高中數(shù)學(xué)學(xué)案2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第一冊(cè) 簡(jiǎn)單的三角恒等變換

5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.能夠綜合運(yùn)用兩角和差公式、倍角公式、半角公式等進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換;

2.運(yùn)用恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明；

3.會(huì)將asinx+bcosx化為只含有正弦的形式。

【自主學(xué)習(xí)】

1.半角公式：

a

sin-=------------

a

cos~=____________

a1—cosa

tanT=±M+cosa=---------=-------

2.輔助角公式：

b

asinx+bcosx=.(其中tan0=-)

【小試牛刀】

思維辨析(對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“X”)

a_Zi-l_cosa

(1)cosTV2-)

(2)存在aGR.使得cos-y=-ycosa.)

(3)對(duì)于任意aSR,sin}='sina都不成立.)

1-cosa

(4)若a是第一象限角，則tan)

1+cosa

【經(jīng)典例題】

題型一半角公式的應(yīng)用

例1試用cosa表示sir?區(qū),cos2—,tan2—.

222

【跟蹤訓(xùn)練】1求證:

1

asina1-cosa

tan—=----------=-----------

21+cosasina

題型二三角恒等式的證明

例2求證：

(1)sinacos尸=g[sin(tz+/?)+sin(tz-^)]

(2)sin6,+sin=2sin^+^cos—~—

22

【跟蹤訓(xùn)練】2求證：

(1)coscrsin/J=g[sin((z+/?)-sin((z-/?)]

(2)cos^+cos0=2cos^+^cos———

22

2

題型三三角恒等變換的綜合應(yīng)用

例3求下列函數(shù)的周期，最大值和最小值

(1)y=sinx+V3cosx

(2)y=3sinx+4cosx

例4如圖1,已知OPQ是半徑為1,圓心角為工的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的

3

內(nèi)接矩形.記NP0C=a,求當(dāng)角a取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.

【跟蹤訓(xùn)練】3

化簡(jiǎn)(1)3/I5sina:+3/5COST;

團(tuán)Rsin/cos芻

3

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.已知cosd=w，且270°VJV360°,試求sin方和cos5的值.

2.函數(shù)f(X)=sinx—A/SCOSX(xe[-漢0])的單

調(diào)遞增區(qū)間是----------

3.在半徑為R的圓形場(chǎng)地內(nèi)建一個(gè)矩形花壇，應(yīng)怎樣截取，才能是花壇的面積最大?

4.求下列函數(shù)的周期，最大值和最小值:

(1)y=5cosx—12sinx]

(2)y=cosx+2sinx.

【課堂小結(jié)】

回顧一下，學(xué)習(xí)了本節(jié)課:

1.半角公式

4

2.輔助角公式

3.三角恒等變換的綜合問(wèn)題

4.三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

【參考答案】

【自主學(xué)習(xí)】

/I—cosa1+cosQsina1-cos

2—21+cosasina

【小試牛刀】

提示：(1)X.只有當(dāng)—氏+2歸寅《號(hào)《今+24兀(氏￡Z),

即一7T+4歸兀&Q&7T+既7T(kGZ)時(shí)，COS

1+cosa

72,

(2)v.當(dāng)cosa=-V3+l時(shí)，上式成立，但一般情況下

不成立.

(3)X.當(dāng)a=2姓(&GZ)時(shí)，上式成立，但一般情況下不

成立.

(4)".若a是第一象限角，則今是第一^三象限角，此時(shí)

【經(jīng)典例題】

例1

解a是1的二倍角

2

在公式cos2a=1-2sin2a中，以a代替2a,以F代替火

cosa=l-2sin—

2

5

在公式cos2a=2cos2。一1中，以a代替2a,以2代替a,

2

cosa=2qcos2-a---1

2

a1+cosa

2cos—二--------②

22

?得

②

2a1—cosa

tan一二----------------

21+cosa

【跟蹤訓(xùn)練】1

.a.aa

sin—sin—cos—

sina

因?yàn)閠an—=2二22

2a2a1+cosa

cos—cos—

22

.a?2a

sin—sin—

a22_1-cosa

tan—二

2a.aasina

cos—sin—cos—

222

所以得證.

