第二章導(dǎo)數(shù)與微分教案

第二章導(dǎo)數(shù)與微分

知識(shí)點(diǎn):

'導(dǎo)數(shù)的定義

導(dǎo)數(shù)的概念^導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

'導(dǎo)數(shù)的基本公式

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算^

隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

取對(duì)數(shù)法求導(dǎo)

高階導(dǎo)數(shù)

微分［微分的概念及其幾何救

［微分的基本公式與運(yùn)觸則

教學(xué)目的要求：

(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念；熟記導(dǎo)數(shù)符號(hào)；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；了解函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

(2)熟記導(dǎo)數(shù)的基本公式；掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則；掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；掌

握隱函數(shù)與對(duì)數(shù)法的求導(dǎo)方法；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；掌握高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法。

(3)理解微分的概念及其幾何意義；熟記微分的基本公式與運(yùn)算法則。

教學(xué)重點(diǎn)：

1.導(dǎo)數(shù)的概念

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

3.導(dǎo)數(shù)的基本公式

4.四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

5.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

6.隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

7.一階微分的形式不變性

教學(xué)難點(diǎn)：

1.導(dǎo)數(shù)的概念

2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

3.隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

4.微分的形式不變性

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

【教學(xué)內(nèi)容】?jī)蓚€(gè)引例；導(dǎo)數(shù)的定義；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

【教學(xué)目的】使學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的定義，掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線的切線方程與法線

方程，了解函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】1.導(dǎo)數(shù)的定義；2.用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；3.導(dǎo)數(shù)的幾何意

義。

【教學(xué)難點(diǎn)】L導(dǎo)數(shù)的定義；2.函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

【教學(xué)時(shí)數(shù)】2學(xué)時(shí)

【教學(xué)進(jìn)程】

一、兩個(gè)引例

弓I例1自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度。

提問(wèn)：1.自由落體運(yùn)動(dòng)的位移公式；2.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度公式；3.自由落體

運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度公式的推導(dǎo)過(guò)程(適當(dāng)討論)。

由學(xué)生回答可知自由落體運(yùn)動(dòng)的位移公式為s=s(t)=1gt2,由于物體的位移s是

隨時(shí)間t連續(xù)變化的，因此在很短的時(shí)間間隔At內(nèi)(從4到/()+△￡)內(nèi)，速度變化不大，

可以用平均速度可=絲=s(to+.t)-s(t&)作為時(shí)的瞬時(shí)速度v(t°)的近似值，即

AtAt

1A、212

5(1。+似)5?°)_2以"+)—2短0

As1A2

v(t)=gt+-gAt-

0AtAtAt0

顯然，。越小，訶與V?o)越接近，當(dāng)。無(wú)限變小時(shí)，平均速度就無(wú)限接近4時(shí)的瞬

Ay

時(shí)速度.由此，令如果平均速度絲的極限存在,

490,就把它定義為物體在時(shí)刻t0的

瞬時(shí)速度V?o),即

1,

v(t0)=lim(gt0+-gAt-)=gt0

AtfO2

總結(jié)規(guī)律：對(duì)于一般的變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度可由以下式子求得:

/、「As「s(?o+△,)-S&)

v(r0)=lim——=lim

A?->0At4foA?

引例2平面曲線的切線斜率

提問(wèn)：1.什么叫做圓的切線？2.一般的平面曲線的切線怎么定義？(適當(dāng)討論)

定義設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)定點(diǎn)，在曲線C上另

取一點(diǎn)Q，作割線PQ，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P移動(dòng)

時(shí)，割線PQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，設(shè)其極限位置為PT,則直

線PT稱為曲線C在點(diǎn)P的切線.如右圖所示.

設(shè)曲線C的方程是y=f(x),記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

x0,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為Xo+Ax(Ax可正可負(fù))，PR平行x軸，設(shè)PQ的傾角為金，則PQ

的斜率為tane=黑顯然tan4)=當(dāng)=f(x。+-)-f(x。)

PRPRAx

當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線C無(wú)限趨近于點(diǎn)P時(shí)(這時(shí)Ax70),。也趨近于PT的傾角a,這時(shí)切

線PT的斜率tana=lim—=lim血。+△x)-f(x°)

故一0AxAx

綜上兩個(gè)引例的結(jié)論可知，雖然這兩個(gè)問(wèn)題所涉及到的背景知識(shí)不同，但是它們可以用

相同的方法求得所需結(jié)果，由此引出導(dǎo)數(shù)的定義。

二、導(dǎo)數(shù)的定義

1.導(dǎo)數(shù)的定義。

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)X。處有增量Ax(點(diǎn)

x0+Ax仍在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量

Ay=f(x0+Ax)-f(x0)

