專題13 函數(shù)與方程-2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）解析版

2/2專題13函數(shù)與方程（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 2【考點突破】 8【考點1】函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷 8【考點2】函數(shù)零點個數(shù)的判定 12【考點3】函數(shù)零點的應(yīng)用 18【分層檢測】 26【基礎(chǔ)篇】 26【能力篇】 33【培優(yōu)篇】 38考試要求：1.理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解.知識梳理知識梳理1.函數(shù)的零點(1)概念：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.(2)函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x軸的交點、對應(yīng)方程的根的關(guān)系：2.函數(shù)零點存在定理(1)條件：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.(2)結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解.1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點.函數(shù)的零點不是一個“點”，而是方程f(x)＝0的實根.2.由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件.3.周期函數(shù)如果有零點，則必有無窮多個零點.真題自測真題自測一、單選題1．（2021·天津·高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2023·全國·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．三、填空題3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．4．（2023·天津·高考真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個零點，則的取值范圍為．5．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個零點為，則；．6．（2022·天津·高考真題）設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為.參考答案：1．A【分析】由最多有2個根，可得至少有4個根，分別討論當和時兩個函數(shù)零點個數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，由可得，由可得，（1）時，當時，有4個零點，即；當，有5個零點，即；當，有6個零點，即；（2）當時，，，當時，，無零點；當時，，有1個零點；當時，令，則，此時有2個零點；所以若時，有1個零點.綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則應(yīng)滿足或或，則可解得a的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是分成和兩種情況分別討論兩個函數(shù)的零點個數(shù)情況.2．BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD3．【分析】令，得有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因為，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.4．【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當時，，即，若時，，此時成立；若時，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時，，此時成立．（2）當時，，即，若時，，顯然不成立；若時，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時，，顯然不成立；綜上，當時，零點為，；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，零點為．所以，當函數(shù)有兩個零點時，且．故答案為：．【點睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點）的個數(shù)，從而解出．5．1【分析】先代入零點，求得A的值，再將函數(shù)化簡為，代入自變量，計算即可.【詳解】∵，∴∴故答案為：1，6．【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個零點，可得出，求出的取值范圍，然后對實數(shù)的取值范圍進行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個零點，則函數(shù)至少有一個零點，則，解得或.①當時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時函數(shù)只有兩個零點，不合乎題意；②當時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，所以，，解得；③當時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)為，合乎題意；④當時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，可得，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.考點突破考點突破【考點1】函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷一、單選題1．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）設(shè)方程的兩根為，，則（

）A．， B．C． D．2．（2023·寧夏銀川·三模）函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2022·廣東廣州·三模）已知函數(shù)，則（

）A．當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的最小正周期為D．若函數(shù)在上存在零點，則的取值范圍是4．（2023·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)的零點為，下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2021·四川成都·三模）已知函數(shù)，若，且，則的最大值為．6．（2023·浙江紹興·二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點，則的最大值為.參考答案：1．C【分析】由數(shù)形結(jié)合及零點的判定方法可確定出，即可判斷AD，計算出，可判斷BC.【詳解】由可得，在同一直角坐標系中同時畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示：因為，，由圖象可知，，所以故A，D錯誤；，因為，所以，所以，所以，即，故B錯誤，C正確.故選：C2．D【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點存在性定理可得.【詳解】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，由函數(shù)在的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，則根據(jù)零點存在定理可知，只需滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.3．ABD【分析】設(shè)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A選項；直接由即可判斷B選項；由時，即可判斷C選項；設(shè)，換元后參變分離得，轉(zhuǎn)化為值域問題即可判斷D選項.【詳解】對于A，當時，，設(shè)，當時，單調(diào)遞減且，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；對于B，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；對于C，，所以時，，C錯誤；對于D，設(shè)，當時，，函數(shù)在上存在零點，等價于方程在上有解，得在上有解，已知在上單調(diào)遞減，所以，D正確.故選：ABD.4．ABD【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理可得，進而逐項分析判斷.【詳解】由題意可得：的定義域為，且，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，對于A：因為，所以，故A正確；對于B：因為，所以，故B正確；對于C：因為，則，，所以，故C錯誤；對于D：因為，所以，故D正確．故選：ABD.【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；（2）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解．5．【分析】由得，，把轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)求最值.【詳解】的圖像如圖示：不妨令，由圖像可知，，由，由當時，．故答案為：.【點睛】二元變量問題通常可以減元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，利用函數(shù)求最值.6．【分析】設(shè)，即可求出b，繼而求出的表達式，將看作主元，配方得，記，即可求解最大值.【詳解】設(shè)，則，此時，則，令，當時，，記，則，所以在上遞增，在上遞減，故,所以，所以的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是雙參數(shù)函數(shù)的零點問題，第一步消參：通過設(shè)零點，代入方程，得到其中一個參數(shù)的表達式，第二步主元法求最值：將所求表達式通過主元法（關(guān)于另一個參數(shù)）構(gòu)造函數(shù)求出最值，即可求解.反思提升：確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法：(1)利用函數(shù)零點存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點.(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的圖象，其交點的橫坐標即為函數(shù)f(x)的零點.【考點2】函數(shù)零點個數(shù)的判定一、單選題1．（2024·山東濰坊·二模）已知函數(shù)則圖象上關(guān)于原點對稱的點有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有5個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．若且，則C．若在上有且僅有2個不同的解，則的取值范圍為D．存在，使得的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最大值為C．在上單調(diào)遞增 D．在上有2個零點三、填空題5．（2024·青海西寧·二模）記是不小于的最小整數(shù),例如,則函數(shù)的零點個數(shù)為.6．（2024·山東濟南·二模）已知函數(shù)，若方程有三個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為.參考答案：1．C【分析】作出的圖象，再作出函數(shù)關(guān)于原點對稱的圖象，進而數(shù)形結(jié)合判斷即可.【詳解】作出的圖象，再作出函數(shù)關(guān)于原點對稱的圖象如圖所示.因為函數(shù)關(guān)于原點對稱的圖象與圖象有三個交點，故圖象上關(guān)于原點對稱的點有3對.

