專題19 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）解析版

2/2專題19利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 14【考點(diǎn)1】判斷、證明或討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 14【考點(diǎn)2】根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍 22【考點(diǎn)3】與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的綜合問題 31【分層檢測(cè)】 44【基礎(chǔ)篇】 44【能力篇】 54【培優(yōu)篇】 59真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、解答題2．（2023·全國(guó)·高考真題）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．6．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．參考答案：1．B【分析】寫出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.2．（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時(shí)，令因?yàn)?，且，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對(duì)恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，且，則，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮；2.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮.3．(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.4．(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)椋瑒t令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過(guò)分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握5．(1)(2)【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對(duì)分類討論,對(duì)分兩部分研究【詳解】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說(shuō)明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說(shuō)明.6．(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】判斷、證明或討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)一、單選題1．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為（

）A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6二、多選題2．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．將函數(shù)圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象D．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7三、填空題3．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)且，為定義在上的函數(shù)，則至多有個(gè)零點(diǎn)；若僅有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題4．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù).(1)判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).參考答案：1．A【分析】畫出函數(shù)圖象，令，則，所以，即方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用韋達(dá)定理及函數(shù)圖象分類判斷即可.【詳解】根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；函數(shù)，時(shí)單調(diào)遞減，所以，對(duì)于方程，令，則，所以，即方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，當(dāng)時(shí)，，3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，也是3個(gè)交點(diǎn)；故選：A．【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．2．ABD【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點(diǎn)法作答求出函數(shù)的解析式，再分析判斷ABC；換元并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合圖形判斷D作答.【詳解】觀察圖象知，函數(shù)的周期，則，而，即有，由知，，因此，A正確；顯然，當(dāng)時(shí)，，因此單調(diào)遞增，B正確；將圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，而，C錯(cuò)誤；由，得，令，則，令，顯然當(dāng)時(shí)，，即恒有，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，令，，函數(shù)在上都遞減，即有在上遞減，，，因此存在，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，有在上遞增，在遞減，，，于是存在，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上遞減，在遞增，，，從而函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，而函數(shù)周期為，在上單調(diào)遞增，如圖，，，，從而函數(shù)在上各有一個(gè)零點(diǎn)，又0是的零點(diǎn)，即函數(shù)在定義域上共有7個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).3．【分析】令（，且），可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)論.【詳解】令（，且），可得，等式兩邊取自然對(duì)數(shù)得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，且當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象至多有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，函數(shù)至多有個(gè)零點(diǎn).若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則或，解得或.故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．4．(1)一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)特殊點(diǎn)函數(shù)值、單調(diào)性，即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）首先不等式變形為，并構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)（1）的結(jié)果討論和兩種情況，討論不等式恒成立的問題.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；（2），.設(shè).①當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，不合題意.②當(dāng)時(shí)，由①在上單調(diào)遞增.又在上恒成立.設(shè).在上恒成立，在上單調(diào)遞減.又在上恒成立.，滿足題意.綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用（1）的結(jié)果，對(duì)不等式進(jìn)行放縮，從而轉(zhuǎn)化為求恒成立問題.5．(1)2個(gè)；(2)【分析】（1）變形得到，得到一個(gè)零點(diǎn)為，令，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和極值情況，得到答案；（2）求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合單調(diào)性和極值情況，得到不等式，求出答案.【詳解】（1）時(shí)，，顯然，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又，則有且只有1個(gè)零點(diǎn)，∴時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)和.（2），當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，所以符合題意，當(dāng)時(shí)，可由，解得或，若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∵，∴，此時(shí)要使在時(shí)恒成立，還需滿足，即，若，即時(shí)，恒成立，故在R上遞增，則時(shí)，符合題意；若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，即符合題意，綜上所述：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.6．(1)證明見解析(2)個(gè)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，從而得到的最小值，即可證明；（2）由（1）可得當(dāng)時(shí)，，則，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，得到的最小值，從而求得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，即，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，最小值為，，，無(wú)零點(diǎn).反思提升：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)常用方法(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用零點(diǎn)存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn)，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).【考點(diǎn)2】根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍一、單選題1．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)若恰有5個(gè)不同零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2021·山東聊城·二模）用符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，.設(shè)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，，，則（