如果極限lim包存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)

△xfoAx

y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù).記作f'(x。)，也可記作y'『x。，興或限即

#,/、rAyf(x0+Ax)-f(x0)

f(x0)=lim二lim--------------

故―°AxAx->0Ax

這時(shí)就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)存在，或稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)；如果極限

不存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。不可導(dǎo)。

2.由導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

設(shè)函數(shù)y=f(x),求該函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟：

?在X。處給定Ax(AxH0)

?求增量Ay=f(x0+Ax)-f(x0)

?算比值包=>。+人)-蜂。)

AxAx

?取極限yl=lim包

?x-xoAx.0Ax

例1已知函數(shù)y=x2,求f'⑴。

解在X。=1處給定Ax(Ax力0)

(1)求增量

Ay=f(1+Ax)-f(1)=(1+Ax)2-I2=2Ax+(Ax)2

/、田士Ay2Ax+(Ax)26

(2)算比值」=-------——=2+Ax

AxAx

(3)取極限y'=lim包=lim(2+Ax)=2

Axf0AxAx-0

因此，f'⑴=2

3.幾點(diǎn)說(shuō)明。

1)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)也稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處對(duì)自變量的變化率。

2)當(dāng)極限limf(Xo+-x)—f(x°)與11mf(x0+Ax)—f(x0)存在時(shí),分別稱它們?yōu)?/p>

Ax->0-AxAxfO+AX

X。的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)，記為fl(x0)與f；(x。)。且f'(x0)存在當(dāng)且僅當(dāng)f[(Xo)與f；(x0)都

存在且相等。(利用極限存在的充要條件理解)

3)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)f'(Xo),就是導(dǎo)函數(shù)f'(x)在點(diǎn)x=Xo處的函數(shù)值，

即f'(Xo)=f'(X)|x=x。。(通過(guò)例1中改變X。值的改變進(jìn)行說(shuō)明)

4)如果函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)x處可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).顯

然導(dǎo)數(shù)值f'(x)也是x的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，今后在不會(huì)發(fā)生混淆的

情況下，也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù).記作f'(x),y',曳或由即

dxdx

、f(x+Ax)-f(x)

rf(x)=lim---------------------

故-°Ax

討論：函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù)是什么？(結(jié)論：(x2)，=2x)

思考：函數(shù)y=xn(n￡N+)的導(dǎo)數(shù)是什么？(結(jié)論：(xny=nxnT)

拓展：函數(shù)丫=乂?01￡10的導(dǎo)數(shù)是什么？(結(jié)論：(Xa)'=axaT)

L-1--11

如(Vx)'=(x2)f=-X2=--f=(xT)'=_l-X-2=_\等

22jxX

5)如果函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在a點(diǎn)右導(dǎo)數(shù)存在，在b點(diǎn)右導(dǎo)數(shù)存在，則稱

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)。

三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由引例2的分析可知導(dǎo)數(shù)的幾何意義為：函數(shù)y=f(X)在點(diǎn)X=X。的導(dǎo)數(shù)f'(X。)表示曲

線y=f(x)在點(diǎn)(X。，f(x°))的切線的斜率。因此有

?當(dāng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)時(shí)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(X。，f(x。))的切線方

,

程為y_y()=f(x0)(x-x0)

?曲線y=f(x)在點(diǎn)(x°,f(x0))的法線方程為

、x=Xo，當(dāng)f'(Xo)=O時(shí)

?如果y=f(x)在點(diǎn)X。連續(xù)且導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大，則曲線在點(diǎn)(X。，f(x0))的切線方程

為x=Xo；法線方程為y=yo

例2求曲線y=人在點(diǎn)(1,1)處的切線和法線方程。

解因?yàn)閥，=(6)，=),所以y[=L.于是曲線y=4在點(diǎn)(1,1)處的切線方

2Vxx-2

程為y_l=；(x_l/|]x_2y+l=0

曲線y=五在點(diǎn)(1,1)處的法線方程為y—1=—2(x—1)即2x+y—3=0

四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0處必連續(xù).

