專題04 基本不等式-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）原卷版

2/2專題04基本不等式（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 10【考點(diǎn)1】利用基本不等式求最值 10【考點(diǎn)2】基本不等式的綜合應(yīng)用 13【考點(diǎn)3】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 20【分層檢測(cè)】 27【基礎(chǔ)篇】 27【能力篇】 33【培優(yōu)篇】 36考試要求：1.了解基本不等式的證明過程.2.能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題.3.掌握基本不等式在生活實(shí)際中的應(yīng)用.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.兩個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.1.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).2.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2).3.應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某個(gè)條件，就會(huì)出錯(cuò).4.在利用不等式求最值時(shí)，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保證它們等號(hào)成立的條件一致.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國(guó)·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．3．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．64．（2021·浙江·高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題5．（2022·全國(guó)·高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．三、填空題6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．7．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．8．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】利用基本不等式求最值一、單選題1．（2023·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列不等關(guān)系一定正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023·遼寧葫蘆島·二模）若，則的最小值是（

）A． B．1C．2 D．二、多選題3．（2023·江蘇·一模）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為4．（2023·山東煙臺(tái)·三模）已知且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為2C．的最小值為6 D．的最小值為4三、填空題5．（2023·遼寧大連·三模）已知，且，則的最小值為.6．（2020·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最大值是.反思提升：1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.2.常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的問題，先將eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.3.當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對(duì)和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.【考點(diǎn)2】基本不等式的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．2．（21-22高一上·河南商丘·期末）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·河北保定·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為定值，則（

）

A．的大小為 B．面積的最小值為C．長(zhǎng)度的最小值為 D．點(diǎn)到的距離可以是4．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為橢圓：的左焦點(diǎn)，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，軸，垂足為，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（

）A．的最小值為2 B．面積的最大值為C．直線的斜率為 D．為鈍角三、填空題5．（2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為．6．（2021·湖北襄陽·一模）已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．反思提升：(1)當(dāng)基本不等式與其他知識(shí)相結(jié)合時(shí)，往往是提供一個(gè)應(yīng)用基本不等式的條件，然后利用常數(shù)代換法求最值.(2)求參數(shù)的值或范圍時(shí)，要觀察題目的特點(diǎn)，利用基本不等式確定等號(hào)成立的條件，從而得到參數(shù)的值或范圍.【考點(diǎn)3】基本不等式的實(shí)際應(yīng)用一、單選題1．（2023·湖南·一模）某農(nóng)機(jī)合作社于今年初用98萬元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)大型聯(lián)合收割機(jī)，并立即投入生產(chǎn).預(yù)計(jì)該機(jī)第一年（今年）的維修保養(yǎng)費(fèi)是12萬元，從第二年起，該機(jī)每年的維修保養(yǎng)費(fèi)均比上一年增加4萬元.若當(dāng)該機(jī)的年平均耗費(fèi)最小時(shí)將這臺(tái)收割機(jī)報(bào)廢，則這臺(tái)收割機(jī)的使用年限是（

）A．6年 B．7年 C．8年 D．9年2．（22-23高一上·重慶沙坪壩·期末）2023年是農(nóng)歷癸卯兔年，在中國(guó)傳統(tǒng)文化中，兔被視為一種祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福壽安康.故宮博物院就收藏著這樣一副蘊(yùn)含“吉祥團(tuán)圓”美好愿景的名畫——《梧桐雙兔圖》，該絹本設(shè)色畫縱約176cm，橫約95cm，其掛在墻壁上的最低點(diǎn)離地面194cm.小南身高160cm（頭頂距眼睛的距離為10cm），為使觀賞視角最大，小南離墻距離應(yīng)為（

）A． B．76cm C．94cm D．二、多選題3．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）某單位為了激勵(lì)員工努力工作，決定提高員工待遇，給員工分兩次漲工資，現(xiàn)擬定了三種漲工資方案，甲：第一次漲幅，第二次漲幅；乙：第一次漲幅，第二次漲幅；丙：第一次漲幅，第二次漲幅.其中，小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結(jié)論，其中正確的有（

）A．方案甲和方案乙工資漲得一樣多 B．采用方案乙工資漲得比方案丙多C．采用方案乙工資漲得比方案甲多 D．采用方案丙工資漲得比方案甲多4．（2023·河北唐山·三模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中提到底面為長(zhǎng)方形的屋狀的楔體（圖示的五面體．底面長(zhǎng)方形中，，上棱長(zhǎng)，且平面，高（即到平面的距離）為，是底面的中心，則（

）A．平面B．五面體的體積為5C．四邊形與四邊形的面積和為定值D．與的面積和的最小值為三、填空題5．（2021·黑龍江大慶·三模）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門步有樹，出南門步能見到此樹，則該小城的周長(zhǎng)的最小值為（注：里步）里.6．（21-22高三上·湖北·階段練習(xí)）拿破侖·波拿巴，十九世紀(jì)法國(guó)偉大的軍事家、政治家，對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的中心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在中，，以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其中心依次為，，，若，則，的最大值為.反思提升：(1)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(2)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，若等號(hào)取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·北京西城·二模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．2．（2023·山東濱州·二模）已知直線與圓相切，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．23．（2023·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．4．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4二、多選題5．（2023·吉林白山·一模）若正數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．6．（22-23高一上·甘肅臨夏·階段練習(xí)）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（

）A．10 B．9 C．8 D．77．（2021·江蘇南通·一模）已知，，則（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)，滿足，若，則．9．（2023·遼寧沈陽·二模）已知，則的最小值是．10．（2022·上海·二模）已知對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是.四、解答題11．（2023·廣西南寧·二模）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)若，則；(2).12．（9-10高二下·江蘇·期末）首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開，本屆大會(huì)以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國(guó)家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則需要國(guó)家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位不虧損？【能力篇】一、單選題1．（2022·河北石家莊·二模）已知，則x?y?z的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（22-23高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）直角三角形中，是斜邊上一點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)在過點(diǎn)的直線上，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為常數(shù) B．的值可以為：C．的最小值為3 D．的最小值為三、填空題3．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，其中，，若，則的最小值為．四、解答題4．（2022·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且.(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)證明：.【