）A．是的一個(gè)零點(diǎn)B．C．的取值范圍是D．若，則的范圍是.三、填空題3．（2021·安徽安慶·三模）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的范圍為．四、解答題4．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)(1)若時(shí)函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求m的范圍；(2)若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求a的范圍；5．（23-24高三上·遼寧沈陽(yáng)·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍.6．（2023·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間.(2)若，且在區(qū)間上恒成立，求a的范圍；(3)若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).參考答案：1．D【分析】畫出的圖象，將恰有5個(gè)不同零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與有5個(gè)交點(diǎn)即可.【詳解】由題知，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，如圖所示：

所以時(shí)有最大值：所以時(shí)，由圖可知必有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，令，則則有且，如圖所示：

因?yàn)闀r(shí)，已有兩個(gè)交點(diǎn)，所以只需保證與有三個(gè)交點(diǎn)即可，所以只需，解得.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題往往可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合方便分析求解.2．AD【分析】令，可得或，可知的一個(gè)零點(diǎn)是，另外兩個(gè)零點(diǎn)是方程的2個(gè)解，從而可得到，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，可知直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合方法，可求出的范圍，及另外兩個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間，進(jìn)而結(jié)合的含義，可選出答案.【詳解】由題意，令，則或，顯然是方程的解，也是方程的解，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，所以方程有2個(gè)不同的解，且兩解都不等于，易知，可得，令，則直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，求導(dǎo)得，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.可畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示，根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn).又因?yàn)椋抑本€與函數(shù)的圖象的2個(gè)不同交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不等于，所以，即，綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不等于e，此時(shí)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；不妨設(shè)，是直線與函數(shù)的圖象的2個(gè)不同交點(diǎn)，且，則，，根據(jù)的圖象，當(dāng)趨近與0時(shí)，趨近于1，趨近于無(wú)窮大，此時(shí)趨近于無(wú)窮大，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由，，可得，，因?yàn)?，所以，則，則，，所以，即，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.3．【分析】通過(guò)換元法將方程變?yōu)?，其中；利用?dǎo)數(shù)可求得的大致圖象，從而確定其與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，將所求式子化為，利用韋達(dá)定理可求得結(jié)果.【詳解】由，兩邊同時(shí)除以變形為，有設(shè)即，所以令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時(shí)，其大致圖像如下．要使關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，，，且．結(jié)合圖像可得關(guān)于t的方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且，從而．，，則，．所以.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)個(gè)數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解4．(1)(2)【分析】（1）參變分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值即可求得的取值范圍；（2）根據(jù)極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系并二次函數(shù)根的分布計(jì)算即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橛腥齻€(gè)互不相同的零點(diǎn)，所以，即有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根．令，則．令，令，所以在和均為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即的極小值為，極大值為，