注：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處連續(xù)，f(x)在點(diǎn)x0處未必可導(dǎo)。

*例3證明函數(shù)y=|x|在x=0點(diǎn)連續(xù)，但不可導(dǎo)。

證明在x=0處，Ay=|O+Ax01=|Ax|,因此limAy=lim|Ax卜0

Ax->0Ax->0

所以函數(shù)丫=Ix|在x=0點(diǎn)連續(xù)。

又lim包=lim因

△xf°AxAx-。Ax

AyIAxlAx

而lim△=limJ—1=lim——=1

Ax—>0+0/\xAx—>0+0/\xAxf0+0

lim包=lim四=lim3=-1

Ax-?0-0AxAx-?0-0/\xAx—>0-0y\x

因此lim也不存在，所以函數(shù)y=|x|在x=0點(diǎn)不可導(dǎo)。

△x-oAx”

注：出現(xiàn)尖點(diǎn)不可導(dǎo)。

本堂課小結(jié)：

主要內(nèi)容：兩個(gè)引例；導(dǎo)數(shù)的定義；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

重點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的定義；2.用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

難點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的定義；2.函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則

【教學(xué)內(nèi)容】導(dǎo)數(shù)的基本公式；四則運(yùn)算求導(dǎo)法則；求導(dǎo)法則應(yīng)用舉例。

【教學(xué)目的】使學(xué)生熟記與理解導(dǎo)數(shù)的基本公式與四則運(yùn)算求導(dǎo)法則并能熟練應(yīng)用。

【教學(xué)重點(diǎn)】1.導(dǎo)數(shù)的基本公式；2.四則運(yùn)算求導(dǎo)法則。

【教學(xué)難點(diǎn)】公式的應(yīng)用。

【教學(xué)時(shí)數(shù)】2學(xué)時(shí)

【教學(xué)進(jìn)程】

一、導(dǎo)數(shù)的基本公式

提問(wèn)：1.導(dǎo)數(shù)可以由哪一個(gè)極限式子表示?

2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有哪幾步？

3.導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系？

例1求函數(shù)y=logqx（a＞。且〃w1）的導(dǎo)數(shù)。

1x+Ax

log,--------

解)/二lim包=limlog(x+Ax)-logX

fla=lim-----------

Arf0Ax->0AxAx

1AAI

「I1X+Ar「1—

=lim——k)g〃---------=limlog(1+——產(chǎn)

-Axx-x

AxAl1,1

嚴(yán)％

=logalim(Id------=-logae=

Arf0XXxlna

1

由此得到（log.%）'=

xlna

特別（Inx）r=—

x

1.羅列導(dǎo)數(shù)基本公式。

C=0（。為任意常數(shù)）;(xa)f=axa-l(。為實(shí)數(shù));

(〃")'=a"Ina(a>O,awl),特別：(e')'=e'；

f

(logflx)=--—(Q>0,Q，1),特別：(lnx)'='；

xlnax

(sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx；

(tan%)'=-------=sec2x(cotx)r=————=-esc2x

cosxsinx

*(sec%)'=seextanx*(esex)'=-cscxcotx

1

(arcsinx)'=/一(arccosx)'=-

(arctanx)'=------(arccotx)'=---------

1+x~1+x

注：要求學(xué)生默記約5分鐘。

2.分析部分基本公式特征。

課堂練習(xí)：

在下列空格處填上適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:

1)?'二;（答案：0）

2)(4)'=；（答案：」尸）

3)(@=；（答案：0）

4)(lnx/=；（答案：一）

X

5)(ln2)'=；（答案：0）

2

6)(―)r=；（答案：T）

XX

7)((%)-o

（答案：—（二）入山2）

二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

定理設(shè)函數(shù)"="?）與y="（x）在點(diǎn)工處可導(dǎo)，則它們的和（差）函數(shù)"（龍）士貝龍）在

X處也可導(dǎo)，且N(x)土v(x)]'=〃'(％)土v'(x).也就是說(shuō)：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等

于各個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和。

推廣有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于和個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和，即

[%(X)±“2(九)±…±〃及(X)]'=M(九)±%(%)±…±%(%)

例2已知/(x)=x2+sinx,求「(X)。

解尸(%)=(x2+sin%)'=(/y+(sin%y=2x+cosx

例3已知/(%)=e*—arctan%，求尸(無(wú))及已(0)。

解fr(x)=(ex-arctanx)f=(ex)f-(arctanx)'=ex---r-

1+x

尸(0)=e。-一二=1—1=0

1+02

定理設(shè)函數(shù)〃="(%)與v=v(x)在點(diǎn)X處可導(dǎo)，則它們的積函數(shù)譏(x),v(x)在X處也

可導(dǎo),且[〃(%?(%)]'=/(x)v(x)+〃(x)v'(%)o

此結(jié)論也可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的積的情形.如推廣到三個(gè)函數(shù)乘積的情況為

[u(x)v(x)w(x)]f=uf(x)v(x)w(x)+u(x)vf(x)w(x)+〃(x)v(x)M(x)

推論(Cw(x))r=Cu\x)(C為常數(shù)).

