華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上全冊(cè)教案

22.1.二次根式(1)

教學(xué)內(nèi)容：二次根式的概念及其運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)：1、理解二次根式的概念，并利用&(a20)的意義解答具體題目.

2、提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵：1.重點(diǎn)：形如JZ(a^O)的式子叫做二次根式的概念；

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“JZ(ae0)”解決具體問題.

教學(xué)過程：一、回顧

當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，而表示a的算術(shù)平方根，即正數(shù)a的正的平方根.

當(dāng)a是零時(shí)，而等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算術(shù)平方根.

當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，沒有意義.

二、概括：4a(a20)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，4a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，它的平方

等于a.即有：(1)-J~a^0(a》0)；(2)(八')？=a(a20).

形如JZ(a20)的式子叫做二次根式.

注意：在二次根式JZ中，字母a必須滿足a20,即被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).

三、例題講解

例題：x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式H萬有意義？

分析要使二次根式有意義，必須且只須被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

解：被開方數(shù)x-l》0,即x2l.

所以，當(dāng)x》l時(shí)，二次根式&萬有意義.

思考：叱等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3,……分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的a2的值，看看有什么規(guī)律：

概括：當(dāng)a20時(shí)，〃了=。；當(dāng)a<0時(shí)，=—a.

這是二次根式的又一重要性質(zhì).如果二次根式的被開方數(shù)是一個(gè)完全平方，運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)，可以將它“開方”

出來，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.例如：

="(2X)2=2X(X20)；=-J(x2)2=x2.

四、練習(xí)：x取什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式有意義.

(?)J3-4x；(2)j3x-2；(3)；(4)J3x-4+J4-3x

五、拓展

例：當(dāng)x是多少時(shí)，J2X+3+」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

1+1

分析：要使j2x+3+」—在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時(shí)滿足，2x+3中的20和」一

中的x+lHO.

X+\X+1

解A：依題意”，得,《2x+3>0

[x+lwO

3

由①得：X，--

2

由②得：x#-l

當(dāng)Xe--且xW-l時(shí)，J2X+3+——在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

21

例：(1)已知y=j2—x+Jx-2+5,求二的值.(答案:2)

y

⑵若疝F+二1=0,求aZ^+b?00"的值.(答案:一)

六、歸納小結(jié)(學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評(píng))本節(jié)課要掌握：

1.形如&(a20)的式子叫做二次根式，“J-”稱為二次根號(hào).

2.要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

七、布置作業(yè)：教材P4：1、2

八、反思及感想：

22.1二次根式(2)

教學(xué)內(nèi)容：1.4a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；2.(JZ)2=a(a20).

教學(xué)目標(biāo)：1、理解血(a>0)是非負(fù)數(shù)和(五)2=a(a20),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

2、通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出JZ(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平

方根的意義導(dǎo)出(&)2=a(a20)；最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵：1.重點(diǎn)：8(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(&)2=a(a20)及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出JZ(a^O)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；?用探究的方法導(dǎo)出(JZ)2=a

(aNO).

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入(學(xué)生活動(dòng))口答

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)a20時(shí)，后叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，而有意義嗎？

二、探究新知

議一議：(學(xué)生分組討論，提問解答)

4ci(a20)是一個(gè)什么數(shù)呢？

老師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出

五(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

22

(V?)=；(V2)=；(M)2=.(6)2=:

(，)2=------；(&J-------；(瓜)2=--------

老師點(diǎn)評(píng)：①、"是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義,

②、衣是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有(、/?)2=4.

同理可得：(V2)2=2,(處)2=9,(g)2=3,(.-)2=~,(2=—>(Vo)2=0,所以：(\[a)2

\3372

a(a20)

三、例題講解

4.卓2

1|尹23飛了

例1計(jì)算：1.(2.(3石)

分析：我們可以直接利用(yfa)2=a(a20)的結(jié)論解題.

解：1.(JIY

2.(375)2=32?(氐2=327=45,

(立)烏二

4.

2224

四、鞏固練習(xí)

計(jì)算下列各式的值:

(V18)22(趙)2(捶)2(4g)2(36)2_(56)2

V34V8

五、應(yīng)用拓展

例2計(jì)算

1.(Vx+T)2(x20),2.(VZ7)2,3.(y/a2+2a+l)2,4.(49+)2

分析：(1)因?yàn)閤20,所以x+l>0；

(2)a2>0；

(3)a2+2a+l=(a+1)20；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2?2x?3+32=(2x-3)2^0.

