重難點1遞推公式求通項公式（完整版講）

重難點1遞推公式求通項公式（精講）考點一公式法【例11】（2023秋·廣東深圳）已知數(shù)列的前項和（），則．【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，.當(dāng)時上式也符合，所以.所以.故答案為：.【例12】（2023春·廣東佛山）已知數(shù)列的前n項和為，且，則.【答案】【解析】當(dāng)時，，則.經(jīng)檢驗，時，，不符合上式，故.故答案為：.【例13】（2023·廣東汕頭）已知各項都是正數(shù)的數(shù)列的前項和為，，.求數(shù)列的通項公式；【答案】；【解析】依題意，，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，，兩式相減并化簡得，其中，所以，即.所以數(shù)列的通項是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以.【例14】（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考期末）對任意正整數(shù)，數(shù)列滿足：，則.【答案】【解析】根據(jù)題意有：當(dāng)，得：2；當(dāng)時，，即，即，又不滿足上式，所以的通項公式為.故答案為：.【一隅三反】1．（2023春·廣東廣州）已知數(shù)列的前項和滿足，則.【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，不符合故答案為：2（2022·上海市）數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，又，所以兩式作差得，所以，即，所以數(shù)列是從第二項起公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：.3.（2023廣東）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為___________.【答案】【解析】當(dāng)時，.當(dāng)時，，①.②①②，得.因為不滿足上式，所以故答案為：4．（2023·江蘇）設(shè)Sn是正項數(shù)列{an}的前n項和，且．(1)求a1的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】(1)3(2)an＝2n＋1【解析】(1)由所給條件知，當(dāng)n＝1時，整理得，由于，得；(2)由條件得，

，①②得，整理得：（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0，因為：an＋an－1＞0，∴an－an－1＝2（n≥2），是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，

，故.考點二累乘法【例21】（2022春·廣東佛山）已知數(shù)列滿足，且，則.【答案】【解析】因為，所以，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，所以，．故答案為：．【例22】（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，且，則它的通項公式.【答案】【解析】由，則又?jǐn)?shù)列為正項數(shù)列，即，所以，即所以故答案為：【一隅三反】1．（2022·廣東深圳）已知數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列．【答案】【解析】由題意可得，所以，所以，所以，又因為，所以，故答案為：2．（2023·廣東深圳）數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項公式.【答案】【解析】因為①；當(dāng)時，②；①減②得，即，所以，所以，所以所以，，，……，，所以，所以，又，所以，當(dāng)時也成立，所以故答案為：3（2023春·廣東佛山·高二順德市李兆基中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為.求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】因為，顯然，所以，當(dāng)時，由累乘法得，則，又，所以，所以當(dāng)時，，時，也符合，所以.考點三累加法【例3】（2023春·廣東佛山）已知數(shù)列首項為2，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，，則當(dāng)時，有，經(jīng)檢驗當(dāng)時也符合該式．∴.故選：D【一隅三反】1．（2023春·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)容山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，則．【答案】【解析】當(dāng)時，，所以，又，符合，所以．2．（2022秋·廣東廣州·高二華南師大附中?？茧A段練習(xí)）等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，時，，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【解析】根據(jù)題意得，解得，故，故時，，故，顯然n=1時也滿足上式.故答案為：3．（2023春·廣東珠?！じ叨？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項為【答案】【解析】因為，所以，則當(dāng)時，，將個式子相加可得，因為，則，當(dāng)時，符合題意，所以.4．（2022春·廣東珠海）（1）已知數(shù)列是正項數(shù)列，，且．求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列滿足，，．求數(shù)列的通項公式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，對任意的，，則，則，所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，；（2）由，得：，又，所以，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，得，當(dāng)時，，，，，累加得，，則，也滿足，故對任意的，.考點四構(gòu)造等差數(shù)列【例41】（2023·四川）已知數(shù)列滿足，，，則an=【答案】【解析】因為，所以，所以，又，數(shù)列是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列．所以，所以【例42】（2022·江西）已知數(shù)列滿足：，（，），則___________.【答案】【解析】由題設(shè)，，即，而，∴是首項、公差均為的等差數(shù)列，即，∴.故答案為：【例43】（2023廣東）已知數(shù)列滿足，求出數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】因為，所以等式兩邊同除以得所以數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以所以【例44】（2023·廣東佛山）已知數(shù)列滿足，則=.【答案】【解析】對遞推關(guān)系取倒數(shù)，得.即，分別用替換，有，，，…，以上個式子相加，得，所以，，n=1成立∴.故答案為：..【一隅三反】1．（2023安徽）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列__________【答案】13n?1【解析】由可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為2，公差為3，則，13n?12．（2023福建）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式______．【答案】【解析】∵，∴，即．又，，∴數(shù)列是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴數(shù)列的通項公式．故答案為：.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】因為，所以令，則，解得，對兩邊同時除以，得，又因為，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以；4.（2023·廣東肇慶）已知是數(shù)列的前n項和，，，恒成立，則k最小為______．【答案】2【解析】由，得，當(dāng)時，得，，…，，則，即，則，當(dāng)n=1時符合上式，則，所以k最小為2．故答案為：.考點五構(gòu)造等比數(shù)列【例51】（2023春·廣東佛山）數(shù)列中，，，則此數(shù)列的通項公式.【答案】【解析】因為，所以，又，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，則.故答案為：【例52】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則【答案】【解析】因為，，所以，整理得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．所以，解得．【一隅三反】1．（2023秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）已知首項為2的數(shù)列對滿足，則數(shù)列的通項公式.【答案】【解析】設(shè)，即，故，解得：，故變形為，，故是首項為4的等比數(shù)列，公比為3，則，所以，故答案為：2．（2023福建?。┮阎獢?shù)列滿足，，則的前n項和為_____.【答案】【解析】數(shù)列滿足，整理得：，所以，又，故是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以的前項和故答案為：3（2023安徽）已知在數(shù)列中，，，則