例4已知yu/ln%,求y'。

2

解y'=(%21nxy=(九之)'in%+%20n%)，=2%Inx+x—=2xlnx+xo

x

例5已知y=arctanx,求y'.

解y'=(Vxarctanx)r=(Vx)rarctanx+Vx(arctanx)r=近。吧x+?

'2Vx1+x2

例6已知y=3e“一xtan%+后，求y'。

解V=3(ex)f-(x)rtanx-x(tanx)'+(V2)r=3ex-tanx-xsec2x

定理設(shè)函數(shù)M="(x)與v=v(x)在點(diǎn)X處可導(dǎo)，且v(x)wO,則它們的商函數(shù)四

V(x)

，

在X處也可導(dǎo)，且⑴S

^v(x))V(X)

'1、-M(x)

推論v(x)w0o

v2(x)

2~「心Inx,

例7已知y-----，求y。

x

x--\nx

x(lnx)'-(x)'lnx1-lnx

解''=X

例8設(shè)、=1211%,求y'。

癡，,(sinx)(sinx)rcosx-sinx(cosx)r

解y~-2

<COSX)COSX

cosxcosx+sinxsinx12

=-----------5---------=---；—=SeCX°

COSXCOSX

即(tanx)r=一一=sec2x

cosx

例9設(shè)丁=5%%,求V。

(i)-(cosx)一(一sinx)

解y'=(sec%)'=-----=----2——=-----2——=tanxsecx

^cosx)cosXCOSX

即(sec%)'=secxtanx

1+sinx

例10求>=的導(dǎo)數(shù)。

1-sinx

1+sinxcosx(l-sin%)—(1+sinx)(-cosx)2cosx

解了二

1-sinx(1-sinx)2(1-sinx)2

例11求丁=-------5%arcsinx的導(dǎo)數(shù)。

1-x

解V'=----5arcsinx-5x?/1=---~-5x

-5carcsinx—/

(If71^(1-尤)

例12求y=，2?+5的導(dǎo)數(shù)。

X

_3

解因?yàn)閥=/一2%萬(wàn)+5%T,所以y'=2x+%5—5%一2

-22

7sinx-cosx

例13求y=x-----；-----------的導(dǎo)數(shù)。

sinxcosx

?22

cosx

解因?yàn)閥=27工-smx_,所以y'=（2e）xInZe-sec?x-csc?x

sinxcosx

說(shuō)明：四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則除了直接應(yīng)用公式外，有時(shí)需要將表達(dá)適當(dāng)變形后再應(yīng)用公式。

課堂練習(xí)：

1.推導(dǎo)公式（cotx），=---\—=-CSC2X與（CSCX），=-cscxcotxo

sinx

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

y=x3]nx（答案：y'=3x2Inx+x2)

y=2Xcotx（答案：y'=2'In2?cotx-2Xesc2x)

y=J?cosxlnx（答案:：y'=3%2cosxlnx-x3sinxlnx+x2cos%)

sinx,xcosx-sinx、

y一（答案:；＞-2)

XX

1-x2,4x

（答案

)一T7-y-2、2)

1+x(1+x2)2

本堂課小結(jié)：

主要內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的基本公式；四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則。

重點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的基本公式；2.四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則及其應(yīng)用。

難點(diǎn)：1.四則運(yùn)算求法則的應(yīng)用

作業(yè)：

第三節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

【教學(xué)內(nèi)容】復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；對(duì)數(shù)法求導(dǎo)。

【教學(xué)目的】使學(xué)生掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)熟練地求復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的

導(dǎo)數(shù)，會(huì)用對(duì)數(shù)法求導(dǎo)。

【教學(xué)重點(diǎn)】1.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2.隱函數(shù)求導(dǎo)法則。

【教學(xué)難點(diǎn)】L復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2.隱函數(shù)求導(dǎo)法則。

【教學(xué)時(shí)數(shù)】3學(xué)時(shí)

【教學(xué)進(jìn)程】

一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

引入：

引例1設(shè)丁=51112X，求y'。

解法一y'=(sin2x)'=(2sinxcosx)'=2(sin'xcos尤+sin尤cos'x)

