4Tq,

11,

兩邊同時除以4T,4得：--------=1，

4%

1,

由q=1,得一=1,

4

故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.

(II)ft?：由(I)知％=L

n

所以“六2〃—?12七/1+二1翳2(2〃—嚅1)(2〃哼+1)當(dāng)212上〃-1-62/2+T1)

所以Z=W+R」］+….......-

"2113){35)L2/7-12/7+1〃

=斗，］.

2(2/7+1)

18.(1)證明見解析；(2)逅..

3

【詳解】

(1)證明：連接BE,

因為AB〃CO,AD1DC,8=2,E為的中點，AB=AD=\,

所以四邊形ABE。是邊長為1的正方形，且BE=EC.

如圖，取AE的中點M，連接尸M，BM,CM,

因為AP=PE=1,

所以PM_LAE，且AE=V5，PM=AM=—

2

因為NyWBE=/ESC=45°,

所以3A/_L3c.

所以MC=y/BM2+BE2+EC2

I2J

因為PC=百，PM.MC=—

22

所以「/廢+”廠二尸。？，

所以PMLMC.

因為AEcMC=M,

所以平面A3CE.

因為AWu平面Q4E，

所以平面PAE_L平面ABCE.

(2)由(1)知,IPM_L平面ABCE,BELEC,且BE=EC=L

因為PB=^PM2+BM2=1，

所以△P3E為正三角形且邊長為1.

設(shè)點C到平面PBE的距離為d,

則^P-BEC~XS&BEC*PM=-XS^PBEX，

所以UBEXECXPA/=，x包x6￡xd,

3234

11..V21V3.

即pn一x—xlxlx——=-x——x1l2xd，

32234

解得d=逅.

3

所以點C到平面P8E的距離為逅.

3

19.

【詳解】

(1)(O.(X)5+0.012+a+().O35+0.015+0.003)x10=1,

a—0.03.

x=5x0.005xlO+15xO.O12xlO+25xO.O3xlO+35x0.035x10+45x0.015xl0+55x

0.003x10=30.2（分鐘）.

-10+15+12+20+30+25+35?

m--------------------------------------=21,

7

-/M）=（1-4）X（10-21）+（2-4）X（15-21）+（3-4）X（12-21）+（4-4）X

（20-21）+（5-4）x（30-21）+（6-4）x（25-21）+（7-4）x（35-21）=113,

二機(jī)關(guān)于〃的線性回歸方程為—n+—.

287

77

???估計小張“宅”家第8天是“有效運(yùn)動日

x2*421

20.(I)—+^v-=1；(1!)-.

434

【詳解】

(1)由題可知6=①

設(shè)6(-c,0),則由8片與圓相切時廠=且，得生=走，即C=0.②

2a22

22

將①②代入/=/+。2,解得。=2,所以橢圓G的方程為土+匕=1；

43

(II)設(shè)點〃(玉，＞)、N(X2,^2),

將y=履+機(jī)代入匕+2_=1得（4%2+3）d+Sknvc+4m2-12=0.

43''

由直線/與橢圓G相切得八=64公/一4(4爐+3乂4/—12)=0,即田=4〃+3,且

-4km

A|-4公+3

3m

X=4F+3

-km

由直線/與圓C,相切，設(shè)ON:y=-」x,與丫=辰+相聯(lián)立得■F+T

km

P2=F7T

設(shè)直線/：＞=丘+，篦（左＞0,，%＞0）與x軸交于點Q,則Q（-￡,0）

3m

止+3

k2m

m<11

2k（左2+1）（4公+3）~2（k2+l）T-4-

2（"2x2Jk-I

當(dāng)且僅當(dāng)％=1時等號成立,

所以△。出的面積的最大值為5

CL—\

21.（I）<；/（X）在（0,1）上單調(diào)遞減；“X）在（L-）上單調(diào)遞增；（）證明

b=—1

見解析.

【詳解】

（I）f（＜x）=alnx+a+b,

（

由題叫7m（=1）=00遙[a==_l]；小,、）=1"

令r（x）=o,解得％=1,

當(dāng)（0,1）時，r（x）＜0,即/（X）在（0,1）上單調(diào)遞減；

當(dāng)XG（l,+8）時，/'（x）＞（）,/（力在（1,+0。）上單調(diào)遞增；

（H）由（I）知_y（x）N/（i）=o,

即xlnx-x+120對任意xw（0,+oo）成立.

要證e（（坦）如，只需證l＜1011n（Wl）.

100100

在不等式xlnx-x+120中,

,1010101,,101、101,八

令》=——，則有---ln(---)-----+1>0,

100100100100

.10,1011,,101、?一

即——ln(——)>——，nBiJ1<101n(——)成立;

100100100100

要證（幽丫000。，只需證1000也（絲見）＜1,

10001000

,10011口10001

即nn證ln(----)<----，只需證In----->-

1000100010011000)

即證10001113&+1>0.

1001

在不等式xlnx-x+120中，令x=：；；；

1000,10001000,c1000,Cj

則有----In-----------+1>0,即lOOOln----+1>0成立

1001100110011001

綜上，不等式(幽)1°°°<6<(31)刈成立.

1000100

22.(1)/+(y一2>=9,x-y+4=0；(2)

【詳解】

x=3cos