重難點(diǎn)突破-高二數(shù)學(xué)上冊?？碱}（人教A版2019選修一）15 圓錐曲線常考題型03-定點(diǎn)問題含答案

重難點(diǎn)突破-高二數(shù)學(xué)上冊?？碱}專練（人教A版2019選

修一）專題15圓錐曲線?？碱}型03—定點(diǎn)問題

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難

點(diǎn).解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是明確的，定點(diǎn)

問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變量表示問題中的直

線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，而這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系中不受變量

影響的某個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn).求解這類難點(diǎn)問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)

表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參

數(shù)影響的量.

1.如圖，已知拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)M（2,㈤到焦點(diǎn)尸的距離為3,直線/與拋物線

交于A（X1,乂），B（X2,必）兩點(diǎn)，且y>0，必<0,。408=12（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求拋物線的方程；

（2）求證：直線/過定點(diǎn).

2.己知拋物線C：V=4x.

(1)若C與圓G:(x-4)2+y2=13在第一象限內(nèi)交于M,N兩點(diǎn)，求直線MN的方程；

(2)直線/過點(diǎn)￡>(-1,0)交C于4,B兩點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為E,直線他交x軸

于點(diǎn)P,求證：P為定點(diǎn)、.

3.設(shè)A(x「y)和以占，丫?)是拋物線C：V=x上的兩點(diǎn)，且為+%=10.

(I)若乂=1,求直線鉆的方程；

(II)證明：當(dāng)點(diǎn)A,B在C上運(yùn)動時(shí)，線段他的垂直平分線過定點(diǎn).

4.已知曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)尸(0,1)的距離比到直線y+2=0的距離小1.

(I)求曲線C的方程；

(H)若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線/與曲線。交于A,B兩點(diǎn),以線段為直徑的圓過點(diǎn)

O,求證：直線/過定點(diǎn).

5.如圖，過頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對稱軸為y軸的拋物線E上的點(diǎn)A(2,l)作斜率分別為匕，心的直

線，分別交拋物線E于8,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；

(2)若勺+的=用&，證明：直線8c恒過定點(diǎn).

6.己知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)44,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(I)求動圓圓心的軌跡。的方程；

(II)己知點(diǎn)8(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是

NPBQ的角平分線，證明直線過定點(diǎn).

7.已知拋物線C:d=2p.y(p>0)的焦點(diǎn)為尸，且點(diǎn)尸與圓M:(x+4)2+_/=1上點(diǎn)的距離

的最大值為如+1.

(1)求〃；

(2)已知直線/:丫=去+4與C相交于4,8兩點(diǎn)，過點(diǎn)8作平行于y軸的直線3D交直線

/：丫=-4于點(diǎn)。.問：直線4)是否過)，軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

若不過定點(diǎn)，試說明理由.

8.己知直線y=x-2與拋物線丁=2px相交于A,B兩點(diǎn)，滿足。4_LO8.定點(diǎn)C(4,2),

￡>(T,0),M是拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)直線CM,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是E,F.

(1)求拋物線的方程；

(2)求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動時(shí)(只要點(diǎn)E、尸存在且不重合)，直線所恒過一個(gè)

定點(diǎn)；并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A到點(diǎn)8(1,0)的距離為4,到直線x=-2距離為且

4=4+1，記動點(diǎn)A的軌跡為曲線Q.

(1)求曲線C的方程；

(2)已知斜率之和為-1的兩條直線垃，”相交于點(diǎn)8,直線膽，〃與曲線Q分別相交于C,

D,E,尸四點(diǎn)，且線段CD、線段所的中點(diǎn)分別為G,H,問：直線GH是否過定點(diǎn)？

若過定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

3

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知?jiǎng)狱c(diǎn)尸到點(diǎn)尸(2,0)的距離與它到直線x的距離之比

為巫.記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

3

(1)求曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)尸作兩條互相垂直的直線4,44交曲線C于A,8兩點(diǎn)，4交曲線C于S，T

兩點(diǎn)，線段45的中點(diǎn)為“，線段ST的中點(diǎn)為N.證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)

坐標(biāo).

11.已知曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)F(0,l)的距離與到直線y+1=0的距離相等.

(I)求曲線C的方程；

(0)若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且。求證：直線/

過定點(diǎn).

