全國各地100份中考數(shù)學試卷分類匯編第32章圓的有關(guān)性質(zhì)

2011年全國各地100份中考數(shù)學試卷分類匯編

第32章圓的有關(guān)性質(zhì)

一、選擇題

1.（2011廣東湛江16,4分）如圖，A,3,C是O上的三點，ZBAC=30°,則/BOC=

度.

【答案】60

2.（2011安徽，7,4分）如圖，OO的半徑是1,A、B、C是圓周上的三點，ZBAC=36°,

則劣弧R的長是（)

JI

2C.|JI4

511D.5兀

【答案】B

3.（2011福建福州，9,4分）如圖2,以。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB切小圓于

點C,若408=120,則大圓半徑R與小圓半徑r之間滿足（）

A.R=B.R=3rC.R=2rD.R=2s/2r

圖2

【答案】C

4.（2011山東泰安，10,3分）如圖，。。的弦A8垂直平分半徑OC,若AB點,則。O

的半徑為（）

A巾B.2吸C.羋D坐

【答案】A

5.（2011四川南充市，9,3分）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油。截面如圖，油面寬AB為6

分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑

]^為（）

(A)6分米(B)8分米(C)10分米.(D)12分米

【答案】C

6.（2011浙江衢州，1,3分）一個圓形人工湖如圖所示，弦A8是湖上的一座橋，已知橋

長100m,測得圓周角NACB=45。，則這個人工湖的直徑為（，）

A.500mB.lOO^mC.150^mD.200y/2m

7.（2011浙江紹興，4,4分）如圖，AB為。的直徑，點C在。上，若NC=16°,

則N3。。的度數(shù)是（）

A.74°B,48°C.32°D.16°

A

（第5題圖）

【答案】C

8.（2011浙江紹興,6,4分）一條排水管的截面如圖所示.已知排水管的截面圓半徑08=10,

截面圓圓心。到水面的距離OC是6,則水面寬48是（）

A.16B.10C.8D.6

（第6題圖）

【答案】A

9.（2011浙江省，5,3分）如圖，小華同學設(shè)計了一個圓直徑的測量器，標有刻度的尺子

OA、OB在O點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點靠在圓周上，讀得刻

度OE=8個單位，OF=6個單位，則圓的直徑為（）

A.12個單位B.10個單位C.4個單位D.15個單位

?S?K

【答案】B

10.（2011四川重慶，6,4分）如圖，。。是AABC的外接圓，NOC8=40。則/A的度數(shù)

等于（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【答案】B

11.（2011浙江省嘉興，6,4分）如圖，半徑為10的。。中，弦的長為16,則這條弦

的弦心距為（）

（A）6(B)8(C)10(D)12

【答案】A_

12.（2011臺灣臺北，16）如圖（六），而為圓。的直徑，直線為圓。的切線，A、C

兩點在圓上，衣平分NBA。且交而于F點。若乙M>E=19°,則NAFB的度

數(shù)為何？

A.97B.104C.116D.142

【答案】C

13.（2011臺灣全區(qū)，24）如圖（六），AABC的外接圓上，AB.BC、CA三弧的度數(shù)比為

12：13：11.

自BC上取一點過。分別作直線AC、直線AB的并行線，且交就于E、F兩點,則/即尸

的度數(shù)

為何？

回（六）

A.55B.60C.65D.70

【答案】C

14.（2011甘肅蘭州，12,4分）如圖，OO過點B、C,圓心O在等腰RtZ\ABC的內(nèi)部,

ZBAC=90°,OA=1,BC=6o則。O的半徑為

A.6B.13C.V13D.2y/13

【答案】c

15.(2011四川成都，7,3分)如圖，若AB是。0的直徑，CD是。。的弦，ZABD=58

則NBCZA(B)