=2(cos2x-sin2x)=2cos2x

解法二y=sin2x可看作是由y=sint/與”=2x構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。(通過(guò)提問(wèn)寫(xiě)出復(fù)合

函數(shù)的分解)因此y'x=y'u-u'x=(sina)'"(2x)'=COSH-2=2cos2x

引例2設(shè)y=(3x—1尸，求了。

解法一y=［(3x-Ip丫=(9x2-6x+1)'=18x—6

解法二y=(3x—1尸可看作是由＞=/與〃=3x—1構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。(通過(guò)提問(wèn)寫(xiě)

出復(fù)合函數(shù)的分解)因此乂=*"=(r)'(3%—l)'=6〃=6(3x—1)=18%—6

分析：上面兩個(gè)引例雖然所求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)不同，但他們具有共同點(diǎn)。解法一是應(yīng)用我們

已學(xué)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則，而解法二是通過(guò)復(fù)合函數(shù)分解以后進(jìn)行求導(dǎo)，并且兩個(gè)解法的結(jié)

果是相同的，由此我們聯(lián)想是否復(fù)合函數(shù)都可以用解法二的方法進(jìn)行求導(dǎo)。我們的回答是肯

定的，下面給出復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。

定理設(shè)函數(shù)y=/［。(工力由丁二/(〃)與〃=9(x)復(fù)合而成，如果函數(shù)〃=9(x)在點(diǎn)

x處可導(dǎo)，函數(shù)y=/(〃)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)M處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=〃9(x)］點(diǎn)x處可導(dǎo)，且

dydydu?,,,

—1=1------1-或”=XV,UX

axauax

即：復(fù)合函數(shù)關(guān)于自變量的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的

導(dǎo)數(shù)，該法則可以推廣到有多個(gè)中間變量的情形.例如：y=f(u),u=夕⑺，v=。(勸

均是可導(dǎo)函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=/｛例。(切｝可導(dǎo)，且包=包.也.包

dxdudvdx

例1設(shè)y=lncosx,求心。

dx

解y=lncosx可看作是由y=ln"與〃=cos%構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。因此

—=—?—=(In》y(cos%y=—(-sinx)=一必些=_tanx

dxdudxucosx

例2設(shè)y=Vl—x2,求—o

dx

解,=Jl—，可看作是由y=4與M=1-％2構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。因此

學(xué)=g?=(麗，(1一/)，=；.(3)=--

axauax2\uy/1-x2

注：如果計(jì)算熟練，可以不設(shè)中間變量，直接求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如例2的另一種解

法，以后復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)我們常用下面的方法。

另解金二立三（I”"二言"一"?

課堂練習(xí):

1.y=cos2x(答案：/=-2sin2x)

(答案：y'=-esc2M。5)

c1x

3.y=Intan—(答案：y=cscx)

2

4.y=sin3(2x-l)(答案：V=6sin2(2x-1)cos(2x-1))

例3求函數(shù)y=產(chǎn)皿/+/的導(dǎo)數(shù)。

解y'=[esin%21+[/]，=[y成》],

sinx22rsinx222r2

=e(sinx)=ecosx-(x)=2%cosxo

例4=tan2x+arccoty/1-x,求y'。

解y'=(tan2x+arccotJl-xY=(tan2%)'+(arccotJl-％)'

=2tanx(tanx)r--------J——(Jl-x)’

]+(Vl=%)?

211..

=2tan%secx-------------/?(l一％)

2-x271^

_2A

=2tanxsecx+----------.

2(2-x)“二x

課堂練習(xí)：

I.=sin3x-cos4x(答案：y'=3sin2xcosx+4sin4x)

2.y=e~3xtan2x(答案：y'=—3e-3xtan2%+2e-3*sec22%)

2

3.y=ln(x+7x-I)(答案：J7'=i)

二、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1.隱函數(shù)的概念。

通過(guò)圖象分析表達(dá)式丁=匹丁與/+y2=9(y20)中X與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以

看出y都是關(guān)于X的相同函數(shù)，但表現(xiàn)的形式不同。

把因變量y寫(xiě)成自變量x的顯式表達(dá)式y(tǒng)=/(%),這樣的函數(shù)稱作顯函數(shù)。

把一個(gè)由二元方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)y=/(x)稱為隱函數(shù)。

2.介紹隱函數(shù)的求導(dǎo)法則的原因

?不是任何隱函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)