12.已知雙曲線C:￡-y=l（a>0力>0）的離心率為如，且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（G也）.

ab~22

（1）求雙曲線。的方程；

（2）設(shè)斜率分別為匕，心的兩條直線4均經(jīng)過點(diǎn)。（2,1），且直線4，%與雙曲線C分

別交于4,3兩點(diǎn)（A,B異于點(diǎn)、Q）,若匕+心=1,試判斷直線A?是否經(jīng)過定點(diǎn)，若存

在定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

22

13.設(shè)P是橢圓C:=+5=l（a>b>0）上異于長軸頂點(diǎn)4,4的任意一點(diǎn)，過P作C的

礦b

切線與分別過A1,4的切線交于用，兩點(diǎn).已知|A&I=4,橢圓C的離心率為3.

（1）求橢圓。的方程；

（2）以用與為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，請予以證明，并求出定點(diǎn)；如

果不過定點(diǎn)，說明理由.

14.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:=+工=1（。>%>0）的焦距為46，離心率為述,直線

ab~5

/:y=Ax+，M”>0）與C交于A,B兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)尸（0,1）,PAPB=4求證：直線/過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

15.已知橢圓C:3?+[=1（4>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,居，設(shè)點(diǎn)A（0,6）,在△Af；居

a~b~

中，ZFtAF2=^-,周長為4+26.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)A的直線/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，若直線AM與AN的斜率之和為

-1,求證：直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

16.已知斜率為A的直線經(jīng)過點(diǎn)(-1,0)與拋物線C：V=2px(p>0,p為常數(shù))交于不同的

兩點(diǎn)M,N,當(dāng)&=，時(shí)，弦的長為4疥.

2

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)M的直線交拋物線于另一點(diǎn)Q,且直線MQ經(jīng)過點(diǎn)8(1,-1),判斷直線NQ是否

過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

17.過點(diǎn)尸(Y,0)的動直線/與拋物線Ud=2〃)，(〃>0)相交于￡)、E兩點(diǎn)，己知當(dāng)/的斜

率為』時(shí)，PE=4PD.

2

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)圓M:(x-l)2+(y-2)2=/,已知4,8是拋物線C上的兩動點(diǎn)，且直線。4,OB

都與圓M相切(。是坐標(biāo)原點(diǎn))，求證：直線AB經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

18.從拋物線＞2=36X上任意一點(diǎn)P向X軸作垂線段，垂足為。，點(diǎn)”是線段P。上的一

點(diǎn)，且滿足PM=2MQ.

(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)設(shè)直線x=+1(meR)與軌跡C交于A,3兩點(diǎn)，T為C上異于A,3的任意一點(diǎn)，

直線AT,分別與直線x=-l交于。，E兩點(diǎn)，以上為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)？

若過定點(diǎn)，求出符合條件的所有定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

22

19.已知橢圓C:[+2=l的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)A(0,l).

arb

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)O為原點(diǎn)，直線/:y=h+/(，w±l)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q,直線AP與x

軸交于點(diǎn)M,直線AQ與工軸交于點(diǎn)N.若|OMHON|=2,求證：直線/經(jīng)過定點(diǎn).

20.已知橢圓C言+左=l(a>b>0),四點(diǎn)［(I/)，3(0,1)，￡(-1苧,4(1,爭中恰

有三點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求。的方程；

(2)設(shè)直線/不經(jīng)過鳥點(diǎn)且與C相交于A,3兩點(diǎn).若直線與直線￡8的斜率的和為

一1,證明：/過定點(diǎn).

221

21.已知橢圓C:=+2=l(?>b>0)的離心率為白，外為橢圓C的左，右焦點(diǎn)，過百

a"b2

斜率不為零的直線4交橢圓于p,Q兩點(diǎn)，△gPQ的周長為8.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線AP,AQ分別交直線4：x=-4于例，N兩點(diǎn)，試判斷

以MV為直徑的圓是否恒過橢圓長軸上一個(gè)定點(diǎn)，并說明理由.

22.已知平面內(nèi)的兩點(diǎn)A(0,2>/2),B(0,-2夜)，過點(diǎn)A的直線人與過點(diǎn)8的直線4相交

于點(diǎn)c,若直線(與直線4的斜率乘積為-■!■，設(shè)點(diǎn)c的軌跡為E.

2

(I)求E的方程.