(A)116°(B)32°(C)58°(D)64°

【答案】B

16.(2011四川內(nèi)江，9,3分)如圖，0O是AABC的外接圓，/BAC=60°,若。O的半

徑OC為2,則弦BC的長為

A.1B.A/3C.2D.2y/3

【答案】D

17.(2011江蘇南京，6,2分)如圖，在平面直角坐標系中，。P的圓心是(2,a)(a>2),半

徑為2,函數(shù)y=x的圖象被。P的弦AB的長為2百，則a的值是

A.2GB.2+2后C.2A/3D.2+百

【答案】B

1.18.(2011江蘇南通，8,3分)如圖，。。的弦AB=8,M是A8的中點，且0M=3,

則。。

的半徑等于

【答案】D

19.（2011山東臨沂，6,3分）如圖，（DO的直徑CD=5cm,AB是。O的弦，ABXCD,

垂足為M,OM：OD=3：5,則AB的長是（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.25/21cm

【答案】C

20.（2011上海，6,4分）矩形ABC。中，A2=8,BC=375,點P在邊AB上，且BP

=3AP,如果圓尸是以點P為圓心，為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）.

（A）點8、C均在圓P外；（B）點8在圓尸外、點C在圓P內(nèi)；

（C）點8在圓尸內(nèi)、點C在圓P外；（D）點8、C均在圓尸內(nèi).

【答案】C

21.（2011四川樂山6,3分）如圖（3）,CD是。。的弦，直徑AB過CD的中點M,若

NBOC=40°,則/ABD=

A.40°B.60°C.70°D.80°

【答案】c

22.（2011四川涼山州，9,4分）如圖，ZAOB=100，點C在。上，且點C不與A、

B重合，則ZACB的度數(shù)為（）

A.50B.80或50C.130D.50或130

【答案】D

23.（2011廣東肇慶，7,3分）如圖，四邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形，E是8C延長線上一

點，若NBAD=105

則/。CE的大小是

A.115°B.105°C.100°D.95°

【答案】B

24.（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，9,3分）如圖，AB為。O的直徑，CD為弦，AB±CD,

如果/BOC=70°,那么NA的度數(shù)為（）

A.700B.35°C.30°D.20°

A

B

第9題圖

【答案】B

25.（2011重慶市潼南,3,4分）如圖，AB為。O的直徑，點C在。O上，ZA=30°,則/B

的度數(shù)為

A.15°B.30°C.45°D.60°

A

3題圖

【答案】D

26.（2011浙江省舟山，6,3分）如圖，半徑為10的。。中，弦A8的長為16,則這條弦

的弦心距為（)

(B)8(C)10(D)12

二、填空題

1.（2011浙江省舟山，15,4分）如圖，A8是半圓直徑，半徑。C_LAB于點。平分

NC48交弧BC于點。，連結(jié)C。、OD,給出以下四個結(jié)論：?AC//OD-,②CE=OE；

③AODESAADO；?2CD~=CEAB.其中正確結(jié)論的序號是

c

【答案】①④

2.（2011安徽，13,5分）如圖，。。的兩條弦A3、CD互相垂直，垂足為E,且

已知CE=1,￡0=3,則。。的半徑是.

【答案】于

3.（2011江蘇揚州，15,3分）如圖，00的弦CD與直徑AB相交,若NBAD=50°,則NACD=

V

【答案】400

4.（2011山東日照，14,4分）如圖，在以A8為直徑的半圓中，有一個邊長為1的內(nèi)接正

方形CDEF,則以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是.

【答案】如：x2-V5x+l=0；

5.（2011山東泰安，23,3分）如圖，PA與。。相切，切點為A,PO交。。于點C,點

B是優(yōu)弧上一點，若/A8C==32°則/P的度數(shù)為=

【答案】26°

6.（2011山東威海，15,3分）如圖，。。的直徑AB與弦CD相交于點E,若

【答案】30°

7.（2011山東煙臺，16,4分）如圖，△ABC的外心坐標是.