?有些隱函數(shù)轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)后求導(dǎo)反而更復(fù)雜

?有些顯函數(shù)轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)后求導(dǎo)更簡(jiǎn)捷

3.隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

把由F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)y=/(x)代入原方程，得到恒等式F(x,y(x))三0

在等式兩端對(duì)x求導(dǎo)，把其中的y看作中間變量，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，得到一個(gè)含了的

方程，解出了，即為所求隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)。

例5求由方程必+/=9(丁20)所確定的隱函數(shù),=丁(%)的導(dǎo)數(shù)了。

解對(duì)方程必+產(chǎn)=9兩端同時(shí)關(guān)于了求導(dǎo)，得2x+2?'=0

于是得y'=-土

y

例6求由方程ey-xy+ex=0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)了。

解對(duì)方程6了一vy+e，=0兩端同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)，得

y—ey

eyy-y-xyf^-ex=0于是得；/=匚^

ey-x

例7求曲線=3孫在點(diǎn)(1,一1)處的切線方程。

解對(duì)方程=3盯兩端同時(shí)工關(guān)于求導(dǎo)，得

3/+12力'=3〉+3姍于是得)/=^^4

?x-^y~

,I2-(-1)2

因而切線的斜率為左切=?。?-1)=：I=-4

J.一4一17。

2

所以切線方程為y+l=—§-（x—1）即2x+3y+l=0

課堂練習(xí)：

求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

1.siny+cosx=l（答案：y'=）

cosy

2.ey+xy-e-G（答案：y'=----------）

x+ey

3.y=ln（x+y）（答案：y'=--------）

x+y-1

*三、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

由于有些顯函數(shù)直接求導(dǎo)比較復(fù)雜甚至無(wú)法用顯函數(shù)的求導(dǎo)方法，我們可以對(duì)其兩邊

取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)后再求導(dǎo)。為了求導(dǎo)方便一般采用自然對(duì)數(shù)。

例8設(shè)丁=一，求y'。

解先對(duì)y=x*兩端同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得lny=xlnx

兩端同時(shí)對(duì)X求導(dǎo)，得=+%?4

于是得y'-y(l+Inx)=(1+Inx)

Iny=§ln(x+l)-jln(jc-l)_§ln(%+2).

兩端同時(shí)對(duì)％求導(dǎo)，得

1,211

---y=-----------------------------------------

>3(%+1)3(%—1)3(%+2)

即

r211

y=y----------------------------------------

“3(x+l)3(^-1)3(%+2)

(X+l)22__________1__________1

(x—l)(x+2)3(x+l)―3(1)—3(x+2)

思考：具有什么特征的顯函數(shù)用取對(duì)數(shù)法求導(dǎo)較方便?

本堂課小結(jié)：

主要內(nèi)容：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；對(duì)數(shù)法求導(dǎo)。

重點(diǎn)：1.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2.隱函數(shù)求導(dǎo)法則。

難點(diǎn)：1.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2.隱函數(shù)求導(dǎo)法則。

作業(yè)：

第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

【教學(xué)內(nèi)容】高階導(dǎo)數(shù)的概念、表示符號(hào)及其求法。

【教學(xué)目的】使學(xué)生理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握高階導(dǎo)數(shù)的表示符號(hào)及其求法。

【教學(xué)重點(diǎn)】高階導(dǎo)數(shù)的求法。

【教學(xué)難點(diǎn)】1.”階導(dǎo)數(shù)的求法；2.隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

【教學(xué)時(shí)數(shù)】0.5學(xué)時(shí)

【教學(xué)進(jìn)程】

一、高階導(dǎo)數(shù)的概念

討論：在變速直線運(yùn)動(dòng)中已知物體的位移函數(shù)s?),怎樣求物體的加速度?

經(jīng)討論后得出結(jié)論求加速度可以對(duì)5(0求兩次導(dǎo)數(shù)得到o象這樣的問(wèn)題在實(shí)際中會(huì)經(jīng)常

遇到，需要多次對(duì)一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，我們把連續(xù)兩次或兩次以上對(duì)某一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，所得

的結(jié)果，稱為這個(gè)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

如果函數(shù)y=/(%)的導(dǎo)數(shù)y'=尸(x)仍是x的可導(dǎo)函數(shù)，則稱f'(x)的導(dǎo)數(shù)為/(%)的

二階導(dǎo)數(shù)，記作：/"(%),嗎或?qū)W

dxax

類似地，可以定義函數(shù)y=/(%)的三階，四階，…，孔階導(dǎo)數(shù)，它們分別記作：

y”，y(4),…，y⑺或&￥，W，…，R等等。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階

dxdxdx

導(dǎo)數(shù)。

二、高階導(dǎo)數(shù)的求法

對(duì)函數(shù)y=/(x)求高階導(dǎo)數(shù)，只需用前面學(xué)過(guò)的求導(dǎo)方法，對(duì)函數(shù)多次接連地求導(dǎo)，

即得所求高階導(dǎo)數(shù)。

例1設(shè)函數(shù)y=4x?+6x-2,求y"。

解V=(4x2+6x-2)，=8x+6；

y"=(8x+6)'=8.