故m的取值范圍．（2）由題意可知，在上沒有變號(hào)零點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，解之得．故a的范圍為.5．(1)(2)或【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先得，這樣問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，這樣求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論極值點(diǎn)與定義域的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，所以函數(shù)在處的切線方程為；（2），易知，所求問題等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，因?yàn)?，，得，?dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增.①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，滿足題意.②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，要使在上沒有零點(diǎn)，只需，即，解得，所以.③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上滿足，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，滿足題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍是或.6．(1)的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.(2)(3)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1【分析】對(duì)于（1），求導(dǎo)即可得單調(diào)區(qū)間；對(duì)于（2），在區(qū)間上恒成立等價(jià)于在上的最小值大于1；對(duì)于（3），判斷出單調(diào)性，后由零點(diǎn)存在性定理可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.則，由，得；由，得.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）在區(qū)間上恒成立，則在上的最小值大于1，①當(dāng)時(shí)，，得在上單調(diào)遞增，故，又，則，即不合題意.②當(dāng)時(shí)，，由，得或；由，得.故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.i當(dāng)，即時(shí)，.ii當(dāng)，即時(shí)，，由題有，又，則.綜上a的范圍為（3）由題，.則，設(shè)，則，當(dāng)，得；當(dāng)，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，又，則，故.則在上單調(diào)遞增.注意到，設(shè)，則，由，得；由，得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，得恒成立，又，則，又，故，使，即時(shí)，有唯一零點(diǎn)·.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及恒成立問題及求含參函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，難度較大.（1）問較為基礎(chǔ)，（2）問難點(diǎn)在于時(shí)，不清楚與大小，采用可避免討論，（3）問難點(diǎn)在于零點(diǎn)所在區(qū)間的尋找.反思提升：1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)圖象的幾何直觀求解.2.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況.【考點(diǎn)3】與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的綜合問題一、單選題1．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽B．若函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則C．當(dāng)時(shí)，可能有三個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值大于極大值二、多選題2．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一極值點(diǎn)C．若函數(shù)只有兩個(gè)不等于1的零點(diǎn)，則必有D．若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則三、填空題3．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)該函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)中最大值為，當(dāng)該函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)時(shí)，設(shè)這四個(gè)零點(diǎn)中最大值為，求.四、解答題4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．(3)證明：．5．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)已知實(shí)數(shù).①求證：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；②設(shè)該零點(diǎn)為，若圖象上有且只有一對(duì)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明：；(3)設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)．（參考數(shù)據(jù)：）參考答案：1．D【分析】對(duì)于A：，通過(guò)求導(dǎo)找到零點(diǎn)，進(jìn)而確定定義域；對(duì)于B：求出，，，進(jìn)而可得切線方程，從而得到面積；對(duì)于CD：求出，利用零點(diǎn)存在定理，確定零點(diǎn)位置，從而得到極值，進(jìn)而可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及極值關(guān)系.【詳解】記，則，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，，，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，因?yàn)橛幸饬x需使，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，所以函?shù)在點(diǎn)P處的切線方程為，，此直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為，，由三角形的面積公式得，解得或，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，記，則，明顯單調(diào)遞增，而，，由零點(diǎn)存在定理知存在，使得，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，，當(dāng)時(shí)，記，，所以在上單調(diào)遞增，，，由零點(diǎn)存在定理知存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，從而有，當(dāng)時(shí)，，從而有，綜上可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，且，，所以，．又因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，所以最多只有兩個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D正確．故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．函數(shù)零點(diǎn)的判定常用的方法有：（1）零點(diǎn)存在性定理；（2）數(shù)形結(jié)合；（3）解方程f(x)＝0.2．研究方程f(x)＝g(x)的解，實(shí)質(zhì)就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)．3．轉(zhuǎn)化思想：方程解的個(gè)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題．2．ACD【分析】對(duì)于A：直接代入求單調(diào)性即可；對(duì)于B：直接代入求極值即可；對(duì)于C：將函數(shù)兩個(gè)不等于1的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等于1的根，，求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定，然后證明和對(duì)應(yīng)的值一樣即可；對(duì)于D：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求導(dǎo)解答即可.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，則，令，則，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，所以在上單調(diào)遞增，A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，則，令，則，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，得，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，若函數(shù)只有兩個(gè)不等于的零點(diǎn)，即函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，則不妨取，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)與的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)互為倒數(shù)，即，C正確；對(duì)于D：明顯，所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)在上為連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)必有兩個(gè)極值點(diǎn)（不為1），因?yàn)?，所以，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，令，得，單調(diào)遞減，，得，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減，不可能有3個(gè)零點(diǎn)，所以，令，得，單調(diào)遞減，，得，單調(diào)遞增，所以，所以，所以，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題要學(xué)會(huì)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如選項(xiàng)C，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，選項(xiàng)D，將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.3．【分析】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可知：與直線在點(diǎn)相切，函數(shù)恰有四個(gè)個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與直線有且只有四個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可知：與直線在點(diǎn)相切，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及三角恒等變換化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)恰有四個(gè)個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與直線有且只有四個(gè)交點(diǎn)，與直線的圖象如下：根據(jù)圖象可知，與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則與在點(diǎn)處相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，此時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以，則，又，所以，則同理，與直線有且只有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則與在點(diǎn)處相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，此時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以，則，又，所以，則所以故答案為：.4．(1)證明見解析；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理推理即得.（2）等價(jià)變形給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即得.（3）利用（2）的結(jié)論得，再賦值并借助不等式性質(zhì)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推理即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?，則，令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，在上單調(diào)遞增，而，，所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理知，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，求導(dǎo)得，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，于是當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因此，所以a的取值范圍為．（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，有，則，因此，所以．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立或存在型問題，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.5．(1)取極小值，無(wú)極大值(2)①證明見解析；②.【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值.（2）①把問題轉(zhuǎn)化成，換元，令，，所以或，再分別判斷這兩個(gè)方程解得情況.②問題轉(zhuǎn)化成方程只有一個(gè)正根.根據(jù)零點(diǎn)的存在性求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取極小值.（2）①令，換元，，即或.構(gòu)造函數(shù)，顯然單調(diào)遞增，且，方程必定存在一負(fù)根.對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，方程無(wú)根.當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).②由上可知.構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性不妨假設(shè)，若存在唯一正根，則..，，，，令，即.令，構(gòu)造函數(shù)，，且顯然在上單調(diào)遞減，存在正零點(diǎn)的必要條件是.易證明當(dāng)時(shí)，，，只要當(dāng)時(shí)，就有，故是存在正零點(diǎn)的充要條件，而，且，，在上單調(diào)遞增，，又，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.6．(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，設(shè)，分類討論的根的情況，可得的單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)根據(jù)題意可得方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可得解得，要證，需證，進(jìn)而換元可證結(jié)論；（3）在上有且僅有2個(gè)不同的根，等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)得，分，討論可證結(jié)論．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，．設(shè)，則函數(shù)為二次函數(shù)，對(duì)稱軸為直線，且．令，則．當(dāng)，即時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）．因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則解得，所以．要證，即證．不妨設(shè)，則只需證．設(shè)，則只需證．令．則，所以在上單調(diào)遞增，所以，得證．（3）由得，在上有且僅有2個(gè)不同的根，等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)．設(shè)，①當(dāng)時(shí)，令，，所以在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，即?dāng)時(shí)，存在，且的圖象連續(xù)，所以在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，即存在，使．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上存在唯一的極小值點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，又，記，則，則在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，則，所以當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．已證在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，由①知，所以?dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象在上無(wú)交點(diǎn)．