(2)設(shè)P是E與x軸正半軸的交點(diǎn)，過P點(diǎn)作兩條直線分別與E交于點(diǎn)M,N,若直線PM,

HV斜率之積為Y,求證：直線用N恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

23.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別是A(O,G),8(0,-6)，且直線力,的

斜率之積是-3.

2

5

(1)是否存在定點(diǎn)耳，F(xiàn)2,使得|刊"+|/G|為定值？

(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡為了，點(diǎn)C,D,E是z■上互異的三點(diǎn)，且AC,4)關(guān)于y軸對稱，

ACYAE.求證：直線DE恒過定點(diǎn).

專題15圓錐曲線?？碱}型03—定點(diǎn)問題

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難

點(diǎn).解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是明確的，定點(diǎn)

問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變量表示問題中的直

線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，而這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系中不受變量

影響的某個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn).求解這類難點(diǎn)問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)

表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參

數(shù)影響的量.

1.如圖，已知拋物線V=2px(p>0)上一點(diǎn)M(2,⑼到焦點(diǎn)戶的距離為3,直線/與拋物線

交于A(x-y),8(々，%)兩點(diǎn)，且y>0，y2<0,。4?。8=12(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求拋物線的方程；

(2)求證：直線/過定點(diǎn).

【解答】解：(1)由拋物線的方程可得準(zhǔn)線的方程為：x=_E,

2

再由拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到直線的距離，

所以由題意可得2+勺3,解得p=2,

所以拋物線的方程為：/=4%;

(2)證明：設(shè)直線/的方程為x=+E,/>0,

聯(lián)立['2整理可得：y2-4my-4r=0,

[y=4x

22

4txx==t2

可得：yiy2=-'t2^r~,

16

OA-OB=x[x2+y%=/-4/=12,r>0,

解得Z=6,

所以直線/的方程為：x=my+6,

所以直線恒過定點(diǎn)(6,0).

2.已知拋物線C:y2=4x.

(1)若。與圓G:(x-4)2+V=13在第一象限內(nèi)交于M,N兩點(diǎn)，求直線MN的方程；

(2)直線/過點(diǎn)。(-1,0)交C于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)5關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為E,直線AE交x軸

于點(diǎn)P,求證：P為定點(diǎn).

y=4x

x=lT[X=3

【解答】解：(1)聯(lián)立(x—4>+尸=13,解得J=2或1y=26

y>0

故%V=6T，可得直線"N的方程為y-2=(6-l)(x-l)，即(G-l)x-y-G+3=0,

(2)證明：由題意，可設(shè)直線/方程為x="y-l,A(x,y),B(x2,%)，鳳々，，

聯(lián)立直線/與拋物線方程廠;“啖，化簡整理可得，/-4my+4=0,

[y=4x

由韋達(dá)定理可得，y%=4，

由題意，可設(shè)直線他方程為x=〃y+b,

化簡整理可得，/-4?y-46=0,

[y=4x

yy?=T0=-4,解得4=1,

AE方程為x=+1,

直線AE必過點(diǎn)(1,0),

；.P為定點(diǎn)(1,0),即得證.

3.設(shè)4(占，%)和8(乙，〉2)是拋物線C：V=x上的兩點(diǎn)，且與+七=1°.

(I)若X=1,求直線"的方程；

(H)證明：當(dāng)點(diǎn)A,B在C上運(yùn)動時(shí)，線段43的垂直平分線過定點(diǎn).

【解答】解：(I)4(X[,y)和8(七，為)是拋物線C：y2=x上的兩點(diǎn)，且玉+毛=10,

由X=1,可得再=1,x2=9,y2=±3,

典」4(1,1),8(9,3)或3(9,-3),

可得直線鉆的方程為y-l=1(x-l),

即為x-4y+3=0；

或y-l=」(x-l),即為x+2y-3=0；

(n)證明：由題意可得y-=x,,貨=%，

相減可得(%-%)(乂+%)=%-馬，

可得旗的斜率幺=比』=--一，

%一占y+必

X+W=10,可得45中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5,

可得AB的垂直平分線方程為y-上產(chǎn)=-(y+y2)(x-5),

即為y=(y+%)(日一幻，

可得x=U,y=0,

則線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)(以，0).

2

4.已知曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)尸(0,1)的距離比到直線y+2=0的距離小1.