所以上面的4題都可以運(yùn)用(JZ)2=a(a20)的重要結(jié)論解題.

解：(1)因?yàn)閤2O,所以x+l>0,(V-V+1)2=x+l

(2)Va2>0,A(Vo7)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2,又：(a+1)2>0,

a~+2a+l20,；?>/a~~+2a+1=a~+2a+1

(4)V4X2-12X+9=(2X)<2?2x?3+32=(2x-3)2,又；(2x-3)2>0

.".4X2-12X+9^0,，(j4f—12x+9)2=4X2-12X+9

例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

六、歸納小結(jié)：本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.yfa(aNO)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；2.()2=a(a》0);反之:a=(>/a)2(a》0).

七、布置作業(yè)：教材P4：3、4

八、反思及感想：

22.1二次根式(3)

教學(xué)內(nèi)容J/=a(a2O)

教學(xué)目標(biāo)：1、理解必=a(a20)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

2、通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究而'=a(a20),并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵：1.重點(diǎn)：J/=a(a>0).

2.難點(diǎn)：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a20時(shí)，而=2才成立.

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：(老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容)

1.形如JZ(a20)的式子叫做二次根式；

2.y/a(aNO)是一個(gè)非負(fù)數(shù);

3.(Vaf=a(a，0).

那么，我們猜想當(dāng)a》0時(shí)，，/=2是否也成立呢？下面我們就來探究這個(gè)問題.

二、探究新知：(學(xué)生活動(dòng))填空：

V?--------；Vo.oi2=-------：=------；

序=--------；后=--------；腎=--------

(老師點(diǎn)評(píng))：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得至IJ：

因此，一般地：J/=a(a20)

三、例題講解：

例1化簡(jiǎn)：(1)V9(2)7(-4)2(3)V25(4)J(-3>

分析：因?yàn)?1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,

所以都可運(yùn)用J/=a(a20)?去化簡(jiǎn).

解：(1)囪=^/5^=3(2)4尸-4

(3)725=7?=5(4)?-3)2=后=3

四、鞏固練習(xí)：(見小黑板)

五、應(yīng)用拓展

例2填空：當(dāng)a20時(shí)，"=_____；當(dāng)a<0時(shí)，"=—，?并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.

(1)若J/=a,則a可以是什么數(shù)？(2)若J/=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)J7>a,則a可以是什么數(shù)？

分析：???J/=a(a20),...要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使氣)2”中的數(shù)

是正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)aWO時(shí)，后=?—a)2,那么-a20.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)可知府=|a|,而|a|

要大于a,只有什么時(shí)候才能保證呢？a<0.

解：(1)因?yàn)镴?=a,所以a20；(2)因?yàn)?，^=-a,所以aWO；

(3)因?yàn)楫?dāng)aNO時(shí)=a,要使>a,即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時(shí)，=-a,要使>a,即使-a>a,

a<0綜上，a<0

例3當(dāng)x>2,化-J(x-2)2-J(l-2x)2.

六、歸納小結(jié)：本課掌握：J/=a(a20)及運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，〃B=-a的應(yīng)用拓展.

七、布置作業(yè):1.先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+Jl—2a+」2的值,甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+,(1-a)?=a+(1-a)=1；乙的解答為：原式=a+Q(1-a)。=a+(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是.

2.若|1995-a|+V?-2000=a,求a-1995?的值.(提示：注意根式有意義的隱含條件)

3.若-3WxW2時(shí)，試化簡(jiǎn)|x-2|+J(X+3)2-10x+25。

八、反思及感想：

22.2二次根式的乘除(1)

教學(xué)內(nèi)容：4a,s[b—\[ab(a20,b20),反之，茄=夜,-Jb(a'O,bN0)及其運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)：1、理解血?血=而(a20,b20),而=&?&(a20,b20),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)

2、由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出?揚(yáng)=疝(a》0,b20)并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算；?利用逆向思維，得

出=,4b(a20,b^O)并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡(jiǎn).

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1、重點(diǎn)：4a,4b—4ab(a20,b20),\[ab=\[a?、歷(a20,b20)及它們的運(yùn)用.

2、難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出,4b=\[ab(a>0,b20).