故選：C2．A【分析】先利用三角函數(shù)圖象的變換得出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出在上有3個零點，法一、利用整體思想及正弦函數(shù)的性質(zhì)得其零點為，根據(jù)定義域取值計算即可；法二、利用整體思想得，解不等式即可.【詳解】將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)，再將函數(shù)的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)，所以，因為當時，有2個零點，所以要使在上有5個零點，則需在上有3個零點.法一：令，則，解得，當時，分別對應(yīng)3個零點，則，解得.故選A.法二：因為，所以，所以，則.故選:A.3．ACD【分析】由，選項A：利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷；選項B：利用正弦函數(shù)的最值、周期判斷；選項C：利用正弦函數(shù)的圖象判斷；選項D：利用三角函數(shù)的圖象變換判斷.【詳解】，，當時，，由復(fù)合函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，若且，則，故B不正確；對于C，若，則，若在上有且僅有2個不同的解，如圖所示：

可得，解得，也就是的取值范圍為，故C正確；對于D，，可知當時，是奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD.4．ABD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以是偶函數(shù)，所以A正確.對于B中，當時，，當時，，所以，所以的最大值為，所以B正確；對于C中，當時，，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以C錯誤；對于D中，因為，且是偶函數(shù)，故在和上的零點個數(shù)相同，當時，令，可得，可得，所以函數(shù)在上只有一個零點，所以在上有2個零點，所以D正確.故選：ABD.5．3【分析】先將的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為和的交點個數(shù)，然后畫圖確定交點個數(shù).【詳解】令,則,令,則與的交點個數(shù)即為的零點個數(shù),當時,,又,所以是周期為1的函數(shù),在上單調(diào)遞減,且,所以可作出與的圖象如圖,所以與有3個交點，故的零點個數(shù)為3,故答案為：3.6．【分析】對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，令，整理得可得，構(gòu)建，結(jié)合的圖象分析的零點分布，結(jié)合二次函數(shù)列式求解即可.【詳解】由題意可知：的定義域為，則，當時，；當時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且當趨近于時，趨近于；當趨近于時，趨近于0；作出的圖象，如圖所示，對于關(guān)于x的方程，令，可得，整理得，且不為方程的根，可知方程等價于，若方程有三個不相等的實數(shù)解，可知有兩個不同的實數(shù)根，且或或，構(gòu)建，若，則，解得；若，則，解得，此時方程為，解得，不合題意；若，則，解得，此時方程為，解得，不合題意；綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用函數(shù)零點求參數(shù)值或取值范圍的方法（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解．（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（最值）問題求解．（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．反思提升：函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾種方法(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點.(3)畫兩個函數(shù)圖象，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.【考點3】函數(shù)零點的應(yīng)用一、單選題1．（2024·浙江麗水·二模）已知正實數(shù)滿足，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，滿足，，若恰有個零點，則這個零點之和為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東佛山·二模）已知函數(shù)與，記，其中，且．下列說法正確的是（

）A．一定為周期函數(shù)B．若，則在上總有零點C．可能為偶函數(shù)D．在區(qū)間上的圖象過3個定點4．（2023·山東菏澤·二模）已知，分別是函數(shù)和的零點，則（