(I)求曲線C的方程；

(H)若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線/與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，以線段/W為直徑的圓過點(diǎn)O,

求證：直線/過定點(diǎn).

【解答】解：(I)因?yàn)榍€C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)尸(0,1)的距離比到直線y+2=0的距離小

1,

所以曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)E(0,l)的距離與到直線y+l=0的距離相等,

所以曲線C為以尸為焦點(diǎn)，直線y=-l為準(zhǔn)線的拋物線，即/?=2,

所以曲線C的方程為V=4y.

(H)證明：根據(jù)題意當(dāng)I的斜率部位0時(shí)，設(shè)直線AB方程為x=my+b(b*0),,y),

B(xiy2),

聯(lián)立可得，"2y2+(2w/>-4)y+〃=0,

[x-=4y

4—2mbb2

所以y+%=

m2

.，,、，22tr,,4-2mb、,4b

x,x,=(my+b)(my+b)=m2y,y+mb{y+y)+b=mx--+mb(---——)+b2=—>

l22}2m~nrm

因?yàn)橐跃€段4?為直徑的圓過點(diǎn)O，

所以AO_L80,

4bh1

所以BO=(-X]，-，-%)=中2+乂必=一+F=。，即b=0(舍去)或6=Ym,

mm

所以直線/的方程為x，BPx=m(y-4),

所以直線/經(jīng)過定點(diǎn)(0,4).

當(dāng)/的斜率為0時(shí)，由對稱性知4(4,4),5(-4,4),此時(shí)/也過(0,4),

所以直線/經(jīng)過定點(diǎn)(0,4).

綜上直線/經(jīng)過定點(diǎn)(0,4).

5.如圖，過頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對稱軸為y軸的拋物線E上的點(diǎn)A(2,l)作斜率分別為％?的直

線，分別交拋物線E于B,C兩點(diǎn).

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；

(2)若k\+h=k、h，證明：直線3c恒過定點(diǎn).

【解答】(1)解：設(shè)拋物線的方程為/=。)，，則

代入A(2,l),可得a=4,

拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=4y,準(zhǔn)線方程為y=-1；

(2)證明：設(shè)8(%，%),C(x2,y2),則直線AB方程y=4(x-2)+l,

AC方程y=&(x-2)+l,

聯(lián)立直線鉆方程與拋物線方程，消去y,得/-4女尸+8K-4=0,

大=%-2①

同理W=%-2②

而3c直線方程為>-1玉2=號受。-±),③

履+內(nèi)=桃2，

由①②③，整理得&/2(x-2)-x—y—l=0.

由x-2=0且-x-y-l=O,得x=2,y=-3,故直線3c經(jīng)過定點(diǎn)(2,-3).

6.己知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(I)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(II)已知點(diǎn)8(-1,0),設(shè)不垂直于無軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是

NP8Q的角平分線，證明直線過定點(diǎn).

【解答】解：(I)設(shè)圓心C(x,y)(xw0),過點(diǎn)C作軸，垂足為E,則|,

.-.|CA|2=|CM\2=\ME^+|EC|2,

(x-4)2+y2=42+x2,化為丁=8尤.

當(dāng)x=0時(shí)，也滿足上式.

.??動圓圓心的軌跡C的方程為V=8x.

(II)設(shè)尸(內(nèi)，％),Q(X2,y2)

由題意可知X+丫2/0，X必<°J；=胱，貨=8占.

x軸是NPBQ的角平分線，，勺”=-kQB,

y二％—-=二12-，化為8+乂%=0.

Xy+1X2+1工+1&+1

88

直線尸Q的方程為y—y=五』。一占），

工2一%

???yf=XT。-芭），化為y_y=」—人

A_A%+y

88

化為y（%+X）-%（X+M）=8x-y；,

y（y+%）+8=8x,令y=0,則x=l,

直線P。過定點(diǎn)（1,0）

7.已知拋物線<7:/=2。了5>0）的焦點(diǎn)為尸，且點(diǎn)F1與圓加：。+4尸+丫2=1上點(diǎn)的距離

的最大值為J萬+1.

（1）求p；

（2）已知直線/:y=6+4與C相交于A,8兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作平行于y軸的直線比>交直線

/，：y=T于點(diǎn)。.問：直線AQ是否過y軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若

不過定點(diǎn)，試說明理由.