【答案】（一2,-1）

（2011浙江杭州，14,4）如圖，點A,B,C,。都在。。上，出的度數(shù)等于84。，CA

是NOC。的平分線，則ZABD十/CAO='

OR14題）

【答案】53°

9.（2011浙江溫州，14,5分）如圖，AB是。O的直徑，點C,。都在。。上，連結(jié)CA,

CB,DC,DB.已知/。=30。，BC=3,則AB的長是

（第14題圖）

【答案】6

10.（2011浙江省嘉興，16,5分）如圖，AB是半圓直徑，半徑。CLA3于點。，平

分/CAB分別交OC于點E,交弧BC于點D,連結(jié)CD、OD,給出以下四個結(jié)論：

①SAAEC=2SADEO；?AC=2CD；③線段OD是DE與DA的比例中項；

@2CD2=CEAB.其中正確結(jié)論的序號是.

【答案】①④

11.（2011福建泉州，16,4分）己知三角形的三邊長分別為3,4,5,則它的邊與半徑為

1的圓的公共點個數(shù)所有可能的情況是.（寫出符合的一種情況即

可）

【答案】2（符合答案即可）

12.（2011甘肅蘭州,16,4分）如圖，OB是。O的半徑，點C、D在0O上，ZDCB=27°,

【答案】63°

13.（2011湖南常德，7,3分）如圖2,已知。。是△ABC的外接圓，且NC=70。，貝!J/OA8

c

圖2

【答案】20。

14.（2011江蘇連云港，15,3分）如圖，點。為邊AC上一點，點。為邊AB上一點,4。=。。.

以。為圓心,0。長為半徑作半圓，交AC于另一點E,交A8于點RG,連接EE若/BAC=22。,

則ZEFG=.

【答案】-

2

15.（2011四川廣安，19,3分）如圖3所示，若。。的半徑為13cm,點。是弦AB上一

動點，且到圓心的最短距離為5cm,貝ij弦AB的長為cm

【答案】24

16.（2011重慶江津，16,4分）已知如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，NB=30。，則ND=-

.

【答案】150°

17.（2011重慶禁.江，13,4分）如圖，已知AB為。。的直徑，/CA8=30。,則.

c

【答案】：60°

18.（2011江西南昌，13,3分）如圖，在△ABC中，點P是△ABC的內(nèi)心，則

ZPBC+ZPCA+ZPAB

=度.

第13題圖

【答案】90

19.（2011江蘇南京，13,2分）如圖，海邊有兩座燈塔A、B,暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點的

弓形（弓形的弧是。。的一部分）區(qū)域內(nèi)，ZAOB=80°,為了避免觸礁，輪船P與A、

B的張角/APB的最大值為

【答案】40

20.（2011上海，17,4分）如圖，AB.AC都是圓。的弦，ONLAC,垂足分

別為M、N,如果MN=3,那么BC=.

A\~M_

【答案】6

21.（2011江蘇無錫，18,2分）如圖，以原點。為圓心的圓交x軸于點A、8兩點，交y

軸的正半軸于點C,D為第一象限內(nèi)OO上的一點，若=20°,則/OCD=

（第18題）

【答案】65

22.（2011湖北黃石，14,3分）如圖（5）,zABC內(nèi)接于圓。，若/8=30°AC=/,

則00的直徑為______________________

【答案】273

23.（2011湖南衡陽，16,3分）如圖，。。的直徑過弦石尸的中點G,ZEOD=40°,

則/FC。的度數(shù)為.

【答案】20

24.（2011湖南永州，8,3分）如圖，在＜30中，直徑CD垂直弦AB于點E,連接OB,CB,

已知。O的半徑為2,AB=2A/3，則/BCD=度.

（第8題）

【答案】30

25.（20011江蘇鎮(zhèn)江,15,2分）如圖,DE是。0的直徑,弦ABIDE,垂足為C,若AB=6,CE=1,則

0C=,CD=.

D

答案：4,9

26.（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，14,4分）如圖，BE是半徑為6的0D的!圓周，C點是BE

4

上的任意一點，△ABD是等邊三角形貝］四邊形ABCD的周長P的取值范圍是

E

A

第14題圖

【答案】18<p<18+6④

27.（2011河北，16,3分）如圖7,點0為優(yōu)弧ACB所在圓的圓心，/A0C=108°,點D

在AB的延長線上，BD=BC,則ND=_°.

