百校聯(lián)盟高三TOP20四月聯(lián)考（全國II卷）數(shù)學(xué)（理）試題

百校聯(lián)盟2018屆高三TOP20四月聯(lián)考（全國II卷）理數(shù)試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A．B．C.D．2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A．B．C.D．3.已知，若，則（）A．8B．10C.11D．124.中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他活動的民間藝術(shù)，在中國，剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，交融于各族人民的社會生活，是各種民俗活動的重要組成部分.在如圖所示的古代正八邊形窗花矢量圖片中，，則向正八邊形窗花矢量圖片中任投一點，落在正方形中的概率為（）A．B．C.D．5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A．5B．11C.14D．196.過雙曲線的右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，與雙曲線的漸近線交于兩點，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A．B．C.D．7.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．B．C.D．8.已知，則不等式的解集為（）A．B．C.D．9.已知數(shù)列中，，則（）A．1028B．1026C.1024D．102210.已知，若存在點，使得，則的取值范圍為（）A．B．C.D．11.已知函數(shù)，則函數(shù)在上的所有零點之和為（）A．B．C.D．12.在三棱錐中，，平面和平面所成角為，則三棱錐外接球的體積為（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知函數(shù)則．14.已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為16，則展開式中含項的系數(shù)為．(用數(shù)字作答).15.拋物線的焦點為，其準(zhǔn)線為直線，過點作直線的垂線，垂足為，則的角平分線所在的直線斜率是．16.已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列的前項和滿足，且是的等差中項，是等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2），求數(shù)列的前項和.18.如圖所示，在三棱臺中，和均為等邊三角形，四邊形為直角梯形，平面，，分別為的中點.（1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.19.某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了檢測兩條生產(chǎn)線產(chǎn)品的質(zhì)量情況，隨機從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了40件產(chǎn)品作為樣本，檢測某一項質(zhì)量指標(biāo)值，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若，亦則該產(chǎn)品為示合格產(chǎn)品，若，則該產(chǎn)品為二等品，若，則該產(chǎn)品為一等品.（1）用樣本估計總體的思想，從甲、乙兩條生產(chǎn)線中各隨機抽取一件產(chǎn)品，試估計這兩件產(chǎn)品中恰好一件為二等品，一件為一等品的概率；（2）根據(jù)圖1和圖2，對兩條生產(chǎn)線從樣本的平均值和方差方面進行比較，哪一條生產(chǎn)線更好；（3）從甲生產(chǎn)線的樣本中，滿足質(zhì)量指標(biāo)值在的產(chǎn)品中隨機選出3件，記為指標(biāo)值在中的件數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望?20.已知為圓上一動點，圓心關(guān)于軸的對稱點為，點分別是線段上的點，且.（1）求點的軌跡方程；（2）直線與點的軌跡只有一個公共點，且點在第二象限，過坐標(biāo)原點且與垂直的直線與圓相交于兩點，求面積的取值范圍.21.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）證明：.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)），直線，直線，以原點為極點，軸正半軸為極軸(取相同的長度單位）建立極坐標(biāo)系.（1）寫出曲線和直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于兩點，直線與曲線交于兩點，求線段的長度.23.選修45：不等式選講已知.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.試卷答案一、選擇題15:ACDCB610:BDBDC11、12：CA二、填空題13.014.15.16.三、解答題17.（1）由題意知，當(dāng)時，，又因為，且，則，所以，又成等差數(shù)列，則，所以，解得，所以數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故.設(shè)的公差為，則，解得，所以.（2）由（1）得，所以，，兩式相減得，整理得.18.（1）取的中點，連接，則，因為平面，平面，所以平面，因為三棱臺中，，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，所以平面平面，因為平面，所以平面.（2）取的中點，連接，因為平面，平面，所以， 因為，所以平面，所以，因為為直角梯形，，所以為正方形，所以，所以兩兩互相垂直，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，由，得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，由得，令，得，設(shè)平面的一個法向量為，由得令，得，所以由圖觀察可知，平面與平面所成二面角為鈍角，所以其余弦值為.19.（1）由頻率分布直方圖可知，甲生產(chǎn)線中二等品的概率為，—等品的概率為，乙生產(chǎn)線中二等品的概率為，一等品的概率為，所以兩件產(chǎn)品中一件為二等品，一件為一等品的概率為.（2）設(shè)兩條生產(chǎn)線樣本的平均值分別為，則，，由頻率分布直方圖可知，甲生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)較為分散，乙生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)較為集中，所以甲生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)方差大于乙生產(chǎn)線的數(shù)據(jù)方差，所以乙生產(chǎn)線更好.（3）甲生產(chǎn)線樣本質(zhì)量指標(biāo)值在的件數(shù)為，質(zhì)量指標(biāo)值在的件數(shù)為，由題意可知的取值為0，1，2，3；所以，，，.所以的分布列為：的數(shù)學(xué)期望.20.（1）因為，所以為的中點，因為，所以，所以點在的垂直平分線上，所以，因為，所以點在以為焦點的橢圓上，因為，所以，所以點的軌跡方程為.（2）由得，，因為直線與橢圓相切于點，所以，即，解得，即點的坐標(biāo)為，因為點在第二象限，所以，所以，所以點的坐標(biāo)為，設(shè)直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.21.（1）因為，所以 ，解得則，所以，令，得，令得，所以當(dāng)時，.（2）由（1）得的最大值為0，所以，即，從而，要證，即，故只需證，即證成立； 令則，令，則，令，得，因為單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減.當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，因為，，由零點存在定理可知，，使得，故當(dāng)或時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以的最小值是或.由，得，，因為，所以，故當(dāng)時，，所以原不等式成立.22.（1）依題意，曲線