【解答】解：（1）由拋物線的方程可得焦點(diǎn)尸（0,4），

2

圓M:（x+4>+y2=i可得圓心河《0）,半徑「=1,

產(chǎn)到圓M的最大距離為：|FM|+r=/（Ty+gr+i,

由題意可得，-4）2+夕+1=而+1,p>0,

解得：〃=2；

（2）由（1）得拋物線的方程為：x2=4y,

設(shè)A（X，y｝）,B（X2,y2）,

y=履+4

聯(lián)立整理可得：幺-4h-16=0,

x2=4y

工1+12=4%,玉/=-16,

由題意可得。（％，V），

所以直線AO的方程為：尸4=之上（＞々）="旦_3"2+8〉，

玉-x2玉一x2X,-x2

令x=0,可得"_、布+4（占+占）=_八（一16）+原=0,

王一士x,-x2

所以直線AO恒過y軸上的一定點(diǎn)（0,0）.

8.已知直線y=x-2與拋物線y?=2px相交于A,8兩點(diǎn)，滿足。4_LO3.定點(diǎn)C（4,2）,

￡）（-4,0）,M是拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)直線CM,ZW與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是E,F.

（1）求拋物線的方程；

（2）求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動時(shí)（只要點(diǎn)E、尸存在且不重合），直線班'恒過一個(gè)

定點(diǎn)；并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：（1）設(shè)A（X[,y）,B（X2,y2）,

聯(lián)立,整理可得：y2-2py-4p=0,

[y=2px

所以可得X+%=2p，X%=-4p,

進(jìn)而可得用々=乂必+2（%+y2）+4=-4p+2x2p+4=4,

由。4_LO3,可得：OAOB=0,

即4-4p=0,可得p=l,

所以拋物線的方程為：/=2x；

（2）證明：設(shè)"（色，%）,E（菅，％）,"券，％），

由C,M,E三點(diǎn)共線可得，2口■=2二，即一j—=2（*-2）,

21__y￡V_4%+%%-8

222

整理可得：為乂=2（%+乂）-8,

所以y產(chǎn)生彳，

%-2

Q

同理可得O,M,尸三點(diǎn)共線，y2=—,

%

所以直線所的方程：丫-％=）「,（%-%,）=―2一（x-西），

當(dāng)+必

22

整理可得：y^2=y(yi+y2)-2x,

將弘，%的值代入直線方程可得：(2x-2y)y；+4(4-x)+8(2y-8)=0,

x-y=0

所以<4-x=0解得：x=y=4,

2y-8=0

所以直線歷過定點(diǎn)(4,4).

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A到點(diǎn)B(l,0)的距離為4,到直線x=-2距離為為，且

4=4+1，記動點(diǎn)A的軌跡為曲線。.

(1)求曲線c的方程；

(2)已知斜率之和為-1的兩條直線，〃，〃相交于點(diǎn)8,直線山，”與曲線Q分別相交于C,

D,E,尸四點(diǎn)，且線段8、線段所的中點(diǎn)分別為G,H,問：直線GH是否過定點(diǎn)？

若過定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

【解答】解：(1)因?yàn)閯狱c(diǎn)A到點(diǎn)8(1,0)的距離為&,到直線x=-2距離為“2，且《=4+1，

則動點(diǎn)A到點(diǎn)3(1,0)的距離等于到直線x=-1的距離，

所以點(diǎn)A的軌跡為拋物線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為以1,0),

故曲線C的方程為y2=4x；

(2)設(shè)山，”的方程分別為y=K(x-l),y=&(x-l),

聯(lián)立方程組[>,=K*-D,可得女一Q婷+4)X+婷=0,

[y-=4x

所以占+赴=矢+匕4，

2

則k同-i-2理9可得“(1/+寧2,2分,

k：&k2

所以《"=2與—=-^-

GHY+2&2+2k、+k,

巧一狼

由匕+占=-1'

所以％GH=%(1+■)，

?1+2

則直線GH的方程為y-4(1+K)(x-軍W)，

整理可得y+2="l+K)(x_l),

故直線GH恒過定點(diǎn)(1,-2).