圖7

【答案】27

28.（2011湖北荊州，12,4分）如圖，。。是AABC的外接圓，CD是直徑，ZB=40°,

第12題圖

【答案】50°

29.

30.

三、解答題

1.（2011浙江金華，21,8分）如圖，射線尸G平分NEPR。為射線PG上一點，以。為

圓心，10為半徑作。O,分別與/EPF兩邊相交于A、8和C、D,連結(jié)OA,此時有04〃

PE.

（1）求證：AP=AO；

（2）若弦AB=12,求tan/OPB的值；

（3）若以圖中已標明的點（即尸、A、B、C、D、0）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點

為,能構(gòu)成等腰梯形的四個點為或或.

證明：（1）;PG平分/EPF,

：.ZDPO=ZBPO,

'：OA//PE,

：.ZDPO=ZPOA,

：.ZBPO=ZPOA,

：.PA=OA；...2分

解：（2）過點。作O”_LA8于點H,貝！J...1分

2

OH1八

tanZOPB=——=-,/.PH=2OH,...1分

PH2

設(shè)?！?光，貝!1PH=2尤，

由（1）可知PA=OA=10,：,AH=PH-PA=2x~10,

VAH2+OH2=O^,：.（2x-10）2+x2=102,……1分

解得否=0（不合題意，舍去），%=8,

：.AH=6,：.AB=2AH=U；...1分

(3)尸、A、O、C；A、8、C或P、A,?；蚴,0、B.2分(寫對1個、2

個、3個得1分，寫對4個得2分)

2.(2011浙江金華，24,12分)如圖，在平面直角坐標系中，點A(10,0),以為直

徑在第一象限內(nèi)作半圓C,點8是該半圓周上的一動點，連結(jié)。3、AB,并延長A3至點

DB=AB,過點。作x軸垂線，分別交尤軸、直線。2于點E、F,點E為垂足，連結(jié)CE

(1)當NAOB=30。時，求弧AB的長；

(2)當。E=8時，求線段斯的長；

(3)在點2運動過程中，是否存在以點E、C、尸為頂點的三角形與△A0B相似，若存在,

請求出此時點￡的坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)連結(jié)BC,

VA(10,0),.-.(9A=10,CA=5,

?//AOB=30。

：.ZACB=2ZAOB=60°,

.好,.60xx55TI，八

..弧A8的長=---------=;...4分

1803

(2)連結(jié)OD,

,：0A是。C直徑，；.Z03A=90。，

又；AB=BD,

：.OB是AD的垂直平分線，

：.OD=OA=1Q,

在Rt/XODE中，

0E=A/(9D2-DE2=7102-82=6,

.,.AE=AO—(?E=10-6=4,

由ZAOB=ZADE=9Q°-ZOAB,ZOEF=ZDEA,

得△OEf's

AEEF4EF.

.?---=----，即o一=----,.?EF=3；4分

DEOE86

(3)設(shè)OE=x,

①當交點E在。,C之間時，由以點E、C、尸為頂點的三角形與△AOB相似，有/ECQNBOA

或/ECF=/OAB,當NEC4NBOA時，此時△OCB為等腰三角形，點E為。C中點，即

5

OE=一,

2

.5

?*,E\(一,0)；

2

當時，有CE=5-無，AE=10-x,

：.CF//AB,^CF=-AB,

2

4ECFsAEAD,

即二d，解得:10

x=一

AEAD10—x3

E,(—,0);

一3

②當交點E在點C的右側(cè)時，

,：ZECF>ZBOA,

：.要使△EC尸與ABAO相似，只能使ZECF=/BAO,

連結(jié)BE,

'：BE為RtAADE斜邊上的中線，

：.BE=AB=BD,

???NBEA:NBAO,

：.ZBEA=ZECFf

.CFPC

：.CF//BE,

*BE-OE

VZECF=ZBAO,ZFEC=ZDEA=RtZ,

.CFCE

：./\CEF^AAED

f*AD-AE

.PCCE

而AD=2BE,2OE~~AE

5x-5至停，"=三正<0（舍去）,

即nn——二-----解得再=

2x10-x44

(^1,0);

.話

4

③當交點E在點O的左側(cè)時，

VZBOA=ZEOF>ZECF.