例2設(shè)函數(shù)丁="—/,求y'"(0)。

解y'=/一3/；>〃="—6x；ym=ex-6；

所以，y〃(O)=l—6=—5。

*例3設(shè)丁=%",求y⑺(〃為正整數(shù)).

解V=(%")'=〃x"T；

=仆-1)尸；

ym=(n(?-l)x~2y=〃(n-l)(n-2)x,!-3；

由此推得，y（〃）=M。

d〃v

*例4設(shè)丁=$山無(wú)，求----o

dxn

解@二(sin%)'二cosx=sin(x+—)；

dx2

-[sin(x+—)]Z=cos(x+—)=sin(x+-)；

dx222

d3y.27rIn.3兀、

d3—[sin(xH——)]=cos(%H——)=sin(xH——)；

由此推得，《2=sin（x+竺）.

dxn2

22

*例5求由方程二+==1所確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)y〃o

ab

解對(duì)方程=+A=1兩邊同時(shí)X求導(dǎo)，得與+莘=0

a1b-a2b2

b2x

于是得y=-

a2y

對(duì)上式的兩端同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)，得

〃—a2b2y-a2b2xy'

將了=—竺代入，得

ay

b2b2(a2y2+b2x2)

y"

22

因?yàn)閖+二=1,將a2y2+32/=“2^2代入，得

a2b2

說(shuō)明：

求隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，只需要在用隱函數(shù)求導(dǎo)方法求出隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)y'后，繼續(xù)

用隱函數(shù)求導(dǎo)方法對(duì)x求導(dǎo)即可，此時(shí)需注意y與V都是尤的函數(shù).

本堂課小結(jié)：

主要內(nèi)容：高階導(dǎo)數(shù)的概念、表示符號(hào)及其求法。

重點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)的求法。

難點(diǎn)：1.〃階導(dǎo)數(shù)的求法；2.隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

作業(yè)：

第五節(jié)函數(shù)的微分

【教學(xué)內(nèi)容】微分的概念；微分的幾何意義；可導(dǎo)與可微的關(guān)系；微分的基本公式與運(yùn)算

法則；一階函數(shù)微分的形式不變性。

【教學(xué)目的】使學(xué)生理解函數(shù)微分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系，

掌握微分的基本公式與運(yùn)算法則，理解一階函數(shù)微分的形式不變性。

【教學(xué)重點(diǎn)】1.微分的概念；2.微分的基本公式與運(yùn)算法則；3.一階函數(shù)微分的形式

不變性。

【教學(xué)難點(diǎn)】1.微分的概念；2.可導(dǎo)與可微的關(guān)系；3.一階函數(shù)微分的形式不變性。

【教學(xué)時(shí)數(shù)】2學(xué)時(shí)

【教學(xué)進(jìn)程】

一、微分的概念及其幾何意義

1.微分的概念

引例一個(gè)正方形金屬薄片受熱膨脹，其邊長(zhǎng)由X。變到x0+Ax(如圖所示)，面積S

22

相應(yīng)地有一個(gè)改變量AS=(x0+Ax)一x；=2x0Ax+(Ax)

分析：AS含有兩項(xiàng)，第一項(xiàng)2x°Ax是Ax的線性函

數(shù)(圖中斜線部分)，第二項(xiàng)(Ax)?是當(dāng)Ax->0時(shí)比Ax

高階的無(wú)窮小量.因此,當(dāng)Ax很小時(shí)，面積S的改變量AS

可以近似地用2x0Ax來(lái)代替。

一般地，對(duì)于函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x在X。有一

個(gè)改變量Ax時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的改變量為:

Ay=f(x0+Ax)-f(x0)