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)廠(2,0)的距離與它到直線x=|的距離之比

為巫.記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

3

(1)求曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)尸作兩條互相垂直的直線4,44交曲線C于A,B兩點(diǎn)，4交曲線C于s,7兩

點(diǎn)，線段45的中點(diǎn)為M,線段ST的中點(diǎn)為N.證明：直線仞V過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐

標(biāo).

【解答】解：(1)設(shè)尸(x,y),根據(jù)題意可得=羊,

Ix-||3

化簡得曲線C的方程為￡-V=l.

3

(2)證明：設(shè)2(%,y),3*2，%)，

①若直線小4都存且不為零，

設(shè)直線乙的方程為y=Z(x-2),則直線4的方程為y=」(x-2),

k

y=k{x-2)

由，V2]，MOk2-l)x2-12k2x+12k2+3=0,

1-3--y=1

當(dāng)女2-1=0時(shí)，這個(gè)方程變?yōu)閅x+7=0只有一解，

直線4與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，

當(dāng)弘2_1#o時(shí)，△=1443-4(3/-1)(12公+3)=12供2+1)>0,

直線人與曲線C恒有兩個(gè)交點(diǎn),

12公

由韋達(dá)定理，%+占=

3k2

6k?2k

故線段M的中點(diǎn)為)，

3氏2-13*2-1

6-2k

同理，線段PQ的中點(diǎn)為N()，

3-k23-k2

2k2k

3?-，+]孑2k

若％w±l,則%.=

1b6p3(1--)'

3k2-13-k2

直線MN的方程為y+等=-金),

即y=-2卜丁.（x-3）,

-3（1-A:2）

此時(shí)，直線MN恒過點(diǎn)(3,0).

若氏=±1,則N(3,-l)或M(3,-l),N(3,l),直線MN的方程為x=3,

此時(shí)直線MN過點(diǎn)(3,0),

②若直線4中其中一條的斜率為0,另一條的斜率不存在，

不妨設(shè)《的斜率為0,則直線4：y=0,l2:x=2,

此時(shí)，直線MN的方程為y=0,

此時(shí)，直線也過點(diǎn)(3,0),

綜上，直線也過點(diǎn)(3,0).

11.已知曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)尸(0,1)的距離與到直線y+1=0的距離相等.

(I)求曲線C的方程；

(U)若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且。4_LO3.求證：直線/過

定點(diǎn).

【解答】(I)解：因?yàn)榍€C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)尸(0,1)的距離與到直線y+l=0的距離相

等，

根據(jù)拋物線的定義可知，曲線C的軌跡是以尸(0,1)為焦點(diǎn)，直線y+l=0為準(zhǔn)線的拋物線，

故曲線C的方程為x?=4y；

(II)證明：設(shè)直線=+A(X1,y),B(x2,y2),

聯(lián)立方程組卜「近+”,可得幺一4"-46=0,

所以％+電=4攵，x}x2=-4b,

所以AB=?。▋?nèi)一々）2+（乂一%產(chǎn)，OA=收+y：,OB=收+y；,

因?yàn)榫€段他為直線的圓過點(diǎn)O,

所以為直角三角形，

故有AB2=OA2+OB',

2

所以（％-x?）2+（%-=X：+y；+v+y2，

化簡可得與赴+yty2=0,

又因?yàn)槠?kX[+b,y2=kx2+h,

22

所以,%=（依+b）（kx2+Z?）=kx{x2+（玉4-x2）kb+b，

22

所以西工2+y，2=G+^）X1X2+kb（3+x2）+/?,

因?yàn)橛?%=4Z,%w=-Ab,

所以西9+yy?=（1+/）.（-4力+kb-4k+b2=b2-4b,

所以62—4%=0,解得。=0或b=4,

因?yàn)橹本€/不過原點(diǎn)O,所以〃/0,

故人=4,

所以直線/:y=Ax+4,

令x=0,則y=4,

所以直線/恒過定點(diǎn)（0,4）.

12.已知雙曲線C:二-￥=1（。>0,6>0）的離心率為理，且該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（G,立）.

a2b222

（1）求雙曲線C的方程：

（2）設(shè)斜率分別為匕，的的兩條直線4，均經(jīng)過點(diǎn)Q（2,l）,且直線4與雙曲線。分

別交于A,8兩點(diǎn)（4,8異于點(diǎn)Q）,若左+e=1,試判斷直線45是否經(jīng)過定點(diǎn)，若存在

定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【解答】解：（1）由離心率為￡=亞，且。2="+",得c?=36，a2=2b2,

a2

22

即雙曲線方程為ax-方v=1.

