4.4探索三角形相似的條件（培優(yōu)版）（含答案）-北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊

4.4探索三角形相似的條件（培優(yōu)版）夯實基夯實基礎(chǔ)黑發(fā)不知勤學(xué)早，白首方悔讀書遲。一、選擇題1．如圖，將矩形ABCD沿著GE，EC，GF翻折，使得點A，B，D恰好都落在點O處，且點G，O，C在同一條直線上，點E，O，F(xiàn)在另一條直線上.以下結(jié)論正確的是（）A．△COF∽△CEG B．OC=3OFC．AB：AD=4：3 D．GE=6DF2．如圖，點A，B，C，D的坐標分別是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以點C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標不可能是（）A．(6，5) B．(6，0) C．(6，4) D．(4，2)3．在歐幾里得的《幾何原本》中給出一個找線段的黃金分割點的方法．如圖所示，以線段AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點E，連結(jié)BE，延長DA至F，使得EF=BE，以AF為邊作正方形AFGH，則點H即是線段AB的黃金分割點．若記正方形AFGH的面積為S1，矩形BCIH的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（）A． B． C．22 D．14．下列說法中正確的是（）A．兩個直角三角形相似 B．兩個等腰三角形相似C．兩個等邊三角形相似 D．兩個銳角三角形相似5．在學(xué)習(xí)畫線段AB的黃金分割點時，小明過點B作AB的垂線BC，取AB的中點M，以點B為圓心，BM為半徑畫弧交射線BC于點D，連接AD，再以點D為圓心，DB為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與AD交于E，F(xiàn)兩點，最后，以A為圓心，“■■”的長度為半徑畫弧交AB于點H，點H即為AB的其中一個黃金分割點，這里的“■■”指的是線段（）A．AF B．DF C．AE D．DE6．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點O，則下列三角形中，與△AOD一定相似的是（）A．△BOC B．△AOB C．△DOC D．△ABC7．如圖，在△ABC中，點Р在邊AB上，則在下列四個條件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP?AB；④AB?CP=AP?CB，能滿足△APCA．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③8．如圖，點P在△ABC的邊AC上，添加如下一個條件后，仍不能得到△ABP∽△ACB的是（）A．ABBP=ACCB B．∠APB=∠ABC C．9．如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個三角形是（）A．①與② B．①與③ C．③與④ D．②與③10．已知在△ABC中，∠A=78°，AB=4，A． B．C． D．鞏固積鞏固積厚寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。二、填空題11．如圖，在△ABC中，點D，E分別為邊AB，AC上的點，試添加一個條件：，使得△ADE與△ABC相似．（任意寫出一個滿足條件的即可）12．如圖，要使△PQR∽△PNM，則需添加一個適當(dāng)?shù)臈l件是（添一個即可）．13．若線段AB＝10，且點C是AB的黃金分割點，且BC＞AC，則BC的長為．14．同學(xué)們學(xué)習(xí)了線段的黃金分割之后，曾老師提出了一個新的定義：點C是線段AB上一點，若BCnAC=nACAB＝kn，則稱點C為線段AB的“近A，n階黃金分割點”．例如：若BC2AC=2AC15．如圖，在黃金矩形ABCD中，四邊形ABFG、GHED均為正方形，ABAD=CEDE，現(xiàn)將矩形ABCD沿AE向上翻折，得四邊形AEC優(yōu)尖拔優(yōu)尖拔高書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。三、解答題16．如圖，在△ABC中，BC=8，AC=4，D是BC邊上一點，CD=2.求證17．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP．18．如圖，AC，BD相交于的點O，且∠ABO＝∠C．求證：△AOB∽△DOC．19．在四邊形ABCD中，AC為對角線，AC=AB=BC，BE⊥AC于點E，CD=BE=3，AD=1（1）如圖1，求證：∠ADC=90°；（2）如圖2，延長BE，交AD邊的延長線于點F，交CD邊于點G，連接CF，DE，在不添加任何字母和輔助線的條件下，請直接寫出圖中與20．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC的中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的長；（2）若AC＝BC，求證：△CDE∽△DFE．

答案與解析答案與解析1．答案:D解析：解：由折疊性質(zhì)得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，

∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，

由矩形的性質(zhì)，設(shè)AD=BC=2a，AB=DC=2b，

由折疊得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，

∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，

在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，

∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，

解得b=2a，

∴AB=2b=22a；

∴ABAD=21，故C選項不符合題意；

在Rt△COF中，設(shè)OF=DF=x，則CF=2b-x=22a-x，

∵∠D=∠GOF=90°，

∴x2+（2a）2=22a?x2，

解得x=22a，

∴6DF=6x=6×22a=3a，

2．答案:C解析：解：∵A（1，7），B（1，1），C（4，1），

∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°，

A.當(dāng)E（6，5）時，

∵D（6，1），C（4，1），

∴DE=4，CD=2，∠EDC=90°，

∴ABED=BCDC，∠ABC=∠EDC，

∴△ABC∽△EDC，

B.當(dāng)E（6，0）時，

∵D（6，1），C（4，1），

∴DE=1，CD=2，∠CDE=90°，

∴ABCD=BCDE，∠ABC=∠CDE，

∴△ABC∽△CDE，

C.當(dāng)E（6，4）時，

∵D（6，1），C（4，1），

∴DE=3，CD=2，∠EDC=90°，

∴ABED≠BCDC，∠ABC=∠EDC，

∴△ABC與△EDC不相似，

D.當(dāng)E（4，2）時，

∵D（6，1），C（4，1），

∴CE=1，CD=2，∠ECD=90°，3．答案:D解析：解：設(shè)正方形ABCD邊長為a，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠EAB=90°，

∵點E為AD中點，

∴AE=a2，

在Rt△EAB中，

∴BE=AE2+AB2=52a，

∵EF=BE，

∴EF=52a，

∴AF=EF-AE=52a-12a=5?12a，

∴正方形AFGH邊長為5?12a，

∴S1=S正AFGH=（5?12a）2=3?52a2，

∵AH=5?12a，AB=a，

∴BH=AB-AH=a-5?1分析：設(shè)正方形ABCD邊長為a，在Rt△EAB中，根據(jù)勾股定理得BE=52a，結(jié)合已知條件得正方形AFGH邊長為5?12a，根據(jù)正方形面積公式得S1=3?52a2，再由矩形面積公式得，S2=3?524．答案:C解析：根據(jù)相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到答案．【解答】A、只知道一個直角相等，不符合相似三角形判定的條件，故選項錯誤；

B、因為沒有說明角或邊相等的條件，故選項錯誤；

C、因為其三對角均相等，符合相似三角形的判定條件，故選項正確；

D、因為沒有說明角或邊相等的條件，故選項錯誤．

故選：C．【點評】考查相似三角形的判定定理：

（1）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；

（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；

（3）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；

（4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．5．答案:A解析：解：根據(jù)作圖可知，∠ABD=90°，DB=DF=BM=1設(shè)DB=DF=a，則AB=2a，∴根據(jù)勾股定理可得：AD=A∴AF=AD?DF=5∴AFAB∴以A為圓心，“AF”的長度為半徑畫弧交AB于點H，點H即為AB的其中一個黃金分割點，故A正確.故答案為：A.分析：根據(jù)作圖可知∠ABD=90°，DB=DF=BM=12AB，設(shè)DB=EF=a，則AB=2a，AD=5a，AF=AD-DF=5a-a，則AF6．答案:A解析：解：∵AD∥BC，∴∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，∵∠AOD=∠BOC，∴△BOC∽△DOA，故答案為：A.分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，由對頂角的性質(zhì)可得∠AOD=∠BOC，然后根據(jù)相似三角形的判定定理進行解答.7．答案:D解析：解：A、∵∠ACP=∠B，∠APC=∠ACB，∴△APC∽△ACB，∴ACAB∴AB?CP=AC?CB≠AP?CB，不符合題意；B、∵AC∴ACAB∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，∴∠ACP=∠B，∴ACAB∴AB?CP=AC?CB≠AP?CB，不符合題意；C、∵AC∴ACAB∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，∴∠APC=∠ACB，∴ACAB∴AB?CP=AC?CB≠AP?CB，不符合題意；D、∵∠ACP=∠B，∠APC=∠ACB，∴△APC∽△ACB，∴ACAB∴AC故答案為：D．

分析：利用相似三角形的判定方法和性質(zhì)逐項判斷即可。8．答案:A解析：解：根據(jù)題意得∶∠A=∠A，A、無法得到△ABP∽△ACB，故此選項符合題意；B、當(dāng)∠APB=∠ABC時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項不符合題意；C、當(dāng)APAB又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項不符合題意；D、當(dāng)∠ABP=∠C時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項不符合題意．故答案為：A．

