2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中+期末高效復(fù)習(xí)課期中模擬試卷新高考題型提高卷2含解析選擇性必修第二冊(cè)

Page1期中模擬試卷（新高考版提高卷2）考試范圍：人教A版2024選擇性必修第一冊(cè)（全冊(cè)）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量，，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【詳解】由，解得，則.故選：A.2．（2024·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）美術(shù)繪圖中常采納“三庭五眼”作圖法.三庭：將整個(gè)臉部依據(jù)發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長(zhǎng)的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長(zhǎng)度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、其次眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖，假設(shè)三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中供應(yīng)的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點(diǎn)，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】如圖，以鼻尖所在位置為原點(diǎn)O，中庭下邊界為x軸，垂直中庭下邊界為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，直線，整理為，原點(diǎn)O到直線距離為，故選：B3．（2024·重慶一中高三階段練習(xí)）點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，，為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（

）A．13 B．1 C．7 D．5【答案】D【詳解】橢圓方程為：，由橢圓定義可知：，故故選：D4．（2024·北京·高三開學(xué)考試）已知直線l：與圓O：相交于A，B兩點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是（

）A．線段AB長(zhǎng)度的最小值為1 B．線段AB長(zhǎng)度的最大值為2C．的面積最小值為4 D．的面積最大值為【答案】D【詳解】圓心到直線距離，因?yàn)?，所以?則弦長(zhǎng)，所以A和B均錯(cuò)誤；，令，則，因?yàn)槿〔坏?，所以沒有最小值，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，面積最大，為，D正確．故選：D5．（2024·四川·鹽亭中學(xué)高二開學(xué)考試）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵．已知在塹堵中，，，，若直線與直線所成角為，則(

)A．? B．2 C．? D．?【答案】B【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，，解得，故．故選：B．6．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，，分別是雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，且，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，．若為等邊三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】依據(jù)雙曲線的定義，有①，②，由于為等邊三角形，因此，由①＋②，得，則，，又因?yàn)?，所以，即，解得，則，所以雙曲線的方程為．故選：C.7．（2024·河北廊坊·模擬預(yù)料）已知⊙O：x2＋y2＝1，點(diǎn)A（0，－2），B（a，2），從點(diǎn)A視察點(diǎn)B，要使視線不被⊙O攔住，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．（－∞，－2）∪（2，＋∞） B．∪C．∪ D．【答案】B【詳解】解：易知點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切線的斜率為，則切線方程為，即，由，得，∴切線方程為，和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，故要使視線不被攔住，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.8．（2024·全國(guó)·高一單元測(cè)試）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，滿意，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平面平面；B．點(diǎn)到直線的距離；C．若二面角的平面角的余弦值為，則；D．點(diǎn)A到平面的距離為．【答案】D【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，平面，所以CD，故∠PBA即為與底面所成的角，，因?yàn)?，所以PA=AB=1，因?yàn)?，取AD中點(diǎn)F，連接CF，則AF=DF=AB=CF=BC，則四邊形ABCF為正方形，∠FCD=∠FCA=45°，所以AC⊥CD，又因?yàn)?，所以CD⊥平面PAC，因?yàn)镃D平面PCD，所以平面平面PCD，A正確；由A選項(xiàng)的證明過程可知：CD⊥平面PAC，因?yàn)槠矫鍼AC所以CD⊥PC，故點(diǎn)P到直線CD的距離即為PC的長(zhǎng)度，其中由勾股定理得：，B正確；以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，其中平面ACD的法向量為，設(shè)平面ACE的法向量為，則，令得：，所以，設(shè)二面角的平面角為，明顯，其中，解得：或，因?yàn)?，所以，C正確；過點(diǎn)A作AH⊥PC于點(diǎn)H，由于CD⊥平面APC，平面APC，所以AH⊥CD，因?yàn)?，所以AH⊥平面PCD，故AH即為點(diǎn)A到平面PCD的距離，因?yàn)镻A⊥AC，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：D二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2024·江蘇·南京市棲霞中學(xué)高二開學(xué)考試）下列四個(gè)命題中真命題有（

）A．直線在軸上的截距為-2B．經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C．直線必過定點(diǎn)D．已知直線與直線平行，則平行線間的距離是1【答案】AC【詳解】對(duì)直線方程，令解得，故該直線在軸上的截距為，故A正確；經(jīng)過點(diǎn)的直線若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，則無法用表示，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，可整理為：，恒過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即為，過點(diǎn)；故直線必過定點(diǎn)，C正確，直線與直線平行，則，此時(shí)即，也即，則兩平行線間的距離，故D錯(cuò)誤.綜上所述，正確的選項(xiàng)是：.故選：.10．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓與雙曲線，下列關(guān)于兩曲線的說法正確的是（

）A．的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)相等 B．的短軸長(zhǎng)與的虛軸長(zhǎng)相等C．焦距相等 D．離心率不相等【答案】CD【詳解】由題意可知，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為，當(dāng)時(shí)，，，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，其實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為.故的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)不相等，的短軸長(zhǎng)與的虛軸長(zhǎng)不相等，與的焦距相等，離心率不相等．故選：CD．11．（2024·江蘇南京·高二開學(xué)考試）點(diǎn)是正方體中側(cè)面正方形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，正方體棱長(zhǎng)為，則下面結(jié)論正確的是（