又點(diǎn)P（6，￥）在雙曲線c上，.?.3-靠=1,

22

解得Z?=1>a=2f

.??雙曲線C的方程為:一爐=1；

（2）當(dāng)直線45的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)A,8關(guān)于x軸對稱，

設(shè)A（x0,%）,B（x0,-%）,

則由匕+&=1,得四二1+$二1=1,

/―2%-2

即上一=1,解得x0=0,不符合題意，故直線他的斜率存在.

%一2

不妨設(shè)直線/W的方程為y="+r,代入5-丁=1,

整理得(2公-1)爐+4%優(yōu)+2/+2=0(2公一1/0),A>o.

4kt2/2+2

設(shè)y),B(X2,y2),則<+)=一廠,x,x2=2_

乙K1乙K1

,,,.V.-1Vo-1,n依+，-1kx-,+t~l.

由匕+幺=1,/得P1以一十心一=1,即n」-----+-......=1,

玉一2%-2Xj—2X)-2

整理得(2%-1)%/+(t-2k+l)(x,+x2)-4?=0,

2尸+24k

(2D5—+(t-2k+l)-(——；—)一4=0,

2k272k2

整理得：產(chǎn)+(24-2"-1+24=0,即?—1)(7+2%—1)=0,

f=1或r=1—24.

當(dāng)/=1時(shí)，直線43的方程為丫=&+1,經(jīng)過定點(diǎn)(0,1)；

當(dāng)"1-2%時(shí)，直線AB的方程為y=A:(x-2)+l,經(jīng)過定點(diǎn)。(2,1),不符合題意.

綜上，直線鉆過定點(diǎn)(0,1).

13.設(shè)P是橢圓C：W+W=l(a>6>0)上異于長軸頂點(diǎn)A，4的任意一點(diǎn)，過尸作C的切

線與分別過A,A?的切線交于與，兩點(diǎn).已知1441=4,橢圓C的離心率為g.

(1)求橢圓C的方程；

(2)以4為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，請予以證明，并求出定點(diǎn)；如

果不過定點(diǎn)，說明理由.

|44|=2a=4

【解答】解：(1)由題可知c1，

e=-=—

a2

解得a=2,c=1,

所以/=Z?2+/=3,

所以c的方程為￡+￡=i.

43

(2)設(shè)%),由于P是異于長軸頂點(diǎn)A，&的任意一點(diǎn)，故切線斜率存在.

y=kx+b

設(shè)過P的橢圓的切線為y=fcc+8,聯(lián)立方程f2,

——+—=1

143

2

得(3+4公)*2+8khx+4從-12=0,△=(8助2_縱3+4k)(4/-12)=0,

y0=kx0+b

結(jié)合％2y；,解得過p點(diǎn)的切線方程為>=-任+上-

一+*=1-4%%

I43

由于分別過A,4的切線分別為x=—2,x=2,

解得B,的坐標(biāo)為用(一2,包蘭竺)，8,(2,93),

2%2%

在x軸上取點(diǎn)M(r,0),則MB,=(一2-r,"風(fēng)),MB,=(-2+，，”也

).

2%2%

2369

所以=f-4+~^°~=?-l,

-4城

當(dāng)1=±1時(shí),MB「MB2=O,

所以，以用約為直徑的圓過x軸上的定點(diǎn)為耳(-1,0),心(1,0).

14.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:[+￡=l(4>b>0)的焦距為4石，離心率為拽，直線

crb-5

I:y=kx+m(m>0)與。交于A,B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P(0,l),PAPB=-4,求證：直線/過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：⑴??橢圓C：W+馬=1(。>6>0)的焦距為4石，離心率為茹,

ab-5

;.2c=4后,即c=2氐

又橢圓離心率為竽，

c2石

I.€——=,

a5

「.。=5,

b=4a。-c2="2-Q府=后,

故橢圓C的方程為：《+±=1.