3、關(guān)鍵：要講清疝(a<O,b<O)=&x揚(yáng)，如J(-2)x(-3)=74-2)x-(-3)

或J(—2)x(—3)=7^=&義』.

教學(xué)過程：一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探.(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題.

1.填空：(1)"義囪=,,4x9=；(2)V16xV25=1J16x25=.

(3)7100X736=,V100x36=.

參考上面的結(jié)果，用“>、<或=”填空.

V4x79____A/4^9,716X725_____,16x25,^/i00x736V100x36

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空

(1)V2X73V6,(2)V2X75VlO,

(3)V5XV6V301(4)V?X6亞，

(5)V7XV10屈.

(學(xué)生活動(dòng))讓3、4個(gè)同學(xué)上臺(tái)總結(jié)規(guī)律.

老師點(diǎn)評(píng)：(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；(2)兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，?并且把這兩個(gè)二次根式中的

數(shù)相乘，作為等號(hào)另一邊二次根式中的被開方數(shù).

一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為

\[a,yfb=yfab.(a20,b>0)

反過來：[=&??(a20,b20)

合探1.計(jì)算：(1)&XJ7,(2)/lxV9,(3)79X727,(4)叵X?

V3V2

分析：直接利用JZ,\[b='Jab(a20,b20)計(jì)算即可.

合探2化簡(jiǎn)(1)V9X16,(2)716x81,(3),81x100,(4)板歹，(5)后

分析：利用=?yfb(a》0,b>0)直接化簡(jiǎn)即可.

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展：判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正：

(1)J(-4)X(-9)=QX"

(2)X岳=4X層X岳=4怎X后=4屈=8百

四、鞏固練習(xí)⑴計(jì)算(生練，師評(píng))①我②3ax2M③歷?

(2)化簡(jiǎn)：V20;V18;V24;用；J12—

五、歸納小結(jié)(師生共同歸納)

本節(jié)課掌握：(1)4a,>Jb—4ab=(a20,b》0),4ab=4a,\[b(a20,b20)及運(yùn)用.

六、作業(yè)設(shè)計(jì)(寫在小黑板上)

(一)、選擇題

1.直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為岳cm和厄cm,?那么此直角三角形斜邊長(zhǎng)是()

A.3V2cmB.36cmC.9cmD.27cm

2.化簡(jiǎn)aJZT的結(jié)果是（）.A.J工B.4aC.-4~aD.-JZ

3.等式五=1=1*2—1成立的條件是（）

A.xNlB.xe-lC.-IWxWlD.x21或xW?l

4.下列各等式成立的是（）.

A.4石X26=8底B.56X48=205C.4Gx30=75D.56義4夜=20指

（二）、填空題：

1.71014=.

2.自由落體的公式為S=；K（g為重力加速度，它的值為lOmM）,若物體下落的高度為720m,則下落的時(shí)間是

（三）、綜合提高題探究過程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過程.

(2)3

同理可得:4梏=/+信§忌=/十言,

通過上述探究你能猜測(cè)出：aIa=_______（a>0），并驗(yàn)證你的結(jié)論.

7a2-1

七、反思及感想:

22.2二次根式的乘除（2）

教學(xué)內(nèi)容：巫=叵（a20,b>0）,反過來叵=①（aNO,b>0）及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

yJhVbVbJb

教學(xué)目標(biāo);1、理解巫=叵（a20,b>0）和叵=返（aNO,b>0）及利用它們進(jìn)行運(yùn)算.

>fbVbVb

2、利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它

們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：理解且=叵（a20,b>0）,叵=￡_（a>0,b>0）及用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

4bNb\h4b

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教學(xué)過程；一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探.（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：

1.填空(1)8=：(2)A=___>匣=_____；

>/?6一腎V36V36

(3)V4=，產(chǎn)=;(4)>/36=，/36=

VT6V16x/8lV81-

規(guī)律：?____巨；____叵；巫一田;_[36.

V16V16V36736>?16V16聞V81

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空：

鼻=，（4）包=

(1)0=，(2)V2=,(3)

V8

規(guī)律：6[3；也回；鼻回；后回。

A/4V473V3V5V5瓜V8

每組推薦一名學(xué)生上臺(tái)闡述運(yùn)算結(jié)果.（老師點(diǎn)評(píng)），根據(jù)大家的練習(xí)和回答,

我們進(jìn)行合探：

二次根式的除法規(guī)定：

一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定：

,關(guān)(a>0,b>0)

反過來;

下面我們利用這個(gè)規(guī)定來計(jì)算和化簡(jiǎn)一些題目.