）A．滿意的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B．點(diǎn)存在多數(shù)個(gè)位置滿意直線平面C．在線段上存在點(diǎn)，使異面直線與所成的角是D．若是棱的中點(diǎn)，平面與平面所成銳二面角的正切值為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，平面，平面，；四邊形為正方形，；又平面，，平面，點(diǎn)軌跡即為平面與平面的交線，即為，點(diǎn)軌跡的軌跡長(zhǎng)度為，A正確；對(duì)于B，，平面，平面，平面；同理可得：平面，又，平面，平面平面，軌跡為平面與平面的交線，即，點(diǎn)存在多數(shù)個(gè)位置滿意直線平面，B正確；對(duì)于C，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)，，，則，，，則當(dāng)時(shí)，；與夾角大于，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C可得空間直角坐標(biāo)系如下，則，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，解得：，，，又平面軸，平面的一個(gè)法向量，，，即平面與平面所成銳二面角的正切值為，D正確.故選：ABD.12．（2024·廣東·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q是雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），直線，，的斜率分別為，，，若，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線C的漸近線方程為 B．雙曲線C的離心率為C．為定值 D．的取值范圍為【答案】BCD【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，，故，依題意有，所以，所以雙曲線C的漸近線方程為，離心率，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；因?yàn)辄c(diǎn)P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，即有，所以，故C正確；設(shè)的傾斜角為，的傾斜角為，由題意可得，則，依據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)P在x軸上方，則，則，則，因?yàn)镻在x軸上方，則，或，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，所以，故D正確.故選：BCD.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，其次空3分.）13．（2024·四川省綿陽南山中學(xué)高二開學(xué)考試）過點(diǎn)的圓的切線方程為___________.【答案】或.【詳解】已知圓圓心坐標(biāo)為，半徑為，易知直線是圓的切線，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，由，解得，切線方程為，即．故答案為或．14．（2024·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，則的最小值為________．【答案】##【詳解】圓的圓心為，半徑，拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)槭菕佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)，到軸的距離為，到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離為，所以要使最小，即到拋物線的焦點(diǎn)與到圓的圓心的距離最小，連接，則的最小值為減去圓的半徑，再減去拋物線焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即，所以的最小值為，故答案為：15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為______【答案】【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，∴動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離為，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為.故答案為：16．（2024·浙江·模擬預(yù)料）雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交該雙曲線于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，已知軸時(shí)，，則雙曲線的離心率__________；若點(diǎn)在雙曲線右支上，則的取值范圍是__________.【答案】

【詳解】當(dāng)軸時(shí)，，所以，從而，所以；由題意知，.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得：又故所以可知，當(dāng)點(diǎn)在右支運(yùn)動(dòng)時(shí)，由漸近線方程為可知：，故.故答案為：，四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2024·河南省葉縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，，直線．(1)若直線與線段，都相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若直線將分割為面積相等的兩部分，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)（1）直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線過，時(shí)，；當(dāng)直線過時(shí)，．所以當(dāng)直線與線段，都相交時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）設(shè)直線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，其中直線，直線，由，得，由，得，所以，，且，，所以，由（1）可知，解得：（舍去）．18．（2024·江蘇·高郵市第一中學(xué)高二期末）如圖，四棱錐的底面是矩形，，，，且底面，若棱上存在異于，的一點(diǎn)，使得.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)(2)(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè).，，由，得，即.由題意，知，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.(2)由(1)知的最大值是，此時(shí)，即點(diǎn)是的中點(diǎn).設(shè)是平面的法向量，，，由令，則，故是平面的一個(gè)法向量.又在方向上的投影長(zhǎng)為，點(diǎn)到平面的距離為19．（2024·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高二開學(xué)考試）已知圓C過點(diǎn)A（1，2），B（2，1），且圓心C在直線上.P是圓C外的點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l交圓C于M，N兩點(diǎn).(1)求圓C的方程；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，探究：無論l的位置如何改變，|PM||PN|是否恒為定值？若是，求出該定值：若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)4（1）由于圓心在，故設(shè)圓的方程為，將A（1，2），B（2，1）代入可得，解得，所以圓的方程為：（2）當(dāng)直線軸時(shí)，，當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)其方程為：，聯(lián)立直線與圓的方程，消元得，設(shè),則，，由于點(diǎn)在圓外，所以，因此，綜上，無論l的位置如何改變，，為定值.20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)動(dòng)直線l與圓相切，與C交于M，N兩點(diǎn)，求O到線段MN的中垂線的最大距離．【答案】(1)(2)（1）由題知：，解得.所以的方程為．（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，線段MN的中垂線為軸，此時(shí)到中垂線的距離為0．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，，．因?yàn)榕c圓相切，則到的距離為，所以．聯(lián)立方程，得，則，可得的中點(diǎn)為．則MN的中垂線方程為，即．因此到中垂線的距離為（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立）．綜上所述，到線段MN的中垂線的最大距離為．21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正四棱錐P－ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，，．(1)求二面角的大??；(2)在線段AD上是否存在一點(diǎn)Q，使得PQ與平面APB所成角的正弦值為？若存在，指出點(diǎn)Q的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，當(dāng)Q為AD上靠近A的四等分點(diǎn)時(shí)，PQ與平面APB所成角的正弦值為（1）由題意得平面ABCD，且，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OB，OP為x，y，z軸正方向建系，如圖所示所以，所以，設(shè)平面PAB的法向量，則，即，令，可得，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又因?yàn)?，，平面PAC，所以平面，所以即為平面的法向量，所以，又，由圖象可得二面角為銳二面角，所以二面角的大小為（2）假設(shè)線段AD上存在一點(diǎn)Q，滿意題意，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，所以，則，因?yàn)槠矫鍼AB的法向量，設(shè)得PQ與平面APB所成角為所以，解得或（舍）所以在線段AD上存在一點(diǎn)Q，使得PQ與平