2.6對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

2.6對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)2.靈活應(yīng)用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù),了解對(duì)數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用3.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)4.知道對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算通過指、對(duì)數(shù)互化,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)通過掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì),培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用通過對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用,提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)1.(概念辨析)下列結(jié)論正確的是(填序號(hào)).

①函數(shù)y=log2(x+1)是對(duì)數(shù)函數(shù);②若MN>0,則loga(MN)=logaM+logaN;③對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函數(shù);④函數(shù)y=ln1+x1?x與y=ln(1+x)ln(1x⑤當(dāng)x>1時(shí),若logax>logbx,則a<b.2.(對(duì)接教材)已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,且a≠1)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是(填序號(hào)).

①a>1,c>1;②a>1,0<c<1;③0<a<1,c>1;④0<a<1,0<c<1.3.(對(duì)接教材)若x>0,y>0,則下列各式中恒等的是().A.lgx+lgy=lg(x+y) B.lgx2=(lgx)2C.lgxn=lgxn D.lg4.(易錯(cuò)自糾)若函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1,則a=.

5.(真題演練)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln2x-12x+1為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)A.1 B.0 C.12 對(duì)數(shù)的運(yùn)算典例1(1)設(shè)2a=5b=m,且1a+1b=2,則m的值為(A.10 B.10 C.20 D.100(2)計(jì)算:lg14-lg25÷100(3)計(jì)算:(1-log61.ab=N?b=logaN(a>0且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法,在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.2.對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路:(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡;(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并;(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式,要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用;(4)利用常用對(duì)數(shù)中的lg2+lg5=1.訓(xùn)練1(1)已知lg2=a,lg3=b,則用a,b表示log56=.

(2)(2024·江蘇淮陰四校聯(lián)考)1986年4月26日,烏克蘭普里皮亞季鄰近的切爾諾貝利核電站發(fā)生爆炸,核泄漏導(dǎo)致事故所在地被嚴(yán)重污染,主要的核污染物為鍶90,它每年的衰減率約為2.5%.專家估計(jì),當(dāng)鍶90含量減少至初始含量的約1.6×109倍時(shí),可認(rèn)為該次核泄漏對(duì)自然環(huán)境的影響已經(jīng)消除,這一過程約持續(xù)().(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg975≈2.989)A.400年 B.600年C.800年D.1000年對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)典例2(1)函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,且a≠1)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是().A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1(2)函數(shù)f(x)=loga(x+1)+3(a>0,且a≠1)的圖象一定過定點(diǎn).

(3)函數(shù)y=loga(x+1)(a>0,且a≠1)與函數(shù)y=x22ax+1在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是().A BC D應(yīng)用對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象可求解的兩類問題(1)對(duì)一些可通過平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí),常利用數(shù)形結(jié)合思想.(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)=loga(xb)+2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)(3,2),則b=.

(2)(2023·浙江寧波適應(yīng)性考試)若a2>a2(a>0且a≠1),則函數(shù)f(x)=loga(x1)的圖象大致是().A BC D(3)已知函數(shù)f(x)=|lgx|,0<x≤10,-12x+6,x>10,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用典例3(1)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,則a,b,c的大小關(guān)系為().A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b(2)已知函數(shù)y=loga(1ax)在(1,2)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A.(1,2) B.[1,2]C.0,12 (3)已知函數(shù)f(x)=log12(ax2+6x+18).若f(x)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是;若f(x)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是;當(dāng)a=12時(shí),f(x)1.對(duì)于底數(shù)相同的指數(shù)冪或者對(duì)數(shù)式,可以通過指數(shù)函數(shù)或者對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;底數(shù)不同,指數(shù)相同的指數(shù)冪則可通過冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.對(duì)于底數(shù)和指數(shù)(或真數(shù))都不相同的指數(shù)冪(或?qū)?shù))的大小比較問題,一般可以通過與1或0的比較傳遞出大小關(guān)系;或者對(duì)式子結(jié)構(gòu)變形,構(gòu)造新函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)算性質(zhì)即可求解.2.求基本初等函數(shù)的定義域就是要使得式子有意義,函數(shù)的定義域常用求法有:分式的分母不為零,偶次根式的被開方式不小于零,對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零等.求基本初等函數(shù)的值域的常用方法有:單調(diào)性法、換元法、有界性法、圖象法、判別式解法等.3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”,特別注意單調(diào)區(qū)間包含于定義域.分段函數(shù)的單調(diào)性首先滿足各段單調(diào),然后考慮分界點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系.訓(xùn)練3(1)已知a=ln22,b=ln33,c=ln66,則a,b,c的大小關(guān)系為(A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.b>c>a(2)若函數(shù)y=loga(x2ax+2)在區(qū)間(∞,1]上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

訓(xùn)練4設(shè)函數(shù)f(x)=ln|2x+1|ln|2x1|,則f(x)().A.是偶函數(shù),且在12,+∞上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù),且在C.是偶函數(shù),且在-∞,-12上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù),且在反函數(shù)問題典例若關(guān)于x的方程x+log5x=4與x+5x=4的根分別為m,n,則m+n的值為().A.3 B.4 C.5 D.61.若函數(shù)y=f(x)是定義在非空數(shù)集D上的單調(diào)函數(shù),則存在反函數(shù)y=f1(x).特別地,y=ax與y=logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù).2.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi),若兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,即(x0,f(x0))與(f(x0),x0)分別在函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)y=f1(x)的圖象上.3.若方程x+f(x)=k的根為x1,方程x+f1(x)=k的根為x2,那么x1+x2=k.訓(xùn)練已知x1是方程x·3x=4的根,x2是方程x·log3x=4的根,則x1x2=.

一、單選題1.函數(shù)y=loga(x1)+4的圖象恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為().A.(2,4) B.(4,2) C.(1,4) D.(2,5)2.已知a=log23,b=log25,則log415=().A.2a+2b B.a+bC.ab D.12a+13.已知函數(shù)f(x)=ln(x+a)的圖象不經(jīng)過第四象限,則a的取值范圍是().A.(0,1) B.(0,+∞) C.(0,1] D.[1,+∞)4.已知a=log0.040.08,b=log0.20.3,c=log23,則a,b,c的大小關(guān)系是().A.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.c<b<a二、多選題5.設(shè)a,b,c都是正數(shù),且4a=6b=9c,則下列結(jié)論正確的是().A.ab+bc=2ac B.ab+bc=acC.4b·9b=4a·9c D.1c=26.設(shè)函數(shù)f(x)=|x2+3x|,x≤1,log2x,x>1,若方程f(x)+m=0有A.3 B.1 C.12 D.三、填空題7.若實(shí)數(shù)x滿足不等式log2(x22x)>log2(x+4),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

8.已知f(x)=log12(x2ax+3a)在區(qū)間[2,+∞)上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是四、解答題9.已知函數(shù)f(x)=loga(2+x)+loga(4x)(a>0且a≠1)的圖象過點(diǎn)(1,2).(1)求a的值及f(x)的定義域;(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(3)求f(x)在[0,3]上的最小值.10.已知函數(shù)f(x)=lg(2+x)+lg(2x).(1)求函數(shù)f(x)的定義域,并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)記函數(shù)g(x)=10f(x)+3x,求函數(shù)g(x)的值域;(3)若不等式f(x)>m有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.11.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若滿足:(1)f(x)在D內(nèi)是增函數(shù);(2)存在[m,n]?D(n>m),使得f(x)