255

(2)設(shè)AO[，y),B(X2,y2),

y=kx+m

聯(lián)立(爐y2,消去丁整理得：(1+5公)f+i()m戊+5m2-25=0,

---1---=1

10km5m2-25

所以△>(),X]+X>=—,1+5r"也-i+5公

2m

所以X+y=攵(玉+/)+2機(jī)=

21+5/2

_5k2nr-25k2-1Ok2m2+nr+5k2nr-25k2+nr

yy=(fcr,+m)(kx+m)=k2xx+fon(x,+x)+m2

22t121+5公1+5公

因?yàn)镻(0,l),PA-P8=-4,

所以(Xi，y(-l)-(x2,>>2-1)=x,x2+y,y2-(y,+y2)+1=-4.

5加2—25-25爐+〃2m

所以+5=0,

1+5/1+5公1+5公

整理得：3m2一機(jī)一10=0,

解得：帆=2或m=-*(舍去)，

3

所以直線/過定點(diǎn)(0,2)?

22

15.已知橢圓C:=+、=l(a>/?>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,設(shè)點(diǎn)40,。)，在耳瑪

ab

中，ZFtAF2=^-,周長為4+2后.

(I)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)A的直線/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),若直線40與4V的斜率之和為

-1,求證：直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】(1)解：由==

:.a=2b=c,①

3

又△A耳心的周長為4+2&,

2a+2c=4+2括，②

聯(lián)立①②，解得',,

[b=1

橢圓方程為《+>2=1；

4

(2)證明：當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)加但，%),N(X2,%),

由k+k_--1必+(必-1)&-1x—__

Kvv

出AM十。N--1?xy-x2,yx-y2,

中2

得玉=2,此時(shí)M,N重合，不符合題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/方程：y=kx+mf

交點(diǎn)MO[，y),N(X2,y2),

由Jn(1+4公)x2+Skmx+4(ni2-1)=0.

[x~+4y=4

8km4(/n2—1)

司+赴=一='中2=77^’

依題：念“+怎~=21二1+三二1=一1，

y[=kx1+tn,y2=kx2+tn,

kx.+m-\kx.+m-\.

—!------+—=-------=-1,

不毛

/.2k+(tn-1)-"士』=-1n"2=-2k-1.

軍工2

.,.直線/方程為：y=kx+m=kx-2k-\=k(x-2)-\,

則過定點(diǎn)(2,—1).

16.已知斜率為左的直線經(jīng)過點(diǎn)(-1,0)與拋物線C:y2=2px(〃>0,p為常數(shù))交于不同的

兩點(diǎn)M,N,當(dāng)&=’時(shí)，弦MN的長為4后.

2

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)M的直線交拋物線于另一點(diǎn)Q,且直線MQ經(jīng)過點(diǎn)判斷直線NQ是否

過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

【解答】解：(1)??斜率為％=’的直線經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),

2

直線方程為x-2y+l=0,

聯(lián)立卜2=2px,得y2-4py+2p=(),

+1=0

△=16p2-8p>0,即p<0(舍)或p>；.

設(shè)例(％,yj,N(X2,y2),則用+w=4p,x1x2=2p,

弦MN的長為4厲，

4岳=J(l+2>[(4p)2-4x2p],

整理，得2P2_p_6=0,

-2

解得p=2或p=-：(舍)，

拋物線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=4%.

(2)設(shè)MN的方程為y=Z(x+l),代入拋物線的方程，可得62-4)，+44=0

設(shè)M(X1,y),N(X2,%)，OH，%)，則乂%=4，

由心=e=公-總

44

直線MB的方程為y+l=」一

(x-1)，

%+丫3

4

■■■弘+1=------(&-1)>

X+%

可得一造

44+%

%1+為

???必力+4(必+必)+4=°

直線QN的方程為y-y2=--—(x-x2)

■必+%

可得力為-+%)+4x=0，

/.x=l,y=—4,

直線QN過定點(diǎn)(1,-4).

17.過點(diǎn)P(~4,0)的動直線/與拋物線。:/=20)，5>0)相交于。、E兩點(diǎn)，己知當(dāng)/的斜

率為1時(shí)，PE=4PD.

2

(1)求拋物線C的方程:

(2)設(shè)圓M:(x-l)2+(y-2)2=/,已知A,8是拋物線C上的兩動點(diǎn)，且直線。4,OB

都與圓M相切(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，求證：直線居經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：(1)由題意可得直線/的方程為y=g(x+4),

設(shè)￡)(X],yj,￡(X2,y2),

.V=2(X+4),整理可得/_pip=0