分析：上面小題利用%=

4號(hào)（aNO,b>0）便可直接得出答案.

[a_yfa

分析：直接利用（a20,b>0）就可以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的.

二、應(yīng)用拓展

已知但三=比三，且x為偶數(shù)，求（1+x）任-5x+1的值.

Vx-6Vx-6V-x2-l

(a_4a

分析：式子只有a20,b>0時(shí)才能成立.

因此得到9-xNO且x-6>0,即6<xW9,又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=8.

三、歸納小結(jié)（師生共同歸納）

本節(jié)課要掌握巫=叵（a20,b>0）和叵=叵（a20,b>0）及其運(yùn)用.

~JbVbVb-Jb

四、作業(yè)：（寫在小黑板上）

（一）、選擇題：

1.計(jì)算出一媽+后的結(jié)果是（）.

A.175；B.1；C.72；D.V2

777

2.閱讀下列運(yùn)算過程：1>/3J3,22752>/5數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號(hào)去掉的過程

y/3A/3X>/33V5V5X5/55

2

稱作“分母有理化”，那么,化簡(jiǎn)定的結(jié)果是（).

A.2B.6C.-A/6D.76

3

(二人填空題1.分母有理化：(1)_J_=;(2)1=；(3)Vio=.

3鼻VT2275

2.已知x=3,y=4,z=5,那么J五+J百的最后結(jié)果是

（三）、綜合提高題計(jì)算

五、反思及感想:

22.2二次根式的乘除（3）

教學(xué)內(nèi)容

最簡(jiǎn)二次根式的概念及利用最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算.

教學(xué)目標(biāo)：1、理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式.

2、通過計(jì)算或化簡(jiǎn)的結(jié)果來提煉出最簡(jiǎn)二次根式的概念，并根據(jù)它的特點(diǎn)來檢驗(yàn)最后結(jié)果是否滿足最簡(jiǎn)二

次根式的要求.

重難點(diǎn)關(guān)鍵：1.重點(diǎn)：最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是最簡(jiǎn)二次根式.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探1.（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題（請(qǐng)三位同學(xué)上臺(tái)板書）

計(jì)算（1）正，（2）3V2,（3）娓

>/5V2742a

老師點(diǎn)評(píng)：—2AA7

V55V273^/2aa

自探2.觀察上面計(jì)算題的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有什么特點(diǎn)？（有如下兩個(gè)特點(diǎn)：1.被開

方數(shù)不含分母；2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.）

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

合探1.把下面的二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式：（1）3日;⑵,jx2y4+x4y2；（3）標(biāo)/

合探2.如圖，在RtZSABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,A

求AB的長(zhǎng).

AB=，2.5?+6?=

因此AB的長(zhǎng)為6.5cm.

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式：

1_lx（V2-l）_V2-1_r,

萬丁g）（夜_1廣百7

1=1x（6-揚(yáng)出-立_尼萬

6+函+&）（癢揚(yáng)一3-2''

同理可得：1=&出,……

V4+>/3

從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算

（!+1+1+……1）（A/2002+1）的值.

V2+1>/34-V274+73V2002+V2OO1

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

四、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡(jiǎn)二次根式的概念及其運(yùn)用.

五、作業(yè)設(shè)計(jì)（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.如果產(chǎn)（y>0）是二次根式，那么，化為最簡(jiǎn)二次根式是（）.

A.叵（y>0）B.JE（y>0）C.6（y>0）D.以上都不對(duì)

6y

2.把（a-1）/1中根號(hào)外的（a-1）移入根號(hào)內(nèi)得（）.

Va-1

A.y]Cl—1B.yj\—（1C.-yj（1—1D.-y/l—Cl

3.在下列各式中，化簡(jiǎn)正確的是（）

B.[X.=±yV2C.>ja4b=a2s[bD.—x2=xjx-l

4.化簡(jiǎn)一3號(hào)的結(jié)果是（）A.->/2；B.-2；C.-逅；D.-72

727303

（二）、填空題

1.化簡(jiǎn)“4+。2=.（x20）

2.a尸耳化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是.

