江西省部分地區(qū)高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目條件得到不等式，求出答案.【詳解】由題意得且，解得．故選：A2.已知復(fù)數(shù)，且，其中為實(shí)數(shù)，則（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等得，進(jìn)而再求復(fù)數(shù)模即可.【詳解】解；因?yàn)閺?fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，所以，所以，解得，所以.故選：C3.在倡導(dǎo)“節(jié)能環(huán)?！薄暗吞忌睢钡慕裉?，新能源逐漸被人們所接受，進(jìn)而青睞，新能源汽車作為新能源中的重要支柱產(chǎn)業(yè)之一取得了長足的發(fā)展．為預(yù)測某省未來新能源汽車的保有量，采用阻滯型模型進(jìn)行估計(jì)．其中y為第t年底新能源汽車的保有量，r為年增長率，M為飽和量，為初始值（單位：萬輛）．若該省2021年底的新能源汽車擁有量為20萬輛，以此作為初始值，若以后每年的增長率為0.12，飽和量為1300萬輛，那么2031年底該省新能源汽車的保有量為（精確到1萬輛）（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.62萬 B.63萬 C.64萬 D.65萬【答案】C【解析】【分析】把已知數(shù)據(jù)代入阻滯型模型，求出對應(yīng)的值即可．【詳解】根據(jù)題中所給阻滯型模型，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，注意以2021年的為初始值，則2031年底該省新能源汽車的保有量為，因?yàn)?，所以，所以故選：C4.有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（）A.12 B.14 C.22 D.24【答案】B【解析】【分析】按工廠接收的女生人數(shù)分兩類，求出每類情況數(shù)，相加后得到答案.【詳解】按工廠接收的女生人數(shù)分類，第一類：工廠僅接收1名女生，從2名女生中選1人，有種選擇，再把剩余的3人分為兩組，和兩工廠進(jìn)行全排列，有種選擇，故有種分配方法；第二類：工廠接收2名女生，則剩余的兩個(gè)男生和兩個(gè)工廠進(jìn)行全排列，有種分配方法．綜上，不同的分配方法有種．故選：5.已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在棱長為2的正方體中構(gòu)造棱長為的正四面體，結(jié)合正方體的性質(zhì)和求得表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，在棱長為2的正方體中構(gòu)造棱長為的正四面體，顯然正四面體的棱切球即為正方體的內(nèi)切球，故球的半徑，則該球的表面積為．故選：A．6.已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，分析得的奇偶性與單調(diào)性，從而轉(zhuǎn)化所求不等式得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】由，得的定義域?yàn)椋?，故為偶函?shù)，而當(dāng)時(shí)，易知單調(diào)遞增，而對于，在上恒成立，所以在上也單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，則由，得，解得或.故選：D.7.如圖，四邊形為正方形，平面，則三棱錐的體積為（）A.12 B.6 C. D.【答案】B【解析】【分析】連接交于點(diǎn)，證得平面，得到四邊形為矩形，分別求得的長，利用余弦定理求得，得到，結(jié)合面積公式和錐體的體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)?，過作于，可得四邊形為矩形，則，所以，，，由余弦定理得，所以，所以，所以．故選：B．8.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)，，若，則當(dāng)，變化時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得A，兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)得到，再結(jié)合可得到C軌跡為動圓，求得該動圓圓心的方程，即可求得答案.【詳解】由得，故由得，由得，設(shè)，則，即，即點(diǎn)C軌跡為一動圓，設(shè)該動圓圓心為，則，整理得，代入到中，得：，即C軌跡的圓心在圓上，故點(diǎn)（1,1）到點(diǎn)距離的最大值為，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)判斷.【詳解】∵，則，，∴，即，A正確；例如，，，，，顯然，B錯(cuò)誤；由得，，∴，即，C正確；易知，，，，∴，D正確；故選：ACD．10.設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，分別表示直線的斜率，則（）A.存在點(diǎn)，使得 B.存在點(diǎn)，使得C.存在點(diǎn)，使得 D.存在點(diǎn)，使得【答案】ABD【解析】【分析】利用橢圓的性質(zhì)以及坐標(biāo)運(yùn)算逐一確定選項(xiàng)中的范圍，進(jìn)而判斷存在性.【詳解】由已知得：對于A，由為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)可得，，A正確；對于B，由，得以為直徑的圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，因而存在點(diǎn)使得，B正確；對于C，由為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)可得，又由可得，解得，與矛盾，C錯(cuò)誤；對于D，由已知，因?yàn)椋?，所以，所以存在點(diǎn)，使得，D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在上單調(diào)遞增 D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緽CD【解析】【分析】計(jì)算是否成立可判斷A項(xiàng)，運(yùn)用周期性計(jì)算是否成立即可判斷B項(xiàng)，對于C項(xiàng)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷在上的符號即可，對于D項(xiàng)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究在一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)性進(jìn)而可求得值域.【詳解】對于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以不是的最小正周期，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，由A項(xiàng)知，的一個(gè)周期為，又因?yàn)椋?，所以，所以關(guān)于對稱，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，由題意知，，當(dāng)時(shí)，，則，即：，所以，所以在上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，由A項(xiàng)知，的一個(gè)周期為，由C項(xiàng)知，，當(dāng)時(shí)，，則，即：，所以，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，，所以，，所以的值域?yàn)?，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量滿足，則在上的投影向量的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用向量的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，又因?yàn)?，可得，解得，所以在上的投影向量為．故答案為?13.在中，內(nèi)角對邊分別是，且，平分交于，，則面積的最小值為______；若，則的面積為______．