綜上，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)．即當(dāng)時(shí)，有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求導(dǎo)后能轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題，常利用判別式進(jìn)行分類討論求解；函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)即為導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上證不等式恒成立問題，常轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求最大值與最小值證明；函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)問題，常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有幾個(gè)交點(diǎn)問題處理.反思提升：在求解函數(shù)問題時(shí)，很多時(shí)候都需要求函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的零點(diǎn)，但所述情形都難以求出其準(zhǔn)確值，導(dǎo)致解題過(guò)程無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行時(shí)，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在唯一的零點(diǎn)(例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間I的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)時(shí)就可證明存在唯一的零點(diǎn))，這時(shí)可設(shè)出其零點(diǎn)是x0.因?yàn)閤0不易求出(當(dāng)然，有時(shí)是可以求出但無(wú)需求出)，所以把零點(diǎn)x0叫做隱零點(diǎn)；若x0容易求出，就叫做顯零點(diǎn)，而后解答就可繼續(xù)進(jìn)行，實(shí)際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為增函數(shù) B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．的最大值為2e D．的圖象關(guān)于對(duì)稱2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（22-23高三下·江西·階段練習(xí)）若函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．有兩個(gè)零點(diǎn) B．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心C．有兩個(gè)極值點(diǎn) D．直線是曲線的切線二、多選題5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，下列正確的是（

）A．若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則B．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則C．若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則，D．若有兩個(gè)零點(diǎn)，則6．（21-22高三上·湖北·期中）已知函數(shù)，下列結(jié)論成立的是（）A．函數(shù)在定義域內(nèi)無(wú)極值B．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為C．函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)D．函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，則（