（三）、綜合提高題

1.已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)：7^7-aF1，閱讀下面的解答過程，請(qǐng)判斷是否正確？若不正確，?請(qǐng)寫出正確的解

答過程：

解：A/—6?-a/_J_=ay/—a-a,J_\[—a=（a-1）>[—a

a

2.若x、y為實(shí)數(shù)，且y=-T+g-x：+1,求Jx+y^x-y的值.

x+2

六、反思及感想:

22.3二次根式的加減⑴

教學(xué)內(nèi)容：二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)：理解和掌握二次根式加減的方法.

重難點(diǎn)關(guān)鍵：1.重點(diǎn)：二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)根式.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判定是否是最簡(jiǎn)二次根式.

教學(xué)過程：

一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探(學(xué)生活動(dòng))：計(jì)算下列各式.

(1)2V2+3A/2；(2)2\/8-35/8+5>/8；(3)+2+3《9x7；(4)3-2V3+V2

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2J5與物表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以

的.(板書)372+78=3V2+2V2=5V2和3指+a=3石+36=66

所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，?再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

合探1.計(jì)算：(1)78+718(2)J16x+，64x

分析：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并.

合探2.計(jì)算

(1)3748-9^1+3>/12(2)(748+720)+(712-75)

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展

+22

已矢口4x?+y2?4x-6y+10=0,求(ZxJ9xy/一)-(x/T-5x叵)的值.

3曠算VxVx

分析：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得(2X-1)2+(y-3)2二()，

即*=',y=3.其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式，?再合并同類二次根式，最

2

后代入求值.

四、歸納小結(jié)(師生共同歸納)：本節(jié)課應(yīng)掌握：

(1)不是最簡(jiǎn)二次根式的，應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式；(2)相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并.

五、作業(yè)設(shè)計(jì)(寫在小黑板上)

(一)、選擇題

1.以下二次根式：①巫；②亞；③后;④后中，與G是同類二次根式的是().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①36+3=66；②;夕=1;③行+n=我=2后；④亨=2及，其中錯(cuò)誤的有

().A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

(二)、填空題

1.在次、17^'2反、Ji石、2后》、3屁、-2足中，與扃是同類二次根式的有.

33aV8

2.計(jì)算二次根式5G-3揚(yáng)-76+9揚(yáng)的最后結(jié)果是.

（三）、綜合提高題

1.已知石弋2.236,求（底-舊）-（F+1745）的值.（結(jié)果精確到0。）

2.先化簡(jiǎn)，再求值.

(6x)-(4x[+436xy),其中x=2_,y=27.

六、反思及感想:

22.3二次根式的加減⑵

教學(xué)內(nèi)容：利用二次根式化簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

教學(xué)目標(biāo)：運(yùn)用二次根式、化簡(jiǎn)解應(yīng)用題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵：講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點(diǎn)，又是本節(jié)課的難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn).

教學(xué)過程：

一、設(shè)疑自探一一解疑合探

上節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個(gè)步驟：第一步，先將二次根式化成最簡(jiǎn)二

九

AP

次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下面我們研究三道題以做鞏固.

自探1.如圖所示的RtZXABC中，/B=90°,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/?秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，

點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng).問：幾秒后aPBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是

多少厘米？（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）

分析：設(shè)x秒后4PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,?根據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值.

解：設(shè)x后aPBQ的面積為35平方厘米.則有PB=x,BQ=2x

依題意，得：—x,2x=35X2=35X=V35

2

所以標(biāo)秒后aPBQ的面積為35平方厘米.

PQ=^PB2+BQ2=Vx2+4x2=Vsx7=J5x35=5V7

答：屈秒后APEQ的面積為35平方厘米,PQ的距離為5近厘米.

自探2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）?

解：由勾股定理，得AB=^AEr+BCr=A/42+22=>/20=275

BC=^BCT+CDT=>/22+l2=居

所需鋼材長(zhǎng)度為AB+BC+AC+BD=26+石+5+2=36+7=3X2.24+7^13.7（m）

答：要焊接一個(gè)如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材.）

三、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

四、應(yīng)用拓展

若最簡(jiǎn)根式3飛4a+3。與根式一1+6人是同類二次根式,求&、b的值.

注：（?同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式）

分析：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同；?事實(shí)上，根式J2加—多3+6好不

是最簡(jiǎn)二次根式，因此把：2"2一>3+662化簡(jiǎn)成⑻?j2a-b+6,才由同類二次根式的定義得3a/b=?2,

2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2"2—4+6從化為最簡(jiǎn)二次根式:

hab1—/J」+6Z?2=J12（2a-1+6）=|b|?」2a-b+6

由題意得[4"+3〃=2。一〃+6二12。+4〃=6；.a=l,b=l

[3a-Z?=2\3a-b=1

五、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握運(yùn)用最簡(jiǎn)二次根式的合并原理解決實(shí)際問題.