???要使尸與△5A0相似，只能使NECFNBAO

連結(jié)BE,得BE二LAD=AB,NBEA=/BAO

2

：.ZECF=ZBEA,

：.CF//BE,

.CFPC

??赤一訪’

又,：/ECF:/BAO?,,ZFE.C=ZDEA=RtZ9

.CECF

：./\CEF^AAEDD,??-------,

AEAD

.PCCE

而J

AD=2BE,2OE~~AE，

.5_x+5々/-5+5Jl7—5—5J17?,.

解得玉=----------,x=----------<0(舍去)，

2x10+x424

???點E在x軸負半軸上，：.E4（5-5舊,o）,

4

綜上所述：存在以點￡、C、尸為頂點的三角形與△AOB相似,此時點E坐標為:

丁"、線j?！?，。）、-〒，。）.……4分

3.（2011山東德州22,10分）?觀察計算

當a=5,6=3時，等與J拓的大小關(guān)系是.

當。=4,6=4時，+與4ab的大小關(guān)系是

?探究證明

如圖所示，AABC為圓。的內(nèi)接三角形，48為直徑，過（？作。。，43于。，設(shè)題＞田，

BD=b.

（1）分別用。力表示線段OC,CD；

（2）探求OC與CD表達式之間存在的關(guān)系

（用含a,。的式子表示）.

?歸納結(jié)論

根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出三與J益的大小關(guān)系是：

?實踐應(yīng)用

要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值.

【答案】?觀察計算:等〉而，等=病.

2分

?探究證明:

(1)AB-AD+BD=2OC,

.?.QC=^-..............3分

2

AB為。。直徑，

：.ZACB=90°.

ZA+ZAC￡>=90°,ZACD+ZBCD=9Q°,

：.ZA=ZBCD.

.,.△ACD-ACBD...............4分

.ADCD

^~CD~~BD,

即CD?=ADBD=ab,

CD=y[ab.5分

(2)當a=b時，OC=CD,=癡;

awb時，OC〉CD,^->4ab...............6分

?結(jié)論歸納：~~~-4ab.............7分

?實踐應(yīng)用

設(shè)長方形一邊長為x米,則另一邊長為,米,設(shè)鏡框周長為/米，則

X

/=2(x+-)^4.L-=4...........9分

xVx

當X=L，即無=1(米)時，鏡框周長最小.

X

此時四邊形為正方形時，周長最小為4米.............10分

4.(2011山東濟寧，19,6分)如圖，AD為AA3C外接圓的直徑，ADA.BC,垂足為點

F,NABC的平分線交AD于點E,連接班>,CO

(1)求證：BD=CD；

(2)請判斷5,E,C三點是否在以。為圓心，以Z出為半徑的圓上？并說明理由

A

【答案】（1）證明：???AO為直徑，AD1BC,

：.BD=CD：.BD=CD.......................................3分

（2）答：B,E,C三點在以。為圓心，以DB為半徑的圓上.................4分

理由：由（1）知：BD=CD,；./BAD=NCBD.

-：ZDBE=ZCBD+ZCBE,ZDEB=ZBAD+ZABE,ZCBE=NABE,

ZDBE=ZDEB,：.DB=DE........................................6分

由（1）知：BD=CD；DB=DE=DC.

：.B,E,C三點在以。為圓心，以為半徑的圓上...............7分

5.（2011山東煙臺，25,12分）已知：是。。的直徑，弦CO_LA8于點G,E是直

線AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線。E交。。于點R直線CE交直線AB于

點P,設(shè)。。的半徑為r.