）A．若有極值點(diǎn)，則B．當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)C．D．當(dāng)時(shí)，曲線上斜率為2的切線是直線三、填空題8．（2023·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．9．（2021·海南·二模）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.10．（20-21高三上·吉林長(zhǎng)春·期中）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為.四、解答題11．（20-21高二下·重慶·期末）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍.12．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明．參考答案：1．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項(xiàng)依次計(jì)算，即可求解.【詳解】A：，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在R上沒有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C：由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的最小值為，故C錯(cuò)誤；D：，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.故選：D2．C【分析】求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，極值，畫圖，根據(jù)圖象得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】,當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，，，則的草圖如下：由圖象可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.3．C【分析】通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到其最小值，令最小值小于等于零進(jìn)行求解即可.【詳解】已知函數(shù)，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，則，又，所以.故選：C.4．C【分析】利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性和極值、最值即可求解A,C，再根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系可判斷B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】，令解得，令解得或，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，且，所以在各有一個(gè)零點(diǎn)，共3個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；由單調(diào)性可知有兩個(gè)極值點(diǎn)為，C正確；對(duì)于D，令，解得則，但是當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線，有，即直線不經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，D錯(cuò)誤，故選:C.5．AD【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合常變量分離法，導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故，函數(shù)的圖象如下圖所示：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，所以函數(shù)沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，而，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)C不正確；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有二個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)只有二個(gè)零點(diǎn)，因此選項(xiàng)B不正確，選項(xiàng)D正確，故選：AD6．ABD【分析】求出定義域與導(dǎo)函數(shù)可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B；利用函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理可判斷C；根據(jù)選項(xiàng)C可判斷D.【詳解】A，函數(shù)定義域?yàn)?，，在和上單調(diào)遞增，則函數(shù)在定義域內(nèi)無(wú)極值，故A正確；B，由，則，又，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為即，故B正確；C，在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)在存在，使，又，即，且，即為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),故C錯(cuò)誤.D，由選項(xiàng)C可得，所以，故D正確.故選：ABD7．BC【分析】對(duì)A，判斷當(dāng)時(shí)情況即可；對(duì)B，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可；對(duì)C，根據(jù)得關(guān)于對(duì)稱，再判斷的對(duì)稱性判斷即可；對(duì)D，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】對(duì)A，由題得，當(dāng)時(shí)，遞增，不存在極值點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，，所以函?shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上無(wú)零點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)C，由得關(guān)于對(duì)稱，令，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)?，則是奇函數(shù)，圖象的對(duì)稱中心是原點(diǎn)，將的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C選項(xiàng)正確；對(duì)D，令，可得．又，，所以當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC．8．【分析】分離常數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為y＝與y＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令（x∈R），利用導(dǎo)數(shù)求出的最值，再給合的正負(fù)分析即可得答案．【詳解】解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)?有兩個(gè)解，即y＝與y＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令（x∈R），則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，又因當(dāng)時(shí)，＝＜0，當(dāng)時(shí)，＝＞0，當(dāng)時(shí)，＝＝0，要使y＝與y＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0＜＜，即故的取值范圍為．故答案為：．9．1【解析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷即可,.【詳解】因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以有且僅有1個(gè)零點(diǎn).故答案為：110．1【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間，由題意，只需即可求解.【詳解】由，（），則，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取得極小值.所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，只需，即，解得.故答案為：111．（1）；（2）【分析】（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，由即可求解.（2）由題意可得在上無(wú)解，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)無(wú)交點(diǎn)即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)，，，所以可得，解得.（2）若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，即在上無(wú)解，即在上無(wú)解，令，，，在上，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，若在上無(wú)解，則或，即或.所以的取值范圍為12．(1)(2)證明見解析【分析】（1）直接用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可；（2）構(gòu)造并證明時(shí)，并對(duì)該不等式代入特殊值即可得證.【詳解】（1）首先由可知的定義域是，從而.故，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).故在上遞增，在上遞減，所以具有最大值.所以命題等價(jià)于，即.所以的取值范圍是.（2）不妨設(shè)，由于在上遞增，在上遞減，故一定有.在的范圍內(nèi)定義函數(shù).則，所以單調(diào)遞增.這表明時(shí)，即.又因?yàn)?，且和都大于，故由在上的單調(diào)性知，即.【能力篇】一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·遼寧·三模）已知函數(shù)為實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，則與有相同的極值點(diǎn)和極值B．存在，使與的零點(diǎn)同時(shí)為2個(gè)C．當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為三、填空題3．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，且，，則．四、解答題4．（22-23高二上·山東濱州·期末）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.參考答案：1．D【分析】進(jìn)行合理?yè)Q元和同構(gòu)，轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，最后得到參數(shù)的取值范圍即可.【詳解】令，所以．令，定義域?yàn)?，令，易知在上單調(diào)遞增，且．所以，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．2．AC【分析】對(duì)于A，分別各自求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可判斷；對(duì)于B，分別求出與的零點(diǎn)為2個(gè)時(shí)的范圍，看它們的交集是否為空集即可判斷；對(duì)于C，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，對(duì)分類討論，只需判斷是否成立即可；對(duì)于D，原問題等價(jià)于對(duì)恒成立，從而即可進(jìn)一步求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)均單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)均單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，均各自取到相應(yīng)的極值，且，所以當(dāng)時(shí)，則與有相同的極值點(diǎn)和極值，故A正確；，令，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，有極大值，，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出直線的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示，所以方程有兩個(gè)根當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)從1的左邊趨于1時(shí)，趨于正無(wú)窮，當(dāng)從1的右邊趨于1時(shí)，趨于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有極小值，，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出直線的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示，方程有兩個(gè)根當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，不存在，使與的零點(diǎn)同時(shí)為2個(gè)，故B錯(cuò)誤；設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，顯然，若，即，在此情況下：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，即在的情況下，對(duì)恒成立，若，即，在此情況下：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以在的情況下，對(duì)恒成立，綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，故C正確；對(duì)于D，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，這意味著對(duì)恒成立，也就是說(shuō)對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，注意到在上單調(diào)遞減，所以，也就是說(shuō)的取值范圍為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.3．1【分析】求，判斷函數(shù)在上