4.4探索三角形相似的條件（培優(yōu)版）（含答案）-北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

4.4探索三角形相似的條件（培優(yōu)版）夯實(shí)基夯實(shí)基礎(chǔ)黑發(fā)不知勤學(xué)早，白首方悔讀書(shū)遲。一、選擇題1．如圖，將矩形ABCD沿著GE，EC，GF翻折，使得點(diǎn)A，B，D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G，O，C在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)E，O，F(xiàn)在另一條直線(xiàn)上.以下結(jié)論正確的是（）A．△COF∽△CEG B．OC=3OFC．AB：AD=4：3 D．GE=6DF2．如圖，點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是（）A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2)3．在歐幾里得的《幾何原本》中給出一個(gè)找線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)的方法．如圖所示，以線(xiàn)段AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)BE，延長(zhǎng)DA至F，使得EF=BE，以AF為邊作正方形AFGH，則點(diǎn)H即是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．若記正方形AFGH的面積為S1，矩形BCIH的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（）A． B． C．22 D．14．下列說(shuō)法中正確的是（）A．兩個(gè)直角三角形相似 B．兩個(gè)等腰三角形相似C．兩個(gè)等邊三角形相似 D．兩個(gè)銳角三角形相似5．在學(xué)習(xí)畫(huà)線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線(xiàn)BC，取AB的中點(diǎn)M，以點(diǎn)B為圓心，BM為半徑畫(huà)弧交射線(xiàn)BC于點(diǎn)D，連接AD，再以點(diǎn)D為圓心，DB為半徑畫(huà)弧，前后所畫(huà)的兩弧分別與AD交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，最后，以A為圓心，“■■”的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為AB的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“■■”指的是線(xiàn)段（）A．AF B．DF C．AE D．DE6．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列三角形中，與△AOD一定相似的是（）A．△BOC B．△AOB C．△DOC D．△ABC7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)Р在邊AB上，則在下列四個(gè)條件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP?AB；④AB?CP=AP?CB，能滿(mǎn)足△APCA．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③8．如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，添加如下一個(gè)條件后，仍不能得到△ABP∽△ACB的是（）A．ABBP=ACCB B．∠APB=∠ABC C．9．如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個(gè)三角形是（）A．①與② B．①與③ C．③與④ D．②與③10．已知在△ABC中，∠A=78°，AB=4，A． B．C． D．鞏固積鞏固積厚寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來(lái)。二、填空題11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，試添加一個(gè)條件：，使得△ADE與△ABC相似．（任意寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的即可）12．如圖，要使△PQR∽△PNM，則需添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是（添一個(gè)即可）．13．若線(xiàn)段AB＝10，且點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，且BC＞AC，則BC的長(zhǎng)為．14．同學(xué)們學(xué)習(xí)了線(xiàn)段的黃金分割之后，曾老師提出了一個(gè)新的定義：點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，若BCnAC=nACAB＝kn，則稱(chēng)點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的“近A，n階黃金分割點(diǎn)”．例如：若BC2AC=2AC15．如圖，在黃金矩形ABCD中，四邊形ABFG、GHED均為正方形，ABAD=CEDE，現(xiàn)將矩形ABCD沿AE向上翻折，得四邊形AEC優(yōu)尖拔優(yōu)尖拔高書(shū)山有路勤為徑，學(xué)海無(wú)涯苦作舟。三、解答題16．如圖，在△ABC中，BC=8，AC=4，D是BC邊上一點(diǎn)，CD=2.求證17．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP．18．如圖，AC，BD相交于的點(diǎn)O，且∠ABO＝∠C．求證：△AOB∽△DOC．19．在四邊形ABCD中，AC為對(duì)角線(xiàn)，AC=AB=BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，CD=BE=3，AD=1（1）如圖1，求證：∠ADC=90°；（2）如圖2，延長(zhǎng)BE，交AD邊的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，交CD邊于點(diǎn)G，連接CF，DE，在不添加任何字母和輔助線(xiàn)的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中與20．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的長(zhǎng)；（2）若AC＝BC，求證：△CDE∽△DFE．

答案與解析答案與解析1．答案:D解析：解：由折疊性質(zhì)得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，

∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，

由矩形的性質(zhì)，設(shè)AD=BC=2a，AB=DC=2b，

由折疊得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，

∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，

在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，

∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，

解得b=2a，

∴AB=2b=22a；

∴ABAD=21，故C選項(xiàng)不符合題意；

在Rt△COF中，設(shè)OF=DF=x，則CF=2b-x=22a-x，

∵∠D=∠GOF=90°，

∴x2+（2a）2=22a?x2，

解得x=22a，

∴6DF=6x=6×22a=3a，

2．答案:C解析：解：∵A（1，7），B（1，1），C（4，1），

∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°，

A.當(dāng)E（6，5）時(shí)，

∵D（6，1），C（4，1），

∴DE=4，CD=2，∠EDC=90°，

∴ABED=BCDC，∠ABC=∠EDC，

∴△ABC∽△EDC，

B.當(dāng)E（6，0）時(shí)，

∵D（6，1），C（4，1），

∴DE=1，CD=2，∠CDE=90°，

∴ABCD=BCDE，∠ABC=∠CDE，

∴△ABC∽△CDE，

C.當(dāng)E（6，4）時(shí)，

∵D（6，1），C（4，1），

∴DE=3，CD=2，∠EDC=90°，

∴ABED≠BCDC，∠ABC=∠EDC，

∴△ABC與△EDC不相似，

D.當(dāng)E（4，2）時(shí)，

∵D（6，1），C（4，1），

∴CE=1，CD=2，∠ECD=90°，3．答案:D解析：解：設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠EAB=90°，

∵點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，

∴AE=a2，

在Rt△EAB中，

∴BE=AE2+AB2=52a，

∵EF=BE，

∴EF=52a，

∴AF=EF-AE=52a-12a=5?12a，

∴正方形AFGH邊長(zhǎng)為5?12a，

∴S1=S正AFGH=（5?12a）2=3?52a2，

∵AH=5?12a，AB=a，

∴BH=AB-AH=a-5?1分析：設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，在Rt△EAB中，根據(jù)勾股定理得BE=52a，結(jié)合已知條件得正方形AFGH邊長(zhǎng)為5?12a，根據(jù)正方形面積公式得S1=3?52a2，再由矩形面積公式得，S2=3?524．答案:C解析：根據(jù)相似三角形的判定方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】A、只知道一個(gè)直角相等，不符合相似三角形判定的條件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、因?yàn)闆](méi)有說(shuō)明角或邊相等的條件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、因?yàn)槠淙龑?duì)角均相等，符合相似三角形的判定條件，故選項(xiàng)正確；

D、因?yàn)闆](méi)有說(shuō)明角或邊相等的條件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查相似三角形的判定定理：

（1）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；

（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；

（4）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．5．答案:A解析：解：根據(jù)作圖可知，∠ABD=90°，DB=DF=BM=1設(shè)DB=DF=a，則AB=2a，∴根據(jù)勾股定理可得：AD=A∴AF=AD?DF=5∴AFAB∴以A為圓心，“AF”的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為AB的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，故A正確.故答案為：A.分析：根據(jù)作圖可知∠ABD=90°，DB=DF=BM=12AB，設(shè)DB=EF=a，則AB=2a，AD=5a，AF=AD-DF=5a-a，則AF6．答案:A解析：解：∵AD∥BC，∴∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，∵∠AOD=∠BOC，∴△BOC∽△DOA，故答案為：A.分析：根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，由對(duì)頂角的性質(zhì)可得∠AOD=∠BOC，然后根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行解答.7．答案:D解析：解：A、∵∠ACP=∠B，∠APC=∠ACB，∴△APC∽△ACB，∴ACAB∴AB?CP=AC?CB≠AP?CB，不符合題意；B、∵AC∴ACAB∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，∴∠ACP=∠B，∴ACAB∴AB?CP=AC?CB≠AP?CB，不符合題意；C、∵AC∴ACAB∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，∴∠APC=∠ACB，∴ACAB∴AB?CP=AC?CB≠AP?CB，不符合題意；D、∵∠ACP=∠B，∠APC=∠ACB，∴△APC∽△ACB，∴ACAB∴AC故答案為：D．

分析：利用相似三角形的判定方法和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。8．答案:A解析：解：根據(jù)題意得∶∠A=∠A，A、無(wú)法得到△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)符合題意；B、當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)APAB又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)∠ABP=∠C時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意．故答案為：A．