如果Ay可以表示成兩部分：第一部分A-Ax是Ax的線性函數(shù)(A與Ax無(wú)關(guān))，第二部分

o(Ax)是Ax的高階無(wú)窮小；當(dāng)Axf0時(shí)，我們將函數(shù)增量Ay的線性主部定義為函數(shù)的

微分。

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，X。及x0+Ax均在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)

f(x)在點(diǎn)x0處的增量Ay=f(x0+Ax)—f(Xo)可以表示為Ay=A-Ax+o(Ax)其中A

與Ax無(wú)關(guān)，o(Ax)是Ax的高階無(wú)窮小，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x()處是可微的，稱A-Ax

為函數(shù)y=f(x)在X。處的微分，記作dy|x=x°，即dy，x。=A-AX

說(shuō)明：

1)如果y=f(x)在點(diǎn)X。處可微，則有Ay=A-Ax+o(Ax),

于是"=A+*D,所以

AxAx

I、1.Ay「人o(Ax)~|.

f(x)=lim=rlimAd-----二A

n△xf0AxAx-oAx

f

即函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且人=尸=0),dyx=x。=f(x0)Axo

2)在y=x中，曳三1；因此對(duì)于任何x,這個(gè)函數(shù)x的微分是Ax,所以函數(shù)x的

dx

增量與微分相等，即&=心，因此(1山8=f'(x0)dx,因而有=f'(x°)，因此，

導(dǎo)數(shù)我們也稱之為微商。

3)如果若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，則有l(wèi)im包=f'(x。)根據(jù)極限與無(wú)窮小量的

以一。Ax

關(guān)系可知AX=f'(Xo)+a(其中a是當(dāng)Axf0的無(wú)窮小量)，于是

Ax

aAx

Ay=fz(x)Ax+aAx,因?yàn)閘im---=0,則有Ay=A2x+o(Ax),因此函數(shù)

"0AxfOAx"

y=f(x)在點(diǎn)x0處可微，且dNx=x。=f'(Xo)Ax=f'(Xo)dx。由1)與3)可得以下定理。

定理如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處可微，則函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且

A=f'(x0)；反之，如果若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，則y=f(x)在點(diǎn)X。處可微.

例1求函數(shù)y=x2在x=3處的微分.

f

解由y'=2x,y|x=3=2-3=6,Mdy|x=3=6dx,?

4)由微分的概念可知Ay“dy[f。(此關(guān)系是微分用于近似計(jì)算的根據(jù))

5)如果函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可微，則稱f(x)是該區(qū)間內(nèi)的可微函數(shù)。

函數(shù)f(x)在任意點(diǎn)X的微分記為dy或df(x).即dy=f'(x)dx。

例2設(shè)函數(shù)y=sinx,求dy、dyl與dyk=7r。

解dy=y'dx=cosxdx；

dy|7t=cosjudx=-dx；

xX-=2

dy|x=n=-0.1o

1Ax=0.1

例3求函數(shù)y=世、的微分dy。

解dy=y'dx=(xex)'dx=(ex+xex)dx=(1+x)exdx.

2.微分的幾何意義

在函數(shù)y=f(x)的圖象上取兩點(diǎn)P(x0,y0)與

P'(x°+Ax,y0+Ay)(如右圖所示),并分別過(guò)點(diǎn)P與點(diǎn)

P'作平行與X軸與y軸的直線，它們相交于Q；從圖中可以得到，PQ=Ax,QP'=Ay；

再過(guò)點(diǎn)P作曲線的切線PT與PQ交于R,設(shè)PT的傾角為a,則

QR=PQtana=f^xJAx=dy|x=x()

f

所以函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的微分dy=f(x0)dx的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)處切線

P(x0,yo)縱坐標(biāo)的改變量。

(講授方法：邊提問(wèn)，邊作圖，邊分析)

二、微分的基本公式與運(yùn)算法則

根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系，我們可以得到微分的基本公式與運(yùn)算法則.

1.基本初等函數(shù)的微分公式

dC=O(C為常數(shù))；

d(xa)=axa-1dx(a為實(shí)數(shù))；

d(ax)=axInadx,特另Ud?)=e'dx；

d(bgaX)\dx(a>0,awl),特別d(lnx)二^dx；

x

d(sinx)=cosxdx；d(cosx)=-sinxdx；

d(tanx)=sec2xdx；d(cotx)=-esc2xdx；

*d(secx)=secxtanxdx；*d(cscx)=-cscxcotxdx；

d(arcsinx)=,dx；d(arccosx)=——.dx；

Vl-X2-x2

d(arctanx)=-rdx；d(arccotx)=-----：-dx。

1+x1+