（1）如圖1,當點E在直徑A8上時，試證明：OEOP=J

（2）當點E在A3（或BA）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合

題意的圖形，標注上字母，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由.

（圖1）（圖2）

【答案】（1）證明：連接尸。并延長交。。于。，連接DQ

是。O直徑，ZFZ）2=90°.

（第25089）

：.ZQFD+ZQ=90°.

\'CD±AB,：.ZP+ZC^90°.

'：ZQ=ZC,：,ZQFD=ZP.

:ZFOE=ZPOF,：.小FOEs/\PQF.

—,：.OEOP^O^^r.

OFOP

(2)解:(1)中的結(jié)論成立.

理由：如圖2,依題意畫出圖形，連接尸。并延長交。Oc于

M,連接CM.

是。。直徑，尸CM=90°,of)a^F90°.

'JCDLAB,：.ZE+ZD=90°.

---

VZM=ZD,：.ZCFM=ZE.

(第25題圖)

；NPOF=/FOE,:.△POFSAFOE.

2

：.r—=—,/.OP=OF=J.

OFOE

6.（2011寧波市，25,10分）閱讀下面的情境對話,然后解答問題

____/V、

/、、------>S.（小Ejtq三啟彩\

/&**工)

C「商業(yè)”邊千萬的2

s-乜/并“第！

(1)根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三

角形”是真命題還是假命題？

(2)RtAABC中，ZACB=90°,AB=c,AC^b,BC=a,且匕>a,若RtAAAC是

奇異三角形，求a：b：c；

(3)如圖，A8是。。的直徑，C是上一點(不與點A、8重合)，。是半圓A曲的中點,

CD在直徑AB的兩側(cè)，若在。。內(nèi)存在點E使得AE=AD,CB=CE.

①求證：AACE是奇異三角形；

②當AACE是直角三角形時，求NAOC的度數(shù).

【答案】解：(1)真命題

(2)在RtAABC中/+層=02,

Vc>Z?>tz>0

2c'^a~\-b2,2<22<CC2+Z?2

.?.若RtAABC是奇異三角形，一定有2廿=02+a

：.2b2=a+(/+/)

/.b2=2a~得：b=yf^a

Vc2=Z?2+a=2,a

??C=*^36(

-'?a：br：c—1：A/2：

(3)①VAB是。0的直徑ACBADB=90°

在RtA48c中，AC2+BC2=AB2

在RtAAOB中，AD2+BD1=AB2

:點D是半圓的中點

：.AD=BD

：.AD=BD

：.AB2=AD1+BCr=2AD2

：.AC2+CB2=2AD~

又：CB=CE,AE=AD

/.AC2=C￡2=2A￡2

ACE是奇異三角形

②由①可得AACE是奇異三角形

.,.AC2=CE2=2A￡2

當AACE是直角三角形時

由(2)可得AC：AE：CE=1：巾:小或AC：AE：CE=V§：@1

(I)當AC：AE：CE=1：A/2：小時

AC：C￡=l：3即AC：CB=1：5

,：/AC8=90°

ZABC=30°

ZAOC=2ZABC=60°

(II)當AC：AE：CE=木:^2：1時

AC：CE=41BPAC：CB=41

*/ZACB=90°

：.ZABC=60°

：.ZAOC=2ZABC=120°

ZAOC=2ZABC=120°

；./AOC的度數(shù)為60°或120°

7.(2011浙江麗水，21,8分)如圖，射線PG平分/EP凡O為射線PG上一點，以。為

圓心，10為半徑作。O,分別與NEP/兩邊相交于A、B和C、D,連結(jié)04,此時有。4〃

PE.

(1)求證：AP=AO；

(2)若弦AB=12,求tanNOPB的值；

(3)若以圖中已標明的點(即P、A、B、。、D、。)構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為

，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為或或.

【解】(1)〈PG平分NEPF,

ZDPO=ZBPO,

9：0A//PE,

：.ZDPO=ZPOA,

：.ZBPO=ZPOA.

