2025屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

2025屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為()A. B.C. D.2.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.3.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.4.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B.C. D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為11,則圖中的判斷條件可以為()A. B. C. D.6.在中,,則()A. B. C. D.7.為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度8.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為;②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形;③函數(shù)的極大值為;④函數(shù)的最小值為.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④9.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則()A.1 B.2 C.3 D.410.已知是虛數(shù)單位,若,,則實(shí)數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.11.已知函數(shù)且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則其共軛復(fù)數(shù)()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在△ABC中,∠BAC=,AD為∠BAC的角平分線,且,若AB=2,則BC=_______.14.不等式對(duì)于定義域內(nèi)的任意恒成立,則的取值范圍為__________.15.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則=__________.16.已知函數(shù),則不等式的解集為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線:(為參數(shù)),曲線(為參數(shù)).(1)設(shè)與相交于,兩點(diǎn),求;(2)若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍,得到曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線距離的最小值.18.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最大值為,若,證明:.19.(12分)已知,,求證:(1);(2).20.(12分)某企業(yè)質(zhì)量檢驗(yàn)員為了檢測(cè)生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取了個(gè)零件進(jìn)行測(cè)量,根據(jù)所測(cè)量的零件尺寸(單位:mm),得到如下的頻率分布直方圖:(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求這個(gè)零件尺寸的中位數(shù)(結(jié)果精確到);(2)若從這個(gè)零件中尺寸位于之外的零件中隨機(jī)抽取個(gè),設(shè)表示尺寸在上的零件個(gè)數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)已知尺寸在上的零件為一等品,否則為二等品,將這個(gè)零件尺寸的樣本頻率視為概率.現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件進(jìn)行成箱包裝出售,每箱個(gè).企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對(duì)每箱的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn),已知每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為元.若檢驗(yàn),則將檢驗(yàn)出的二等品更換為一等品;若不檢驗(yàn),如果有二等品進(jìn)入買家手中,企業(yè)要向買家對(duì)每個(gè)二等品支付元的賠償費(fèi)用.現(xiàn)對(duì)一箱零件隨機(jī)抽檢了個(gè),結(jié)果有個(gè)二等品,以整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望值作為決策依據(jù),該企業(yè)是否對(duì)該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)?請(qǐng)說明理由.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若,求曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為45°的直線,交于點(diǎn),且的最大值為,求的值.22.(10分)在角中,角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,若.(1)求角A;(2)若的面積為,求的周長(zhǎng).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

,將看成一個(gè)整體,結(jié)合的對(duì)稱性即可得到答案.【詳解】由已知,,令,得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的對(duì)稱性的問題,在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí),一般采用整體法,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),是一道容易題.2、C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形,設(shè)球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形,由球心到各點(diǎn)距離相等可得,,故是直角三角形,設(shè),則有,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時(shí),故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問題,屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】

作出約束條件的可行域,在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值,作,平移直線即可求解.【詳解】作出實(shí)數(shù)滿足不等式組的可行域,如圖(陰影部分)令,則,作出,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),截距最小,故,即的最小值為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題,解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得;【詳解】解:依題意,,故函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,排除C;而,排除B;,排除D.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別,函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)程序框圖知當(dāng)時(shí),循環(huán)終止,此時(shí),即可得答案.【詳解】,.運(yùn)行第一次,,不成立,運(yùn)行第二次,,不成立,運(yùn)行第三次,,不成立,運(yùn)行第四次,,不成立,運(yùn)行第五次,,成立,輸出i的值為11,結(jié)束.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)充程序框圖判斷框的條件,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.6、A【解析】

先根據(jù)得到為的重心,從而,故可得,利用可得,故可計(jì)算的值.【詳解】因?yàn)樗詾榈闹匦?,所?所以,所以,因?yàn)?,所以,故選A.【點(diǎn)睛】對(duì)于,一般地,如果為的重心,那么,反之,如果為平面上一點(diǎn),且滿足,那么為的重心.7、D【解析】

通過變形,通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象,故答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換,難度不大.8、D【解析】

因?yàn)椋寓俨徽_;因?yàn)椋?,,所以,所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形,②正確;易知函數(shù)的最小正周期為,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可.當(dāng)時(shí),,且,令,得,可知函數(shù)在處取得極大值為,③正確;因?yàn)?,所以,所以函?shù)的最小值為,④正確.故選D.9、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率,列出a的方程即可求解【詳解】因?yàn)?,且在點(diǎn)處的切線的斜率為3,所以,即.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題10、B【解析】

由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題11、B【解析】

構(gòu)造函數(shù),判斷出的單調(diào)性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),由解得,所以的定義域?yàn)?,且,所以為奇函?shù),而,所以在定義域上為增函數(shù),且.由得,即,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式,屬于中檔題.12、B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出,然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由,所以其共軛復(fù)數(shù).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由,求出長(zhǎng)度關(guān)系,利用角平分線以及面積關(guān)系,求出邊,再由余弦定理,即可求解.【詳解】,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查共線向量的應(yīng)用、面積公式、余弦定理解三角形,考查計(jì)算求解能力,屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)題意,分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為只對(duì)于內(nèi)的任意恒成立,令,則只需在定義域內(nèi)即可,利用放縮法,得出,化簡(jiǎn)后得出,即可得出的取值范圍.【詳解】解:已知對(duì)于定義域內(nèi)的任意恒成立,即對(duì)于內(nèi)的任意恒成立,令,則只需在定義域內(nèi)即可,,,當(dāng)時(shí)取等號(hào),由可知,,當(dāng)時(shí)取等號(hào),,當(dāng)有解時(shí),令,則,在上單調(diào)遞增,又,,使得,,則,所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值,解決恒成立問題求參數(shù)值,涉及分離參數(shù)法和放縮法,考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.15、【解析】