六、作業(yè)設(shè)計(jì)（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.已知直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5和5,那么斜邊的長(zhǎng)應(yīng)為（）.

A.572B.A/50C.2逐D.以上都不對(duì)

2.小明想自己釘一個(gè)長(zhǎng)與寬分別為30cm和20cm的長(zhǎng)方形的木框，?為了增加其穩(wěn)定性，他沿長(zhǎng)方形的對(duì)角線又釘

上了一根木條，木條的長(zhǎng)應(yīng)為（）米.

A.13V100B.V1300C.10>/13D.5713

(二)、填空題

1.某地有一長(zhǎng)方形魚塘，已知魚塘的長(zhǎng)是寬的2倍，它的面積是1600m2,?魚塘的寬是m.

2.已知等腰直角三角形的直角邊的邊長(zhǎng)為0,?那么這個(gè)等腰直角三角形的周長(zhǎng)是.

(三)、綜合提高題

1.若最簡(jiǎn)二次根式|(3加2一2與八目4m2一10是同類二次根式,求m、n的值.

2.同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式a2±2ab+b?=(a±b)2,你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式,

那么所有的正數(shù)(包括0)都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如3=(6)2,

5=(右)2,你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察：

(■x/2-l)2=(^)2-2?1?V2+l2=2-272+1=3-272

反之，3-20=2-20+1=(應(yīng)-1)2.?.3-20=(0-1)273-2>/2=72-1

求：(1)《3+2&；(2)"+2君；(3)你會(huì)算,4—嗎?

(4)y[a±2y/h=4m±-Jn,貝！Im、n與a、b的關(guān)系是什么？并說明理由.

六、反思及感想：

22.3二次根式的加減(3)

教學(xué)內(nèi)容：含有二次根式的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、相除；

乘法公式的應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)：1、含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用.

2、復(fù)習(xí)整式運(yùn)算知識(shí)并將該知識(shí)運(yùn)用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運(yùn)算.

重難點(diǎn)關(guān)鍵：I、重點(diǎn)：二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算規(guī)律；

2、難點(diǎn)關(guān)鍵：由整式運(yùn)算知識(shí)遷移到含二次根式的運(yùn)算.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑自探一一解疑合探

自探1.(學(xué)生活動(dòng))：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：

1.計(jì)算：(1)(2x+y)?zx(2)(2x2y+3xy2)-rxy

2.計(jì)算：(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

老師點(diǎn)評(píng)：這些內(nèi)容是對(duì)八年級(jí)上冊(cè)整式運(yùn)算的再現(xiàn).它主要有(1)?單項(xiàng)式X單項(xiàng)式；(2)單項(xiàng)式X多項(xiàng)式；(3)

多項(xiàng)式+單項(xiàng)式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的運(yùn)用.

如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢？?仍成立.

整式運(yùn)算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，?當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，

整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式.

自探2.計(jì)算：（1）（V6+V8）xx/3（2）（4V6-3V2）H-2V2

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，?所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律.

自探3.計(jì)算：（1）（石+6）（3-75）（2）（V10+V7）（V10-V7）

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立.

二、質(zhì)疑再探：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)你還有什么問題或疑問？與同伴交流一下！

三、應(yīng)用拓展：已知之二2=2-2二W，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+bWO,

ab

化簡(jiǎn)J*+1-+J*+1+,并求值.

1+y/xy/x-b1-yfx

分析：由于（GR+4）=1,因此對(duì)代數(shù)式的化簡(jiǎn)，可先將分母有理化，再通過解含有字母系

數(shù)的一元一次方程得到X的值，代入化簡(jiǎn)得結(jié)果即可.

解：原式?「耳一丹7-+二呵+旦

(VX+1+Vx)(Vx+1->Jx)WX+1-，￥)(，%+1+，x)

(+1X+1+

—yfx^+(J=(x+l)+x-2Jx(x+1)+x+2Jx(x+D=4x+2

(X+1)—X(x+1)—X

*/----=2------/.b(x-b)=2ab-a(x-a)bx-b2=2ab-ax+a2

ab

:.(a+b)x=a2+2ab+b2:.(a+b)x=(a+b)2Va+b^Ox=a+b

，原式=4x+2=4(a+b)+2

四、歸納小結(jié)（師生共同歸納）：本節(jié)課應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運(yùn)算.