：.PA=OA；

(2)過點O作0H_LA3于點H,則AH=HB,

VAB=12,

：.AH=6f

由(1)可知PA=OA=10,

：.PH=PA+AH=16,

O/7=^/102-62=8,

OH]

tanZOPB=口口二。；

rrLZ

(3)P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、?；騊、C、O、B.

8.(2011廣東廣州市，25,14分)

如圖7,QO中AB是直徑，C是。。上一點，ZABC=45°,等腰直角三角形DCE中

NQCE是直角，點。在線段AC上.

(1)證明：B、C、￡三點共線；

(2)若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN他OM；

(3)將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)后，記為△DQEi(圖B)，若Mi是

線段BEi的中點，Ni是線段ADi的中點，MiNi母OMi是否成立？若是，請證明；若不是,

說明理由.

【答案】(D：AB為。。直徑

，ZACB=90°

V△OCE為等腰直角三角形

:.ZACE=90°

AZBCE=900+90°=180°

AB.C>E三點共線.

(2)連接BD,AE,ON.

VZACB=90",NABC=45。

.*.AB=AC

VDC=DE

ZACB=ZACE=90°

/.△BCD^AACE

/.AE=BD,ZDBE=ZEAC

/.ZDBE+ZBEA=90o

.\BD_LAE

VO,N為中點

；.ON〃BD,ON=1BD

同理OM〃AE,OM=1AE

AOM1ON,OM=ON

AMN=V2OM

(3)成立

證明：同(2)旋轉(zhuǎn)后/BCD產(chǎn)NBCEi=90°—/ACDi

所以仍有4BCDi^AACEj,

所以△ACEi是由△8?口1繞點?順時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，故BDi^AEi

其余證明過程與(2)完全相同.

9.(2011浙江麗水，24,12分)如圖，在平面直角坐標系中，點A(10,0),以O(shè)A為直徑

在第一象限內(nèi)作半圓C,點2是該半圓周上的一動點，連結(jié)并延長AB至點。，

使DB=AB,過點。作無軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F,點、E為垂足，連結(jié)CF.

(1)當NAOB=30。時，求弧A2的長；

(2)當。E=8時，求線段的長；

(3)在點B運動過程中，是否存在以點E、C、尸為頂點的三角形與AAOB相似，若存在,

請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.

【解】⑴連結(jié)8C,

VA(10,0),；.OA=10,CA=5,

,：ZAOB=3Q°,

ZACB=2ZAOB=60°,

弘，/60XnX55Ji

.?.AB的長=~畫一=—；

(2)連結(jié)OD,

是。C的直徑，.?./。區(qū)4=90°,

又?；AB=BD,

.,.08是AD的垂直平分線，

：.0D=04=10,

在RtZ\0￡)E中，

0E=^0D1-DE2^102-82=6,

.\AE=AO~OE=10—6=4,

由NAOB=NAOE=90°一/OAB,

ZOEF=ZDEA,

得AOEFsADEA,

,AEEF4EF

''~DETOE,B|J8""6":：.EF=3；

⑶設(shè)OE=x,

①當交點E在。，C之間時，由以點E、C、尸為頂點的三角形與△AOB相似，

有NECF=NBOA或NECF=/OAB,當時，此時△OC尸為等腰三

角形，

點E為。C的中點，即OE=|,

.?.￡i(1,0)；

當NECP=NOAB時，WCE=5~x,AE=10一尤,

?；AECFs^EAD,

.CECF即解得尸￥,

,*A￡=A5,

，瓦記，0）；

②當交點片在。的右側(cè)時，

ZECF>ZBOA

???要使尸與△5A0相似，只能使NEC尸=N8A0,

連結(jié)BE,

?.,BE為RtAADE斜邊上的中線,

:.BE=AB=BD,

：.ZBEA=ZBAO,

：.ZBEA=ZECF,

■:CFIIBE,工施

VZECF=ZBAO,ZFEC=ZDEA=RtZ,

CFCE

.'.△CEF^AAEZ),二萬廠7加

MAZ）=2BE,',-2OETAE,

5無一5

即an右心？

解得X1"十”,X2上誓<0（舍去），

，￡3（*旦0）;