分析：根據(jù)題意得∠A=∠A，可根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行逐一判斷即可.9．答案:B解析：解：根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，①號(hào)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，2，10，②號(hào)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，5，3，③號(hào)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，22，2④號(hào)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，3，17，∵2∴①與③相似，故B符合題意；其他選項(xiàng)不符合題意故答案為：B．分析：根據(jù)相似三角形的判定方法，計(jì)算求解即可。10．答案:B解析：解：A、由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可證陰影部分的三角形與原△ABC相似，A不符合題意；B、兩邊對(duì)應(yīng)成比例，而夾角不一定相等，不能證明陰影部分的三角形與原△ABC相似，B符合題意；C、由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可證陰影部分的三角形與原△ABC相似，C不符合題意；D、由兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，D不符合題意；故答案為：B．

分析：利用相似三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可。11．答案:AD解析：解：根據(jù)題意，添加條件ADAB∵∠A=∠A∴△ADE故答案為：ADAB

分析：利用相似三角形的判定方法求解即可。12．答案:∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）解析：解：由題意可得：∠MQN=∠RPQ，只需要再加上∠PMN=∠PRQ，即可得到△PQR∽△PNM，故答案為：∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）

分析：利用相似三角形的判定方法求解即可。13．答案:55解析：解：∵AB＝10，點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，且BC＞AC，

∴BC＝5?12AB＝5?12×10＝55-5.

14．答案:6解析：解：由題意，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的“近A，6階黃金分割點(diǎn)”時(shí)，BC6∴BC=6∵AB=BC+AC，∴AB=AC+6∵6AC∴6AC即：61+整理得：6k解得：k6=6經(jīng)檢驗(yàn)，k6=6∵k6∴k6故答案為：63

分析：由題意得BC6AC=6ACAB=k6，則BC=15．答案:2解析：解：BB'交AE于M，作EH'⊥AB'于H∵四邊形ABCD為黃金矩形，∴AB＝5?1∴BC＝15?1×2＝∵四邊形ABFG、GHED均為正方形，∴AG＝AB＝2，DE＝DG＝5＋1?2＝5?1，在Rt△ADE中，AE＝(5?1)2∵矩形ABCD沿AE向上翻折，得四邊形AEC'B'，∴C'B'＝CB＝5＋1，EC'＝EC＝3?5，AB'＝AB＝2，BB'⊥AE，B'M＝BM，易得四邊形B'C'EH'為矩形，則EH'＝C'B'＝∵12B'M×AE＝12AB'×E∴B'M＝2×(5∴BB'＝2B'M＝215故答案為：215分析：BB交：4E于M，作EH⊥AB于H'，連接BE，利用黃金矩形的定義求出BC的長(zhǎng)，再利用正方形的性質(zhì)得到AG、DE和DG長(zhǎng)，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AE，然后利用折疊的性質(zhì)得到CB'、C'E和AB'的長(zhǎng)，BB'⊥AE，B'M=BM，則EH'=C'B'，然后利用面積法求出B'M，從而求出BB的長(zhǎng).16．答案:證明：∵BC=8，AC=4，∴ACCD∴BCAC∵∠C=∠C，∴△ABC∽DAC解析：根據(jù)已知條件可得BCAC17．答案:證明：∵四邊形ABCD是正方形∴∠D=∠C=90°，AD=CD=BC=4∵BP=3PC∴PC=∵Q是CD的中點(diǎn)∴DQ=CQ=∵ADCQ=∴AD∵∠D=∠C=90°∴△ADQ∽△QCP．解析：先證明ADCQ=DQPC，再結(jié)合18．答案:證明：∵AC，BD相交于的點(diǎn)O，∴∠AOB＝∠DOC，又∵∠ABO＝∠C，∴△AOB∽△DOC．解析：利用對(duì)頂角的性質(zhì)可得∠AOB＝∠DOC，再結(jié)合∠ABO＝∠C，即可得到△AOB∽△DOC。19．答案:（1）證明：∵AC=AB=BC，∴△ABC為等邊三角形，∵BE⊥AC，∴BC=AC=2CE，∠BEC=90°，∴BE=B∵BE=3∴CE=1，∵AD=1，∴AD=CE，∵CD=BE，∴△BCE≌△CAD，∴∠ADC=∠BEC=90°；（2）解：由（1）得：BE平分∠ABC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴∠ABE=∠CBE=30°，∵△BCE≌