例2(1)

解(1)sin(aH-y6)=sinacos分co§asinp

sin(a-y0)=sinacos/3-cososin(3

兩式相加，得

sin(6H-/?)+sin(a-?=2sin?cosp

sinacos萬(wàn)二工[§in(a+⑶+sin(a—⑶]

2

(2)由⑴可得

sin(cH-^)+sin(a-y0)=2sinacos0①

設(shè)研/?=aa-p=(p

°二也?

2/2

把見(jiàn)砸值代入①，即得

8+夕0-(p

sin0+sin^=2sin-------cos--------

【跟蹤訓(xùn)練】2

6

(1)右邊=4s加(。+。)一5加(Q—0)]

^sinacosP+cosasin^—sinacos/3+cosasin/3)

=①x2cosasinB

=cosa-sin8

=左邊

綜上所述，結(jié)論是：

cosa?s譏0=Js，n(a+0)—sin(Q-0)]

e+9§-Q\e+@e-§\

(2)cose+cos9=cos——+——j+cos——---y.

e+oe—Q8+@.s-Q8+03-Q.e一夕

=cos----cos------sin-----sin-----+cos-----cos-----+sin-----sin-----

22'>2

、8+09-(p

cos----cos-----

=27)

g+夕6-Q

即COS0+COSQ=1cos---cos---

例3⑴

解：y=sinx+y/3cosx

?工百1

=2—sinx+——cosx

(22J

J.71.

=2smxcos——Fcosxsm—

I33j

.(吟

=29sinXH——

I3j

所以，所求的周期為2a最大值2,最小值?2.

(2)

解:設(shè)y=3sinx+4cosx=4sin(x+9)

貝ljy-3sinx+4cosx=^sinxcos^+^cosxsin^

于是A2cos2(p+A2sin2(p-25,所以T=25,

于是4cos0=3,Asm(p-4,

i3.4

取4=5,貝niIJcos^=-,sin^=—,

由y=5sin(x+0)可知，所求周期為2兀，最大值為5,最小值為-5.

【跟蹤訓(xùn)練】3

7

(l)3715sinx+3/5cosx

73.17T..7T

cosyrsinx+sinyrcosx

-^-sinx+2cosx66

si?n\ix+IyTrT

\6

綜上所述，結(jié)論：

=6y5s加卜+卷)

c

^2y/3sin-2+cos-^=2(_—Sin^+^os^

綜上所述，結(jié)論：序in'+cosg

=2儀尹V)

例4

解在RtZkOBC中,O5=co§a]C=siiia

r)A「

在RtZ\O4D中，——=tan60°=6

OA

OA=—DA=—BC=—sina

333

AB=OB-OA=cosa--sina

3

設(shè)矩形ABCD的面積為S,則

S=AB?BC

(,V

=cosa-----smasma

3

\7

^.2

=smacosa-----sma

3

8

=人2-4-

cos2a)

26'

=—sin2ad-----cosla-------

266

1.心,吟V3

cIn91乃6式5TI

由于0vav—,得一v2a+—〈——

3666

所以當(dāng)2。+工=工，即a=工時(shí)

626

c_1后一再

s最大=T

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.

Q

[分療】根據(jù)270s<e<3&f得135,<彳<180,，根據(jù)半角公式求值.

2.

/(X)=sinx-'>Acosx=2sm(x--)

7T47r7T,

Sr

故由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知

一;”《/一年《一年，得即函數(shù)

f(X)=sinx--73cosx(xe[-憶0])的單調(diào)遞

增區(qū)間是「2.0o故本題答案為C。

L6-J

9

【分聽(tīng)】設(shè)圓心為。,長(zhǎng)方形面積為S，設(shè)ZJO8=40va<5；,表示出面積S=1R2sin2a，即可求得最值

如圖，設(shè)圓心為0,長(zhǎng)方形面積為5,

,則.15=Ksina,OB=Reosa,

???S=2.15-205=IRsina-2Rcosa=2^:sin2a,

.?.當(dāng)a=：時(shí)，花壇的面積最大，5^=2/2:.jim,AB=—R,0B=—