五、作業(yè)設(shè)計(jì)（寫在小黑板上）

（一）、選擇題

1.（疝-3后+2戶X0的值是（）.

A.20^/3.3V30B.3回-26C.2V30-A73D.出縣向

3333

2.計(jì)算（4+Jx-1）（Vx-Vx-1）的值是（）.A.2B.3C.4D.1

（二）、填空題

1.（-_!_+正）2的計(jì)算結(jié)果（用最簡(jiǎn)根式表示）是.

22

2.（1-2^）（1+2^）-（26-1）2的計(jì)算結(jié)果（用最簡(jiǎn)二次根式表示）是.

3.若x=^2-1,貝!|x?+2x+1=.

4.已知a=3+2>/^,b=3-2\/2.貝lja2b-ab?=.

（三）、綜合提高題

1.化簡(jiǎn)4+5

V1O+>/14+>/15+V2?

2.當(dāng)xn-？J—時(shí)，求x+l+￡^+x+l-^^三的值.（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）

v2-1%+1-A/X2+Xx+i+y/x2+x

六、反思及感想：

23.1一元二次方程

教學(xué)目標(biāo)：

1、知道一元二次方程的定義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式a/+bx+c=°（awo）2、在分析、揭示

實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)

系的工具，增加對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí)。3、會(huì)用試驗(yàn)的方法估計(jì)一元二次方程的解。

重點(diǎn)難點(diǎn)：

1.一元二次方程的意義及一般形式，會(huì)正確識(shí)別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”。

2.理解用試驗(yàn)的方法估計(jì)一元二次方程的解的合理性。

教學(xué)過程：

一做一做：

1.問題一綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每?jī)纱睒欠恐g，開辟面積為900平方米的一塊長(zhǎng)方形綠地，并且長(zhǎng)比寬

多10米，那么綠地的長(zhǎng)和寬各為多少？

分析：設(shè)長(zhǎng)方形綠地的寬為x米，不難列出方程

x（x+10）=900

整理可得x2+lOx-900=0.（1）

2.問題2

學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬冊(cè).求這兩年的年平均增長(zhǎng)率.

解：設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x,我們知道，去年年底的圖書數(shù)是5萬冊(cè)，則今年年底的圖書數(shù)是5（1+x）萬冊(cè)；

同樣，明年年底的圖書數(shù)又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）（l+x）=5（l+x）2萬冊(cè).可列得方程

5（1+x）2=7.2,

整理可得5x?+lOx-2.2=0.（2）

3.思考、討論

這樣，問題1和問題2分別歸結(jié)為解方程（1）和（2）.顯然，這兩個(gè)方程都不是一元一次方程.那么這兩個(gè)方程與一元

一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？

（學(xué)生分組討論，然后各組交流）共同特點(diǎn)：（1）都是整式方程（2）只含有一個(gè)未知數(shù)（3）未知數(shù)的最高

次數(shù)是2

二、一元二次方程的概念

上述兩個(gè)整式方程中都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的方程叫做一元二次方程）.通?？蓪懗?/p>

如下的一般形式：

ax2+bx+c=O（a,b、c是已知數(shù)，aWO）。其中叫做二次項(xiàng)，。叫做二次項(xiàng)系數(shù)；區(qū)叫做一次項(xiàng)，〃叫做一次項(xiàng)

系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng)。.

三、例題講解與練習(xí)鞏固

1.例1下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。

2]_

（j）3%+2=5%-3（2）x2-4（3）尤+1（4）x?-4=（x+2）-

2.例2將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

1）6y2=y2）（x-2）（x+3）=83）（X+3）（3X-4）=（X+2）2

說明：一元二次方程的一般形式af+Z^+c=°（。*0）具有兩個(gè)特征：一是方程的右邊為0；二是左邊的二次

項(xiàng)系數(shù)不能為0。此外要使學(xué)生意識(shí)到：二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是包括符號(hào)的。

3.例3方程(2a—4)x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？

本題先由同學(xué)討論，再由教師歸納。

解：當(dāng)。羊2時(shí)是一元二次方程；當(dāng)。=