【答案】①.②.##【解析】【分析】由，求得，利用基本不等式，求得面積的最小值的最小值，再由余弦定理，求得，求得的面積.【詳解】由題意，平分交于且，可得，即，整理得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以面積的最小值，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，解得，因此．故答案為：?14.已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為2c，，則該雙曲線的離心率是______．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義，故，分與討論，結(jié)合“對勾”函數(shù)的性質(zhì)可求出離心率.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義知，∴，，當(dāng)，即時(shí)，，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，故，化簡得，即，解得（舍）或，滿足.綜上所述，該雙曲線的離心率是.故答案為:.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記為公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若由與的公共項(xiàng)從小到大組成數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由求出，再由等比數(shù)列求和公式求出，即可得解；（2）由（1）可得，即可得到數(shù)列的特征，令，求出的取值，即可得到為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【小問1詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，即，所以，又，即，解得，所?【小問2詳解】解：由（1）可得，則數(shù)列為、、、、，偶數(shù)組成的數(shù)列，又，令，則為正偶數(shù)，所以，，，，，所以為以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，所以.16.如圖，在三棱錐中，與都為等邊三角形，平面平面分別為的中點(diǎn)，且在棱上，且滿足，連接．（1）求證：平面；（2）設(shè)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，由重心性質(zhì)得到線線平行，證明出線面平行；（2）由面面垂直得到線面垂直，線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，從而求出線面角的正弦值.【小問1詳解】證明：連接，如圖所示．在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，，所以為的重心，所以，又，所以，又平面平面，所以平面．【小問2詳解】連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則，所以．設(shè)平面的法向量，則令，解得，所以平面的一個(gè)法向量，．設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．17.為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分的頻率分布直方圖如圖所示：減排器等級及利潤率如下表，其中．綜合得分的范圍減排器等級減排器利潤率一級品二級品三級品（1）若從這100件甲型號減排器中按等級用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10件，再從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一級品的概率；（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計(jì)總體，則：①若從乙型號減排器中隨機(jī)抽取4件，記為其中二級品的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；②從數(shù)學(xué)期望來看，投資哪種型號的減排器利潤率較大？【答案】（1）（2）①分布列見解析，；②乙型號【解析】【分析】（1）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號減排器中的一級品的概率為0.6，根據(jù)分層抽樣，計(jì)算10件減排器中一級品的個(gè)數(shù)，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少3件一級品的概率；（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號減排器中的一級品的概率為，二級品的概率為，三級品的概率為，若從乙型號減排器隨機(jī)抽取4件，則二級品數(shù)所有可能的取值為，且，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.②由題意分別求出甲型號減排器的利潤的平均值和乙型號減排器的利潤的平均值，由此求出投資乙型號減排器的平均利潤率較大.【小問1詳解】由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號減排器中的一級品的頻率為，按等級用分層抽樣的方法抽取10件，則抽取一級品（件），記“抽取的5件中至少有3件一級品”為事件，則．【小問2詳解】①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號減排器中的一級品的概率為，二級品的概率為，三級品的概率為，由題意，的所有可能的取值為，所以，，，，分布列如下表：01234所以；②由題意知，甲型號減排器的利潤率的平均值：；乙型號減排器的利潤率的平均值：；，又，則，所以投資乙型號減排器的平均利潤率較大．18.已知拋物線，是軸下方一點(diǎn)，為上不同兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)均在上.（1）若的中點(diǎn)為，證明：軸；（2）若在曲線上運(yùn)動，求面積的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，，根據(jù)題意求出的中點(diǎn)為的橫坐標(biāo)為，可證軸；（2）不妨設(shè)，則，將和表示為的函數(shù)，得，再換元，令，，得，根據(jù)在上為增函數(shù)，可求出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)，，，則的中點(diǎn)在拋物線上，所以，化簡得，同理由的中點(diǎn)在拋物線上可得，因?yàn)?，所以是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，，所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，它與的橫坐標(biāo)相同，所以軸.【小問2詳解】不妨設(shè)，則，由軸，得，因?yàn)樵谇€上運(yùn)動，是軸下方一點(diǎn)，所以，且，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，又，所以，令，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）中，利用和求面積，將和表示為的函數(shù)，利用的范圍求面積的最大值是解題關(guān)鍵.19.記函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若（其中）恒成立，則稱在上具有性質(zhì)．（1）判斷函數(shù)（且）在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）設(shè)均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)且，對于任意的，不等式成立，求的最大值．【答案】（1）不具有，理由見解析（2）存在，（3）3【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合新定義，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得，得