）A． B． C．D．三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖像經(jīng)過四個象限，則實數(shù)的取值范圍是．6．（2024·北京豐臺·二模）設(shè)函數(shù)給出下列四個結(jié)論：

①當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②若函數(shù)有且僅有兩個零點，則；③當時，若存在實數(shù)，使得，則的取值范圍為；④已知點，函數(shù)的圖象上存在兩點，關(guān)于坐標原點的對稱點也在函數(shù)的圖象上．若，則．其中所有正確結(jié)論的序號是．參考答案：1．A【分析】依題意可得，，，令，，則問題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)與對應(yīng)函數(shù)的交點的橫坐標的大小關(guān)系，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】因為，，為正實數(shù)，且滿足，，，則，，，所以，，，則，，，令，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，滿足的即為與的交點的橫坐標，滿足的即為與的交點的橫坐標，滿足的即為與的交點的橫坐標，在同一平面直角坐標系中畫出、、、的圖象如下所示：由圖可知.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)的交點的橫坐標的大小關(guān)系問題，準確畫出函數(shù)圖象是關(guān)鍵.2．D【分析】由解析式可知為奇函數(shù)，進而可得的對稱中心，根據(jù)滿足的關(guān)系式，可得函數(shù)的對稱中心，由兩個函數(shù)的對稱中心相同，即可判斷出其零點的特征，進而求得個零點的和.【詳解】因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點中心對稱，而函數(shù)是函數(shù)向右平移兩個單位得到的函數(shù)，因而關(guān)于中心對稱，函數(shù)滿足，所以，即，所以函數(shù)關(guān)于中心對稱，且，且，所以由函數(shù)零點定義可知，即，由于函數(shù)和函數(shù)都關(guān)于中心對稱，所以兩個函數(shù)的交點也關(guān)于中心對稱，又因為恰有個零點，即函數(shù)和函數(shù)的交點恰有個，且其中一個為，其余的個交點關(guān)于對稱分布，所以個零點的和滿足，故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是能夠通過函數(shù)解析式和抽象函數(shù)關(guān)系式確定函數(shù)的對稱中心，從而可確定零點所具有的對稱關(guān)系.3．ABD【分析】對于A：計算，化簡即可；對于B：求出，然后計算的正負即可；對于C：計算是否恒相等即可；對于D：令，求解即可.【詳解】對于A，，，A正確；對于B，，則，，因為，即，同號，所以，由零點存在定理知在上總有零點，故B正確；對于C，，，由得對恒成立，則與題意不符，故C錯誤；對于D，令，則，即，，故所有定點坐標為，，，，又因為，所以函數(shù)的圖象過定點，，，故D正確；故選：ABD．4．BCD【分析】利用函數(shù)與方程思想，得到兩根滿足的方程關(guān)系，然后根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究單調(diào)性，得到及，結(jié)合指對互化即可判斷選項A、B、C，最后再通過對勾函數(shù)單調(diào)性求解范圍即可判斷選項D.【詳解】令，得，即，，令，得，即，即，，記函數(shù)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，所以，故A錯誤；又，所以，，所以，故B正確；所以，故C正確；又，所以，結(jié)合，得，因為，所以，且，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，故D正確；故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)的零點問題，解題方法是把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的根，通過結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性及指對互化找到根的關(guān)系得出結(jié)論.5．【分析】，由題意得，在和上均至少存在一個實根，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】的圖像經(jīng)過四個象限，，且當，，令，在和上均至少存在一個實根．又,．實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．6．②③④【分析】根據(jù)時，即可判斷①，求解方程的根，即可求解②，結(jié)合函數(shù)圖象，求解臨界狀態(tài)時，即可求解③，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可先判斷，繼而根據(jù)對稱性聯(lián)立方程得，，根據(jù)可得，代入即可求解④.【詳解】當時，時，，故在上不是單調(diào)遞減，①錯誤；對于②，當顯然不成立，故，當時，令，即，得，，要使有且僅有兩個零點，則，故，②正確，對于③,當時,,此時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，如圖：

若，由，故，所以的取值范圍為；③正確對于④,由①③可知：時，顯然不成立,故，要使，關(guān)于坐標原點的對稱點也在函數(shù)的圖象上，則只需要的圖象與有兩個不同的交點，如圖：