③當交點E在。的左側(cè)時，

ZBOA^ZEOF>ZECF

要使與△8A。相似，只能使NECF=NA4。,

連結(jié)BE,得BE=^AD=AB,

ZBEA=ZBAO,

：.ZECF=ZBEA,

C.CFUBE,

.CFOC

又?：/ECF=/BAO,ZFEC=ZDEA=RtZ,

CECF

△CEFs△AED,,萬一人一,

AE~AD

.OC_CE

而

AD=2BE,??20LAE'

.5%+5口,曰一5+5行—5—5師八/…、

斛得x尸，必-4<0（舍去）,

*-2x-10+￡

,5—55

:點E在x軸負半軸上，：.E4（~0）,

綜上所述：存在以點E、C、尸為頂點的三角形與△AOB相似，此時點E坐標為:

5+5亞5—5匹

；.歷（|,0）、瓦（孚0）、E3（

0）、￡4C

10.（2011江西，21,8分）如圖，已知。O的半徑為2,弦BC的長為2有，點A為弦

BC所對優(yōu)弧上任意一點（B,C兩點除外）。

⑴求/BAC的度數(shù)；

⑵求△ABC面積的最大值.

（參考數(shù)據(jù)：sin60°=—,cos30°=—,tan30°=—.）

【答案】（1）過點。作OOLBC于點D,連接0A.

因為8C=2有，所以CZ）=』8C=有.

2

又。C=2,所以sinNDOC=C^,BPsinZDOC=—,

所以/Z）OC=60。.

又ODJ_BC,所以/BAC=/OOC=60。.

（2）因為△ABC中的邊8C的長不變，所以底邊上的高最大時，△ABC面積的最大值，即點

A是BAC的中點時，△ABC面積的最大值.

因為/8AC=60。，所以△ABC是等邊三角形,

在RtAAOC中，AC=2欄,DCf,

所以AD=A/,AC2-DC2=J(2回-舊=3.

所以△ABC面積的最大值為2欄x3x1=3A/3.

2

11.(2011湖南常德，25,10分)已知AABC,分別以AC和BC為直徑作半圓Q、O,,P

是AB的中點.

(1)如圖8,若△ABC是等腰三角形，且AC=BC,在AC,上分別取點E、尸，使

NAO]E=N3Q產(chǎn)，則有結(jié)論①POXE=/QP，②四邊形是菱形?請給出結(jié)論

②的證明;

(2)如圖9,若(1)中AABC是任意三角形，其它條件不變，則(1)中的兩個結(jié)論還成

立嗎？若成立，請給出證明;

(3)如圖10,若PC是。]的切線，求證:AB2=BC2+3AC2

【答案】

(1)證明：是。。2直徑，則。2是BC的中點

又尸是AB的中點.

：.P02是4ABC的中位線

1

；.PO2=-AC

2

又AC是。。1直徑

1

：.P02=OiC=-AC

2

同理POI=O2C=^BC

2

VAC=BC

P02=OiC=P01=O2C

.?.四邊形尸qcQ是菱形

(2)結(jié)論①POXE=EQ。,成立，結(jié)論②不成立

證明：在(1)中已證PO2=』AC,又O1E=2AC

22

：.P02=0IE

同理可得PO1=O2F

P02是△ABC的中位線

：.PO2//AC

：.NP(hB=/ACB

同理/尸。iA=/AC8

：.ZPChB=ZPOiA

,：ZAOIE=ZBO2F

：.ZPOiA+ZAOiE^ZPOiB+ZBOiF

即NPOiE=/尸。2尸

(3)證明：延長AC交。。2于點D,連接BD.

：BC是。02的直徑，則ND=90°,

又PC是Q］的切線，則NACP=90°,

.\ZACP=ZD

又NPAC=/BAD,

:.△APCs^BAD