分析：根據(jù)題意得∠A=∠A，可根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似進行逐一判斷即可.9．答案:B解析：解：根據(jù)網(wǎng)格的特點，①號三角形的三邊長分別為：2，2，10，②號三角形的三邊長分別為：2，5，3，③號三角形的三邊長分別為：2，22，2④號三角形的三邊長分別為：2，3，17，∵2∴①與③相似，故B符合題意；其他選項不符合題意故答案為：B．分析：根據(jù)相似三角形的判定方法，計算求解即可。10．答案:B解析：解：A、由有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原△ABC相似，A不符合題意；B、兩邊對應(yīng)成比例，而夾角不一定相等，不能證明陰影部分的三角形與原△ABC相似，B符合題意；C、由有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原△ABC相似，C不符合題意；D、由兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，D不符合題意；故答案為：B．

分析：利用相似三角形的判定方法逐項判斷即可。11．答案:AD解析：解：根據(jù)題意，添加條件ADAB∵∠A=∠A∴△ADE故答案為：ADAB

分析：利用相似三角形的判定方法求解即可。12．答案:∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）解析：解：由題意可得：∠MQN=∠RPQ，只需要再加上∠PMN=∠PRQ，即可得到△PQR∽△PNM，故答案為：∠PMN=∠PRQ（答案不唯一）

分析：利用相似三角形的判定方法求解即可。13．答案:55解析：解：∵AB＝10，點C是AB的黃金分割點，且BC＞AC，

∴BC＝5?12AB＝5?12×10＝55-5.

14．答案:6解析：解：由題意，點C為線段AB的“近A，6階黃金分割點”時，BC6∴BC=6∵AB=BC+AC，∴AB=AC+6∵6AC∴6AC即：61+整理得：6k解得：k6=6經(jīng)檢驗，k6=6∵k6∴k6故答案為：63

分析：由題意得BC6AC=6ACAB=k6，則BC=15．答案:2解析：解：BB'交AE于M，作EH'⊥AB'于H∵四邊形ABCD為黃金矩形，∴AB＝5?1∴BC＝15?1×2＝∵四邊形ABFG、GHED均為正方形，∴AG＝AB＝2，DE＝DG＝5＋1?2＝5?1，在Rt△ADE中，AE＝(5?1)2∵矩形ABCD沿AE向上翻折，得四邊形AEC'B'，∴C'B'＝CB＝5＋1，EC'＝EC＝3?5，AB'＝AB＝2，BB'⊥AE，B'M＝BM，易得四邊形B'C'EH'為矩形，則EH'＝C'B'＝∵12B'M×AE＝12AB'×E∴B'M＝2×(5∴BB'＝2B'M＝215故答案為：215分析：BB交：4E于M，作EH⊥AB于H'，連接BE，利用黃金矩形的定義求出BC的長，再利用正方形的性質(zhì)得到AG、DE和DG長，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AE，然后利用折疊的性質(zhì)得到CB'、C'E和AB'的長，BB'⊥AE，B'M=BM，則EH'=C'B'，然后利用面積法求出B'M，從而求出BB的長.16．答案:證明：∵BC=8，AC=4，∴ACCD∴BCAC∵∠C=∠C，∴△ABC∽DAC解析：根據(jù)已知條件可得BCAC17．答案:證明：∵四邊形ABCD是正方形∴∠D=∠C=90°，AD=CD=BC=4∵BP=3PC∴PC=∵Q是CD的中點∴DQ=CQ=∵ADCQ=∴AD∵∠D=∠C=90°∴△ADQ∽△QCP．解析：先證明ADCQ=DQPC，再結(jié)合18．答案:證明：∵AC，BD相交于的點O，∴∠AOB＝∠DOC，又∵∠ABO＝∠C，∴△AOB∽△DOC．解析：利用對頂角的性質(zhì)可得∠AOB＝∠DOC，再結(jié)合∠ABO＝∠C，即可得到△AOB∽△DOC。19．答案:（1）證明：∵AC=AB=BC，∴△ABC為等邊三角形，∵BE⊥AC，∴BC=AC=2CE，∠BEC=90°，∴BE=B∵BE=3∴CE=1，∵AD=1，∴AD=CE，∵CD=BE，∴△BCE≌△CAD，∴∠ADC=∠BEC=90°；（2）解：由（1）得：BE平分∠ABC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴∠ABE=∠CBE=30°，∵△BCE≌