故，，由對稱可得，化簡可得，故，，化簡得所以由于均大于0，所以，，因此由于，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，此時，因此，④正確，故答案為：②③④【點睛】方法點睛：函數(shù)零點問題常用的方法和思路（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．反思提升：(1)已知函數(shù)的零點求參數(shù)，主要方法有：①直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；②數(shù)形結(jié)合；③分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.(2)已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，需準確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.(3)函數(shù)零點問題一般可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，通過畫圖分析圖象的特征、圖象間的關(guān)系解決問題，提升直觀想象核心素養(yǎng).分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù)，，則（

）A．當有2個零點時，只有1個零點B．當有3個零點時，有2個零點C．當有2個零點時，有2個零點D．當有2個零點時，有4個零點4．（2024·廣東梅州·二模）三個函數(shù)，，的零點分別為，則之間的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多選題5．（23-24高一上·云南玉溪·期末）已知函數(shù)的所有零點從小到大依次記為，則（

）A． B．C． D．6．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，若，則下列命題中正確的是（

）A．有兩個零點 B．C． D．7．（2022·重慶九龍坡·模擬預(yù)測）下列選項中說法正確的是（

）A．若冪函數(shù)過點，則B．用二分法求方程在內(nèi)的近似解的過程中得到，，f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間上C．某校一次高三年級數(shù)學檢測，經(jīng)抽樣分析，成績近似服從正態(tài)分布，且，若該校學生參加此次檢測，估計該校此次檢測成績不低于分的學生人數(shù)為D．位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有種三、填空題8．（22-23高一下·河北石家莊·開學考試）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)m的取值范圍是．9．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個零點，則的取值范圍是．10．（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實根，那么的最小值為．四、解答題11．（2024·廣東·一模）已知，函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)討論方程的根的個數(shù).12．（2023·北京西城·二模）已知函數(shù)，其中．再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，使存在，并完成下列兩個問題．(1)求的值；(2)當時，若曲線與直線恰有一個公共點，求的取值范圍．條件①：；條件②：是的一個零點；條件③：．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．參考答案：1．C【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】令，得，則；故，，所以在共有4個零點，故選：C.2．B【分析】由題意，結(jié)合余弦函數(shù)的周期和零點，建立相關(guān)的方程求解即可．【詳解】函數(shù)的最小正周期為，若，由，得，所以，因為為的零點，所以，故所以，因為，則的最小值為3.故選：B.3．D【分析】作出函數(shù)，圖象，兩個函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為它們的圖象與的圖象的公共點的個數(shù)，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】兩個函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與的圖象的公共點的個數(shù)，作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當有2個零點時，無零點或只有1個零點；當有3個零點時，只有1個零點；當有2個零點時，有4個零點.故選：D4．B【分析】先判斷各函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點的存在性定理求出函數(shù)零點的范圍，即可得出答案.【詳解】因為函數(shù)，，，都是增函數(shù)，所以函數(shù)，，均為增函數(shù)，因為，所以函數(shù)的零點在上，即，因為，所以函數(shù)的零點在上，即，因為，所以函數(shù)的零點在上，即，綜上，．故選：B．5．AC【分析】根據(jù)零點定義，結(jié)合正弦型函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)的圖象進行求解即可.【詳解】令，在同一直角坐標系，畫出兩個函數(shù)圖象如下圖所示：由圖可知共有20個交點，故，則A正確，B錯誤；又函數(shù)的圖象都關(guān)于對稱，則，故，則C正確，錯誤，故選：AC6．BD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱的特點，以及單調(diào)性和函數(shù)值結(jié)合選項可得答案.【詳解】根據(jù)題意可得函數(shù)在上為減函數(shù)，上為減函數(shù).，由可得.對于A，由在上為減函數(shù)，且，，所以存在，，所以在上有一個零點，同理在上有一個零點，又因為，所以有三個零點，故A錯誤；對于B，因為函數(shù)在上為減函數(shù).所以，故B正確；對于C，因為函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，故C錯誤；對于D，，，所以，故D正確.故選:BD.7．ABC【分析】冪函數(shù)定義求出m，代入點求出，判斷A選項；零點存在性定理判斷B選項；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性進行求解，進而判斷C選項，根據(jù)分步計數(shù)原理得到不同的報名方法，進而判斷出D選項.【詳解】由冪函數(shù)定義得：，將代入，，，故，A正確；由零點存在性定理，方程的根落在區(qū)間上，B正確；由正態(tài)分布的對稱性可知：，故，故估計該校此次檢測成績不低于分的學生人數(shù)為，C正確；位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有種，D錯誤.故選：ABC8．【分析】先利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷得在上都單調(diào)遞增，再利用零點存在定理得到，解之即可得解.【詳解】因為與在上都單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為在區(qū)間上有零點，所以，即，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.9．【分析】先由的取值范圍求出的取值范圍，再由題意結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由時，所以，當時，令，解得，又因為在上僅有三個零點，因此，解得.故答案為：.10．5【分析】，代入，可得答案.【詳解】因為，所以，當且僅當，時取等號，所以的最小值為5．故答案為：5.11．(1)減區(qū)間為：，；增區(qū)間為：.(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)值的符號和最值，可確定方程零點的個數(shù).【詳解】（1）因為（）.所以：.由，又函數(shù)定義域為，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因為，所以：當時，，方程無解；當，函數(shù)在上遞減，在遞增，所以，所以方程無解.綜上可知：方程的根的個數(shù)為.12．(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)選擇的條件代入計算，結(jié)合角的范圍即可利用特殊角的三角函數(shù)值求解，（2）由和差角公式以及輔助角公式化簡，由整體法即可代入求解.【詳解】（1）選條件①：無意義，所以選條件①時不存在，故不能選①，選條件②．由題設(shè)，所以．