根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì),結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得公比;代入表達(dá)式,結(jié)合對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知,所以,解得或(舍),所以由對(duì)數(shù)式運(yùn)算性質(zhì)可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,等比數(shù)列通項(xiàng)公式的用法,對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算,屬于中檔題.16、【解析】

,,分類討論即可.【詳解】由已知,,,若,則或解得或,所以不等式的解集為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,涉及到解一元二次不等式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)將直線和曲線化為普通方程,聯(lián)立直線和曲線,可得交點(diǎn)坐標(biāo),可得的值;(2)可得曲線的參數(shù)方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角形的最值可得答案.【詳解】解:(1)直線的普通方程為,的普通方程.聯(lián)立方程組,解得與的交點(diǎn)為,,則.(2)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),故點(diǎn)的坐標(biāo)為,從而點(diǎn)到直線的距離是,由此當(dāng)時(shí),取得最小值,且最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化及參數(shù)方程的基本性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式等,屬于中檔題.18、(1);(2)證明見解析【解析】

(1)將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進(jìn)而分類討論求解不等式即可;(2)先利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】(1)①當(dāng)時(shí),恒成立,;②當(dāng)時(shí),,即,;③當(dāng)時(shí),顯然不成立,不合題意;綜上所述,不等式的解集為.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))上述三式相加可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),,故得證.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對(duì)值不等式的最值的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決帶絕對(duì)值不等式的方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2)見解析.【解析】

(1)結(jié)合基本不等式可證明;(2)利用基本不等式得,即,同理得其他兩個(gè)式子,三式相加可證結(jié)論.【詳解】(1)∵,∴,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號(hào)成立,∴;(2)由基本不等式,∴,同理,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號(hào)成立∴.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明,考查用基本不等式證明不等式成立.解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)基本不等式的形式,方法是綜合法.20、(1);(2)分布列見詳解,期望為;(3)余下所有零件不用檢驗(yàn),理由見詳解.【解析】

(1)計(jì)算的頻率,并且與進(jìn)行比較,判斷中位數(shù)落在的區(qū)間,然后根據(jù)頻率的計(jì)算方法,可得結(jié)果.(2)計(jì)算位于之外的零件中隨機(jī)抽取個(gè)的總數(shù),寫出所有可能取值,并計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,計(jì)算期望,可得結(jié)果.(3)計(jì)算整箱的費(fèi)用,根據(jù)余下零件個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布,可得余下零件個(gè)數(shù)的期望值,然后計(jì)算整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望值,進(jìn)行比較,可得結(jié)果.【詳解】(1)尺寸在的頻率:尺寸在的頻率:且所以可知尺寸的中位數(shù)落在假設(shè)尺寸中位數(shù)為所以所以這個(gè)零件尺寸的中位數(shù)(2)尺寸在的個(gè)數(shù)為尺寸在的個(gè)數(shù)為的所有可能取值為1,2,3,4則,,所以的分布列為(3)二等品的概率為如果對(duì)余下的零件進(jìn)行檢驗(yàn)則整箱的檢驗(yàn)費(fèi)用為(元)余下二等品的個(gè)數(shù)期望值為如果不對(duì)余下的零件進(jìn)行檢驗(yàn),整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望值為(元)所以,所以可以不對(duì)余下的零件進(jìn)行檢驗(yàn).【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,掌握中位數(shù),平均數(shù),眾數(shù)的計(jì)算方法,中位數(shù)的理解應(yīng)該從中位數(shù)開始左右兩邊的頻率各為0.5,考驗(yàn)分析能力以及數(shù)據(jù)處理,屬中檔題.21、(1),;(2)或【解析】

(1)將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程,即可求得曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)由直線的普通方程為,故上任意一點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得到直線的距離,根據(jù)三角函數(shù)的有界性,即可求得答案.【詳解】(1),.由,得,曲線的直角坐標(biāo)方程為.當(dāng)時(shí),直線的普通方程為由解得或.從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為,.(2)由題意知直線的普通方程為,的參數(shù)方程為(為參數(shù))故上任意一點(diǎn)到的距離為則.當(dāng)時(shí),的最大值為所以;當(dāng)時(shí),的最大值為,所以.綜上所述,或【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,和點(diǎn)到直線距離公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.22、(1);(2)1.【解析】

(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinAsinB=sinBcosA,求得tanA=,結(jié)合范圍A∈(0,π),可求A=.(2)利用三角形的面積公式可求bc=8,由余弦定理解得b+c=7,即可得解△ABC的周長(zhǎng)的值.【詳

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