因為，所以，所以．

所以．

選條件③，由題設(shè)．整理得．

以下同選條件②．（2）由（1）因為，所以．

于是，當且僅當，即時，取得最大值；

當且僅當，即時，取得最小值．

又，即時，．且當時，單調(diào)遞增，所以曲線與直線恰有一個公共點，則或的取值范圍是．【能力篇】一、單選題1．（2024·北京海淀·一模）已知，函數(shù)的零點個數(shù)為，過點與曲線相切的直線的條數(shù)為，則的值分別為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則下列命題中一定正確的是（

）A． B．有3個零點C． D．三、填空題3．（2024·陜西咸陽·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時，，若關(guān)于的方程有兩解，則的值為.四、解答題4．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）設(shè)n次多項式，若其滿足，則稱這些多項式為切比雪夫多項式.例如：由可得切比雪夫多項式，由可得切比雪夫多項式.(1)若切比雪夫多項式，求實數(shù)a，b，c，d的值；(2)對于正整數(shù)時，是否有成立？(3)已知函數(shù)在區(qū)間上有3個不同的零點，分別記為，證明：.參考答案：1．B【分析】借助分段函數(shù)性質(zhì)計算可得，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義及零點的存在性定理可得.【詳解】令，即時，，解得，時，，無解，故，設(shè)過點與曲線相切的直線的切點為，當時，，則有，有，整理可得，即，即當時，有一條切線，當時，，則有，有，整理可得，令，則，令，可得，故當時，，即在上單調(diào)遞增，當時，，即在上單調(diào)遞減，由，，故在上沒有零點，又，故在上必有唯一零點，即當時，亦可有一條切線符合要求，故.故選：B.2．AB【分析】根據(jù)奇函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可以判斷A,C,D選項，根據(jù)零點存在定理判斷零點個數(shù)即可判斷B選項.【詳解】由已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增，，由，得.對于A，因為在上單調(diào)遞增，所以，A正確；對于B，在上單調(diào)遞增，且，，故在上有且只有一個，使，同理在上單調(diào)遞增，且，，故在上有且只有一個，使，又，所以有3個零點，B正確；對于C，因為在上單調(diào)遞增，，C錯誤；對于D，，，易知與無法比較大小，D不一定正確.故選：AB.3．49或【分析】由已知可得是以為周期的周期函數(shù)，結(jié)合已知可作出函數(shù)的圖象，關(guān)于的方程有兩解，可得與的圖象有兩個交點，數(shù)形結(jié)合可求的值.【詳解】由，可得，所以是以為周期的周期函數(shù)，又為偶函數(shù)，且，故可作出函數(shù)的圖象如圖所示：若關(guān)于的方程有兩解，則與的圖象有兩個交點，當，則過點,所以，解得，當，則過點,所以，解得，綜上所述：的值為或.故答案為：或.4．(1)(2)成立(3)證明見解析【分析】（1）利用展開計算，根據(jù)切比雪夫多項式可求得；（2）要證原等式成立，只需證明成立即可，利用兩角和與差的余弦公式可證結(jié)論成立；（3）由已知可得方程在區(qū)間上有3個不同的實根，令，結(jié)合（1）可是，可得，計算可得結(jié)論.【詳解】（1）依題意，，因此，即，則，（2）成立.這個性質(zhì)是容易證明的，只需考慮和差化積式.首先有如下兩個式子：，，兩式相加得，，將替換為，所以.所以對于正整數(shù)時，有成立.（3）函數(shù)在區(qū)間上有3個不同的零點，即方程在區(qū)間上有3個不同的實根，令，由知，而，則或或，于是，則，而，所以.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·